methodische und technische Grundlagen Vorlesung / 266.772 ...

GIS 

methodische und technische Grundlagen 

Vorlesung / 266.772 

Arbeitsunterlagen 

Einheit 5 – Analyse 

FB Stadt- und Regionalforschung 

Robert Kalasek, Sebastian Reinberg

GIS – methodische und technische Grundlagen / VO Arbeitsunterlagen / 2010 Einheit 5 

Everything happens somewhere 

first law of geography: „everything is related to everything else, 

but near things are more related than distant things.“ 

[Tobler, 1970] 

Inst. f. Stadt- und Regionalforschung Seite 2 / 52 

Kalasek, Reinberg / 27.04.10


INHALT 

EINHEIT 5A - ANALYSEKONZEPTE 6 

5.1 Layermodell 7 

5.2 MapAlgebra 8 

5.2.2 MapAlgebra - Lokale Operatoren 9 

5.2.3 MapAlgebra - Fokale Operatoren 10 

5.2.4 MapAplgebra - Zonale Operatoren 13 

5.2.5 MapAlgebra globale Operatoren 13 

5.3 RasterOverlay 14 

5.3.1 Eigenschaften - RasterOverlay 14 

5.3.2 Probleme beim RasterOverlay 14 

5.3.3 Wesentliche Begriffe - RasterOverlay 14 

5.3.4 Quadtree Overlay 15 

5.4 VektorOverlay 15 

5.4.1 Eigenschaften - VektorOverlay 15 

5.4.2 Grundprizipien 16 

5.4.3 Operationen der Vektorverschneidung 18 

5.4.4 Boundary Operations 24 

EINHEIT 5B – ANALYSE-SCHWERPUNKTTHEMEN 26 

5.1 Interpolation 26 

5.1.1 Ziel der Interpolation: 26 

5.1.2 Interpolation - diskrete Konzepte 26 

5.1.3 Interpolation kontinuierlicher Phänomene 29 

5.2 Analyse digitaler Höhenmodelle 39 

5.2.1 Digitale Höhenmodelle (DHM) – Einführung 39 

5.2.2 Geomorphometrische DHM-Analysen 41 

5.2.3 Anwendungsbereiche digitaler Höhenmodelle 45 

5.3 Distanz 45 

5.3.1 Distanzkonzepte 45 

5.3.2 Distanz und Ausbreitung 46 

5.4 Unsicherheit und Unschärfe 52 




ABBILDUNGEN 

Abb. 1: GIS – Projekt / Ablauf.............................................................................................................. 6 

Abb. 2: GIS – Layer / Overlay / Analyse .............................................................................................. 7 

Abb. 3: Lokale Funktionen – räumliche Koinzidenz ??? ...................................................................... 9 

Abb. 4: Fokale Operatoren - Nachbarschaftsdefinition ...................................................................... 11 

Abb. 5: Fokale Operatoren – gleitendes Fenster / Block.................................................................... 11 

Abb. 6: Häufig verwendete fokale Operatoren ................................................................................... 12 

Abb. 7: Filteroperationen – Reduce Noise, Emboss ;-) ...................................................................... 12 

Abb. 8: Zonale Funktionen ................................................................................................................ 13 

Abb. 9: Raster Overlay - Inkongruenz ............................................................................................... 14 

Abb. 10: Quadtree-Verschneidung .................................................................................................... 15 

Abb. 11: Overlay aus mengentheoretischer Sicht .............................................................................. 16 

Abb. 12: Boolsche Operatoren – Venn-Diagramm ............................................................................. 16 

Abb. 13: Räumliche Beziehungen von Objektpaaren im 4-Intersections Modell ................................ 17 

Abb. 14: Point-in-Polygon Test .......................................................................................................... 19 

Abb. 15: Overlay – Point-Polygon ..................................................................................................... 19 

Abb. 16: Error zones (width epsilon) and ambiguities for point-in-polygon searches ......................... 20 

Abb. 17: Overlay – Polygon-Polygon ................................................................................................. 21 

Abb. 18: Overlay Procedure .............................................................................................................. 21 

Abb. 19: Sliver Polygone ................................................................................................................... 22 

Abb. 20: Auflösung von Sliver Polygonen im Postprocessing ............................................................ 22 

Abb. 21: Overlay – Line-Polygon ....................................................................................................... 23 

Abb. 22: Feature Manipulation - Clip ................................................................................................. 24 

Abb. 23: Feature Manipulation - Erase .............................................................................................. 25 

Abb. 24: Feature Manipulation - Update ............................................................................................ 25 

Abb. 25: Feature Manipulation - Split ................................................................................................ 25 

Abb. 26: Feature Manipulation - Join ................................................................................................. 25 

Abb. 27: Ozon in Österreich / 29.07.1992.......................................................................................... 26 

Abb. 28: Bodenkarte ......................................................................................................................... 27 

Abb. 29: Thiessen-Polygone und Delaunay-Triangulation - Aufbau ................................................... 28 

Abb. 30: Delaunay-Triangulation und Thiessen-Polygone ................................................................. 29 

Abb. 31: Datenstruktur – TIN ............................................................................................................. 29 

Abb. 32: Temperaturkarte Europa; Bodentemperatur vom 05.10.99, 15 Uhr UTC ............................. 30 

Abb. 33: Polynom 2. Grades in Gitternetz- und Isoliniendarstellung .................................................. 31 

Abb. 34: Serveral possibilities for interpolation .................................................................................. 32 

Abb. 35: Interpolation: Inverse Distanzgewichtung ............................................................................ 32 

Abb. 36: The Local Nature of Splines ................................................................................................ 33 

Abb. 37: Spline Overshoot ................................................................................................................ 34 

Abb. 38: Räumliche Variabilität ......................................................................................................... 35 

Abb. 39: Kriging – Distanzmatrix und Wertedifferenzen-Matrix .......................................................... 36 

Abb. 40: An example of a simple transitional variogramm with range, nugget, and sill ...................... 36 

Abb. 41: Commonly used variogramm models .................................................................................. 37 

Abb. 42: Schätzung von z j mittels „ordenary kriging“ ......................................................................... 37 

Abb. 43: Kriging – Anwendungsbeispiel ............................................................................................ 39 

Abb. 44: Möglichkeiten des Aufbaues digitaler Geländemodelle aus verschiedenen 

geometrischen Elementen ................................................................................................. 40 

Abb. 45: Digitales Höhenmodell – Salzburg / Hallein ......................................................................... 40 

Abb. 46: 3D-Ansicht eines digitalen Höhenmodells – Salzburg / Hallein ............................................ 40 




Abb. 47: Geomorphometrische DHM Analyse: Hangneigung ............................................................ 41 

Abb. 48: Geomorphometrische DHM Analyse: Exposition ................................................................. 42 

Abb. 49: computing slopes using zevenberen and thorne’s method .................................................. 42 

Abb. 50: Geomorphometrische Analysen: Oberflächenform .............................................................. 43 

Abb. 51: Spezielle geomorphometrische Analysen: Hangneigung mit und ohne Hillshade ................ 43 

Abb. 52: Spezielle geomorphometrische Analysen: Viewshed / Sichtbarkeit ..................................... 44 

Abb. 53: DTM application domains and their functional requirements relative to digital terrain 

modeling ............................................................................................................................ 45 

Abb. 54: Metrik - Konzepte der Distanzmessung ............................................................................... 46 

Abb. 55: Bildung von Distanzbuffern für die geometrischen Basiselemente ...................................... 47 

Abb. 56: Distanzbuffer – Attributgesteuerte Berechnung ................................................................... 47 

Abb. 57: Ungewichtete und gewichtete Distanz - Prinzip ................................................................... 48 

Abb. 58: Ungewichtete und gewichtete Distanz zu Straßen (Gewicht = Hangneigung) ..................... 48 

Abb. 59: Euklidische Distanz ............................................................................................................. 49 

Abb. 60: Kumulierte Distanzen – Gewicht / optimaler Pfad / effektive Distanz ................................... 50 

Abb. 61: Gewichtete kumulierte Distanzen – Gewicht / optimaler Pfad / effektive Distanz ................. 50 

Abb. 62: Least Cost Path – Beispiel .................................................................................................. 51 

Vorbemerkungen zu den Arbeitsunterlagen: 

- die Unterlagen enthalten grundsätzliche Informationen zum Thema und sind 

gleichzeitig Leitfaden für die Vorlesung - sie sollen allen VorlesungsbesucherInnen als 

Arbeitspapier dienen und allen übrigen als Lernhilfe 

- auf die Arbeitsunterlagen WS 99/00 kann über die Instituts-Homepage zugegriffen 

werden (Dateiformat: Acrobat Reader - *.pdf), außerdem sind sie als Papierversion im 

Sekretariat spätestens ab Do. vor der Vorlesung erhältlich 

- die Unterlagen können für den Studiengebrauch vervielfältigt werden 

- bei Verwendung für andere Zwecke bitte „sauber zitieren“ 

- die Abbildungen sind Pixelgrafiken (d.h. gerastert) und daher teilweise etwas 

„unscharf“. Da in Zukunft die Arbeitsunterlagen über WWW zugänglich sein sollen, 

konnte kein anderes Format gewählt werden - Sorry (!) 

© Dipl.-Ing. Robert Kalasek 

1999, 2001, 2004, 2010 




Einheit 5a - Analysekonzepte 

Abb. 1: GIS – Projekt / Ablauf 

Quelle: [ESRI-G, 1999] 

Analyse: Erzeugen neuer Information aus bereits vorhandener Information 

– Ziel ist die zweckorientierte Informationsgewinnung 

Die Analyse von Attributdaten ohne Einbeziehung der räumlichen Komponente beruht auf 

vertrauten Konzepten. 

- Selektion / Anzeige von Objekten (Datensätzen bzw. Datensatzgruppen) über 

Abfragen (vgl. SQL, [Bröthaler, 1997]) 

- Berechnung statistischer Kennzahlen (vgl. Mathematik und Statistik VO) und dgl. 

Einheit 5 behandelt die Analyse räumlicher Phänomene unter Berücksichtigung geometrischer 

Eigenschaften und Nachbarschaftsbeziehungen. Als ein tragfähiger und in der 

Literatur weit verbreiteter Ansatz zur Strukturierung der Analysefunktionen hat sich die 

Differenzierung nach der Zahl der beteiligten thematischen Ebenen erwiesen: 

- uni-thematische Techniken → horizontale Operatoren, d.h. nur eine Ebene 

- multi-thematische Techniken → vertikale Operatoren, d.h. Einbeziehung mehrerer 

Ebenen 




5.1 Layermodell 

- Abb. 2: GIS – Layer / Overlay / Analyse 

Quelle: [ESRI-G, 1999] 

Layer = thematische Schicht = Thema 

jeder Layer ist eine Sammlung thematisch zusammengehörender Geoobjekte - z.B. 

Flächennutzungen, Leitungsinfrastruktur, Biotope 

allen Layern eines Projektes gemeinsam ist der Raumbezug (üblicherweise 

Koordinaten) 

Ursprung des Layer-Konzeptes 

Transparente Themenfolien - lange vor EDV-gestützter Geodatenverarbeitung 

hauptsächlich zur Ableitung qualitativer Aussagen z.B. multikriterielle Abgrenzung 

homogener Raumeinheiten 

Quantifizierung aufwendig z.B. Flächenberechnung mittels Planimeter 

Layer im GIS 

simultane Betrachtung mehrerer Themenebenen möglich 

Quantitative Auswertungen, z.B. Flächenberechnungen aufgrund der 

Leistungsfähigkeit der EDV sehr einfach ⇒ GIS ist das Werkzeug für quantitative 

Bewertungsansätze raumbezogener Informationen 

Verschneidung – d.h. die gemeinsame Analyse von mehreren übereinander 

liegenden Layern ist ein zentrales Merkmal von geographischen Informationssystemen 

Multiple Layer Operations - vertikale Operatoren 

"Overlay analysis manipulates spatial date organized in different layers to create 

combined spatial features according to logical conditions specified in Boolean algebra" 

[Chou, 1996] 

Multithematische Analyse im GIS durch Verschneidung (engl. Overlay) 

Verschneidung ist das lagebezogene Zusammenführen mehrerer thematischer 

Schichten 

zwei oder mehre Input-Layer werden mittels Verknüpfungsvorschrift auf Output-Layer 

abgebildet (Output_Layer = f(Input_Layer A, Input_Layer B, ...) 

Verschneidungs-Operationen werden verwendet für: 

die topologisch-thematische Selektion von Geoobjekten und 

die Neubildung von Themenebenen mittels geometrischer Überlagerung von zwei 

oder mehr Layern wobei die Attribute beider Ebenen übernommen werden → neue 

Ebene mit gemeinsamer Geometrie, eigener Topologie und gemeinsamen Attributen 

(bzw. Teilmengen davon) 




multithematische Verschneidung ist der methodische Kern für einen Großteil 

der GIS Analysefunktionen 

Layer-Overlay (Raster vs. Vektor) 

aufgrund der klaren geometrischen Struktur ist Rasterverschneidung deutlich 

einfacher als Vektor-Overlay – es werden übereinander liegende Rasterzellen 

untersucht (!) 

die rechenintensive geometrische Verschneidung entfällt (weitgehend) 

mehrere thematische Ebenen können gleichzeitig verschnitten werden 

das Rasterdatenmodell eignet sich daher insbesondere für Analyse-, Modellierungsund 

Simulationsaufgaben 

Overlay – temporäre Output Layer 

Beim RasterOverlay ist die dauerhafte Speicherung von generierten Datenschichten 

aufgrund der hohen Verarbeitungsgeschwindigkeit nicht unbedingt erforderlich (insb. 

Quadtree). Wird das Ergebnis der Analyse nicht dauerhaft gespeichert, muß es für 

jeden Analysevorgang erneut erstellt werden – Analyse-Layer ist „temporäre“ Schicht 

(abhängig vom verwendeten System). 

Im geometrisch wesentlich komplexeren Vektormodell werden Analyseschichten 

üblicherweise permanent gespeichert ⇒ auch bei partiellen Veränderungen in einer 

Ausgangsdatenschicht muß die Verschneidung erneut durchgeführt werden 

(Aktualisierungs- und Datenkonsistenzproblem) 

MapAlgebra 

Algebra: Lehre von den Beziehungen zwischen mathematischen Größen und den 

Regeln, denen sie unterliegen [Duden „Fremdwörterbuch“, 1982] 

Map Algebra: formale Sprache zur Beschreibung der Modellierungs- und Analyseoperationen 

analog zur Mathematik mit den Elementen – Operand, Operator, Ergebnis. 

Operand: 

Operator: 

Ergebnis: 

Input-Layer / Datenschicht(-en) 

Verknüpfungsvorschrift 

Output-Layer / Datenschicht(-en) 

Beispiel: 

Berechnung der Baulandeigung aus der Summe der Einzeleignungen für die Themenbereiche 

Erschließung, Versorgungsqualiät und naturräumliche Eignungsfaktoren. 

Baulandeignung_Outtheme = FocalSum(Eign_Erschließung, Eign_Versorg, Eign_Naturraum) 

MapAlgebra – Entwicklung / Merkmale 

grundlegende Konzepte von [Tomlin, 1990] 

Ziel: Verwendung natürlichsprachlicher Ansätze für die Formulierung räumlicher 

Analyseoperationen 

Operanden → Substantive, Operationen → Verben (z.B. RENUMBER SERIES FOR 

LANDQUAL [vgl. Burrough, 1986]) 

Ausdrücke werden über eine Abfolge von Operanden und Operatoren gebildet 

Analysemodelle werden aus einer Abfolge von Ausdrücken gebildet 

MapAlgebra – Anwendung 




hauptsächlich im Bereich der Rasterdaten – aufgrund der einfachen Implementierung 

grundsätzliche Eignung auch für Vektordomäne – bisher kaum umgesetzt 

MapAlgebra – Operatortypen 

lokale OperatorenBetrachtung einer einzelnen Rasterzelle auf einer oder mehreren 

thematischen Ebenen 

z.B: LocalSum(Ingrid1, Ingrid2, ...) – Zellwert des OuptutRasters = Summe der 

Zellwerte der Inputrasterfokale OperatorenBetrachtung mehrerer Rasterzellen in 

der Umgebung einer Zelle (Focus). Berechnung eines neuen Wertes für die Zelle mit 

dem Focus in Abhängigkeit von den Ausprägungen der benachbarten Zellen und 

anschließend Verschieben des Focus (moving window) 

z.B. FocalMean(Ingrid1, Rectangle,3,3) → Zellwerte des OutputRasters = Mittelwerte 

der 8 Umgebungszellen zonale OperatorenOperationen an einem Werteraster in 

den durch einen Zonenraster definierten Gebietsabgrenzungen. 

z.B. ZonalMax(Zonegrid, Valuegrid) – Zellwerte des OutputRasters = Maximum der 

Zellwerte des InputRasters in der jeweiligen Zone 

globale OperatorenOperatoren deren Ergebnis von sämtlichen Zellen eines 

Rasters abhängen kann, z.B. bei Distanzberechnungen 

MapAlgebra - Lokale Operatoren 

Besonderheiten Lokaler Operatoren 

eigentlich a-räumliche Operatoren – keine Berücksichtigung der Umgebung ⇒ 

Implementierung auch ausschließlich über Tabellen möglich 

Lokale Operatoren meist als Multi Layer Operatoren verwendet z.B. multithematische 

Verschneidung – siehe Kapitel 5.1. 

- aber auch als Single Layer Operatoren möglich: z.B. arithmetische Operationen mit 

Bezug auf jeweils eine einzelne Zelle und lediglich eine Ebene → SQR(InTheme), 

LOG(InTheme), EXP(InTheme), ... (nicht aber InTheme x 2 → wird als Multiplikation 

des InTheme mit einem aus Zellen mit dem Wert 2 bestehenden Raster implementiert 

⇒ multithematische Operation!) 

Abb. 3: Lokale Funktionen – räumliche Koinzidenz ??? 

- Betrachtung von exakt übereinander liegenden Zellen verschiedener Themenebenen 

– räumliche Koinzidenz (entspricht in etwa der Vektorverschneidung) 

- Lagebeziehungen der Zellen werden nicht berücksichtigt 

- Berechnung von Output-Zellwerten unter Verwendung arithmetischer, statischer, 

bool’scher Operatoren und Vergleichsoperationen – (aus User-Sicht ein einziger 

Verfahrensabschnitt ↔ Vektordomäne) 

- anwendbar auf diskrete und kontinuierliche Phänomene (Achtung (!): Skalinniveaus) 




Anwendungen – Lokale Operatoren 

- multithematische Selektion / Abfrage über eine oder mehrere Datenschichten; z.B. 

zeige alle Bereiche in denen die Summe der Niederschläge größer ist 

als die Summe aus Verdunstung und Abfluß ist. 

- Selektion über eine oder mehrere Konstante: z.B. zeige alle Bereiche mit Hangneigung 

über 15% und Geländehöhe über 1000m – die Konstante werden für 

die Berechnung ebenfalls als Raster mit einheitlichem Wert betrachtet 

(!) ⇒ multithematischer Overlay 

- Berechnung neuer Datenschichten über die Verknüpfung von Input-Layern mittels 

konkreter Integrationsvorschriften 

Beispiele für lokale Operatoren 

LocalSum Summe aller Zellwerte je Position und Layer 

LocalMean Mittelwert aller Zellwerte je Position und Layer 

LocalDiff Differenz der Zellwerte je Position von 2 Themenebenen 

5.1.1 MapAlgebra - Fokale Operatoren 

fokale Operatoren – fokusieren innerhalb einer Nachbarschaft eine bestimmte (meist die 

zentrale) Zelle ⇒ sie werden daher auch Nachbarschaftsfunktionen genannt 

Eigenschaften / Merkmale Fokaler Operatoren 

- Betrachtung einer Zellumgebung 

- Berechnung von Output-Zellwerten in Abhängigkeit vom gewählten Operator und den 

Werten der Zellumgebung 

- Definition der Zellumgebung als „gleitendes Fenster“ (siehe Abb. 5) 

- Abgrenzung der Zellumgebung durch Angabe von Form, Richtung und Anzahl der 

Umgebungszellen (siehe Abb. 4) 

gleitendes Fenster: für die „Fokus-Zelle“ wird ein Wert errechnet und anschließend 

der Fokus verschoben – auf die nächste Zelle oder den 

nächsten Block 




Abb. 4: Fokale Operatoren - Nachbarschaftsdefinition 

Quelle: (nach [ESRI-G, 1999]) 

Abb. 5: Fokale Operatoren – gleitendes Fenster / Block 

Quelle: [ESRI, ArcView-Online-Help] 




Fokale Operatoren - Beispiele 

Abb. 6: Häufig verwendete fokale Operatoren 

Quelle: [Burrough, 1998] 

Zur Gruppe der Fokalen Operatoren gehören auch alle v.a. aus Pixel- 

Grafik-Programmen bekannten Filter, wie: Glättungsfilter, Kantenverstärkungsfilter, 

Noisefilter, ... .Teilweise finden diese Filter auch Eingang in 

GI-Systeme – v.a. für die Bearbeitung von Fernerkundungsdaten 

Abb. 7: Filteroperationen – Reduce 

Noise, Emboss ;-) 




Anwendungsbereiche fokaler Operatoren 

- Interpolation 

- räumliche Filter 

- Oberflächentopologie – Geländeanalysen, Gewässernetz-, Einzugsgebietsabgrenzung 

- Regionsbildung 

- Ausbreitungsanalysen 

- Sichtbarkeitsanalysen 

5.1.2 MapAplgebra - Zonale Operatoren 

Abb. 8: Zonale Funktionen 

Quelle: [ArcINFO, Online Hilfe] 

- Analyse eines Werterasters innerhalb der Grenzen eines Zonenrasters 

z.B. Berechnung der mittleren Höhenlage (Werteraster) für die Gemeinden des 

Untersuchungsgebietes (Zonenraster) 

- der Zonenraster enthält diskrete Geoobjekte 

- alle Zellen einer Klasse bilden eine Zone (vgl. Einheit 2 – Datenmodelle, Kapitel: Zonen 

und Regionen), d.h. es können räumlich voneinander getrennte Teilflächen existieren 

- der Werteraster kann diskrete oder kontinuierliche Phänomene abbilden 

- häufig verwendete Integrationsvorschriften sind Zonenmittelwert, Zonenminimum /- 

maximum, Spannweite und Varianz 

- Ergebnis (auch als Tabelle / Histogramm): alle Zellen einer Zone erhalten selben Wert 

5.1.3 MapAlgebra globale Operatoren 

- sind grundsätzlich fokale Operatoren 

- Unterschied: Einbeziehung (potentiell) aller Rasterzellen eines Themas (d.h. 

Zellumgebung = gesamter Raster) 

Anwendungsbereiche globaler Operatoren 

- Distanz- und Richtungsermittlung (z.B. Entfernung bzw. Richtung zur nächstgelegene 

Zelle mit einem bestimmten Wert) 

- Interpolation (globale Interpolationsverfahren, siehe Kapitel 5.1) 

- Sichtbarkeits- und Beschattungsmodelle 

- Distanzoberflächen (Kürzeste Wege über Rasterzellen unter Berücksichtigung von 

Widerstandswerten) 




5.2 RasterOverlay 

5.2.1 Eigenschaften - RasterOverlay 

Verarbeitungsgeschwindigkeit 

geometrische Probleme 

Rechenaufwand 

Mehrthemenverschneidung 

Integration formaler Modellierungssprachen (wie z.B. MapAlgebra) 

Genauigkeit 

Einbindung in komplexe Modelle 

Kombination mit Optimierungstechniken 

vgl. [Strobl, 1997] 

hoch 

kaum 

niedrig 

einfach 

gut 

gering 

einfach 

einfach 

5.2.2 Probleme beim RasterOverlay 

Untersuchungsgebiete sind nicht ident 

- Rasterursprung und/oder Rasterausdehnung stimmen nicht überein 

- bei Verschneidungsoperationen werden nur überlappende Bereiche einbezogen 

Raster haben unterschiedliche Auflösung 

- Maschenweite der Inputraster ist unterschiedlich 

- ganzzahlige Teilungsverhältnisse: Aggregation / Disaggregation auf geringer / höher 

auflösenden Raster 

- nicht ganzzahlige Teilungsverhältnisse: Aggregation / Disaggregation auf 

gemeinsames Niveau möglich 

Raster unterscheiden sich hinsichtlich Ursprung, Orientierung, Auflösung 

- Resampling des Rasters notwendig 

- Berechnung von neuen Werten über Nachbarschaftsfunktionen und Interpolationen für 

einen hinsichtlich Ursprung, Orientierung und Auflösung festgelegten Zielraster 

Abb. 9: Raster Overlay - Inkongruenz 

5.2.3 Wesentliche Begriffe - RasterOverlay 

Matrix-Overlay 

- Sämtlichen Kombinationen von Werten der Eingangsdatenschichten wird ein 

bestimmter Wert der Ergebnisdatenschicht zugeordnet – gleichsam: Kreuztabellenreklassifizierung 

- meist eingesetzt für qualitative Analyse – d.h. Aussagen auf ordinalem Niveau, wie z.B. 

die Baulandeignung (in den Kategorien gut, mittel, schlecht) ergibt sich aus der 

Versorgungsqualität (ebenfalls ordinal) und dem Baulandpreis 




Index-Overlay 

- Zuordnung von Gewichten zu ganzen Datenschichten und/oder Kategorien 

- Berechnung über gewichteten Mittelwert 

(x ... Datenschicht oder Klasse, w ... Gewicht) 

5.2.4 Quadtree Overlay 

Bsp.: Verschieden starke Gewichtung von Baulandeignungsfaktoren für die Ableitung 

von Szenarien 

- Quadtreestruktur ist generell besonders geeignet für Phänomene mit hohen 

Anforderungen an die Lagegenauigkeit (siehe Einheit 2 - Datenmodelle) 

- Quadtrees sind grundsätzlich rasterbasierte Ansätze und sind daher bei 

Verschneidungsoperationen sehr effizient 

Abb. 10: Quadtree-Verschneidung 

Quelle: [Worboys, 1995] 

5.3 VektorOverlay 

5.3.1 Eigenschaften - VektorOverlay 

Verarbeitungsgeschwindigkeit 

geometrische Probleme 

Rechenaufwand 

Mehrthemenverschneidung 

Integration formaler Modellierungssprachen (wie z.B. MapAlgebra) 

Genauigkeit 

Einbindung in komplexe Modelle 

Kombination mit Optimierungstechniken 

vgl. [Strobl, 1997] 

gering 

häufig 

hoch 

nein 

kaum 

hoch 

kaum 

kaum 




5.3.2 Grundprizipien 

Boolsche Algebra / Mengentheorie 

Abb. 11: Overlay aus mengentheoretischer Sicht 

Quelle: [NCGIA 1997] 

- ein Polygon kann in als Menge aufgefaßt werden 

- Punkte innerhalb des Polygons sind Elemente der Menge 

- zwischen dem Rand und dem Inneren wird (vorerst) nicht unterschieden 

- Polygone A und B überlagern einander – wenn es eine Schnittmenge gibt. 

Operatoren der Boolschen Algebra 

A B NOT A A AND B A OR B 

A AND 

(NOT B) 

A XOR B 

1 1 0 1 1 0 0 

1 0 0 0 1 1 1 

0 1 1 0 1 0 1 

0 0 1 0 0 0 0 

Element ist Teil der Menge X: wahr = 1 

Element ist Teil der Menge X: falsch = 0 

Abb. 12: Boolsche Operatoren – Venn-Diagramm 

A AND B intersection - area of overlap 

A OR B union - combined area 

NOT A negation 

A XOR B exclusion 

Formale Modelle räumlicher Beziehungen – 4-Intersection Modell 

(vgl. [Mark / Egenhofer, 1995]) 

- Konzept zur Beschreibung räumlicher Lagebeziehungen für die Formulierung 

räumlicher Abfragen → Semantik räumlicher Lagebeziehungen 

- Unterscheidung zwischen dem Inneren und der Begrenzung von Objekten (!) 




mögliche Fragestellungen – Beispiele 

- welche Grundstücke liegen in Gemeinde X? – d.h. sind innerhalb 

- welche Grundstücke werden von Lärm betroffen? – d.h. werden überdeckt 

- welche Grundstücke haben Straßenanschluß? – d.h. grenzen an 

Räumliche Beziehungen im 4-Intersection Modell 

- betrachtet werden Überschneidungen zwischen Innerem (A°, B°) und Rand (A | , B | ) von 

2 Objekten – in der Form: Überschneidung existiert / existiert nicht 

- mögliche Beziehungen 

A° ∩ B° A° ∩ B | 

A | ∩ B° A | ∩ B | 

Beispiel – A enthält B 

A°, B° 

A |, B | 

Fläche im Inneren von A, B 

Rand von A, B 

A° ∩ B°=1 A° ∩ B | =1 

A | ∩ B°=0 A | ∩ B | =0 

wahr = 1 

falsch = 0 

- Inneres von A schneidet Inneres von B 

- Inneres von A schneidet Rand von B 

- Rand von A schneidet nicht Inneres von B 

- Rand von A schneidet nicht Inneres von B 

disjunkt enthält innerhalb gleich berührt bedeckt 

wird 

bedeckt 

überlappt 

0 0 

0 0 

1 1 

0 0 

1 0 

1 0 

1 0 

0 1 

0 0 

0 1 

1 1 

0 1 

Abb. 13: Räumliche Beziehungen von Objektpaaren im 4-Intersections Modell 

Quelle: (nach [Strobl, 1997]) 

1 0 

1 1 

1 1 

1 1 

Erweiterung des Konzeptes durch das 9-Intersections Modell 

zur Beschreibungen von Beziehungen zwischen Punkten, Linien und Flächen – 

unterscheidet zwischen Außen, Innen und Begrenzung 

A° ∩ B° A° ∩ B | A° ∩ B - 

A | ∩ B° A | ∩ B | A | ∩ B - 

A - ∩ B° A - ∩ B | A - ∩ B - 




5.3.3 Operationen der Vektorverschneidung 

Vektorverschneidung gehört zu den wesentlichsten funktionalen Merkmalen 

von (vektororientierten) GI-Systemen – v.a. darin unterscheiden sie sich von 

verwandten SW-Produkten wie DesktopMapping oder CAD 

Vektorverschneidung basiert auf geometrischen Verschneidungsoperationen: 

- Punkte mit Polygonen 

- Polygone mit Polygonen 

- Linien mit Polygonen 

- Linie mit Linie 

Welche Objekte überlagern einander? - zentrale Frage der Vektorverschneidung (!) 

- überlappende Objekte in 2 oder mehreren Schichten werden durch Verschneidung zu 

neuen Objekten einer neuen Datenschicht 

- Vektorverschneidung ist ein komplexer und rechenintensiver Vorgang – von sämtlichen 

Objektbegrenzungen die einander überlagern/berühren, müssen Schnittpunkte 

berechnet werden. 

- für jede einzelne Grenzlinie muß daher festgestellt werden, ob Schnittpunkte mit 

anderen Linien bestehen – der linienweise Vergleich ist extrem ineffizient 

Zur Optimierung der Schnittpunktsuche bestehen daher verschiedene Ansätze, wie z.B.: 

- umschreibende Rechtecke 

geprüft wird ob sich die umschreibenden Rechtecke von Objekten überlagern, d.h. 

deutliche Vereinfachung 

- Zuordnung von Liniensegmenten zu Rasterzellen 

Linien werden relativ großen Rasterzellen zugeordnet – die Schnittpunktprüfung erfolgt 

nur für Linien, die in den Zellen enthalten sind 

- Halbordnung 

Sortieren der Liniensegmente nach einer der beiden Koordinaten – d.h. Prüfung erfolgt 

nur für Segmente in einer definierten Umgebung 

- Räumlicher Index 

ein Großteil der bestehenden GIS-Programme verwendet für die effiziente Speicherung 

und Suche raumbezogener Daten räumliche Indizes (wie z.B. Quadtrees) – anhand 

dieser Indizes kann auch die Schnittpunktprüfung erfolgen 

Verschneidung: Punkt mit Fläche 

- „einfachste“ Verschneidungsoperation 

- grundlegende Methode für Polygon-Linie- und Polygon-Polygon-Verschneidungen 

Verwendung für die Fragestellungen 

- in welchem Polygon liegt Punkt A ? 

- welche Punkte liegen im Polygon X ? 

Grundsätzliches Problem: 

liegt ein Punkt innerhalb oder außerhalb eines Polygons ? 




Point-in-Polygon Test 

Zahl der Schnittpunkte eines beliebigen vom 

Punkt ausgehenden Strahls mit dem Polygon 

gibt Auskunft über die Lage des Punktes (!) 

- Punkte mit gerader Schnittpunktzahl → 

außerhalb 

- Punkte mit ungerader Schnittpunktzahl 

→ innerhalb 

Abb. 14: Point-in-Polygon Test 

Quelle: [Laurini / Thompson, 1992] 

Bei der Verschneidung von Punkten mit Polygonen sind 2 Fälle zu unterscheiden: 

- die Punkte übernehmen Flächeninformationen (Abb. 15 / Output 1) 

- den Flächen werden Punktinformationen zugeordnet (Abb. 15 / Output 2) 

Beispiel: Verschneidung von Kataster und Brunnenstandorten 

Abb. 15: Overlay – Point-Polygon 




Fehlerquellen bei der Point-in-Polygon Suche 

Die Digitalisierung von Punkten und Linien (somit auch Polygonen) ist grundsätzlich 

fehlerbehaftet (vgl. Einheit 4 - Datenintegration). Bei der Verschneidung von Layern 

können diese kleinen Ungenauigkeiten erheblichen Einfluß auf das Ergebnis haben. 

Epsilon Band 

Auf die Frage „liegt ein Punkt innerhalb eines 

bestimmten Polygons?“ gibt es 5 mögliche 

Antworten: 

1. der Punkt liegt sicher innerhalb 

2. der Punkt liegt sicher außerhalb 

3. der Punkt liegt möglicherweise innerhalb 

4. der Punkt liegt möglicherweise außerhalb 

5. keine Aussage möglich → der Punkt liegt auf 

der Linie 

Abb. 16: Error zones (width epsilon) and 

ambiguities for point-in-polygon searches 

Quelle: (vgl. [Burrough, 1986]) 

Verschneidung: Flächen mit Fläche (Polygonverschneidung) 

Verwendung für die Fragestellung 

- welche neuen Polygone ergeben sich aus der Überlagerung von 2 oder mehr 

Ausgangsdatenschichten und welche Attribute werden den neuen Polygonen 

zugewiesen 

Prozeß der Polygonverschneidung 

1. geometrische Verschneidung ohne Berücksichtigung von Topologie und 

Sachdaten – d.h. Schnittpunktberechnung + Einfügen von Knoten an den 

Schnittpunkten 

2. Topologiebildung – d.h. Neuberechnung der Knoten-Kanten-, Links-Rechts- und 

Polygon-Kanten-Topologie für sämtliche neuen Teilfächen 

3. Kennzeichnung der neuen Polygone mittels ID 

4. Identifizierung der Ausgangspolygone für jedes neue Polygon über einen Punkt im 

neuen Polygon und Point-in-Polygon Suche in den Input-Schichten 

5. Attributanbindung – d.h. Übernahme von Attributen aus den Ausgangsdatenbeständen 

(relationale Verknüpfung) 

Beispiel: Verschneidung von Kataster und Widmung 




Abb. 17: Overlay – Polygon-Polygon 

Given: two overlapping polygons as follows: polygon with attribute A, 

polygon with attribute 1 

The outside world labeled 0 on both maps, two intersecting arcs 

defining the boundaries of the polygons: 

1. Red Map (light lines): (0,1) (0,3) (2,3) (2,1) (0,1) 

Polygons - Right: A Left: 0 

2. Blue Map (heavy lines): (1,0) (3,0) (3,2) (1,2) (1,0) 

Polygons - Right: 0 Left: 1 

Procedure: after intersections have been found, six new arcs are 

formed, three from arc 1 and three from arc 2: 

1. (0,1) (0,3) (2,3) (2,2) 

2. (2,2) (2,1) (1,1) 

3. (1,1) (0,1) 

4. (1,0) (3,0) (3,2) (2,2) 

5. (2,2) (1,2) (1,1) 

6. (1,1) (1,0) 

Abb. 18: Overlay Procedure 

Quelle: [NCGIA, 1997] 

Because the right and left polygon labels are known for each input arc, 

we know the labels of the new polygons as soon as the intersections 

have been found. There are four new polygons and their attributes 

combine red and blue attributes: 00, A0, A1 and 01. The arc right and 

left labels, deduced from the geometry of the intersections, are: 

Arc Left Right 

1 00 A0 

2 01 A1 

3 00 A0 

4 01 00 

5 A1 A0 

6 01 00 




Fehlerquellen bei der Polygonverschneidung 

Fehlerquellen: 

- unexakte Digitalisierung inhaltlich-logisch zusammengehörender Linien 

- unterschiedliche numerische Auflösungen der Vektordaten (z.B. Integer – Real) 

Folge bei der Verschneidung 

- Bildung von Differenzflächen – engl. sliver polygons / pseudo polygons 

- in der Regel längliche schmale Objekte 

- je exakter digitalisiert wurde desto größer die Anzahl der Sliver Polygone (paradox ?!) 

Fehlerbeseitigung 

- simultan – d.h. während der Polygonverschneidung 

- postprocessing – d.h. in einem eigenen, der Polygonverschneidung nachgeordneten 

Verfahrensschritt 

Simultane Bereinigung von Fehlern 

Abb. 19: Sliver Polygone 

- Punkte deren Abstand unter dem definierten Toleranzwert (sog. „fuzzy tolerance“) liegt 

werden bei Verschneidung als ident betrachtet (analog Punkt-Snap bei Digitalisierung) 

- Problem: Festlegung eines geeigneten Toleranzwertes (Wert zu groß ⇒ unerwünschte 

Auflösung kleiner Flächen; Wert zu klein ⇒ viele Sliver Polygone) – der Vorgang 

entzieht sich bei der simultanen Bereinigung weitgehend der Kontrolle des Benutzers 

- Ansatz: für Teilbereiche des Untersuchungsgebietes unterschiedliche Toleranzwerte 

Postprocessing: nachträgliche Fehlerbeseitigung 

- Bereinigung der Sliver Polygone erfolgt nach der Verschneidungsoperation 

- Problem: Unterscheidung zwischen „echten“ Polygonen und Pseudopolygonen 

- Indentifikation: übelicherweise langestreckte Polygone mit geringer Fläche, 

Verwendung von Formindikatoren (z.B. Umfang / [Umfang eines 

Kreises mit gleicher Fläche]) 

Suche nach Polygonen mit nur zwei Knoten in denen genau 4 Linien 

zusammen laufen 

- Auflösungs-Ansatz: Sliver Polygon-Flächen werden jeweils einem Nachbarn 

zugeschlagen 

Abb. 20: Auflösung von Sliver 

Polygonen im Postprocessing 




Verschneidung: Linie mit Fläche 


- in welchem Polygon liegt Linie a ? 

- welche Linien liegen in Polygon X ? 

Bei der Verschneidung von Linien mit Polygonen sind 2 Fälle zu unterscheiden: 

- die Linien übernehmen Flächeninformationen (Abb. 21 / Output 1) 

- den Flächen werden Linieninformationen zugeordnet (Abb. 21 / Output 2) 

Beispiel – Verschneidung von Kataster und Straßentrasse 

Abb. 21: Overlay – Line-Polygon 

Verschneidung: Linie mit Linie 


- welche Linien kreuzen einander 

Beispiel – Verschneidung von verschiedenen Leitungstrassen 




Temporäre Selektion 

Eine Sonderstellung in der „Datenhaltung“ (bzw. beim VektorOverlay) nimmt die temporäre 

Selektion von Objekten ein. 

Temporäre Selektion: Goobjekte werden entweder durch graphische Elemente (wie z.B. 

mit der Maus erstellte Rahmen) oder Geoobjekte einer anderen 

Themenebene zeitweilig ausgewählt. 

Für die Auswahl werden beispielsweise „ad hoc Analysen“ 

durchgeführt, Tabellen oder Diagramme erstellt und dgl. 

- zum Unterschied zur Verschneidung (Vektrodomäne) wird aus der Auswahl entweder 

nur für Teilräume eine neue Datenschicht gebildet oder überhaupt kein neuer Layer 

angelegt (d.h. keine neuen Daten physisch und dauerhaft gespeichert) 

- die Sonderstellung ergibt sich vor allem aus der zeitlichen Begrenztheit der Auswahl 

- für die Auswahl selbst werden die selben Algorithmen angewandt, wie für 

Verschneidungsoperationen 

- obwohl in vielen Fällen nur Objekte eines Themas selektiert werden, handelt es sich 

prinzipiell um einen multithematischen Ansatz 

Beispiel: Auswahl aller Objekte die von einem dynamisch erstellten oder durch eine andere 

Themenebene vorgegebenen Bereich vollständig eingeschlossen, geschnitten, nicht 

eingeschlossen, ... werden 

5.3.4 Boundary Operations 

Auswahl von Objekten oder Bereichen meist im Vorfeld der Analyse zur Eingrenzung / 

Veränderung des Analysebereiches 

wie die temporäre Selektion von Objekten oder Bereichen eines Themas werden auch die 

Boundary Operations in der Literatur teilweise den Single Layer-Operationen und teilweise 

den Multi Layer-Operatoinen zugeordnet (vgl. [Chou, 1996 oder Burrough, 1998] 

- Auswahl von Teilbereichen zur Veränderung der räumlichen Abgrenzung des 

Untersuchungsgebietes 

- die Auswahl erfolgt entweder über ein eigenes Thema oder dynamisch mittels 

Eingabegerät (Digitizer-Pointer, Maus, ...) 

Abb. 22: Feature Manipulation - Clip 

Quelle: (nach [Chou, 1996]) 




Abb. 23: Feature Manipulation - Erase 


Abb. 24: Feature Manipulation - Update 


Abb. 25: Feature Manipulation - Split 


Abb. 26: Feature Manipulation - Join 





Einheit 5b – Analyse-Schwerpunktthemen 

5.1 Interpolation 

5.1.1 Ziel der Interpolation: 

Interpolation ist eine Familie von Verfahren bei denen, ausgehend von meist 

punktuell vorliegenden Daten, Attributwerte für die dazwischen liegenden nicht 

unmittelbar beobachteten Bereiche innerhalb eines abgegrenzten Gebietes 

ermittelt werden - Schätzwerte. 

Extrapolation ermittelt Werte für Positionen außerhalb des Bereiches, für den 

Messungen/Beobachtungen vorliegen 

- Berechnung fehlender Zwischenwerte, d.h. übertragen flächenhaft verteilter Punkt- 

Daten (Primärdaten) auf die Fläche - in Form von flächendeckenden Schätzwerten 

(Sekundärdaten) 

- neben Punkten (z.B. Geländepunkte, Luftschadstoffmeßstellen, ...) können die zu 

interpolierenden Daten auch Linien (z.B. Höhenschichtlinien) sein 

Abb. 27: Ozon in Österreich / 29.07.1992 

Quelle: [Joanneum, WWW 1998, http://iis.joanneum.ac.at/ozonanim/karten.htm] 

5.1.2 Interpolation - diskrete Konzepte 

Ableitung von homogenen, klar abgegrenzten Flächen ausgehend von Punktdaten, d.h. 

Zuordnung der Umgebung zum nächstgelegenen Punkt (gegf. unter Berücksichtigung von 

Gewichtungsfaktoren). 

Beispiel: Bodentypen an Messstellen (Bohrung) ⇒ flächendeckende Bodenkarte 




Abb. 28: Bodenkarte 

Quelle: [Potsdam-institut für Klimaerforschung e.V., ???] 

Grundproblem: Ziehen einer Grenze zwischen zwei Punkten → 

Ansatz: auf halbem Weg zwischen den Punkten (!) = Streckensymmetrale 

Thiessen-Polygone 

engl.: Voronoi-Polygons (Nearest neighbours) 

auch: Dirichlet-Polygone 

Thiessen-Polygone: Werte eines nicht beobachteten Punktes werden über 

die Zuordnung des Punktes zum nächstgelegenen Stützpunkt ermittelt. 

- Ergebnis: Einflußzonen um Punkte, basierend auf Luftliniendistanzen, nach dem 

Prinzip der Informationszuweisung zum nächstgelegenen Punkt. Grenzen des 

Polygons sind die Streckensymmetralen der Verbindungen zwischen 2 benachbarten 

Punkten. 

- Erweiterung des Ansatzes über Zuteilung von Gewichten ist möglich – Grenze 

zwischen zwei Punkten nicht auf halber (Luftlinien-)Distanz, sondern in Abhängigkeit 

vom Gewicht verschoben. 

Anwendungsbereiche – Thiessen-Polygone: 

Klimadaten, boden- und vegetationskundliche Gebietsabgrenzungen, Geomarketing 

(z.B. Ausweisung von ShoppingCenter-Einflußbereichen) 




Abb. 29: Thiessen-Polygone und Delaunay-Triangulation - Aufbau 

Quelle: [Worboys, 1995] 

Delaunay-Triangulation / Triangulated Irregular Network (TIN) 

- duale Struktur zu Thiessen-Polygonen – Delaunay-Triangulation (teilweise auch als 

Delauney-Triangulation bezeichnet ;-] ) → die Knoten der Thiessen-Polygone sind 

Umkreismittelpunkte der Delaunay-Dreiecke (siehe Abb. 29, rechts unten) 

Triangulation: Dreiecksvermaschung 

- für die Triangulation werden jeweils benachbarte Punkte verwendet 

- innerhalb des umschreibenden Kreises befindet sich kein weiterer Punkt 

- TIN sind keine diskrete Interpolationsmethode (jedenfalls nicht für 2D-Daten) 

sondern können zur vektororientierten Repräsentation kontinuierlicher 3D- 

Phänomene eingesetzt werden 

- TIN sind vor allem im Bereich der 3D-Modellierung von Objekten (insb. außerhalb 

der GIS-Welt, z.B. für Kinohelden wie Z-4195 / Antz) weit verbreitet – in den Geowissenschaften 

und anwendungsorientierten Disziplinen v.a. für 3D- 

Geländedarstellungen und vektorbasierte 3D-Geländeanalysen 

Anmerkung: bei 3D-Daten liegen die Dreiecksflächen als Ebenen im Raum – das 

bedeutet, die z-Koordinate jedes Punktes innerhalb des Dreiecks kann über die 

Koordinaten der bekannten Eckpunkte berechnet werden = lineare Interpolation im 3D- 

Raum (vgl. DHM-Analyse) 




Abb. 30: Delaunay-Triangulation und Thiessen-Polygone 

Quelle: [Midtbø, 1996, WWW 1999, http://www.iko.unit.no/tmp/term/term.html] 

Abb. 31: Datenstruktur – TIN 

Quelle: [Midtbø, 1996, WWW 1999, http://www.iko.unit.no/tmp/term/term.html] 

Für Triangulierte Irreguläre Netzwerke existieren neben der abgebildeten auch noch 

verschieden andere Datenstrukturen, die hier nicht näher erläutert werden. 

Anwendungsbereiche - TIN: 

- Höhenmodellaufbau ausgehend von Punktdaten 

- Oberflächen aus Attributinformationen 

5.1.3 Interpolation kontinuierlicher Phänomene 

Transformation von Attributwerten punktförmiger Objekte auf ein räumliches Kontinuum 

unter Einbeziehung globaler oder lokaler Funktionen ⇒ 3D-Oberfläche 

Beispiel: TemperaturDaten von Wetterstationen ⇒ flächendeckende Temperaturkarte 




Abb. 32: Temperaturkarte Europa; Bodentemperatur vom 05.10.99, 15 Uhr UTC 

Quelle: [Institut für Meteorologie der Freien Universität Berlin; WWW 1999, http://www.met.fuberlin.de/wetter/maps/tt_europa.html] 

globale Techniken: alle Stützpunkte im Untersuchungsgebiet werden zur Abschätzung 

herangezogen 

lokale Techniken: Punkte in einem definierten Umfeld des zu schätzenden Punktes 

werden einbezogen 

globale Interpolation 

- für die Interpolation eines Punktes werden alle im Untersuchungsgebiet vorhandenen 

Punktinformationen verwendet 

- Verwendung für Phänomene deren Attributwerte sich über „größere Entfernungen“ 

kontinuierlich verändern 

- Modellierung der Interpolation über gekrümmte Oberflächen (engl. smooth 

mathematical surface) – Trendoberflächen (auch Trendflächen genannt) 

Modellierungsmethode: 

- multiple Regression der Attributwerte 

- x,y (also die Position) – unabhängige Variable und 

- z (also die Attributausprägung) – abhängige Variable 

Beispiel (2 Variable: unabhängig x, abhängig z): 

nimmt der z-Wert tendenziell mit wachsendem x linear zu, kann die „long range variation“ 

des Phänomens über folgendes Regressionsmodell interpoliert werden: 

z(x) = b 0 + b 1 x + ε 

wobei b 0 und b 1 die Polynomkoeffizienten (= Anstieg und d) und ε die Residuen sind – Ziel: 

Minimierung der Residuen ⇒ für reale räumliche Phänomene meist Polynome höherer 

Ordnung notwendig. 

z.B. z(x,y) = b 0 + b 1 x +b 2 y + b 3 x² + b 4 xy + b 5 y² (2.Ordnung, quadratisch) 




Trendoberflächen 

- approximative Technik – d.h. an den Stützpunkten verläuft die interpolierte 

Oberfläche nicht durch die Input-Werte ⇒ kein exakter Interpolator 

- Eignung vor allem zur Abschätzung des großräumigen Trends, insb. bei eher 

„unzuverlässigen“ Ausgangsdaten → Berücksichtigung der „long-range variation“, 

lokale Variation wird als zufällig betrachtet (Noise) 

- mit Hilfe multipler Regression werden die Modellparameter so optimiert, daß die 

Summe der quadrierten Modellfehler minimal ist. 

- wird der großräumige Trend (in Form der Trendoberfläche) von den Daten abgezogen, 

werden die Residuen als Abweichungen vom Trend sichtbar 

- Anwendung v.a. bei kontinuierlichen und stetigen Phänomenen wie Temperatur-, 

Niederschlagsverteilung und dgl. 

- Nachteil: die ermittelte relativ glatte Wertoberfläche kann regionale Besonderheiten 

nicht abbilden 

Abb. 33: Polynom 2. Grades in Gitternetz- und Isoliniendarstellung 

Quelle: [Streit, 1998/1] 

lokale Interpolation 

- für die Interpolation eines Punktes werden Punkte einer definierten Umgebung 

(Nachbarschaft) herangezogen 

- lokale Variation der Daten wird (im Gegensatz zu globalen Verfahren) dadurch stark 

berücksichtigt („nahe Objekte sind einander ähnlicher – first law of geography“) 

Ansatz (in der Rasterdomäne) 

- Definition einer Umgebung 

- finden der Datenpunkte in der Umgebung 

- auswählen der mathematischen Funktion 

- Auswertung der Funktion für jede Zelle 

wesentliche Faktoren 

- die verwendete Interpolationsfunktion 

- Größe, Form und Orientierung der Nachbarschaft 

- die Anzahl der beteiligten Datenpunkte 

- die Verteilung der Datenpunkte (gleichmäßig – ungleichmäßig) 

- die Einbeziehung zusätzlicher externer Informationen 




Unterscheidung nach Interpolationsfunktionen 

- Nearest neighbours (siehe Thiessen-Polygone) 

- Inverse distance weighting (IDW) 

- Splines (Minimum Curvature) und andere nicht lineare Funktionen 

- „Optimale Funktionen“ auf der Grundlage räumlicher Kovarianz 

Abb. 34: Serveral possibilities for interpolation 


Unterscheidung nach Verfahrensansatz 

- exakte Interpolationsverfahren: Schätzwerte für Stützpunkte entsprechen den 

gemessenen/beobachteten Werten auf den Stützpunkten 

- approximative Interpolationsverfahren: die ermittelte Oberfläche verläuft möglichst 

exakt durch die Stützpunkte 

Inverse Distanzgewichtung (IDW) 

z 

n 

∑ 

i= 

1 

j 

= n 

∑ 

i= 

1 

z 

d 

i 

α 

ij 

1 

d 

Abb. 35: Interpolation: Inverse Distanzgewichtung 

vgl. [Burrough, 1998] 

α 

ij 

Berechnung des zu schätzenden Gitterpunktes ausgehend von Werten der umgebenden 

bekannten Stützpunkte unter Berücksichtigung der Distanz als Gewichtungsfaktor – d.h. je 

weiter der bekannte Punkt entfernt ist, desto geringer ist dessen Einfluß auf den 

Schätzwert („... close things are more related than distant things“ !). 

- Verfahren entspricht der Berechnung des gewichteten Mittelwertes – Gewicht ist 

- zj ist der über die Distanz gewichtete Mittelwert 

- α Gewichtungsfaktor: je größer, desto geringer der Einfluß weit entfernter Informat. 

- d 

ij 

Distanz zwischen Stützpunkt i und dem Gitterpunkt j 

- α lineare Abnahme des Einflusses, α > 1 unruhige Oberfläche, stärkerer Einfluß der 

nächsten Nachbarn 




- grundsätzlich werden alle Stützpunkte in das Verfahren mit einbezogen (⇒ eigentlich 

α 

globales Interpolationsverfahren) bedingt durch das Gewicht 1/ d ist der Einfluß sehr 

weit entfernter Punkte allerdings vernachlässigbar ⇒ quasi lokales Verfahren 

Definition der Umgebung 

- isotrop richtungsunabhängige Gewichtung, d.h. Gewichtung bekannter Werte 

erfolgt nur über die Distanz zum Schätzwert 

- anisotrop richtungsabhängige Gewichtung, d.h. als Faktoren geht neben der 

Distanz auch die Richtung ein 

Implementierung richtungsabhängiger Interpolation - Quadrantenverfahren: 

ausgehend vom Gitterpunkt (zu schätzender Wert) wird die Umgebung in Quadranten 

geteilt. Interpoliert wird wie beim IDW mittels inverser Distanzgewichtung. Dabei wird je 

Quadrant der Suchradius so lange erweitert, bis die Anzahl an Stützpunkten einen 

Geforderten Wert erreicht ⇒ verschieden große Suchradien je Quadrant. 

Splines 

Begriff: 

kommt ursprünglich aus dem Schiffsbau, wo für die Konstruktion von Kurven 

aus mehreren Punkten elastische Leisten verwendet wurden. 

„When one point is displaced, four intervals 

must be recomputed for a quadratic spline“ 

[Burrough, 1986] 

Abb. 36: The Local Nature of Splines 


Zweck: Interpolation von Punkten mittels „biegsamer Kurven“ 

Implementierung: Für kurze Abschnitte wird mittels Polynomen eine kleine Zahl von 

Stützstellen verbunden. An den Nahtstellen werden diese Abschnitte mittels 

Übergangsbedingungen aneinander gesetzt und zwar so, daß die Gesamtkrümmung 

minimal ist [vgl. Streit, 1998]. 

Spline: Abschnittsweise definiertes Polynom, d.h. für k Teilintervalle einer Punktfolge 

werden k Polynome m-ten Grades berechnet, zwischen den so ermittelten 

Abschnitten entstehen Übergänge = Nahtstellen – für diese werden „Glattheitsbedingungen“ 

[vgl. Bartelme, 1988] vorgeschrieben, so daß die Ableitungen bis 

zu einer bestimmten Ordnung (r-1) links und rechts des Überganges 

übereinstimmen. 

Generelle Definition des abschnittsweisen Polynoms p(x) 

p( x) 

p ( x) 

x x < x i = 0,1,..., 

k −1 

= 

i i 

< 

i+ 

1 

( j) 

p 

i i i+ 

1 i 

( j) 

( x ) = p ( x ) j = 0,1,..., 

r −1 

i = 0,1,..., 

k −1 




Die Funktionen (x) 

- m = 1 lineare Splines 

- m = 2 quadratische Splines 

- m = 3 kubische Splines 

p i 

sind Polynome des Grades m oder geringeren Grades. 

Abb. 37: Spline Overshoot 

Problem: durch die Anpassung der Splines an die gegebene Stützpunktfolge kommt es 

teilweise zu erheblichen „overshoots“ und „undershoots“ 

Die Verwendung von Splines zur Interpolation von Kurven ist grundsätzlich sehr rechenaufwendiges 

⇒ meist werden Splines als Linearkombinationen von besonders einfachen 

sog. Basissplines (B-Splines) dargestellt. 

Anwendungsbereiche - Splines: 

- Punktinterpolation 

- Kurvenglättung – Verbesserung der Darstellungsqualität (problematisch v.a. wegen 

over- und undershooting) 

- 3D-Oberflächen (Thin Plate Splines), wie z.B. Geländemodelle – glatte Oberflächen 

Kriging 

Methodenfamilie aus dem Bereich der Geostatistik 

Geostatistik: Entwicklung und Anwendung statistischer Methoden zur Analyse und 

Modellierung raumbezogener Daten (Geodaten) 

Ziel des Ansatzes: 

- „schlaue“ Inverse Distanzgewichtung – d.h. Ableitung der Gewichte und der maximalen 

Radien für die Einbeziehung von Stützpunkten in die Punktinterpolation aus dem 

jeweils vorhandenen Datenbestand 

Grundannahme: 

räumliche Variabilität jeder Variable kann ausgedrückt werden durch 

- strukturelle Komponente: m (x) 

– Trendfläche, genereller Trend 

- zufällige Komponente: ε '( 

x) 

- zufälliges Rauschen: ε '' 

, (Mittelwert 0, Varianz 

2 

σ 




Abb. 38: Räumliche Variabilität 


„Regionalized variable theory divides complex spatial variation into (i) average behaviour 

such as differences in mean levels (upper) or a trend (lower), (ii) spatially correlated, but 

irregular (‚random‘) variation, and (iii) random, uncorrelated local variation caused by 

measurement error and short range spatial variation“ [Burrough, 1998] 

Der Wert einer Zufallsvariable Z(x) im Raum ergibt sich aus: 

Z ( x) 

= m( 

x) 

+ ε '( x) 

+ ε '' 

Die strukturelle Komponente (also der generelle Trend) wird mittels geeigneter 

Trendfunktion ermittelt. Falls kein Trend erkennbar ist (einfachster Fall) ergibt sich m (x) 

aus dem Mittelwert aller Stützpunkte und das arithmetische Mittel der paarweise 

berechneten Wertedifferenzen über alle Paare (Erwartungswert E) ist gleich Null 

(Arithmetisches Mittel der Differenzen). 

E [ Z( x) 

− Z( 

x + h) 

] = 0 

Die Varianz der Differenzen Z ( x) 

− Z( 

x + h) 

wird als ausschließlich von der Distanz (h) 

zwischen Standorten abhängig angenommen (Isotropie !). ⇒ die Semivarianz der 

Differenzen γ (h) 

ergibt sich aus: 

E 

2 

2 

[( 

Z( 

x) 

− Z( 

x + h)) 

] = E[ ( ε '( x) 

−ε 

'( x + h)) 

] = 2γ 

( h) 

Die Hypothese lautet: abgesehen von strukturellen Effekten (Trends) sind die Differenzen 

zwischen Standorten nur eine Funktion ihrer Entfernung (rem. First Law of Geography) ⇒ 

Der Wert einer Zufallsvariable an der Stelle x ergibt sich aus 

Z ( x) 

= m( 

x) 

+ γ ( h) 

+ ε '' 

Schätzung der Semivarianz 

γ ( h) 

= 1/ 2n 

( z( 

x ) − z( 

x + h)) 

∑ 

i= 

1, n 

i 

n ... Anzahl der Stützpunktpaare in der Entfernung h 

i 

2 




Abb. 39: Kriging – Distanzmatrix und Wertedifferenzen-Matrix 

Für n x n Wertepaare werden sowohl Abstand h (siehe Abb. 39 - Distanzmatrix) als auch 

die Differenzen (siehe Abb. 39 – Matrix der Wertepaare) berechnet. Der Terminus 1/n in 

der oben angeführten Formel bewirkt, daß beim Auftreten mehrerer verschiedener 

Wertepaar-Differenzen für eine bestimmte Entfernung h das γ (h) 

gemittelt wird (sorry: das 

n aus Abb. 39 hat nichts mit dem n aus der Formel zur Berechnung von γ (h) 

zu tun – 

kleine Unachtsamkeit des Autors!) 

Werden h und γ (h) 

in einem Diagramm aufgetragen ergibt sich das experimentelle 

Variogramm und aus diesem über ein Regressionsmodell das „geschätzte Variogramm“. 

Das geschätzte Variogramm (oder auch Semivariogramm) bildet die Varianz der 

quadrierten Wertedifferenzen in Abhängigkeit von der Entfernung der betrachteten Punkte 

ab. Über die Regressionsgleichung (siehe Abb. 41) kann für beliebige h das zugehörige 

γ (h) ermittelt werden. 

Abb. 40: An example of a simple transitional variogramm with range, nugget, and sill 


c 0 nugget Schätzwert für ε '' 

- das zufällige Rauschen 

a range beschreibt die Ausprägung der zwischenstandörtlichen 

Unterschiede in Abhängigkeit von der Entfernung 

c 0 + c 1 sill deutlich abnehmende Abhängigkeit zwischen Ausprägung und 

Entfernung ⇒ für Interpolation Werte mit h > range nicht sinnvoll 




Abb. 41: Commonly used variogramm models 


Nutzung des Variogramms für die Interpolation: „ordenary kriging“ 

Mit Hilfe des Variogramms wird der Einfluß des einzelnen Punktes auf das Ergebnis einer 

räumlichen Interpolation bestimmt. Im Unterschied zum IDW-Ansatz ist damit nicht die 

α 

Entfernung über eine gewählte Funktion (1/ d ) für die Gewichtung der einbezogenen 

Gitterpunkt-Werte maßgebend, sondern eine aus den Daten abgeleitete Funktion. 

Abb. 42: Schätzung von z j mittels „ordenary kriging“ 

nach [Burrough, 1998] 

Die Schätzung erfolgt analog zum „gleitenden Mittel“ nach der Funktion 

zˆ ( x ) = λ z( 

∑ 

0 i 

x i 

) 

i= 

1, n 

wobei λi 

die einzelnen Gewichte sind und deren Summe gleich 1 ist – d.h. 

Berechnung eines gewichteten Mittelwertes. 




Problem: wie werden die λ i 

bestimmt? 

Ziel: 

ˆ 

0 

Bestimmung der λi 

so, dass der Schätzwert z ( x ) unverzerrt sein und eine 

minimale Varianz aufweisen soll – d.h. 

ˆ σ 

2 

e 

= 

∑ 

i= 

1, n 

λ γ ( x , x ) + φ = min 

i 

i 

0 

γ ( x i 

, x0) 

Semivarianz zwischen den Datenpunkten x 

i 

und x 

0 

- wird über das 

Variogramm mittels Abstand (h) ermittelt 

φ Lagranscher Faktor 

Optimierung: die einzelnen Gewichte ergeben sich aus der Gleichung 

−1 

A .b = 

⎡ λ ⎤ 

⎢⎣ φ ⎥⎦ 

A Matrix der Semivarianzen zwischen Stützpunktpaaren 

b Vektor der Semivarianzen zwischen den Stützpunkten und dem zu 

schätzenden Punkt 

λ Gewichte 

φ Lagranscher Faktor 

(vgl. [Bill, 1996]) 

Erklärung zu A und b: Die Semivarianzen für die vorhandenen Stützpunkte ergeben sich 

(wie in Abb. 39 dargestellt) durch Einsetzen der Abstände d i,j in die Formel zur 

Berechnung von γ (h) 

. Für den zu schätzenden Punkt (Gitterpunkt) kann die 

Berechnung der Semivarianzen auf analoge Weise durchgeführt werden, da 

dessen Position koordinativ bekannt ist und somit die Distanz des 

Gitterpunktes zu allen Punkten der Stichprobe ermittelt werden kann. 

Auf die Optimierungsmethode soll hier nicht näher eingegangen werden! 

2 

Ergebnis: Über die Interpolationsformeln z ˆ( 

x0 

) und ˆ σ e 

(siehe weiter oben) werden 

durch Einsetzen der Gewichtsfaktoren λ 

i 

der Schätzwert und dessen Varianz 

(bzw. die Standardabweichung) ermittelt. 

Für jeden geschätzten Standort kann also ein Schätzwert und eine Aussage 

über die Qualität der Schätzung ermittelt und dargestellt werden. 




Point kriging of untransformed zinc: 

(a) predictions, (b) kriging standard deviation 

Abb. 43: Kriging – Anwendungsbeispiel 


Ergänzende Literatur - Interpolation 

[Bill, 1996]; [Burrough, 1986]; [Burrough, 1998; S.98ff., S.132ff.]; [Ingram, 1998] 

5.2 Analyse digitaler Höhenmodelle 

5.2.1 Digitale Höhenmodelle (DHM) – Einführung 

DHM im engeren Sinn: digitales Modell der Geländeoberfläche eines Ausschnittes der 

Erdoberfläche ⇒ Bezeichnung: Digitales Höhenmodell (DHM) 

DHM im weiteren Sinn: „a DTM [Anm.: Digital Terrain Model] may be used as a digital 

model of any single-valued surface“ [Weibel, Heller, 1991] 




Erstellung von DHM 

- kontinuierliche Phänomene können grundsätzlich 

in jedem Punkt einen von den benachbarten 

Punkten verschiedenen Wert annehmen (!) 

- Abbildungen kontinuierlicher Phänomene werden 

aus Kostengründen üblicherweise mittels 

Punktinterpolation generiert (vgl. Kapitel 5.1) 

- die Interpolation ist i. d. R. ein iterativer Prozeß – 

das Ergebnis stets eine Annäherung an die 

Realität (!) 

Inputs für Geländemodelle 

- Geländevermessung 

- Photogrammetrie / Satellitenbilder / GPS 

- Digitalisierung von Karten 

Datenmodelle 

- Vektordatenmodell: Triangulierte Irreguläre 

Netzwerke (TIN, siehe. Kapitel 5.1) 

- Rasterdatenmodell: reguläre Gitternetze – d.h. je 

Rasterzelle eine Höheninformation 

Abb. 44: Möglichkeiten des 

Aufbaues digitaler Geländemodelle 

aus verschiedenen geometrischen 

Elementen 

Quelle: [Muhar, 1992, S. 44] 

Abb. 45: Digitales Höhenmodell – Salzburg / Hallein 

Abb. 46: 3D-Ansicht eines digitalen Höhenmodells – 

Salzburg / Hallein 




5.2.2 Geomorphometrische DHM-Analysen 

Als „geomorphometrisch“ werden folgende DHM-Analysen bezeichnet: 

- allgemeine geomorphometrische Analysen 

- Hangneigung 

- Exposition 

- Oberflächenkrümmung 

- spezielle geomorphometrische Analysen 

- Geländeschummerung 

- Sichtbarkeit 

- ... 

Anwendungsbereiche geomorphometrischer DHM-Analysen 

- Flächenwidumgs- und Bebauungsplanung - Gefälle, Sonneneinstrahlung 

- Planungen f. leitungsgebundene Infrastruktur - Gefälle 

- Verkehrsinfrastrukturplanung - Trassierung 

- Hydrologie, Hydrogeologie - Abfluß, Erosion 

- Land- und Forstwirtschaft - Ertragsabschätzungen, Bringungssysteme, Erosion 

- insg. in den Geowissenschaften und verwandten Disziplinen häufig eingesetzt 

Hangneigung 

- Berechnung der Hangneigung (Steilheit) des Geländes über 1. Ableitung der 

kontinuierlichen Oberfläche 

- Implementierung im Rastermodell: fokale Funktionen (vgl. Abb. 49) 

- maximale Neigung in Richtung des stärksten Gefälles (Tangente an das Gelände in 

Fallinie - 1. Ableitung) 

Abb. 47: Geomorphometrische DHM Analyse: Hangneigung 

Exposition 

- Berechnung der Exposition (Ausrichtung, Azimut) des Geländes über 1. Ableitung der 

kontinuierlichen Oberfläche 

- Implementierung im Rastermodell: fokale Funktionen (vgl. Abb. 49) 

- Ausrichtung (bezogen auf Himmelsrichtungen) des maximalen Gefälles einer 

Oberfläche (Ausrichtung der Tangente parallel zur X-Y-Ebene) 




Abb. 48: Geomorphometrische DHM Analyse: Exposition 

Abb. 49: computing slopes using zevenberen and thorne’s method 





Oberflächenkrümmung 

- Bewertung der Oberflächencharakteristik mittels formbeschreibender Zahlen 

- Unterscheidung zwischen konvexen („Buckel von der Hex“ – konvex) und konkaven 

Formen (2. Ableitung der kontinuierlichen Oberfläche) 

- Unterscheidung zwischen horizontaler (X-Y-parallel) und vertikaler Richtung 

- Implementierung im Rastermodell: fokale Funktionen (vgl. Abb. 49); im Vektormodell/TIN: 

Ebenennormale auf die Dreieckflächen 

Abb. 50: Geomorphometrische Analysen: Oberflächenform 

spezielle geomorphometrische DHM Analysen 

Hillshade - Geländeschummerung 

- analytisch wenig bedeutend 

- v. a. kartographisch relevant: wie kann das Ergebnis qualitativ verbessert werden? – 

d.h. Vereinfachen der Interpretation von Oberflächenabbildungen 

- eines der ältesten Verfahren kartographischer Geländedarstellung – durch GIS 

universell einsetzbar in der Visualisierung von Analyseergebnissen 

Abb. 51: Spezielle geomorphometrische Analysen: Hangneigung mit und ohne 

Hillshade 




Sichtbarkeit 

Fragestellung: welche Punkte des Geländes sind von einem gegebenen Punkt aus sichtbar 

bzw. welche liegen im „Sichtschatten“? 

Abb. 52: Spezielle geomorphometrische Analysen: Viewshed / Sichtbarkeit 

Sichtbarkeitsanalysen Anwendungsbereiche in der Planung: 

- Analyse visueller Wirkungen/Beeinträchtigungen von Projekten 

- Beschattungsanalysen (Flächenwidmungs- und Bebauungsplanung) 

- Standortsuche für Infrastruktureinrichtungen (z.B. Senderstandorte (!)) 

weitere spezielle geomorphometrische Analysen 

- Analyse morphologisch besonderer Geländepunkte (Gipfel, Pässe, Kämme, ...) 

- Oberflächentopologie, Einzugsbereichabgrenzung, Abflußmodellierung (siehe Kapitel 

5.3 - Distanzoberflächen) 

- Volumsberechnungen für Verkehrsinfrastrukturplanung und Abbauvorhaben 




5.2.3 Anwendungsbereiche digitaler Höhenmodelle 

Abb. 53: DTM application domains and their functional requirements relative to digital 

terrain modeling 

Quelle: [Maguire, 1991] 

Ergänzende Literatur - DHM 

[Burrough , 1998; S190ff.]; [Maguiere, 1991; S.269ff.]; [Schrenk, 1993] 

5.3 Distanz 

5.3.1 Distanzkonzepte 

„first law of geography: „everything is related to everything else, but near things are more 

related than distant things.“ [Tobler, 1970] 

Distanz ist ein wesentlicher Faktor in den Beziehungen von Geoobjekten und daher auch 

wichtige Größe in der räumlichen Analyse. Die zugrundeliegende Metrik – große 

Bedeutung hat dabei die zugrunde liegende Metrik – d.h. das Konzept der 

Entfernungsmessung 




Abb. 54: Metrik - Konzepte der Distanzmessung 


Euklidische Metrik Messung der „Luftlinie“ (ohne Berücksichtigung der Erdkrümmung), 

sinnvoll bei Phänomenen, die sich ungehindert in alle Richtungen 

ausbreiten 

Manhattan Metrik Baublockmetrik (vgl. Einheit 2 - Datenmodelle) – Ausbreitung nur im 

orthogonalen System 

Netzwerk 

Raumüberwindung nur entlang vorgegebener Pfade ⇒ Distanz ist 

die Summe der Segmente/Wege 

5.3.2 Distanz und Ausbreitung 

Buffer = Distanzzonen 

- einfaches diskretes Konzept der Abgrenzung von Distanzzonen zu Geoobjekten 

- im Abstand x wird entlang der Konturen des Objektes eine Grenze gezogen 

- Implementierung im Vektor- und Rasterdatenmodell möglich 

Vektordatenmodell: 

- Diskretisierung der Entfernung zu Objekten (meist in mehreren Klassen) über Polygone 

in den Gewählten Abständen zum Objekt – z.B. Abstand zur Straße 0-100m, 100- 

200m, ... 

- für viele Anwendungsbereiche ausreichende Aussageschärfe – für (annähernd) 

stufenlose Distanzmodelle kontinuierliche Distanzoberflächen im Rasterdatenmodell 

besser geeignet 




Rasterdatenmodell 

- Diskretisierung der Distanz zu Objekten auf mehrere Klassen ebenfalls möglich – 

Zonen 

Abb. 55: Bildung von Distanzbuffern für die geometrischen Basiselemente 

Quelle: [ESRI-M, 1994] 

Abb. 56: Distanzbuffer – Attributgesteuerte Berechnung 

Quelle: [ESRI-M, 1994] 




- in beiden Datenmodellen einfache Abgrenzung für Punkte und Linien 

- bei Flächen Entscheidung über die Zugehörigkeit des „Inneren“ notwendig 

Distanzoberflächen - Ausbreitung 

- Distanz ausgehend von einem Objekt ist ein Kontinuum (– kontinuierliches Phänomen) 

- Implementierung in der Vektordomäne als Trianguliertes Irreguläres Netz (TIN, siehe 

Kapitel 5.1) 

- Implementierung in der Rasterdomäne als reguläres Gitternetz (je Zelle ein Distanzwert 

– interpretiert als Z-Koordinate) 

- aufgrund der einfacheren Modellierung und schnelleren Verarbeitung werden im 

Bereich der Geodatenverarbeitung vor allem rasterbasierte Konzepte für Distanzoberflächen 

verwendet 

- Distanzoberfläche: Distanz zwischen jedem Punkt im Raum und einem oder mehreren 

Objekten (z.B. Luftlinienentfernung von der Bundesstraße) → eine von vielen 

Visualisierungsformen für Distanzoberflächen ist die Darstellung als „unechtes“ (!) 

Geländemodell (aufgetragen der Distanz auf der Z-Achse) – siehe Abb. unten. 

Gestalt der Distanzoberflächen bei Darstellung als „unechtes Geländemodell“ 

- bei Punkten: kegelförmige Oberfläche (auf der Spitze stehend) 

- bei Linien und flächigen Objekten – Entfernung zum nächstgelegenen Punkt des 

Objektes: „Distanzgebirge“ mit Kämmen entlang von Punkten gleichen Abstandes und 

Tälern entlang der Objekte 

Abb. 57: Ungewichtete und gewichtete Distanz - Prinzip 

Abb. 58: Ungewichtete und gewichtete Distanz zu Straßen (Gewicht = Hangneigung) 

float, spread, dilation 

in der englischen Literatur häufig verwendete Begriffe in Zusammenhang mit 

Distanzoberflächen → vermitteln eine bildhafte Vorstellung: 




- der Aufbau der Oberfläche erfolgt von Innen nach Außen – d.h. vom Objekt ausgehend 

werden die Distanzwerte ermittelt (spread / dilation – ausdehnen / Ausbreitung) 

- Distanzoberflächen werden häufig für die Modellierung von Ausbreitungsprozessen 

verwendet – gemessen in räumlicher Distanz (z.B. Meter oder km), Zeitaufwänden und 

Kosten der Distanzüberwindung 

Ausbreitungsphänomene 

- Ausbreitungsgebiet kann, je nach Phänomen auf binärem oder metrischen Niveau 

modelliert werden – z.B. Ölteppich – j/n, Schallemission – nach Intensität 

- langsame oder abrupte Veränderung - Ausbreitungsfront / Infiltration 

- Frontdurchgang oder „Invasion“ – hinter der Front anderer Zustand als vor und 

innerhalb der Front (z.B. Buschfeuer) / neuer Zustand gleicht dem in der Front (z.B. 

Schlechtwetter) 

- die Front breitet sich in alle Richtungen gleichmäßig aus oder nicht – gleichmäßig: 

isotrop / ungleichmäßig: anisotrop 

Modellierung von Distanzoberflächen in der Rasterdomäne 

Euklidische Distanz 

Abb. 59: Euklidische Distanz 

Luftliniendistanz: c = SQR(a² + b²) 

gewichtete Distanz 

Prinzip: 

- Zellen müssen durchschritten werden – entweder in X-Y-Richtung oder diagonal 

- das Durchschreiten einzelner Zellen kann unterschiedlich „mühsam“ sein – d.h. es gibt 

einen „Reibungswiderstand“, der das Durchschreiten verlangsamt / verteuert 

- die „effektive Distanz“ (im engl. Sprachraum: cost distance) wächst beim 

Durchschreiten von Zellen mit hohem Widerstand schneller als bei solchen mit 

geringem Widerstand (Beisp.: Kosten, Zeitaufwand) 

- der Gesamtaufwand (gemessen in Kosten oder Zeit) vom Ursprung zu einem 

Zielpunkt wird durch Aggregation entlang des Pfades mit den minimalen Kosten / 

Zeitaufwänden ermittelt 

- durch die Verwendung von Gewichten kommt es gegenüber der Ausbreitungsberechnung 

mittels istotroper euklidischer Ansätze zu erheblichen Unterschieden 




Abb. 60: Kumulierte Distanzen – Gewicht / optimaler Pfad / effektive Distanz 

- sind die Widerstände in allen Zellen gleich 1, erfolgt die Berechnung der effektiven 

Distanz praktisch ungewichtet, d.h. beim Durchschreiten der Zellen werden die 

tatsächlichen Entfernungen aufsummiert 

Abb. 61: Gewichtete kumulierte Distanzen – Gewicht / optimaler Pfad / effektive Distanz 

- wird ein Gewichtsraster (der auch von 1 verschiedene Werte enthält) verwendet, so 

werden beim Durchschreiten der Zellen nicht nur die tatsächlichen Entfernungen, 

sondern auch die jeweiligen Gewichte berücksichtigt ⇒ effektive Distanz 

- (effektive Distanz) / (durchschn. Geschwindigkeit ohne Reibung) = tatsächliche Dauer 

Berechnung der gewichteten kumulierten Distanz 

Dg kum (1,0) = g (0,0) d/2 + g (1,0) d/2 

Dg kum (1,0) kumulierte gewichtete Distanz an der Stelle (1,0) 

g (0,0) g (1,0) Gewichte an den Stellen (0,0) und (1,0) 

d 

gleich der Rastergröße (hier 1) für Bewegungen in in X- / Y-Richtung und 

gleich der Rastergröße x 1,41 für diagonale Bewegungen. 

Beispiel 1: 

Variante 1 Variante 2 

Zellen Pfad Zellen Pfad 

(0,0) -> (1,0) (1*0.5) +(1*0,5 )= 1 (0,0) -> (1,1) (1*0,705) + (2*0,705) = 2,115 

(1,0) -> (2,0) 1 + (1*0,5) + (1*0,5) = 2 (1,1) -> (2,1) 2,115 + (2*0,5) + (2*0,5) = 4,115 

(2,0) -> (3,1) 2 + (1*0,705) + (1*0,705) = 3,41 (2,1) -> (3,1) 4,115 + (2*0,5) + (1*0,5) = 5,615 

Ergebnis: Kürzester Weg (d.h. Weg mit geringeren Gesamtkosten): 

3,41 < 5,615 ⇒ Variante 1 

Achtung: im oben angeführten Beispiel ist die X-Achse vertikal und die Y-Achse 

horizontal (! ! !) 




Anwendungsbeispiel - Einzugsbereiche: 

Ausgangspunkt: für eine Erreichbarkeitsanalyse stehen keine netzwerkanalytischen 

Werkzeuge zur Verfügung. Trotzdem sollen Aussagen zur 

Erreichbarkeit gemacht werden, die hinsichtlich der Aussageschärfe 

über das durch Isochronenberechnung via Luftliniendistanz (also 

kreisrunde Entfernungsklassen) erreichbare Ausmaß hinausgehen. 

Annahme: fußläufige Erreichbarkeiten werden gesucht 

Berechnung: die Zielorte werden als Ausgangspunkte der Berechnung mittels 

Cost-Distance-Ansatz gewählt. Die Straßenverbindungen und gegf. 

Fußwege werden als Achsen der Ausbreitung mit dem Gewicht 1 

versehen, Gebäude und „undurchlässige“ Grundstücke mit sehr 

hohen Gewichten. Öffentliche / halböffentliche Grün- und Freiflächen, 

die grundsätzlich zugänglich sind, werden je nach Durchlässigkeit mit 

entsprechenden Gewichten versehen. 

Ergebnis: Effektive (also gewichtete) Distanzen – werden diese durch die 

typische Fußgängergeschwindigkeit von ca. 1 m/s geteilt so ergeben 

sich die tatsächlichen Zeitaufwände ausgehend von den Zielorten. 

Die Versorgungsqualität kann durch die Einführung von Klassen unter 

Berücksichtigung einrichtungsspezifischer Grenzwerte oder über 

Fuzzy-Logic-Bewertungsansätze (siehe Kapitel Fehler! 

Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.) abgebildet werden. 

Anwendungsbeispiel - Routenoptimierung 

Ausgangspunkt: in bewegtem Gelände sollen für die Verbindung von 2 Standorten 

mehrere alternative Routenvorschläge gemacht werden. 

Berechnung: über Faktoren wie Geländeneigung, Gewässernetz, Bewuchs, ... wird 

eine Widerstandsmatrix aufgebaut mit der eine gewichtete 

Distanzmatrix ausgehend vom Startpunkt berechnet wird. 

Über den in Raster-verarbeitenden GI-Systemen i.d.R. implementierten 

Befehl zur Berechnung des „least cost path“ wird die Route ermittelt 

auf der die kumulierten Gesamtkosten minimal sind, das ist jener Weg 

mit dem größten Gefälle – d.h. der auf dem Wasser über das 

„Kostengebirge“ abfließen würde. 

Ergebnis: Durch verschiedene Gewichtung der Input-Faktoren (z.B. mittels 

Fuzzy-Ansatz) können für einzelne Planungsideologien Szenarien 

entwickelt werden. 

Abb. 62: Least Cost Path – Beispiel 




Anwendungsbereiche „Cost Distance“ 

- Hydrologie – Abflußmodelle, Materialtransport, Einzugsgebietsabgrenzung 

- Ausbreitungsmodelle von Emissionen in Abhängigkeit von Morphologie und 

Atmosphärischen Bedingungen 

- Bewirtschaftungsplanung – Bringungssysteme in der forstlichen Planung 

- Standortplanung – Einzugsbereichabgrenzung 

- Infrastrukturplanung – Least Cost Path 

- aber auch klassische regionalwissenschafliche Ansätze, z.B. Thünen-Modell 

5.4 Unsicherheit und Unschärfe 

Praktisch alle räumlichen Elemente, Beziehungen, Geoobjekte und deren Attribute 

sind in gewisser Weise mit Unschärfen (räumlich, sprachlich, inhaltlich) behaftet: 

- Wo ist die Waldgrenze genau? 

- Was ist „nahe“? 

- Wie flach ist ein „flacher“ Hang? 

- Wo beginnt/endet das „Stadtumland“? 

- ... 

„Everything‘s a matter of degree.“ [Anonymous] 

„Everything is vague to a degree you do not realize till you have tried to make it precise.“ 

[Bertrand Russell, The Philosophy of Logical Atomism] 

Zur Verarbeitung im GIS (bzw. in den Formalwissenschaften im allgemeinen) müssen 

solche Unschärfen formalisiert werden. 

Die Fuzzy-Theorie (Fuzzy-Logic-Theorie, Fuzzy-Set-Theorie) bietet dafür ein oft 

verwendetes Konzept. 

„So far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain. And so far as they 

are certain, they do not refer to reality.“ [Albert Einstein, Geometry and Experience] 

Nähere Informationen zur Fuzzy-Theorie sind der Literatur (siehe Anhang) zu entnehmen.

methodische und technische Grundlagen Vorlesung / 266.772 ...

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