Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen
Aufgabe:
Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:
1.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert 2, so erhält man 100.
2.) Addiert man zum Quadrat einer Zahl das Doppelte der Zahl, so erhält man 3.
zu 1.) Umformen in eine Gleichung und Lösung nach den bekannten Verfahren:
2
1
2
2
2 ⋅ x + 2 = 100 / − 2
2
2 ⋅ x = 98 / : 2
x = 49 /
x = 7
x = −7
{ }
L = 7 ; − 7
Reinquadratische Gleichung
zu 2.) Umformen in eine Gleichung. Die bekannten Verfahren zum Lösen der Gleichung versagen!
2
x + 2x = 3
Gemischtquadratische Gleichung
Durch Probieren kann man die beiden Lösungen x 1 = 1 und x 2 = -3 finden.
Information:
Beide Gleichungen bezeichnet man als quadratische Gleichungen, da mindestens ein x die Hochzahl 2 besitzt.
Man unterscheidet dabei zwischen einer reinquadratischen Gleichung (Aufgabe 1) und einer gemischtquadratischen
Gleichung (Aufgabe 2). Bei einer gemischtquadratischen Gleichung enthält die Gleichung außer x 2
noch ein „normales x“, also ein x ohne eine Hochzahl.
Aufgabe:
Finde bei den folgenden Beispielen heraus, ob es sich um eine rein- oder um eine gemischtquadratische
Gleichung handelt. Versuche dann, die reinquadratischen Gleichungen zu lösen und die Lösungsmenge (L)
zu bestimmen.
2
1.) x − 4 = 12
2
2.) x − 5x = 0
2
2
3.) 2x − 10 = 14
4.) x = 9 − 8x
5.) 2x
2 2
2
− 8 = x −10
6.) 3x − 2x + 6 = 33 − 2x
2
7.) ( x − 4) = 25
2
reinquadratisch
gemischtquadratisch
reinquadratisch
gemischtquadratisch
reinquadratisch
reinquadratisch
gemischtquadratisch
8.) 5x + 6 = 6 reinquadratisch
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Lösungen für die reinquadratischen Gleichungen:
2 2
2 2 2
1
2
{ }
2
1
2
{ 12 ; 12}
2
2 2
1.) x − 4 = 12 3.) 2x − 10 = 14 5.) 2x − 8 = x −10
x = 16 2x = 24 x − 8 = −10
x = 4
x = − 4 x = 12
L =
L = 4 ; − 4
2
1
2
2 2
2 2
2 2
{ − 3}
x = 12 x = −2
x = − 12
L = −
6.) 3x − 2x + 6 = 33 − 2x 8.) 5x + 6 = 6
3x + 6 = 33 5x = 0
3x = 27 x
x
x
x = −3
L = 3 ;
= 0
= 9 x = 0
= 3
{ }
L = 0
{ }
MERKE:
Jede reinquadratische Gleichung lässt sich durch die bekannten Umformungsschritte auf die Form x 2 = a
bringen. Daraus können sich drei Lösungsmöglichkeiten ergeben:
⇒ Ist a > 0, (a ist positiv) dann hat die Gleichung genau 2 Lösungen x1 = a und x2
= − a
⇒ Ist a = 0, dann hat die Gleichung genau 1 Lösung x = 0
⇒ Ist a < 0, (a ist negativ) dann hat die Gleichung keine Lösung.
Lösungsmöglichkeit für Aufgabe 7.)
1 2
2 2
(x − 4) = 25 /
P1: (9 − 4) = 25 P2 : ( −1− 4) = 25
2 2
x − 4 = 5 ∨ x − 4 = − 5 / + 4 5 = 25 ( − 5) = 25
x = 9 ∨ x = −1
25 = 25 (w) 25 = 25 (w)
2
Sonderfall Produkt gleich 0:
Aufgabe:
Multipliziert man die Differenz einer Zahl und 5 mit der Summe der gleichen Zahl und 3, so erhält man 0.
Übersetzen in eine Gleichung:
(x − 5) ⋅ (x + 3) = 0
Überlegung: Wann ist ein Produkt gleich 0?
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist!
Das bedeutet für unsere Gleichung:
1.Faktor
⋅
2.Faktor
(x − 5) ⋅ (x + 3) = 0
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Wenn der 1. Faktor 0 sein soll, bedeutet das: (x − 5) = 0 ⇒ x − 5 = 0 ⇒ x = 5
Wenn der 2. Faktor 0 sein soll, bedeutet das: (x + 3) = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = −3
Die Lösungsmenge dieser Gleichung wäre also: L = { 5 ; − 3}
Setzt man wie bei einer Probe die beiden gefundenen Lösungen nacheinander in die Ausgangsgleichung
ein, so erhält man:
P1: x = 5 P2 : x = −3
( 5 − 5) ⋅ ( 5 + 3) = 0 ( −3
− 5) ⋅ ( −3
+ 3) = 0
0 ⋅ 8 = 0 −8 ⋅ 0 = 0
0 = 0 (w)
0 = 0 (w)
MERKE:
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Weitere Beispiele dazu:
1.) (x + 8) ⋅(x − 2) = 0 2.) (2x − 6) ⋅ (3x + 5) = 0
x + 8 = 0 ∨ x − 2 = 0 2x − 6 = 0 ∨ 3x + 5 = 0
x = −8 ∨ x = 2 2x = 6 ∨ 3x = −5
1 2
{ }
L = −8 ; 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
3.) ⎜ x − 7 x 6 0
2
⎟ ⋅ ⎜ +
3
⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2
x − 7 = 0 ∨ x + 6 = 0
2 3
1 2
x = 7 ∨ x = −6
2 3
x = 14 ∨ x = −9
1 2
{ ; − 9}
L = 14
5 2
x1 = 3 ∨ x2
= − = −2
3 3
⎧ 2 ⎫
L = ⎨3 ; − 2 ⎬
⎩ 3 ⎭
Die quadratische Ergänzung
Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden quadratischen Gleichungen:
2
1.) (x − 3) = 16 / 2.) x + 8x + 16 = 49 ⇒ binomische Formel
( )
2
x − 3 = 16 (x + 4) = 49 /
x − 3 = 4 ∨ x − 3 = − 4 x + 4 = 7 ∨ x + 4 = −7
x = 7 ∨ x = − 1 x = 3 ∨ x = −11
1 2 1
{ } = { − }
L = 7 ; −1 L 3 ; 11
2
2
2
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2 2
3.) x + 8x = 9 4.) 3x − 3x − 60 = 0 / : 3
2 2
x + 8x + 16 = 9 + 16 / quadratische Ergänzung
x − x − 20 = 0 / + 20
2 2
(x + 4) = 25 x − x = 20 / q.E.
2 1 1
x + 4 = 5 ∨ x + 4 = −5 x − x + = 20 +
4 4
⎛ 1 ⎞ 1
x1 = 1∨
x2
= −9
⎜ x − 20
2
⎟ =
⎝ ⎠ 4
1 9 1 9
L = { 1; −9}
x − = ∨ x − = −
2 2 2 2
x = 5 ∨ x = −4
Proben zu Aufgabe 4.)
2 2
P1: 3x − 3x − 60 = 0 P2 : 3x − 3x − 60 = 0
2
2
( ) ( )
3 ⋅ 5 − 3 ⋅5 − 60 = 0 3 ⋅ −4 − 3 ⋅ −4 − 60 = 0
3 ⋅ 25 −15 − 60 = 0 3 ⋅ 16 + 12 − 60 = 0
75 −15 − 60 = 0 48 + 12 − 60 = 0
0 = 0 (w) 0 = 0 (w)
1
L =
2
2
{ 5 ; −4}
MERKE:
Die quadratische Ergänzung ist eine Möglichkeit, um eine gemischtquadratische Gleichung zu lösen. Dazu
versucht man, durch eine Ergänzung eine binomische Formel zu erzeugen.
Diese quadratische Ergänzung erhält man, in dem man den Wert vor dem x durch 2 dividiert und dann dieses
Ergebnis quadriert.
Dazu muss man zuerst die Gleichung in die Form
Weitere Beispiele:
Löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
2 2
2
2
2 2
1 2
{ − − }
2
x + ax = b mit a,b ∈ R bringen.
1.) x + 14x + 24 = 0 2.) 2x + 10 = −12x
x + 14x = −24
x + 14x + 49 = −24
+ 49
2
2
2x + 12x = −10
x + 6x = −5
(x + 7) = 25 x + 6x + 9 = −5
+ 9
x + 7 = 5 ∨ x + 7 = − 5 (x + 3) = 4
x = −2 ∨ x = −12
L = 2 ; 12
2
x + 3 = 2 ∨ x + 3 = −2
x = −1∨ x = −5
1 2
{ − }
L = −1; 5
2
2
2 2
3.) 9x −14x − 5 = 7x − 10x + 7
2
2x − 4x = 12
x
− 2x = 6
x − 2x + 1 = 6 + 1
2
(x − 1) = 7
x − 1 = 7 ∨ x − 1 = − 7
x = 7 + 1∨ x = − 7 + 1
1 2
{ + } L ≈ { 3,65 ; −1,6
5}
L = 7 + 1; − 7 1
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Proben zu Aufgabe 3.)
2 2
P1: 9x −14x − 5 = 7x − 10x + 7
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
9 ⋅ 7 + 1 −14 ⋅ 7 + 1 − 5 = 7 ⋅ 7 + 1 −10 ⋅ 7 + 1 + 7
9 ⋅ 7 + 2 7 + 1 −14 7 −14 − 5 = 7 ⋅ 7 + 2 7 + 1 −10 7 − 10 + 7
63 + 18 7 + 9 −14 7 − 19 = 49 + 14 7 + 7 −10 7 − 3
53 + 4 7 = 53 + 4 7 (w)
2 2
P2 : 9x −14x − 5 = 7x − 10x + 7
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( − + ) +
( ) 2
9 ⋅ − 7 + 1 −14 ⋅ − 7 + 1 − 5 = 7 ⋅ − 7 + 1 −10 ⋅ − 7 + 1 + 7
9 ⋅ 7 2 7 1 14 7 −14 − 5 = 7 ⋅ 7 − 2 7 + 1 + 10 7 − 10 + 7
63 − 18 7 + 9 + 14 7 − 19 = 49 − 14 7 + 7 + 10 7 − 3
53 − 4 7 = 53 − 4 7 ( w)
Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen
Entwicklung der Lösungsformel mit Hilfe des Beispiels:
2
2
3x + 18x + 24 = 0 / : 3
x + 6x + 8 = 0 → Normalform der gemischtquadratischen Gleichung
2
x + px + q = 0 / − q
2
x + px = −q / quadratische Ergänzung
2
2 2
2
2
2
2 ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞
x + px + ⎜ = − q / zurück zur binomischen Formel
2
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞
⎜ x + = − q / Wurzel ziehen
2
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
p ⎛ p ⎞
x + = q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
x1
= − + q oder x2
q
2
⎜ − = − −
2
⎟ −
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
x
2
p ⎛p
1
= − ±
⎟
−
2 2 2
⎞
⎜
⎝ ⎠
q
MERKE:
Die pq-Formel kann nur angewendet werden, wenn die Gleichung in die Normalform (x 2 ohne Vorzahl, rechte
Seite gleich Null) umgewandelt wurde!
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Diese pq-Formel angewendet auf ein Beispiel bedeutet:
2 2 2 26 16
x + 6x + 8 = 0 x − 9x + 20 = 0 x + x + = 0
9 9
26 16
p = 6 q = 8 p = − 9 q = 20 p = q =
9 9
2 2 2
p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
x1/ 2 = − ± q x1/ 2
q x1/
2
q
2
⎜
2
⎟ − = − ±
2
⎜ − = − ± −
2
⎟
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
1/ 2 = − ±
1/ 2
2 2
6 ⎛ 6 ⎞ 9 ⎛ 9 ⎞ 13 ⎛ 13 ⎞ 16
x1/ 2 = − ± 8 x1/ 2 20 x1/
2
2
⎜
2
⎟ − = ±
2
⎜ − = ± −
2
⎟
9
⎜
9
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9
x 3 3 − 8 x = 4,
5 ±
2
13 169 16
4,5 − 20 x1/ 2 = ± −
9 81 9
x1/ 2 = − 3 ± 9 − 8 x1/ 2 = 4,5 ± 20,25 − 20
13 169 144
x1/ 2 = ± −
9 81 81
x1/ 2 = − 3 ± 1 x1/ 2 = 4,5 ± 0,25
13 25
x1/ 2 = ±
9 81
x1 = − 3 + 1 = −2 x1 = 4,5 + 0,5 = 5
13 5 18
x1
= + = = 2
9 9 9
x2 = −3 − 1 = − 4 x2 = 4,5 − 0,5 = 4
13 5 8
x2
= − =
9 9 9
L = { −2 ; − 4} L = { 5 ; 4}
⎧ 8 ⎫
L = ⎨2 ; ⎬
⎩ 9 ⎭
Bestimme mit Hilfe der pq-Formel die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen:
2
1.) x − 11x + 24 = 0
2
2.) y + 7y − 8 = 0
2
3.) z − 20z + 96 = 0
2
2
p = − 11 q = 24
p = 7 q = −8
p = − 20 q = 96
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
x = 8 x = 3 L = 8 ;3
y = 1 y = − 8 L = 1; − 8
z = 12 z = 8 L = 12 ; 8
4.) x + 48x + 135 = 0 p = 48 q = 135 x = − 3 x = − 45 L = −3 ; − 45
5.) x + 107x − 108 = 0 p = 107 q = −108
x = 1 x = − 108 L = 1; −108
Bei längeren Aufgaben muss man durch Umformungsschritte die Gleichung erst in die Normalform bringen:
(x − 6)(x − 5) + (x − 7)(x − 4) = 10
2 2
x − 5x − 6x + 30 + x − 4x − 7x + 28 = 10
2
2
2x − 22x + 58 = 10
2
2x − 22x + 48 = 0
x − 11x + 24 = 0 ⇐ Normalform!!!
x
1/ 2
1/ 2
x = 8
x
1
2
p ⎛ p ⎞
= − ± q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
11 121 96
x1/ 2 = ± −
2 4 4
x = 5,5 ± 2, 5
= 3
L = 8
{ ; 3}
2
Seite 6 von 17

Die Diskriminante (D)
Betrachtet man sich die pq-Formel, so stellt man fest, dass die Anzahl der Lösungen (2 Lösungen, 1 Lösung,
keine Lösung) abhängig ist vom Formelteil
Diskriminante (Bestimmende).
Für diese Diskriminante D gilt:
2
⎛ p ⎞
⎜ − q
2
⎟ . Diesen Teilterm der pq-Formel bezeichnet man als die
⎝ ⎠
2 ⎧
2 2 ⎫
⎛ p ⎞ ⎪ p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞ ⎪
⇒ ist ⎜ q 0, dann besitzt die Gleichung 2 Lösungen : L q ; q
2
⎟ − >
= ⎨− + − − − − ⎬
2
⎜
2
⎟
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎩
⎪
⎭
2
⎛ p ⎞ ⎧ p ⎫
⇒ ist ⎜ − q = 0, dann besitzt die Gleichung 1Lösung : L = ⎨−
⎬
2
⎟
⎝ ⎠ ⎩ 2 ⎭
2
⎛ p ⎞
⇒ ist ⎜ − q 0, dann besitzt die Gleichung
keine
2
⎟
Lösungen : L =
⎝ ⎠
< { }
Beispiele:
Wie viele Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen jeweils:
2 2 2
x − 36x − 2 = 0 x + 16x + 100 = 0 x − 20x + 100 = 0
2 2 2
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞
D = ⎜ q D q D q
2
⎟ − = ⎜ − = −
2
⎟ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2 2 2
⎛ 36 ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 20 ⎞
D = ⎜ 2 D 100 D 100
2
⎟ + = ⎜ − = −
2
⎟
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2
D = 18 + 2 D = 8 − 100 D = 10 −100
D = 326 D = − 36
D = 0
D > 0 D < 0
D = 0
2 Lösungen!
Keine Lösung!
1Lösung!
Aufgabe:
Der Satz von Vieta
Notiere 5 Normalformen von gemischtquadratischen Gleichungen, notiere jeweils p und q sowie die beiden
Lösungen x 1 und x 2 der Gleichung.
Gibt es irgendwelche Zusammenhänge?
Beispiel:
x ⋅ x = q
1 2
x + x = p ⋅( − 1)
1 2
2
x − 10x + 21 = 0
x ⋅ x = 7 ⋅ 3 = 21
1 2
q = 21
x + x = 7 + 3 = 10
1 2
p = 10 ⋅( −1)
⇔ p = −10
p = − 10 q = 21
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x = 7 x = 3
1 2

Beweise:
x + x = −p
1
2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
− + − q ⎟ + ⎜ − − − q ⎟ = −p
⎜ 2
⎜
2
⎟ ⎟ ⎜ 2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
− + q q p
2
⎜
2
⎟ − + − − − = −
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
p
p
− + −
2
2
= −p
− p
= −p
2
x i
x =
q
1
2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
− + q ⎟ ⎜ q ⎟
q
2
⎜
2
⎟ − i − − − =
⎜ 2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( a + b ) i ( a − b )
2 ⎛ 2 ⎞
⎛ p ⎞ ⎜ ⎛ p ⎞
q ⎟
⎜ − − − =
2
⎟ ⎜ ⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠
2
p
⎛ p ⎞
− q
4
⎜ + =
2
⎟
⎝ ⎠
p
4
2 2
2
p
− + q
=
4
2
q
q
q
q
=
q
Anwendungen:
Gib zu der jeweils vorgegebenen Lösungsmenge eine gemischtquadratische Gleichung in der Normalform
an:
{ }
1.) L = 6 ; − 4 ⇒ x = 6 x = −4
1 2
q = x ⋅ x − p = x + x
1 2 1 2
q = 6 ⋅( −4) − p = 6 + ( −4)
q = −24
−p = 2
p = −2
{ }
1
2
x − 2x − 24 = 0
2.) L = −7 ; − 5 ⇒ x = − 7 x = −5
q = x ⋅ x − p = x + x
1 2 1 2
q = ( −7) ⋅( −5) −p = ( −7) + ( −5)
q = 35 − p = −12
p = 12
2
2
x + 12x + 35 = 0
Seite 8 von 17

Quadratische Gleichungen (I)
1.) Löse möglichst mit dem einfachsten Verfahren (Ausklammern, Produkt = 0, reinquadratischer Lösungsweg,
gemischtquadratischer Lösungsweg) die folgenden quadratischen Gleichungen:
2 1 1 2
a.) 3y = b.) v − 28 = 8 c.) 2x(x − 1) = 0
3 4
2 2 1 2 2 2
d.) 4x − (2 − x ) = x e.) 4x = 8x f.) x + 6x + 6 = 1
2
2 2 2
g.) z −13z − 48 = 0 h.) 5 − 3x = − 22 i.) 5x = 6 − 4x
2 2
j.) (2x − 1)x = 0 k.) (t + 5) = 10t + 146 l.) − 0,6x = 6x
2 2
m.) (x + 2)(x − 2) = 12 n.) v + 1,2v = 0,45 o.) (3y + 2) −12y − 29 = 0
2.) Vereinfache die folgenden quadratischen Gleichungen und löse mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
2 2 2 2
a.) 12x + 2x = 9x + 9x − 2 b.) 11y − 7y = 8y + 4y + 20
2 2
c.) 10z − 120 + 6z = 98z − 3z − 24 d.) 5x − 3 − 2x(3x − 4) = 4
e.) 3(5 − 2y) = y(12y − 2) + 10 f.) x(3x − 7) = (x + 2) + x − 4
2
3.) Bestimme jeweils die Variablen p und q und löse dann mit Hilfe der Lösungsformel:
x
2
p ⎛p
1
= − ±
⎟
−
2 2 2
⎞
⎜
⎝ ⎠
q
2
2
a.) x + 8x − 9 = 0 p = q =
2
b.) y − y − 20 = 0 p = q =
2
c.) z −13z − 48 = 0 p = q =
2
d.) x + 3x + 2 = 0 p = q =
2
e.) x + 2x − 8 = 0 p = q =
f.) t − 4t + 3 = 0 p = q =
2
x + px + q = 0 und benutze dann dieLö-
4.) Bringe die folgenden Gleichungen zunächst in die Normalform
sungsformel:
a.) (x + 1)(2x + 3) = 4x − 22
2
b.) (2x − 3) = (x −1)(x − 4) + 9x
2
2 2
c.) (3x − 4) − (4x − 3) + (5x − 2)(5x + 2) = 18(x + 2) + 3
d.) (2y + 6)(17,5 − 2,5y) − (10 + 5y)(2y − 3) = (7y + 20)(4 −1,4y)
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Quadratische Gleichungen (I) (Lösungen)
zu 1.)
2 1 1 2
a.) 3y = b.) v − 28 = 8
3 4
c.) 2x(x − 1) = 0
2 1 1 2
y = v = 36
9 4
2x = 0 ∨ x − 1 = 0
1
2
y1
= v = 144
3
x = 0 ∨ x = 1
1
y2 = −
3
v1
= 12 L = { 0 ;1}
⎧ 1 1⎫
L = ⎨ ; − ⎬
⎩3 3 ⎭
v2
= −12
( )
{ − 2}
L = 12 ; 1
2 2 1 2 2 2
d.) 4x − 2 − x = x e.) 4x = 8x f.) x + 6x + 6 = 1
2
2 2 1 2 2 2
4x − 2 + x = x 4x − 8x = 0 x + 6x = −5
2
2 1 2
2
5x − 2 = x
4x ⋅( x − 2) = 0 x + 6x + 9 = − 5 + 9
2
2
4,5x = 2 4x = 0 ∨ x − 2 = 0 (x + 3) = 4
2 4
x =
9
x = 0 ∨ x = 2
x + 3 = 2 ∨ x + 3 = −2
2
x1
= = 0,6
3
2
x2
= − = −0,
6
3
L = { 0 ; 2}
x = −1∨ x = −5
L = { −1; − 5}
⎧2 2 ⎫
L = ⎨ ; − ⎬
⎩3
3 ⎭
2 2 2
g.) z −13z − 48 = 0 h.) 5 − 3x = − 22 i.) 5x = 6 − 4x
2 2 2
z − 13z = 48 − 3x = − 27 4x + 5x = 6
2 2 2
z − 13z + 42,25 = 48 + 42,25 x = 9 x + 1,25x = 1,5
1
2 2
x1
= 3
(z − 6,5) = 90,25 x + 1,25x + 0,390625 = 1,5 + 0,390625
2
2
2
( + )
z − 6,5 = 9,5 ∨ z − 6,5 = − 9,5 x = −3
x 0,625 = 1,89062 5
z = 16 ∨ z = −3
{ }
L = 16 ; −16
{ }
L = 3 ; − 3
2
x + 0,625 = 1,375 ∨ x + 0,625 = −1,37
5
x = 0,75 ∨ x = −2
1 2
{ 75 ; − 2}
L = 0,
Seite 10 von 17

1 2
{ }
2 2
j.) (2x −1) ⋅ x = 0 k.) (t + 5) = 10t + 146 l.) − 0,6x = 6x
2 2
2x − 1 = 0 ∨ x = 0 t + 10t + 25 = 10t + 146 −0,6x − 6x = 0
2 2
2x = 1∨ x = 0 t + 25 = 146 0,6x + 6x = 0
x = 0,5 ∨ x = 0
L = 0,5 ; 0
1
2
t = 11
1
2
{ }
( )
t = 121 0,6x ⋅ x + 10 = 0
t = −11
L = 11; −11
0,6x = 0 ∨ x + 10 = 0
x = 0 ∨ x = −10
x = 0 ∨ x = −10
1 2
{ }
L = 0 ; −10
2 2
m.) (x + 2) ⋅(x − 2) = 12 n.) v + 1,2v = 0,45 o.) (3y + 2) −12y − 29 = 0
2 2 2
x − 4 = 12 v + 1,2v + 0,36 = 0,45 + 0,36 9y + 12y + 4 −12y − 29 = 0
2 2
2
x = 16 (v + 0,6) = 0,81 9y − 25 = 0
x = 4
v + 0,6 = 0,81∨ v + 0,6 = −0,81 9y
2
= 25
x2
= −4 v1
= 0,21∨ v = −1,4
1
2 25
y =
9
L = { 4 ; − 4} L = { 0,21; −1,4
1}
5 2
y1
= = 1
3 3
5 2
y2
= − = −1
3 3
⎧ 2 2 ⎫
L = ⎨1 ; −1
⎬
⎩ 3 3 ⎭
zu 2.)
2 2 2 2 2 2
a.) 12x + 2x = 9x + 9x − 2 b.) 11y − 7y = 8y + 4y + 20 c.) 10z − 120 + 6z = 98z − 3z − 24
2 2 2
3x − 7x = −2 3y − 11y = 20 13z − 92z = 96
2 7 2 2 11 20 2 92 96
x − x = − y − y = z − z =
3 3 3 3 13 13
2 7 49 2 49 2 11 121 20 121 2 92 2116 96 2116
x − x + = − + y − y + = + z − z + = +
3 36 3 36 3 36 3 36 13 169 13 169
2 2 2
⎛ 7 ⎞ 25 ⎛ 11⎞ 361 ⎛ 46 ⎞ 3364
⎜ x − y z
6
⎟ =
36
⎜ −
6
⎟ =
36
⎜ −
13
⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 169
7 5 7 5 11 19 11 19 46 58 46 58
x − = ∨ x − = − y − = ∨ y − = −
z − = ∨ z − = −
6 6 6 6 6 6 6 6 13 13 13 13
1
1 12
x1 = 2 ∨ x2 = y1 = 5 ∨ y2 = − 1
z1 = 8 ∨ z2
= −
3 3 13
⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ ⎧ 12 ⎫
L = ⎨2 ; ⎬ L = ⎨5 ; − 1 ⎬
L = ⎨8 ; − ⎬
⎩ 3 ⎭ ⎩ 3 ⎭ ⎩ 13 ⎭
Seite 11 von 17

d.) 5x − 3 − 2x(3x − 4) = 4 e.) 3(5 − 2y) = y(12y − 2) + 10 c.) x(3x − 7) = (x + 2) + x − 4
2 2 2
− 6x + 13x = 7 12y + 4y = 5 2x − 12x = 0
2 13 7 2 1 5
2
x − x = − y − y = x − 6x = 0
6 6 3 12
2 13 169 7 169 2 1 1 5 1
2
x − x + = − + y − y + = + x − 6x + 36 = 0 + 36
6 144 6 144 3 36 12 36
2
2
⎛ 13 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 16
2
⎜ x − = y −
12
⎟
144
⎜
( )
⎝ ⎠ ⎝ 6
⎟ = x − 6 = 36
⎠ 36
13 1 13 1 1 4 1 4
x − = ∨ x − = − y − = ∨ y − = −
12 12 12 12 6 6 6 6
x − 6 = 6 ∨ x − 6 = −6
1 5 1
x1 = 1 ∨ x2
= − 1 y1 = ∨ y2
= −
6
6 2
x1 = 12 ∨ x2
= 0
⎧ 1⎫ ⎧5 1⎫
L = ⎨− 1;1 ⎬ L = ⎨ ; − ⎬
⎩ 6 ⎭ ⎩6
2⎭
L = { 12 ;0}
2
zu 3.)
2
2
2
2
2
2
=
p = 8 q = −9 x1 1 x2
9 L { 1; 9}
p = − 1 q = − 20 y1 = 5 y2
= − 4
p = − 13 q = − 48 z1 = 16 z2
= − 3
p = 3 q = 2 x1 = − 1 x2
= − 2
p = 2 q = − 8 x1 = 2 x2
= − 4
L = { 5 ; − 4}
L = { 16 ; − 3}
L = { −1; − 2}
L = { 2 ; − 4}
+ 3 =
p = −4
q =
= 3 t = 1 L = { 3 ;1}
a.) x + 8x − 9 0
= = − = −
b.) y − y − 20 = 0
c.) z −13z − 48 = 0
d.) x + 3x + 2 = 0
e.) x + 2x − 8 = 0
f.) t
− 4t 0 3 t
1 2
zu 4.)
2 2
a.) (x + 1)(2x + 3) = 4x − 22 b.) (2x − 3) = (x −1)(x − 4) + 9x
2 2 2 2
2x + 3x + 2x + 3 = 4x − 22 4x − 12x + 9 = x − 4x − x + 4 + 9x
2 2
− 2x + 5x + 25 = 0 3x − 16x + 5 = 0
2
2 16 5
x − 2, 5x − 12,5 = 0 x − x + = 0
3 3
2 2
p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
x1/ 2 = − ± q x1/ 2
q
2
⎜
2
⎟ − = − ± −
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
;
x1/ 2 = 1,25 ± 1,5625 + 12, 5
8 64 5
x1/
2 = ± −
3 9 3
L 4,95 ; 2,5 L
⎧
5
1⎫
3
x1/ 2 = 1,25 ± 3,
75
8 7
x1/ 2 = ±
3 3
x1
= 4,95
x1
= 5
x2 = −2,5 1
x2
=
3
{ }
= − = ⎨
⎩
⎬
⎭
Seite 12 von 17

2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
2 2
c.) (3x − 4) − (4x − 3) + (5x − 2)(5x + 2) = 18(x + 2) + 3
2 2 2
9x − 24x + 16 − (16x − 24x + 9) + 25x − 4 = 18x + 36 + 3
2 2 2
9x − 24x + 16 − 16x + 24x − 9 + 25x − 4 = 18x + 39
2
18x + 3 = 18x + 39
2
18x −18x − 36 = 0
x − x − 2 = 0
x
p ⎛ p ⎞
= − ± q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
x = 0,5 ± 0, 25 + 2
x = 0,5 ± 1,5
x = 2
x = −1
2
{ ; − }
L = 2 1
2
d.) (2y + 6)(17,5 − 2,5y) − (10 + 5y)(2y − 3) = (7y + 20)(4 −1,4y)
2
2 2 2
35y − 5y + 105 −15y − (20y − 30 + 10y − 15y) = 28y − 9,8y + 80 − 28
2 2
35y − 5y + 105 −15y − 20y + 30 − 10y + 15y = − 9,8y + 80
− 5,2y + 15y + 55 = 0
1 2
− 5 y + 15y + 55 = 0
5
26 y
2 15y 55 0
− + + =
5
2 75 275
y − y − = 0
26 26
x
1/ 2
1
p ⎛ p ⎞
= − ± q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
75 5625 275
x1/ 2 = − ± +
52 2704 26
75 185
x1/
2 = − ±
52 52
x = −5
3
x2
= 2
26
⎧ 3 ⎫
L = ⎨−5 ; − 2 ⎬
⎩ 26
⎭
2
2
Seite 13 von 17

Anwenden von quadratischen Gleichungen
Aufgaben:
1.) Multipliziert man zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen miteinander, so erhält man 2756.
Wie heißen die beiden natürlichen Zahlen?
2.) In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge 45 cm ist eine Kathete 9 cm länger als die
andere.
Wie lang sind die beiden Katheten? (Skizze anfertigen!)
zu 1.)
x ⋅ (x + 1) = 2756
2
x + x = 2756
x
2
x + x − 2756 = 0
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
2
p ⎛ p ⎞
= − ± q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
x = − 0,5 ± 0,25 + 2756
x
x = 52
(x
L = 2
= −0,5 ± 52, 5
= −53)
{ ; −1}
2
Die beiden Zahlen heißen 52 und 53.
zu 2.)
2 2 2
x + (x + 9) = 45
2 2
x + x + 18x + 81 = 2025
2
2
2x + 18x + 81 = 2025
2
2x + 18x − 1944 = 0
x + 9x − 972 = 0
x
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
2
{ −1}
L = 2 ;
p ⎛ p ⎞
= − ± q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
x = − 4,5 ± 20,25 + 972
x = −4,5 ± 31,5
x = 27
(x = −36)
2
Die beiden Katheten sind 27 cm und 36 cm lang.
Seite 14 von 17

Anwendung quadratischer Gleichungen
Zahlenrätsel:
1.) Die Summe aus einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl beträgt 650. Wie heißt die Zahl?
2.) Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist 240. Wie heißen die ganzen Zahlen? Gib
alle Möglichkeiten an.
3.) Verringert man eine natürliche Zahl um 5 und multipliziert das Ergebnis mit der um 2 vergrößerten Zahl,
so erhält man 408. Wie heißt diese natürliche Zahl?
4.) Die Summe der Quadrate zweier ganzer Zahlen, von denen eine um 12 größer ist als die andere, beträgt
794.
5.) Das Produkt zweier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist um 55 größer als deren Summe. Wie heißen
diese ganzen Zahlen? Gib alle Möglichkeiten an.
6.) Von zwei natürlichen Zahlen liegt die eine ebenso weit über 100 wie die andere darunter. Das Produkt
beider Zahlen beträgt 9831.
7.) Die Summe zweier natürlichen Zahlen beträgt 43, ihr Produkt 372. Wie heißen die beiden natürlichen
Zahlen?
Lösungen:
L =
L =
{ 13 ; − 25} L = { 20 ; − 28} L = { 31; 12} L = { 25 ; − 26} L = { 22 ; − 19} L = { 13 ; − 13}
{ 16 ; − 15} L = { 8 ; − 7}
Geometrische Aufgaben:
1.) Ein Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 36 cm 2 . Die Grundseite ist um 1 cm länger als die zugehörige
Höhe. Wie lang sind die Höhe und die Grundseite?
2.) Eine Seite eines Rechtecks ist um 6 cm länger als die andere. Das Rechteck besitzt einen Flächeninhalt
von 1216 cm 2 . Wie lang sind die Rechteckseiten?
3.) Bei einem Trapez, dessen eine Grundseite genau so lang ist wie die Höhe und dessen andere Grundseite
15 cm lang ist, beträgt der Flächeninhalt 77 cm 2 . Wie lang sind die Grundseite und die Höhe?
4.) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 134 cm, der Flächeninhalt 1050 cm 2 . Wie lang sind die Rechteckseiten?
5.) Verlängert man die Seite eines Quadrats um 3 m und verkürzt die andere Seite um 1 m, so entsteht ein
Rechteck mit einem Flächeninhalt von 21 m 2 . Welche Seitenlänge besitzt das Quadrat?
6.) In ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm soll ein gleichseitiges Dreieck gezeichnet werden, so dass alle
Ecken auf den Quadratseiten liegen. Eine Ecke des Dreiecks soll dabei mit einer Ecke des Quadrats i-
dentisch sein. Wie lang ist die Dreieckseite? Wie lang ist die Höhe dieses Dreiecks? Welchen Flächeninhalt
besitzt dieses Dreieck? Welchen Umfang besitzt dieses Dreieck? Wie hoch ist der Prozentsatz für
die Fläche des Dreiecks in Bezug zur Fläche des Quadrats?
7.) Ein rechteckiger Garten ist 25 m lang und 15 m breit. Um ihn herum führt ein Weg mit gleich bleibender
Breite. Dieser Weg beansprucht eine Fläche von 84 m 2 . Wie breit ist dieser Weg?
Lösungen:
L = { 42 ; 25} L = { 9 ; − 8} L = { 1; − 21} L = { − 38 ; 32} L = { 1,3 ;18,7} L = { 7 ; − 22} L = { 4 ; − 6}
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Anwendung quadratischer Gleichungen (Lösungen)
Zahlenrätsel:
zu 1.) zu 2.) zu 3.)
2
x + x = 650 x ⋅(x − 1) = 240 (x − 5) ⋅ (x + 2) = 408
2 2
x + x − 650 = 0 x − x − 240 = 0 x − 3x − 418
= 0
2 2 2
p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
x1/ 2 = − ± q x1/ 2 q x1/ 2
q
2
⎜
2
⎟ − = − ±
2
⎜ − = − ± −
2
⎟
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x = − 0,5 ± 0,25 + 650 x = 0,5 ± 0,25 + 240 x = 1,5 ± 2,25 + 418
1/ 2 1/ 2 1/ 2
x = −0,5 ± 25,5 x = 0, 5 ± 15,5 x = 1,5 ± 20,
5
1/ 2 1/ 2
x = 25 x = 16 x = 22
(x
1 1 1
= − 26) (x = − 15) (x = −19)
2 2 2
2
1/ 2
zu 4.) zu 5.) zu 6.)
2
2
x + (x + 12) = 794 x ⋅ (x + 1) − 55 = x + (x + 1) (100 + x) ⋅(100
− x) = 9831
2 2 2
x + 12x − 325 = 0 x − x − 56 = 0 10000 − x = 9831
2 2
p ⎛ p ⎞ p ⎛ p ⎞
2
x1/ 2 = − ± q x1/ 2
q x 169
2
⎜
2
⎟ − = − ± − =
2
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x = − 6 ± 36 + 325 x = 0,5 ± 0,25 + 56
1/ 2 1/ 2
x = −6 ± 19
x = 0, 5 ± 7, 5 (x = −13)
x
1/ 2
1/ 2
1 = 1 =
13 x 8
(x = − 25) (x = −7)
2 2
x
1
= 13
2
zu 7.)
1.) x + y = 43 ⇒ x = 43 − y
2.) x ⋅ y = 372
(43 − y) ⋅ y = 372
2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1
2
2
43y − y = 372
y − 43y + 372 = 0
x
p ⎛ p ⎞
= − ± q
2
⎜ −
2
⎟
⎝ ⎠
x = 21,5 ± 462,25 − 372
x = 21,
5 ± 9,5
x = 31
x = 12
2
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