Grundbegriffe und Isomorphie

Was ist ein Graph? Zunächst ein Beispiel
{
{1} , {2} , {3} , {4} , {5} , {6} ,
{1, 3} , {1, 6} , {2, 3} ,
{2, 5} , {3, 5} , {3, 6} ,
{4, 5} , {4, 6} , {5, 6} }

Der Begriff des Graphen
Definition
Eine Ecke ist eine einelementige Menge; eine Kante ist eine
zweielementige Menge. Ist {a, b} eine Kante, so nennen wir {a}
und {b} die Ecken dieser Kante.
Unter einem Graphen verstehen wir eine endliche Menge von Ecken
und Kanten, die mit jeder Kante auch deren Ecken enthält – diese
Eigenschaft nennen wir die Grapheneigenschaft. Die Menge aller
Ecken eines Graphen G bezeichnen wir mit E(G), die
Kantenmenge mit K(G); gelegentlich verwenden wir auch kürzer
nur die Buchstaben E und K, wenn der Bezug zum Graphen G
klar ist.

Einige Grundbegriffe
◮ benachbart, inzidieren, verbunden
◮ Eckengrad (kurz: Grad), isolierte Ecke, Endecke, Minimalgrad,
Maximalgrad, Eckengradtupel
◮ regulärer Graph (präziser: g-regulärer Graph), vollständiger
Graph, leerer Graph
◮ Teilgraph, Kreis

Ein erster graphentheoretischer Satz
Bilanzgleichung
Für jeden Graphen G gilt:
∑
grad(e) = 2 · |K(G)| .
e∈E(G)
Eckengradtupel (2, 2, 2, 4, 4, 4)
Summe der Eckengrade: 18
Anzahl der Kanten: 9
Folgerung über ungerade Eckengerade

Das Phänomen der Isomorphie
Hinweis auf den yEd Graph Editor und dessen Zugmodus, weitere
Beispiele für Isomorphie

Der Begriff der Isomorphie
Definition
Zwei Graphen G und H heißen isomorph, wenn es eine bijektive
Funktion φ von E(G) auf E(H) gibt mit folgender Eigenschaft: Je
zwei verschiedene Ecken aus E(G) sind genau dann durch eine
Kante (in G) verbunden, wenn die entsprechenden Bild-Ecken
unter der Funktion φ in E(H) durch eine Kante (in H) verbunden
sind.
Kürzer: Zwei Graphen heißen isomorph, wenn es eine
nachbarschaftstreue Bijektion von der Eckenmenge des einen
Graphen auf die Eckenmenge des anderen Graphen gibt.

Eine Warnung
Die Gleichmächtigkeit von Ecken- und Kantenmenge, ja sogar ein
gleiches Eckengradtupel sind nur notwendige, aber nicht
hinreichende Bedingungen für Isomorphie. Zum Nachweis der
Isomorphie wird nicht irgendeine Bijektion der Eckenmengen
benötigt, sondern eine nachbarschaftstreue Bijektion.

Die strukturelle Bedeutungslosigkeit der Trägermenge
Sprechweise: der vollständige Graph mit vier Ecken

Wie beweist man die Isomorphie zweier Graphen?
◮ Mit dem Zugmodus (naja, inoffiziell)
◮ durch Angabe einer nachbarschaftstreuen Bijektion (etwas
umständlich)
◮ oder durch eine Benachbarungsmatrix / Nachbarschaftsmatrix
(siehe nächste Folie)

Isomorphiebeweis durch eine Nachbarschaftsmatrix
A-PDF Page Crop DEMO: Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark
A-PDF Page Crop DEMO: Purchase from www.A-P
A B C D E F G
A x x x x x x
B x x x x
C x x x
D x x
E
x
F
G

Wie beweist man Nicht-Isomorphie?
Durch Finden eines strukturellen Unterschieds. Einfache
Kandidaten sind...
◮ Anzahl der Ecken, Anzahl der Kanten, Eckengradtupel
◮ Vorhandensein von Kreisen (bestimmter Länge)
◮ Eckengrade benachbarter Ecken
◮ Eckengrade in Kreisen, z.B. ”
G hat einen 4-4-2-Kreis, H
hingegen nicht“
Die Liste ist fast beliebig verlängerbar...

Vorbesichtigung der ersten Aufgabenserie
Aufgabe 1:
Ermitteln Sie unter den sechs Graphen unten diejenigen, die
zueinander isomorph sind. Begründen Sie, dass alle anderen
Graphen (paarweise) nicht isomorph sind.

Bestimmung aller Isomorphietypen mit dem
Eckengradtupel (3, 3, 4, 4, 4, 4)
(3,3,4,4,4,4)
(2,2,3,3,4)
(2,3,3,3,3)
(1,1,2,2)
(1,2,2,3)
(2,2,2,2)
(0,0,2) (0,1,1)
(0,1,1)
(1,1,2)