Kapitel 3 Nichtlineare Systeme

3.2. DAS CHAOTISCHE PENDEL 7
Die allg.Lösung lautet
φ(t) = A cos(Ωt + φ 0 ) + φ hom (t) (3.31)
Die homogene Lösung φ hom (t), welche eine Lösung von Gl. (3.30) mit F 0 = 0 ist, beschreibt
eine exponentiell abklingende Lösung und somit bleibt nur die erste Lösung, eine
Oszillation mit Ω übrig. Die Amplitude A und Phase φ 0 sind gegeben durch
A =
F 0
√
(ω2 − Ω 2 ) 2 + r 2 Ω 2 (3.32)
( ) ω 2 − Ω 2
φ 0 = arctan
−Ωr
(3.33)
3.2.3 Getriebenes physikalisches Pendel
¨φ + ω 2 sin φ + r ˙φ = F 0 cos(Ωt) (3.34)
Hier ist nur eine numerische Lösung möglich. Dazu wird die Gleichung als System von
Gleichungen 1. Ordnung geschrieben. Die Variablen seien
Die Bewegungsgleichungen lauten damit
y 1 = φ (3.35)
y 2 = ˙φ (3.36)
y 3 = Ωt (3.37)
ẏ 1 = y 2 (3.38)
ẏ 2 = −ω 2 sin y 1 − ry 2 + F 0 cos y 3 (3.39)
ẏ 3 = Ω (3.40)
Die Integration dieser Gleichungen erfolgt z.B. unter Verwendung eines Runge-Kutta Verfahrens
4. Ordnung (siehe Numerical Recipes von Press et al., online verfügbar). Wähle
Startwerte y i (0), i = 1, 2, 3 und integriere
y n+1 = f(y n , t)
für hinreichend kleine Zeitschritte ∆t, die viel kleiner als die relevanten Perioden sind.
3.2.4 Analyse der Bewegung
Die Analyse und Interpretation einer periodischen, zeitabhängigen Bewegung kann auf
unterschiedliche Arten erfolgen
a) Phasenraum
durch geeignete generalisierte Orte und Impulse (q, p).
Für den harmonische Oszillator gilt
q = φ und p = ˙φ
c○ W. Kley; Skript: Analytische Mechanik