Algebraische Geometrie - Universität Paderborn

Algebraische Geometrie
Joachim Hilgert
Dieser Text ist ein vorläufiges Vorlesungsskript zu den Vorlesungen ”
Elementare
algebraische Geometrie“ und ”
Algebraische Varietäten“, die ich im Sommersemester
2012 und im Wintersemester 2012/2013 an der Universität Paderborn gehalten
habe. Er ist nicht korrekturgelesen und nur zum internen Gebrauch gedacht!
Paderborn, den 8.2.2013
J. Hilgert

Inhaltsverzeichnis
Teil I Elementare Algebraische Geometrie
1 Affine Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Endliche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Der Hilbertsche Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Reguläre Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Projektive Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Projektive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Graduierte Ringe und homogene Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Reguläre Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Vielfachheiten in Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Schnittvielfachheiten mit Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Regularität und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Teil II Algebraische Varietäten
4 Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Das Maximalspektrum eines Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Morphismen von affinen algebraischen Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Verklebung von affinen Varietäten zu Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Projektive Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Übungen zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Algebraische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1 Affine algebraische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Darstellungen von affinen algebraischen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Hilberts Endlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5 Übungen zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Teil III Anhang

ii
Inhaltsverzeichnis
A Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.1 Ringe und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.2 Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3 Euklidische Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.4 Faktorielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Teil I
Elementare Algebraische Geometrie

1
Affine Varietäten
Am 11.4.2012 gab es eine Einführung in die Fragestellungen der Vorlesung.
1.1 Endliche Algebren
Definition 1.1.1 (Endliche Algebren). Seien A ⊆ B kommutative Ringe mit
Eins.
(i) B heißt endliche erzeugte R-Algebra, wenn es b 1 , . . . , b n ∈ B mit B =
A[b 1 , . . . , b n ] gibt, d.h., wenn B als Ring von A und {b 1 , . . . , b n } erzeugt ist.
(ii) B heißt eine endliche A-Algebra, wenn es b 1 , . . . , b n ∈ B mit
B = A b 1 + . . . + A b n
gibt, d.h., wenn B als A-Modul von {b 1 , . . . , b n } erzeugt ist.
Proposition 1.1.2. (i) Seien A ⊆ B ⊆ C kommutative Ringe mit Eins. Wenn B
eine endliche A-Algebra und C eine endliche B-Algebra ist, dann ist C eine
endliche A-Algebra.
(ii) Sei A ⊆ B und B eine endliche A-Algebra und x ∈ B. Dann gibt es ein normiertes
Polynom mit Koeffizienten in A, das x annulliert:
x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 0 = 0,
a i ∈ A
(iii) Sei umgekehrt x die Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in
A, dann ist B = A[x] ist eine endliche A-Algebra.
Beweis. (i) und (iii) seien dem Leser als Übung überlassen. Für (ii) sei B = A b 1 +
∑
. . . + A b n und x ∈ B. Dann gilt x b i ∈ B, d.h. es gibt a ij ∈ A mit x b i = n a ij b j ,
oder anders geschrieben
n ∑
j=1
j=1
(x δ ij − a ij )b j = 0. Setze M ij = x δ ij − a ij und
∆ = det(M ij ) i,j=1,...,n . Wenn M adj die adjunkte Matrix zu M ist, dann gilt (Übung)
M adj M b = ∆b, wobei b = (b 1 , . . . , b n ) ⊤ . Mit M b = 0 folgt also ∆b = 0, d.h.
∆b i = 0 für alle i = 1, . . . , n.
Beachte, dass 1 B ∈ B eine Linearkombination der b i ist. Daher ist ∆1 B = 0 und
daraus folgt ∆ = 0, d.h.
det(xδ ij − a ij ) = 0.
Dies ist die gesuchte Relation.
⊓⊔

4 1 Affine Varietäten
Lemma 1.1.3. Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und 0 ≠ f ∈
K[X 1 , . . . , X n ]. Dann gibt es ein a ∈ K n mit f(a) ≠ 0.
Beweis. O.B.d.A. komme X n in f vor.
f =
m∑
j=0
g j X j n, g j ∈ K[X 1 , . . . , X n−1 ], g m ≠ 0.
Wir führen den Beweis mit Induktion über n: Für n = 1 hat f ∈ K[X 1 ] nur
endlich viele Nullstellen. Für n > 1 gibt es ein b ∈ K n−1 mit g m (b) ≠ 0, also gilt
f(b, X n ) = ∑ j
g j (b)Xn j ≠ 0. Damit gibt es ein a n ∈ K mit f(b, a n ) ≠ 0, d.h.
a = (b, a n ) tut das Gewünschte.
⊓⊔
Definition 1.1.4. Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und A eine
K-Algebra. Die Elemente a 1 , . . . , a n ∈ A heißen algebraisch unabhängig, wenn
für kein von Null verschiedenes Polynom f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] gilt f(a 1 , . . . , a n ) = 0,
d.h. K[X 1 , . . . , X n ] → K[a 1 , . . . , a n ] ist injektiv.
Satz 1.1.5 (Noether Normalisierung). Sei K ein Körper mit unendlich vielen
Elementen und A = K[a 1 , . . . , a n ] eine endlich erzeugte K-Algebra. Dann existiert
ein m ≤ n und y 1 , . . . , y m ∈ A mit
(a) y 1 , . . . , y m sind algebraisch unabhängig über K.
(b) A ist eine endliche K[y 1 , . . . , y m ]-Algebra.
Beweis. Sei I der Kern der Auswertungsabbildung
ev a : K[X 1 , . . . , X n ] → K[a 1 , . . . , a n ]
für a = (a 1 , . . . , a n ) und 0 ≠ f ∈ I (für I = {0} ist nichts zu zeigen). Setze
⎫
a ′ 1 := a 1 − α 1 a n ⎪⎬ .
mit α j ∈ K, die später passend gewählt werden.
⎪ ⎭
a ′ n−1 := a n−1 − α n−1 a n
Dann gilt 0 = f(a ′ 1 + α 1 a n , . . . , a ′ n−1 + α n−1 a n , a n ).
Behauptung: Es gibt α 0 , α 1 , . . . , α n−1 ∈ K so, dass
α 0 f(X ′ 1+α 1 X n , . . . , X ′ n−1+α n−1 X n , X n ) = X k n+Terme niedrigerer Ordnung in X n ,
wenn f als Polynom in der Variablen X n mit Koeffizienten im Ring K[X ′ 1, . . . , X ′ n−1]
mit X ′ j := X j − α j X n für j = 1, . . . , n − 1 betrachtet wird.
Dazu setze d := deg X1 ,...,X n
deg G < d. Wir rechnen
f und f = F d + G mit F d homogen vom Grad d und
f(X 1 , . . . , X n−1 , X n ) = f(X ′ 1 + α 1 X n , . . . , X ′ n−1 + α n−1 X n , X n )
= F d (α 1 , . . . , α n−1 , 1)X d n + Terme niedrigerer Ordnung in X n .

1.1 Endliche Algebren 5
Wenn F d (α 1 , . . . , α n−1 , α n ) = 0 für alle α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ K n mit α n ≠ 0 gilt, dann
ist auch F d (α 1 , . . . , α n−1 , 0) = 0, weil F d (α 1 , . . . , α n−1 , X) ein Polynom ist. Also gilt
dann F d (α 1 , . . . , α n−1 , α n ) = 0 für alle α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ K n . Das ist aber wegen
F d ≠ 0 nach Lemma 1.1.3 nicht der Fall. Es gibt also ein α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ K n
mit α n ≠ 0 und F d (α 1 , . . . , α n−1 , α n ) ≠ 0. Teilt man jetzt durch α n , erhält man ein
(α 1 , . . . , α n−1 , 1) ∈ K n mit F d (α 1 , . . . , α n−1 , 1) ≠ 0. Damit folgt die Behauptung.
Seien jetzt die α 0 , . . . , α n−1 so gewählt wie in der Behauptung. Dann ist
0 = a k n + Terme niedrigerer Ordnung in a n ,
wobei die Koeffizienten in A ′ := K[a ′ 1, . . . , a ′ n−1] liegen, eine normierte Gleichung
für a n über A ′ . Nach Proposition 1.1.2(iii) ist A endlich über A ′ , weil A = A ′ [a n ] =
K[a ′ 1, . . . , a ′ n−1, a n ]. Der Beweis des Satzes geht jetzt mit Induktion über n: Für
n = 1 gilt A ′ = K, also ist A endlich über K und die Behauptung folgt mit m = 0.
Für n > 1 folgt mit Induktion, dass A ′ eine endliche K[y 1 , . . . , y m ]-Algebra ist,
wobei die y j algebraisch unabhängig sind. Nach Proposition 1.1.2(i) ist dann aber
A eine endliche K[y 1 , . . . , y m ]-Algebra und der Satz ist bewiesen.
⊓⊔
Lemma 1.1.6. Sei A ein Körper und B ⊂ A ein Unterring. Wenn A eine endliche
B-Algebra ist, dann ist B ein Körper.
Beweis. Für b ∈ B \ {0} gilt b −1 ∈ A und es existiert nach Proposition 1.1.2 ein
∑
normiertes Polynom f = n b j X j über B mit b n = 1 und f(b −1 ) = 0. Aber dann
gilt
j=0
b −1 = −(b n−1 + b n−2 b + . . . + b 0 b n−1 ) ∈ B.
⊓⊔
Lemma 1.1.7. Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und A eine endlich
erzeugte K-Algebra: A = K[a 1 , . . . , a n ]. Wenn A ein Körper ist, dann ist A
algebraisch über K, d.h. jedes Element von A ist Nullstelle eines Polynoms mit
Koeffizienten in K.
Beweis. Zu A = K[a 1 , . . . , a n ] existieren nach dem Noether-Normalisierungssatz 1.1.5
algebraisch unabhängige Elemente y 1 , . . . , y m für die A eine endliche K[y 1 , . . . , y m ]-
Algebra ist. Wenn A ein Körper ist, so liefert Lemma 1.1.6, dass B ∼ = K[X 1 , . . . , X m ]
ein Körper ist. Aber dann muss m = 0 gelten, d.h. A ist eine endliche K-Algebra.
Damit folgt die Behauptung aus Proposition 1.1.2(ii).
⊓⊔
Korollar 1.1.8. Sei das K in Lemma 1.1.7 algebraisch abgeschlossen, d.h., jedes
nichtkonstante Polynom mit Koeffizienten in K hat eine Nullstelle in K. Dann ist
jedes Polynom in K[X] von der Form
f = c(X − λ 1 ) · · · (X − λ n ),
wobei die λ j ∈ K nicht notwendigerweise verschieden sind, und es folgt A = K.
↑ 12.4.2012 ↑

6 1 Affine Varietäten
Übung 1.1.1. Skizziere die folgenden Teilmengen von R 2 :
M 1 := {(cos t, sin t) | t ∈ [0, 2π]}
M 2 := {(t, sin t) | t ∈ R}
M 3 := {(t, t 2 ) | t ∈ R}
M 4 := {(t 2 , t 2 ) | t ∈ R}
Welche dieser Mengen lässt sich als Nullstellenmenge eines Polynoms p ∈ R[X, Y ] beschreiben?
Übung 1.1.2. Seien a, b, c ∈ R und p(x, y) := ax 2 + by 2 + c. Skizziere die Nullstellenmenge
von p in R 2 in Abhängigkeit von a, b, c.
Übung 1.1.3. Sei p ∈ C[X, Y ] ein nicht-konstantes Polynom und V (p) = {(z, w) ∈ C 2 |
p(z, w) = 0} die Nullstellenmenge von p. Zeige:
Gilt auch |V (p) ∩ R 2 | = ∞?
|V (p)| = ∞ .
Übung 1.1.4. Sei K ein Körper, und für p ∈ K[X 1 , . . . , X n ] sei V (p) = {x ∈ K n | p(x) =
0} die Nullstellenmenge von p in K n . Zeige: Ist G ⊆ K n eine (affine) Gerade, so ist
G ⊆ V (p) oder G ∩ V (p) ist endlich.
Übung 1.1.5. Seien A ⊆ B ⊆ C kommutative Ringe mit Eins. Zeige:
1. Ist B eine endliche A-Algebra und C eine endliche B-Algebra, so ist C eine endliche
A-Algebra.
2. Ist x ∈ B Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in A, so ist A[x] eine
endliche A-Algebra.
Übung 1.1.6. Sei A ein Körper und B ⊆ A ein Unterring. Zeige: Ist A eine endliche
B-Algebra, so ist B ein Körper.
Übung 1.1.7 (Nakayama-Lemma). Es sei A ≠ 0 eine endliche B-Algebra. Dann gilt für
jedes maximale Ideal m von B, dass mA ≠ A.
1.2 Der Hilbertsche Nullstellensatz
Definition 1.2.1. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und I ✂R ein Ideal. Dann
heißt I endlich erzeugt, wenn es endlich viele Elemente x 1 , . . . , x n ∈ I gibt, für
die I das kleinste Ideal ist, das x 1 , . . . , x n enthält.
Proposition 1.2.2. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Dann sind folgende
Eigenschaften äquivalent:
(1) Jedes Ideal I ✂ R ist endlich erzeugt.
(2) Jede aufsteigende Folge I 1 ⊂ I 2 ⊂ . . . von Idealen wird stationär.
(3) Jede nichtleere Teilmenge von Idealen in R hat ein maximales Element.
Beweis. ”
(1) ⇒ (2)“: I :=
∞ ∪
j=1
I j
ist ein Ideal in R. Sei I von den Elementen
f 1 , . . . , f m erzeugt. Dann gibt es ein I k mit f 1 , . . . , f m ∈ I k , also gilt I k = I und
I k+n = I k für alle n.
(2) ⇒ (3)“: Dies folgt direkt aus dem Lemma von Zorn.
”

1.2 Der Hilbertsche Nullstellensatz 7
(3) ⇒ (1)“: Sei I ✂ R ein Ideal und Σ := {J ⊆ I | J endlich erzeugtes Ideal} die
”
Menge der endlich erzeugten Unterideale in I. Wegen (3) gibt es ein maximales
Element J o von Σ. Wenn J o ≠ I, dann gibt es ein f ∈ I \ J o . Aber J o + Rf ist
endlich erzeugt mit J o + Rf ⊆ I und dieser Widerspruch zur Maximalität von
J o beweist die Behauptung.
⊓⊔
Definition 1.2.3. Wenn ein kommutativer Ring R mit Eins die Eigenschaften aus
Proposition 1.2.2 erfüllt, dann heißt R ein noetherscher Ring.
Proposition 1.2.4. Sei R ein noetherscher Ring.
(i) Wenn I ✂ R ein Ideal ist, dann ist der Quotientenring R/I noethersch.
(ii) Sei R ein noetherscher Integritätsbereich, K der Quotientenkörper von R. Sei
0 /∈ S ⊂ R eine Teilmenge und
{ a
∣ }
B := R[S −1 ∣∣
] :=
b ∈ K a ∈ R, b = 1 oder ein Produkt von Elementen aus S .
Dann ist B ist ein noetherscher Ring.
Beweis. Übung. Hinweis zu (ii): ein Ideal in B ist vollständig durch seinen Schnitt
mit R bestimmt.
⊓⊔
Satz 1.2.5 (Hilbertscher Basissatz). Sei R ein kommutativer Ring mit Eins.
Wenn R noethersch ist, dann ist auch der Polynomring R[X] noethersch.
Beweis. Sei J ✂ R[X] ein Ideal und setze
I n := {a ∈ R | ∃ f = aX n + b n−1 X n−1 + . . . + b 0 ∈ J}.
Dann ist I n ist ein Ideal für jedes n ∈ N 0 und es gilt I n ⊆ I n+1 (multipliziere mit
X). Nach Proposition 1.2.2 gibt es ein N mit I N = I N+k für alle k ∈ N. Jetzt
konstruiere eine Erzeugermenge für J wie folgt: Seien a i1 , . . . , a im(i) Erzeuger von
I i und f ik = a ik X i + . . . ∈ J entsprechende Polynome.
Behauptung: E := {f ik | i = 0, . . . , N, k = 1, . . . , m(i)} erzeugt J.
Wir zeigen dazu mit Induktion über deg(g), dass jedes g ∈ J in dem von E erzeugten
Ideal von R[X] liegt. Wenn g = 0 ist, gibt es nichts zu zeigen. Sei also 0 ≠ g ∈ J und
deg(g) = m. Dann gilt g = bX m + . . . und b ∈ I m . Also kann man b = ∑ k c m ′ ka m ′ k
mit m ′ = m für m ≤ N und m ′ = N sonst schreiben. Setze
∑
g 1 := g − X m−m′ c m′ kf m′ k. (1.1)
Dann gilt deg(g 1 ) ≤ deg(g) − 1 für m ≥ 1 und g 1 = 0 für m = 0. Im Fall m = 0
liefert (1.1), dass g = X ∑ m−m′ k c m ′ kf m′ k in dem von E erzeugten Ideal liegt, d.h.
den Induktionsanfang. Für m > 0 bekommt man mit Induktion, dass g 1 in dem von
E erzeugten Ideal liegt. Also liegt auch g in diesem Ideal.
⊓⊔
k
Korollar 1.2.6. Sei K ein Körper, dann ist jede endlich erzeugte K-Algebra ein
noetherscher Ring.

8 1 Affine Varietäten
Beweis. Sei A eine endlich erzeugte K-Algebra, d.h. es gibt a 1 , . . . , a n ∈ A mit
A = K[a 1 , . . . , a n ]. Dann gilt A ∼ = K[X 1 , . . . , X n ]/I, wobei I der Kern der Auswertungsabbildung
in a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ K n ist. Mit Proposition 1.2.4(i) und dem
Hilbertschen Basissatz 1.2.5 folgt dann die Behauptung.
⊓⊔
Definition 1.2.7. Sei jetzt K ein Körper und A = K[X 1 , . . . , X n ] sowie A n K der
n-dimensionale affine Raum über K (d.h. A n K = Kn als Menge). Wenn f ∈ A und
P = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n K , setze f(P ) = f(a 1, . . . , a n ) ∈ K (Auswertung in P ). Wir
haben eine Abbildung
V : {J ✂ A | Ideale} −→ {X ⊆ A n K | Teilmengen}
J ↦−→ V (J) := {P ∈ A n K | (∀f ∈ J) f(P ) = 0}
Die Menge V (J) heißt die Verschwindungs- oder Nullstellenmenge von J. Eine
Teilmenge X ⊆ A n K
heißt algebraisch, wenn X = V (I) für ein Ideal I in A, d.h.
Nullstellenmenge eines Ideals, ist.
Beachte: wenn I von f 1 , . . . , f k erzeugt wird, dann gilt
V (I) = {P ∈ A n K | f i (P ) = 0 ∀i = 1, . . . , r}.
Weil A = K[X 1 , . . . , X n ] noethersch ist, ist eine algebraische Menge in A n K die
Lösungsmenge von endlich vielen polynomialen Gleichungen. Wenn I = (f), d.h.
das von f erzeugte Hauptideal, dann schreibt man V (f) statt V (I).
Proposition 1.2.8. Die Abbildung V erfüllt folgende formale Eigenschaften.
(i) V (0) = A n K , V (A) = ∅.
(ii) I ⊆ J ⇒ V (I) ⊇ V (J).
(iii) V (I 1 ∩ I 2 = V (I 1 ) ∪ V (I 2 ).
(iv) V ( ∑ ) ∩
I λ = V (I λ ).
λ∈Λ
λ∈Λ
Beweis. (Übung)
⊓⊔
Definition 1.2.9. Mit Proposition 1.2.8 sieht man, dass die V (I) die abgeschlossenen
Mengen einer Topologie, der Zariski-Topologie auf A n K , sind.
Definition 1.2.10. Wir definieren jetzt eine Art inverse Abbildung zu V :
I : {X ⊆ A n K | Teilmengen} −→ {J ✂ A | Ideale}
X ↦−→ I(X) := {f ∈ A | ∀P ∈ X : f(P ) = 0}
I(X) heißt das Verschwindungsideal von X.
Proposition 1.2.11. Sei A = K[X 1 , . . . , X n ]. Dann gilt
(i) X ⊆ Y ⊆ A n K ⇒ I(X) ⊇ I(Y )
(ii) X ⊆ A n K ⇒ X ⊆ V ( I(X) ) und Gleichheit gilt genau dann, wenn X algebraisch
ist.

1.2 Der Hilbertsche Nullstellensatz 9
↑ 19.4.2012 ↑
(iii) J ⊆ A Ideal ⇒ J ⊆ I ( V (J) ) .
Beweis. (i) ist trivial und für (ii) und (iii) folgen die Inklusionen sofort aus den
Definitionen.
Wir zeigen den zweiten Teil von (ii): X = V ( I(X) ) impliziert, dass X algebraisch
ist. Umgekehrt folgt nach (iii) aus X = V (I 0 ), dass I 0 ⊆ I(X) und daher V ( I(X) ) ⊆
V (I 0 ) nach Proposition 1.2.8. Wegen X ⊆ V ( I(X) ) folgt die Behauptung. ⊓⊔
Beispiel 1.2.12. (i) Wenn K nicht algebraisch abgeschlossen ist und f ∈ K[X]
weder Nullstellen in K hat noch konstant ist, dann ist J := (f) ≠ K[X], aber
wegen V (J) = ∅ hat man I ( V (J) ) = K[X], d.h. J I ( V (J) ) .
(ii) Für A 2 R und f = X2 + Y 2 gilt V (f) = {(0, 0)} =: P , aber I(P ) = (X, Y ), das
von X und Y erzeugte Ideal, d.h. (f) I ( V (f) ) .
Beispiel 1.2.13. Für f ∈ K[X 1 , . . . , X n ], 2 ≤ m ∈ N gilt V (f m ) = V (f) und
f ∈ I ( V (f m ) ) , aber in der Regel nicht f ∈ (f m ). Das Problem ist, dass V nicht die
Vielfachheit“ einer Nullstelle zählt.
”
Definition 1.2.14. Sei I ⊆ A ein Ideal. Das Radikal von I ist rad I := {f ∈ A |
f n ∈ I für ein n ∈ N}. Wenn rad I = I, dann heißt I ein Radikalideal.
Bemerkung 1.2.15. (i) rad I ist ein Ideal: Wenn f, g ∈ rad I, dann gibt es n, m
mit f n , g m ∈ I und
(f + g) r =
r∑
l=0
( r
l)
f l g r−l ∈ I für r ≥ n + m − 1.
(ii) Wenn I prim ist, dann ist I ein Radikalideal: Aus f n ∈ I folgt nämlich f n−1 ∈ I
oder f ∈ I etc.
(iii) Für f = ∏ j f n j
j mit irreduziblen und paarweise verschiedenen f j . Dann gilt
(Übung) für das Ideal I = (f), dass rad I = ( ∏ f j ).
Satz 1.2.16 (Hilberts Nullstellensatz).
Sei K algebraisch abgeschlossen.
(i) Jedes maximale Ideal in A = K[X 1 , . . . , X n ] ist von der Form
m P = (X 1 − a 1 , . . . , X n − a n )
für ein P = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n K und m P ist das Verschwindungsideal von P .
(ii) Sei J A ein Ideal, dann gilt V (J) ≠ ∅.
(iii) Für jedes Ideal J ⊆ A gilt I ( V (J) ) = rad J.
Beweis. (i) Sei m ⊆ K[X 1 , . . . , X n ] ein maximales Ideal und L = K[X 1 , . . . , X n ]/m.
Dann ist L ein Körper und φ = π ◦ ι : K → L mit der Inklusion ι : K →
K[X 1 , . . . , X n ] und der kanonischen Quotientenabbildung π : K[X 1 , . . . , X n ] →
L. Die Abbildung φ ist als Ringhomomorphismus automatisch ein Körperhomomorphismus,
also injektiv. L wird als Ring über φ(K) durch π(X 1 ), . . . , π(X n )
↑ 25.4.2012 ↑

10 1 Affine Varietäten
erzeugt, also ist nach Lemma 1.1.7 φ(K) ⊆ L eine algebraische Körpererweiterung.
Weil mit K auch der isomorphe Körper φ(K) algebraisch abgeschlossen ist, liefert
Korollar 1.1.8 sogar φ(K) = L.
Sei jetzt b j ∈ L das Bild von X j und a j := φ −1 (b j ). Dann gilt
π(X j − a j ) = π(X j ) − π ◦ ι(a j ) = φ(a j ) − φ(a j ) = 0,
d.h. X j − a j ∈ m für j = 1, . . . , n.
Für P := (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n K gilt, dass m P := V (P ) = ker(ev P ) von ev P :
K[X 1 , . . . , X n ] → K ist. Weil (ev P ) surjektiv ist, gilt K[X 1 , . . . , X n ]/m P
∼ = K
und m P ist ein maximales Ideal in K[X 1 , . . . , X n ].
Indem man für f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] die Taylorentwicklung in P betrachtet, erkennt
man, dass ker(ev P ) = (X 1 − a 1 , . . . , X n − a n ) gilt. Also haben wir oben
m P ⊆ m gezeigt. Die Maximalität von m P liefert dann die Gleichheit.
(ii) Sei J A = K[X 1 , . . . , X n ] ein Ideal. Nach dem Lemma von Zorn ist J in
einem maximalen Ideal m enthalten und nach (i) ist dieses von der Form m P
mit J ⊆ m P , und dies liefert P ∈ V (J).
(iii) Sei J K[X 1 , . . . , X n ] ein Ideal und f ∈ K[X 1 , . . . , X n ]. Jetzt betrachte das
Ideal
J 1 := (J, fY − 1) ⊆ K[X 1 , . . . , X n , Y ].
Wenn Q = (a 1 , . . . , a n , b) ∈ V (J 1 ) ⊆ A n+1
K
, dann gilt g(a 1, . . . , a n ) = 0 für alle
g ∈ J und P = (a 1 , . . . , a n ) ∈ V (J). Wegen 0 = (fY − 1)(Q) = f(P ) · b − 1
folgt b = f(P ) −1 . Wenn wir aber f ∈ I ( V (J) ) gewählt haben, dann liefert dies
V (J 1 ) = ∅ und (ii) zeigt J 1 = K[X 1 , . . . , X n , Y ]. Es folgt
( l∑ )
1 = g i f i + g 0 (fY − 1) ∈ K[X 1 , . . . , X n , Y ] (∗)
i=1
mit f i ∈ J, g 0 , g i ∈ K[X 1 , . . . , X n , Y ] für i = 1, . . . , l.
Sei Y N die höchste Potenz von Y , die in g 0 oder einem der g i vorkommt. Man
multipliziert (∗) mit f N und erhält
f N =
l∑
i=1
G i (X 1 , . . . , X n , fY )f i + G 0 (X 1 , . . . , X n , fY )(fY − 1).
Modulo (fY − 1) liefert diese Gleichheit Polynome h i ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mit
f N =
l∑
i=1
h i (X 1 , . . . , X n )f i ∈ K[X 1 , . . . , X n , Y ]/(fY − 1).
Beachte, dass die Verknüpfung
K[X 1 , . . . , X n ] ↩→ K[X 1 , . . . , X n , Y ] → K[X 1 , . . . , X n , Y ]/(fY − 1)
ein injektiver Ringhomomorphismus ist, weil fY −1 kein von Null verschiedenes
Polynom in K[X 1 , . . . , X n ] teilen kann. Wegen f, h i , f i ∈ K[X 1 , . . . , X n ] können
wir die Gleichung f N = ∑ h i f i also auch in K[X 1 , . . . , X n ] lesen. Es folgt f N =
∑
hi (X 1 , . . . , X n )f i ∈ J und f ∈ rad J, also I ( V (J) ) ⊆ rad J. Die Umkehrung
ist klar.
⊓⊔

1.2 Der Hilbertsche Nullstellensatz 11
↑ 26.4.2012 ↑
{Ideale I ⊂ A}
{Radikalideale}
V
I
V =I −1
Bijektion
{Teilmengen X ⊆ A n K }
{algebraische Teilmengen}
Definition 1.2.17. Eine algebraische Menge X ⊆ A n K heißt irreduzibel, wenn es
keine Zerlegung von X der Form X = X 1 ∪ X 2 mit X 1 , X 2 X algebraisch gibt.
Abb. 1.1. V (x) ∪ V (y) = V (xy) ⊆ A 2 R reduzibel
Proposition 1.2.18. (i) Sei X ⊆ A n K algebraisch, dann ist X genau dann irreduzibel,
wenn I(X) prim ist.
(ii) Jede algebraische Menge lässt sich in eindeutiger Weise als X = X 1 ∪ . . . ∪ X r
mit X i irreduzibel und X i X j für i ≠ j schreiben. (Die X i heißen dann die
irreduziblen Komponenten von X).
Beweis. (i) Wenn X nicht irreduzibel ist, dann können wir schreiben X = X 1 ∪ X 2
mit X 1 , X 2 X algebraisch. Wegen X i = V ( I(X i ) ) gilt I(X 1 )I(X 2 ) ⊆ I(X)
I(X 1 ), I(X 2 ). Also gibt es f i ∈ I(X i )\I(X) mit f 1 f 2 ∈ I(X), d.h. I(X) ist nicht
prim.
Umgekehrt, wenn I(X) nicht prim ist, gibt es f 1 , f 2 /∈ I(X) mit f 1 f 2 ∈ I(X).
Sei I i = ( )
I(X), f i und V (Ii ) =: X i , dann gilt X i X, weil es für f j ̸ inI(X)
ein Q ∈ X mit f j (Q) ≠ 0, also Q nicht in X j liegen kann. Aber aus P ∈ X
folgt dann f 1 f 2 (P ) = 0, d.h. f 1 (P ) = 0 oder f 2 (P ) = 0 und damit P ∈ X 1 oder
P ∈ X 2 .
(ii) Sei X 1 ⊇ X 2 ⊇ . . . ⊇ X n ⊇ . . . eine Kette von algebraischen Mengen. Dann
gilt: Die entsprechende Kette der Verschwindungsideale I(X 1 ) ⊆ I(X 2 ) ⊆ . . . ⊆
I(X n ) ⊆ . . . wird stationär. Wegen X n = V ( I(X n ) ) (vgl. Proposition 1.2.11)
wird dann auch die erste Kette wird stationär. Also hat jede Menge von algebraischen
Teilmengen in A n K ein minimales Element (Lemma von Zorn).
Sei jetzt Σ die Menge aller algebraischen Teilmengen X ⊆ A n K , für die es eine
Zerlegung wie in (ii) nicht gibt. Wenn Σ ≠ ∅, dann gibt es ein minimales Element
X in Σ. Dann ist X nicht irreduzibel (das wäre dann schon die Zerlegung), also
finden wir X = X 1 ∪ X 2 mit X 1 , X 2 X algebraisch. Wegen der Minimalität
haben X 1 und X 2 Zerlegungen und zusammen findet man eine Zerlegung für
X. Dies liefert einen Widerspruch! Also gilt Σ = ∅ und das beweist die Existenz
der Zerlegung. Die Eindeutigkeit ist dem Leser als Übung überlassen.
⊓⊔

12 1 Affine Varietäten
↑ 2.5.2012 ↑
{Ideale I ⊂ A}
{Radikalideale}
V
I
V =I −1
Bijektion
{Teilmengen X ⊆ A n K }
{algebraische Teilmengen}
{Primideale}
V =I −1
Bijektion
{irreduzible algebraische Teilmengen}
Beispiel 1.2.19. (i) Hyperflächen: Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] irreduzibel. Dann ist
V (f) eine irreduzible Hyperfläche. Sind f 1 und f 2 zwei solche Polynome und
keine Vielfachen von einander, so folgt V (f 1 ) ≠ V (f 2 ).
(ii) Sei jetzt |K| = ∞ und J = (uw − v 2 , u 3 − vw) ⊆ K[u, v, w] (Kurve in A 3 K ).
Dann ist J ist nicht prim: u /∈ J, w 2 − u 2 v /∈ J aber J ∋ w(uw − v 2 ) −
v(u 3 − vw) = u(w 2 − u 2 v). Es folgt V (J) = V (J, u) ∪ V (J, w 2 − u 2 v). Es gilt
V (J, u) = {(0, 0, a 3 ) | a 3 ∈ K}. Sei
C = V (J, w 2 − u 2 v) = {(u, v, w) | uw = v 2 , u 3 = vw, w 2 = u 2 v}.
Die Abbildung φ : A 1 K → C ⊆ A3 K , t ↦→ (t3 , t 4 , t 5 ) ist surjektiv, wie man sieht,
wenn man t := v u
für u ≠ 0 setzt.
C ist irreduzibel. Um das einzusehen, nimmt man an, dass X 1 ∪ X 2 = C mit
algebraischen Mengen X i C. Dann gibt es f i (u, v, w) ∈ I(X i ) \ I(C) mit
0 = f 1 (t 3 , t 4 , t 5 )f 2 (t 3 , t 4 , t 5 ). Eines der beiden Polynome hat also unendlich viele
Nullstellen, muss also identisch Null sein. Damit verschwindet dieses Polynom
auf C, was einen Widerspruch zu f i (u, v, w) ∈ I(X i ) \ I(C) liefert.
w
u
v
Übung 1.2.1. Sei p ∈ R[X, Y ] ein Polynom vom Grad ≤ 2, p = ∑ i+j≤2 c ijX i Y j , mit
4 c 20 · c 02 − c 112 ≠ 0. Zeige: Es gibt A ∈ GL(2, R) und b ∈ R 2 , so dass
p(Ax + b) = α x 1 2 + β x 2 2 + γ
gilt für alle x = (x 1, x 2) ⊤ ∈ R 2 und geeignete α, β ∈ {−1, 1}, γ ∈ R. Skizziere die möglichen
Nullstellenmengen {x ∈ R 2 | p(Ax + b) = 0} für γ ∈ {−1, 0, 1}.
Übung 1.2.2. Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und A eine endlich erzeugte
K-Algebra: A = K[a 1 , . . . , a n ]. Wenn A ein Körper ist, dann ist A algebraisch über
K, d.h. jedes Element von A ist Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in K.

1.2 Der Hilbertsche Nullstellensatz 13
Übung 1.2.3. Seien K ein Körper, A eine K-Algebra und y 1 , . . . , y r ∈ A algebraisch unabhängige
Elemente. Zeige: Ist A eine endliche K[y 1 , . . . , y r ]-Algebra, so ist {y 1 , . . . , y r }
maximal algebraisch unabhängig, d.h. y 1 , . . . , y r , y sind algebraisch abhängig für alle y ∈ A.
Übung 1.2.4. Es sei A = R[X, Y ]/(Y 2 −X 3 +X). Bestimme Elemente y 1 , . . . , y m ∈ A, die
über R algebraisch unabhängig sind, und so, dass A eine endliche R[y 1, . . . , y m]-Algebra
ist.
Übung 1.2.5. Sei R ein noetherscher Ring.
1. Wenn I ✂ R ein Ideal ist, dann ist der Quotientenring R/I noethersch.
2. Sei R ein noetherscher Integritätsbereich, K der Quotientenkörper von R. Sei 0 /∈ S ⊆
R eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge und
{ ∣ a
}
B := R[S −1 ∣∣
] :=
b ∈ K a ∈ R, b = 1 oder ein Elementen aus S .
Dann ist B ein noetherscher Ring.
Übung 1.2.6. Skizziere den Newtonschen Knoten
C = {(x, y) ∈ R 2 | y 2 = x 2 (x + 1)} .
Wie lassen sich allgemeiner Nullstellenmengen von Polynomen der Form p(x, y) = y 2 −q(x)
mit q ∈ R[X] skizzieren?
Übung 1.2.7. Sei K ein Körper und A = K[X 1, . . . , X n]. Zeige, dass die Abbildung V , die
jedem Ideal J ⊆ A die Nullstellenmenge V (J) ⊆ A n K zuordnet, die folgenden formalen
Eigenschaften besitzt:
(i) V (0) = A n K, V (A) = ∅.
(ii) I ⊆ J =⇒ V (I) ⊇ V (J).
(iii) V (I 1 ∩ I 2) = V (I 1) ∪ V (I 2).
(iv) V ( ∑ ) ∩
I λ = V (I λ ).
λ∈Λ
λ∈Λ
Übung 1.2.8. Für eine Primzahl p ∈ Z sei S := Z \ pZ.
1. Bestimme Z[S −1 ] ⊆ Q explizit.
2. Bestimme die Einheitengruppe in Z[S −1 ].
3. Bestimme die Menge der Ideale von Z[S −1 ].
Übung 1.2.9. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und R[[X]] der Ring der formalen
Potenzreihen. Zeige: Ist R noethersch, so ist auch R[[X]] noethersch.
Hinweis: Für ein Ideal J ⊆ R[[X]] betrachte man die Mengen
I n := {a ∈ A | ∃f = aX n + Terme höherer Ordnung ∈ J} .
Übung 1.2.10. Untersuche den Zusammenhang zwischen Idealen und Varietäten am Beispiel
der folgenden Ideale in C[X, Y, Z]:
I 1 := (XY + Y 2 , XZ + Y Z),
I 2 := (XY + Y 2 , XZ + Y Z + XY Z + Y 2 Z),
I 3 := (XY 2 + Y 3 , XZ + Y Z) .
Untersuche für k, l = 1, 2, 3 und k < l:
1. Ist I k = I l ?
2. Ist V (I k ) = V (I l )?
Übung 1.2.11. Sei K ein Körper und A := K[X 1, . . . , X n]. Sei f ∈ A und f = ∏ r
j=1 f m j
j
mit irreduziblen und paarweise verschiedenen f j ∈ A (man beachte, dass A ein faktorieller
Ring ist). Zeige: Für das Ideal I := (f) gilt
( r∏
)
f j
j=1
rad I =
.

14 1 Affine Varietäten
Übung 1.2.12. Zeige, dass die folgenden Mengen algebraisch sind und bestimme ihre Verschwindungsideale:
V 1 := {(t, t 2 ) | t ∈ C} ⊆ A 2 C,
V 2 := {(t, t 2 , t 3 ) | t ∈ C} ⊆ A 3 C.
Übung 1.2.13. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Element r ∈ R heißt nilpotent,
falls es ein n ∈ N gibt mit r n = 0. Zeige:
1. Die Menge N(R) der nilpotenten Elemente von R bildet ein Ideal.
2. Ist I ✂ R ein Ideal und φ : R → R/I die kanonische Projektion, so gilt
rad I = φ −1( N(R/I) ) .
3. Ein Ideal I ✂ R ist genau dann Radikalideal, wenn R/I außer I keine weiteren nilpotenten
Elemente enthält.
Übung 1.2.14. Sei K ein Körper und A n K
P = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n K sei
der n-dimensionale affine Raum über K. Für
ev P : K[X 1 , . . . , X n ] → K, f ↦→ f(P ) = f(a 1 , . . . , a n )
der Auswertungshomomorphismus in P . Zeige, dass
ker(ev P ) = (X 1 − a 1, · · · , X n − a n) .
Hinweis: Betrachte die Taylorentwicklung von f in P .
Übung 1.2.15. Zeige, dass die folgenden Mengen algebraisch sind und bestimme ihre Verschwindungsideale:
V 1 := {(cos t, sin t) | t ∈ C} ⊆ A 2 C,
V 2 := {(t 2 , t 3 , t 4 ) | t ∈ C} ⊆ A 3 C.
Übung 1.2.16. Bestimme das Verschwindungsideal der algebraischen Menge
Ist V irreduzibel?
V := {(t, t 2 , t 3 ) | t ∈ C} ⊆ A 3 C.
Übung 1.2.17. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Betrachte die algebraische
Menge V = V (I) ⊆ A 3 K, die durch das Ideal
I = (X 2 − Y Z, XZ − X)
gegeben wird. Zerlege V in irreduzible Komponenten.
Übung 1.2.18. Sei V ⊆ A n K eine algebraische Menge und K[V ] der zugehörige Koordinatenring.
Zeige:
{V (I) | I ✂ K[V ]}
ist die Menge der abgeschlossenen Mengen einer Topologie (der Zariski-Topologie auf V ).
Übung 1.2.19. Sei K ein Körper und X ⊆ A n K eine algebraische Menge. Zeige, dass die
Zerlegung
X = X 1 ∪ . . . ∪ X r
von X in irreduzible algebraische Mengen X i ⊆ A n K mit X i X j (i ≠ j) eindeutig ist.
Übung 1.2.20. Betrachte die algebraische Menge V = V (I) ⊆ A 3 C, die durch das Ideal
I = (X 2 − Y Z, Y 2 − Z 2 )
gegeben wird. Zerlege V in irreduzible Komponenten.

1.3 Reguläre Funktionen 15
1.3 Reguläre Funktionen
Definition 1.3.1. Sei V ⊆ A n K
eine algebraische Menge und I(V ) ihr Verschwindungsideal.
Eine Funktion f : V → K heißt Polynomfunktion, wenn es ein Polynom
F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mit f = F | V gibt, wobei F | V die Einschränkung von F
auf V ist. Der Ring K[V ] := K[X 1 , . . . , X n ]/I(V ) heißt der Koordinatenring von
V .
Für F, G ∈ K[X 1 , . . . , X n ] gilt
F | V ≡ G| V ⇔ F − G ∈ I(V ).
Damit ist K[V ] ein Ring von Funktionen auf V . Genauer, K[V ] ist der kleinste Ring,
der die konstanten Funktionen und die Koordinatenfunktionen P = (a 1 , . . . , a n ) x j
↦−→
a j enthält. Beachte dass dies auch für endliche Körper funktioniert.
Bemerkung 1.3.2. Die Abbildungen
mit
{I ⊆ K[V ] | Ideale} V ⇄
I
{X ⊆ V | Teilmengen }
V (I) := {P ∈ V | ∀ f ∈ I : f(P ) = 0}
I(X) := {f ∈ K[V ] | ∀ P ∈ X : f(P ) = 0}
haben die entsprechenden Eigenschaften für V = A n K . Insbesondere sind die V (I)
die abgeschlossenen Mengen einer Topologie (der Zariski-Topologie) auf V .
Proposition 1.3.3. Sei V ⊆ A n K algebraisch. Folgende Eigenschaften sind äquivalent
(1) V ist irreduzibel.
(2) Für ∅ ̸= U 1 , U 2 ⊆ V offen gilt U 1 ∩ U 2 ≠ ∅.
(3) Für ∅ ̸= U ⊆ V offen gilt: U ist dicht in V .
Beweis. (1) ⇔ (2)“: V \ (U ” 1 ∩ U 2 ) = V \ U 1 ∪ V \ U 2
} {{ } } {{ }
A 1
A 2
.
” (2) ⇔ (3)“: U ⊆ V ist genau dann dicht, wenn für alle offenen U ′ ⊆ V gilt:
U ′ ∩ U ≠ ∅.
⊓⊔
↑ 3.5.2012 ↑
Definition 1.3.4. Seien V ⊆ A n K , W ⊆ Am K algebraisch. Eine Abbildung f : V →
W heißt polynomial, wenn es Polynome F 1 , . . . , F m ∈ K[A m K ] = K[X 1, . . . , X n ]
mit f(P ) = ( F 1 (P ), . . . , F m (P ) ) ∈ A m K für alle P ∈ V gibt.
Beachte: f : V → W ist genau dann polynomial, wenn f j = y j ◦ f für
y j (b 1 , . . . , b m ) = b j mit j = 1, . . . , m polynomial ist, d.h., wenn gilt f j ∈ K[V ].
Eine polynomiale Abbildung f : V → W heißt ein Isomorphismus algebraischer
Mengen, wenn es eine polynomiale Abbildung g : W → V mit g ◦ f = id V und
f ◦ g = id W gibt.

16 1 Affine Varietäten
Beispiel 1.3.5. (i) φ : A 1 K → C ⊆ A3 K , t ↦→ (t3 , t 4 , t 5 ) ist polynomial (vgl. 1.2.19).
(ii) φ : A 1 R → A2 R , t ↦→ 1
t 2 +1 (2t, t2 − 1) ist nicht polynomial (Parametrisierung des
Kreises).
N
ϕ(t)
Satz 1.3.6. V ⊆ A n K , W ⊆ Am K
seien algebraisch.
(i) Eine polynomiale Abbildung f : V → W induziert via f ∗ (g) = g ◦ f einen K-
Algebren-Homomorphismus f ∗ : K[W ] → K[V ].
(ii) Jeder K-Algebren-Homomorphismus Φ: K[W ] → K[V ] ist von der Form Φ = f ∗
für eine eindeutig bestimmte polynomiale Abbildung f : V → W , d.h.
{f : V → W | polynomial} → {Φ: K[W ] → K[V ] ∣ ∣ K − Algebren-Hom.}
f ↦→ f ∗
ist eine Bijektion.
↑ 9.5.2012 ↑
Beweis. (i) Sei f gegeben durch (F 1 , . . . , F m ) und g durch G ∈ K[A m K
]. Dann ist
g ◦ f durch G(F 1 , . . . , F m ) gegeben (man kann Polynome ineinander einsetzen),
d.h. g ◦ f ist polynomial, also in K[V ]. Offensichtlich gilt f ∗ (a) = a für a ∈ K
(= konstante Funktion). Der Nachweis, dass f ∗ tatsächlich ein Algebrenhomomorphismus
ist, sei dem Leser als Übung überlassen.
(ii) y j : W → K sei die j-te Koordinatenfunktion für j = 1, . . . , m. Sie sind durch
Auswertung der Polynome Y j ∈ K[Y 1 , . . . , Y m ] gegeben, also polynomial. Setze
f j := Φ(y j ) ∈ K[V ] und f := (f 1 , . . . , f m ) : V → A m K . Zunächst wollen wir zeigen,
dass f(V ) ⊆ W . Dazu reicht es für ein beliebiges G ∈ I(W ) ⊆ K[Y 1 , . . . , Y m ]
zu zeigen, dass für alle Q ∈ V gilt G(f 1 (Q), . . . , f m (Q)) = 0. D.h., man
muss zeigen, dass G(f 1 , . . . , f m ) = 0 ∈ K[V ]. Betrachte dazu die Abbildung
G(y 1 , . . . , y m ) ∈ K[W ], die dadurch entsteht, dass man die Abbildungen
y j ∈ K[W ] in G einsetzt. Weil (y 1 , . . . , y m ): W → A m K gerade die Einbettung von
W in A m K ist und G im Verschwindungsideal von W liegt, gilt G(y 1, . . . , y m ) = 0.
Da Φ eine K-Algebren-Homomorphismus ist, gilt
G(f 1 , . . . , f m ) = G ( Φ(y 1 ), . . . , Φ(y m ) ) = Φ ( G(y 1 , . . . , y m ) ) = Φ(0) = 0 ∈ K[V ].
Damit wissen wir jetzt f(V ) ⊆ W und zusammen ergibt sich, dass f : V → W
polynomial ist.
Beachte: f ∗ (y j ) = f j = Φ(y j ) und die y j erzeugen K[W ], also gilt f ∗ = Φ. Der
Nachweis der Eindeutigkeit sei dem Leser als Übung überlassen.
⊓⊔

1.3 Reguläre Funktionen 17
Korollar 1.3.7. Eine polynomiale Abbildung f : V → W ist genau dann ein Isomorphismus,
wenn f ∗ : K[W ] → K[V ] ein K-Algebren-Isomorphismus ist.
Beweis. Wenn g : W → V mit g◦f = id V , dann gilt f ∗ ◦g ∗ = (g◦f) ∗ = id ∗ V = id K(V )
etc.
⊓⊔
Beispiel 1.3.8. Die Abbildung
φ : A 1 K → C := {(a, b) ∈ A 2 K | b 2 = a 3 } ⊆ A 2 K, t ↦→ (t 2 , t 3 )
φ ist polynomial. Wenn |K| = ∞ ist, dann gilt
φ ∗ : K[C] = K[Y 1 , Y 2 ]/(Y 2
2 − Y 3
1 ) → K[A 1 K] = K[X]
y 1 ↦→ X 2 ,
y 2 ↦→ X 3 .
In diesem Fall haben wir im (φ ∗ ) = K[X 2 , X 3 ] K[X], also ist φ ∗ kein Isomorphismus.
Die Voraussetzung |K| = ∞ wurde dabei für die Identifikation K[A 1 K ] = K[X]
und die Beschreibung von K[C] gebraucht. Im Falle von K = {0, 1} ist das Verschwindungsideal
von A 1 K gleich ( X(X − 1) ) K[X]. Wenn x das Bild von X in
K[A 1 K ] ist, dann gilt in diesem Fall x2 = x, also auch x 3 = x und ϕ ∗ ist surjektiv.
Beachte, dass K[A 1 K ] = K + Kx nur zweidimensional ist. Das Verschwindungsideal
I(C) von C wird in diesem Fall von Y 1 − Y 2 und Y1 2 − Y 1 erzeugt (Übung). Man
sieht außerdem, dass C = {(a, a) ∈ A 2 K | a ∈ K}. Der Koordinatenring wird von
y 1 := Y 1 + I(C) erzeugt und ist ebenfalls zweidimensional: K[C] = K + Ky 1 . Wegen
ϕ ∗ (y 1 ) = x ist ϕ ∗ in diesem Fall also ein Isomorphismus.
Definition 1.3.9. Sei K ein Körper. Eine affine Varietät über K ist eine Menge
V , zusammen mit einem Ring K[V ] von Funktionen f : V → K, mit folgenden
Eigenschaften
(a) K[V ] ist eine endlich erzeugte K-Algebra.
(b) Es gibt Erzeuger x 1 , . . . , x n von K[V ] so, dass die Abbildung
φ : V → A n K, P ↦→ ( x 1 (P ), . . . , x n (P ) )
injektiv mit algebraischem Bild φ(V ) ist.
Auf V betrachtet man die von φ induzierte Topologie, wobei die Topologie auf A n N
die Zariski-Topologie ist. Sie ist unabhängig von der Wahl der Erzeuger (Übung). Eine
affine Varietät V heißt irreduzibel, wenn sie nicht als Vereinigung zweier echter
abgeschlossener Teilmengen geschrieben werden kann, d.h. wenn ϕ(V ) irreduzibel
ist.
Bemerkung 1.3.10. Wenn V eine irreduzible affine Varietät ist, dann ist K[V ]
ein Integritätsbereich: Nach Proposition 1.2.18 ist die Irreduzibilität von ϕ(V )
äquivalent dazu, dass das Verschwindungsideal I ( ϕ(V ) ) prim ist. Betrachte die Auswertung
von F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] in ϕ(V ). Sie ordnet F die Funktion
ϕ(P ) = (x 1 (P ), . . . , x n (P )) ↦→ F (x 1 (P ), . . . , x n (P )) = F (x 1 , . . . , x n )(P )

18 1 Affine Varietäten
zu. Aber F (x 1 , . . . , x n ) ∈ K[V ] und weil die x j Erzeuger von K[V ] sind, ist jedes
Element von K[V ] von dieser Form. Weil ϕ injektiv ist, haben wir auf diese Weise
eine surjektive Abbildung
ϕ ∗ : K[X 1 , . . . , X n ] → K[V ], F ↦→ ( P ↦→ F (x 1 , . . . , x n )(P ) ) ,
↑ 10.5.2012 ↑
von der man leicht nachrechnet (Übung), dass sie ein Homomorphismus von K-
Algebren ist. Der Kern von ϕ ∗ ist gerade das Verschwindungsideal von ϕ(V ). Mit
dem Homomorphiesatz folgt also K[V ] ∼ = K[X 1 , . . . , X n ]/I ( ϕ(V ) ) . Da I ( ϕ(V ) ) prim
ist, ist der Quotientenring ein Integritätsbereich.
Definition 1.3.11. Der Funktionenkörper K(V ) einer irreduziblen affinen Varietät
V ist der Quotientenkörper von K[V ]. Die Elemente von K(V ) heißen rationale
Funktionen auf V .
Beachte: Eine rationale Funktion f ∈ K(V ) ist im Allgemeinen keine auf (ganz) V
definierte Funktion V → K.
Definition 1.3.12. Sei V eine irreduzible affine Varietät. Eine rationale Funktion
f ∈ K(V ) heißt regulär im Punkt P ∈ V (man sagt auch, P liegt im Definitionsbereich
von f), wenn f = g h
mit g, h ∈ K[V ] und h(P ) ≠ 0. Wir schreiben
dom (f) := {P ∈ V | f regulär in P }.
Beachte, dass dom (f) nicht leer sein kann, weil h eine Funktion auf V ist und als
solche genau dann Null, wenn alle ihre Werte Null sind.
Bemerkung 1.3.13. Sei V eine irreduzible affine Varietät und O V,P
K(V ) | f regulär in P }. Dann gilt
O V,P = K[V ][{h −1 | h ∈ K[V ], h(P ) ≠ 0}]
:= {f ∈
und O V,P ⊆ K(V ) ist ein Ring, den man den lokalen Ring von V in P nennt (vgl.
Proposition 1.2.4).
Satz 1.3.14. Sei V eine irreduzible affine Varietät und f ∈ K(V ).
(i) dom f ist offen und dicht in V bzgl. der Zariski-Topologie.
(ii) Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, gilt dom f = V genau dann, wenn f ∈
K[V ].
(iii) Sei K algebraisch abgeschlossen und V h = V \ V (h) := {P ∈ V | h(P ) ≠ 0} für
h ∈ K[V ]. Für h ≠ 0 gilt V h ⊆ dom f genau dann, wenn
{ g
∣ }
f ∈ K[V ][h −1 ∣∣
] = g ∈ K[V ], k ∈ N0
h k .
Beweis. (i) Setze
D f := {h ∈ K[V ] | hf ∈ K[V ]} =
{
h ∈ K[V ] ∣ f = g }
h für ein g ∈ K[V ] ∪ {0}
Dann ist D f ⊆ K[V ] ein Ideal, genannt das Nennerideal von f. Es gilt
V \ dom f = {P ∈ V | ∀ h ∈ D f : h(P ) = 0} = V (D f )
und daher ist dom f offen (und dann wegen der Irreduzibilität von V auch
dicht).

1.3 Reguläre Funktionen 19
(ii) Mit (i) folgt:
dom f = V ⇐⇒ V (D f ) = ∅
1.2.16(ii)
⇐⇒ 1 ∈ D f ⇐⇒ f ∈ K[V ].
(iii) Unter der Voraussetzung, dass h ≠ 0 hat man die folgenden Äquivalenzen:
V h ⊆ dom f ⇐⇒ V (D f ) = V \ dom f ⊆ V (h) = V \ V h
⇐⇒ h verschwindet auf V (D f )
⇐⇒ h ∈ I ( V (D f ) ) 1.2.16(iii)
= rad(D f )
⇐⇒ ∃n ∈ N :
h n ∈ D f
⇐⇒ ∃n ∈ N, g ∈ K[V ] :
f = g
h n ∈ K[V ][h−1 ].
⊓⊔
Definition 1.3.15. Sei V eine irreduzible affine Varietät. Eine rationale Abbildung
f : V A n K
ist eine partielle Abbildung, die durch
f(P ) := ( f 1 (P ), . . . , f n (P ) )
definiert ist, wobei P ∈ ∩ ∩
i domf i und f i ∈ K(V ) gelten. Dann ist dom (f) :=
i dom (f i) der Definitionsbereich von f. Die Abbildung f heißt regulär in P ∈
V , wenn P ∈ dom (f). Eine rationale Abbildung f : V W für eine affine
Varietät W ⊆ A m K ist eine rationale Abbildung f : V A m K mit f(dom f) ⊆ W . ↑ 16.5.2012 ↑
Beispiel 1.3.16. φ : A 1 K
φ : A 1 K
A 2 K , t ↦→ 1
t 2 +1 (2t, t2 − 1) ist rational. Genauer gilt
C K = {(x, y) ∈ A 2 K | x 2 + y 2 = 1}
und diese rationale Abbildung hat ein rationale Umkehrabbildung (Übung dazu:
C K ist irreduzibel), die definiert ist durch
ψ : C K
A 1 K, (x, y) ↦−→ x
1 − y .
Seien V und W irreduzible affine Varietäten und f : V W und g :
W U rationale Abbildungen. Dann ist g ◦ f als Abbildung auf (dom f) ∩
f −1 (dom g) definiert, aber diese Menge kann leer sein, wie das folgende Beispiel
zeigt.
V = A 1 K, W = A 2 K, U = A 1 K f(x) = (x, 0), g(x, y) = x y .
Wir untersuchen dieses Problem in seiner algebraischen Formulierung: Sei f :
V W gegeben durch f 1 , . . . , f m ∈ K(V ) und g ∈ K[W ] von der Form
G ∣ ∣
W
, G ∈ K[Y 1 , . . . , Y m ]. Dann ist
g ◦ f = G(f 1 , . . . , f m ) : V
ist eine wohldefinierte rationale Funktion und die Zuordnung g ↦→ g ◦ f definiert
einen K-Algebren-Homomorphismus f ∗ : K[W ] → K(V ) (als Übung weise man die
Homomorphieeigenschaft nach).
Wenn man f ∗ zu einem Homomorphismus K(W ) → K(V ) fortsetzen wollte, so
müsste gelten f ∗ ( g h ) = f ∗ (g)
f ∗ (h), was aber in dieser Allgemeinheit nur möglich ist, wenn
f ∗ injektiv ist.
K

20 1 Affine Varietäten
Definition 1.3.17. Sei V eine irreduzible affine Varietät. Eine rationale Abbildung
f : V W heißt dominant, wenn f(dom f) bzgl. der Zariski-Topologie dicht
in W ist.
Bemerkung 1.3.18. Sei f : V
W dominant.
(i) Wenn ∅ ̸= U ⊆ W offen ist, dann ist U ∩ f(dom f) ≠ ∅ und daher f −1 (U) ≠ ∅.
Nach Übung 1.3.1 ist f −1 (U) offen in dom f und Proposition 1.3.3 liefert, dass
f −1 (U) dicht in V ist.
(ii) Wenn g : W Z eine rationale Abbildung ist, dann ist f −1 (dom g) offen
und dicht in V , also ist g ◦ f : V Z eine rationale Abbildung.
(iii) Die nach (ii) definierte Abbildung K(W ) → K(V ), g ↦→ g ◦ f ist ein Homomorphismus
von K-Algebren, also insbesondere ein Homomorphismus von Körpern.
↑ 23.5.2012 ↑
Proposition 1.3.19. Seien V und W irreduzible affine Varietäten. Für eine rationale
Abbildung f : V W sind dann folgende Aussagen äquivalent:
(1) f ist dominant.
(2) f ∗ : K[W ] → K(V ) ist injektiv.
Beweis. (1) ⇒ (2)“: Nach Bemerkung 1.3.18 liefert g ↦→ g ◦ f mit g ∈ K(W ) einen
”
K-Algebren-Homomorphismus f ∗ : K(W ) → K(V ) und für den ist f ∗∣ ∣
K[W ]
injektiv.
(2) ⇒ (1)“: Für g ∈ K[W ] gilt
”
g ∈ ker f ∗ ⇐⇒ f(domf) ⊆ V (g).
Wenn f nicht dominant ist, dann gibt es ein von Null verschiedenes g ∈ K[W ],
das auf f(dom f) verschwindet, weil der Abschluss von f(dom f) in der Verschwindungsmenge
eines nichttrivialen Ideals liegen muss.
⊓⊔
Satz 1.3.20. Seien V und W irreduzible affine Varietäten.
(i) Eine dominante rationale Abbildung f : V W induziert einen K-Algebren-
Homomorphismus f ∗ : K(W ) → K(V ).
(ii) Jeder K-Algebren-Homomorphismus Φ : K(W ) → K(V ) ist von der Form Φ =
f ∗ für eine eindeutig bestimmte dominante rationale Abbildung f : V W .
(iii) Wenn f : V W und g : W Z dominant sind, dann gilt (g ◦ f) ∗ =
f ∗ ◦ g ∗ .
Beweis. Übung. (Hinweis: Kopiere den Beweis von Satz 1.3.6 und benutze Proposition
1.3.19 für die nötigen Modifikationen).
⊓⊔
Definition 1.3.21. Seien V und W affine Varietäten, V irreduzibel und U ⊆ V
offen. Ein Morphismus f : U → W ist eine rationale Abbildung f : V W
mit U ⊆ dom f. Sei U ′ ⊆ W, U ⊆ V offen. Ein Morphismus f : U → U ′ ist ein
Morphismus f : U → W mit f(U) ⊆ U ′ . Ein Isomorphismus ist ein Morphismus,
der eine Umkehrabbildung hat, die ebenfalls ein Morphismus ist (insbesondere muss
W dazu irreduzibel sein).

1.3 Reguläre Funktionen 21
Bemerkung 1.3.22. Für irreduzible affine Varietäten V und W über einem algebraisch
abgeschlossenen Körper K sagt Satz 1.3.14 (ii)
{f : V → W | Morphismus } = {f : V → W | polynomiale Abbildung}.
Beispiel 1.3.23. Die Abbildung
f : A 1 K −→ C = {(a, b) ∈ A 2 K | b 2 = a 3 }, t ↦−→ (t 2 , t 3 )
liefert einen Isomorphismus
f ∣ A 1
K \{0} : A1 K \ {0} −→ C \ {(0, 0)}.
Dazu: f : A 1 K → C ist polynomial und g : C
mit dom g = C \ {(0, 0)}. Die Abbildungen
A K 1 , (x, y) ↦−→ y x
ist rational
A 1 K \ {0}
f ⇄
g
C \ {(0, 0)}
sind zueinander invers.
Definition 1.3.24. Sei V eine irreduzible affine Varietät und f ∈ K[V ]. Dann heißt
V f := {P ∈ V | f(P ) ≠ 0} = V/V (f) eine standard offene Menge.
Proposition 1.3.25. Sei V irreduzible affine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen
Körper K und 0 ≠ f ∈ K[V ]. Dann ist V f isomorph zu einer irreduziblen
affinen Varietät und es gilt
K[V f ] = K[V ][f −1 ] ⊆ K(V ).
Beweis. Sei J = I(V ) ⊆ K[X 1 , . . . , X n ] ein Primideal und f = F ∣ V
, F ∈
K[X 1 , . . . , X n ]. Für I = (J, Y F − 1) ∈ K[X 1 , . . . , X n , Y ] (vgl. Beweis des Hilbertschen
Nullstellensatzes 1.2.16) und W := V (I) ⊆ A n+1
K
betrachte die Abbildungen
und
q : A n K
Dann gilt V f ⊆ dom q und
p : A n+1
K
−→ A n K, (P, p n ) ↦−→ P
A n+1
K , P ↦−→ (P, f(P )−1 ).
q| V : V W ist rational mit dom (q| V ) = V f ,
p| W : W −→ V f ist polynomial und surjektiv.
Es gilt p ◦ q| Vf = id Vf und q ◦ p| W = id W . Insbesondere ist p| W : W → V f ist eine
Bijektion. Wir versehen V f mit der Struktur einer affinen irreduziblen Varietät,
bezüglich der p| W zu einem Isomorphismus wird. Dazu setzen wir
K[V f ] := {h ∈ K(V ) | dom h ⊇ V f }.

22 1 Affine Varietäten
p
q
W
V(f)
V
Abb. 1.2. W = {(P, p n ) | P ∈ V f , p n f(P ) = 1}
Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, gilt nach Satz 1.3.14(iii), dass
K[V f ] = K[V ][f −1 ].
Da V irreduzibel ist, ist K[V ] und damit auch K[V ][f −1 ] nullteilerfrei. Wir behaupten,
dass für h ∈ K(V ) gilt
(∗) h ∈ K[V f ] ⇐⇒ h ◦ p| W ∈ K[W ].
Um ⇒“ einzusehen, stellt man zunächst fest, dass p| ” W : W → V wegen p| W (W ) =
V f ≠ ∅ dominant ist. Nach Bemerkung 1.3.18 gilt dann wegen h ∈ K(V ), dass
(p| W ) ∗ (h) = h ◦ p| W ∈ K(W ). Aus V f ⊆ domh folgt W ⊆ dom(h ◦ p| W ), also liefert
Satz 1.3.14(ii) für algebraisch abgeschlossenes K, dass h ◦ p| W ∈ K[W ]. Umgekehrt
impliziert h ◦ p| W ∈ K[W ], dass h = h ◦ p| W ◦ q ∈ K(V ) mit dom h ⊇ V f , weil für
h ◦ p| W = H ∈ K[W ] und P ∈ V f gilt h(P ) = H ( P, f(P ) −1) .
Mit (∗) ergibt sich, dass
(p| W ) ∗ : K[V f ] → K[W ],
h ↦→ h ◦ p| W
↑ 25.5.2012 ↑
ein Isomorphismus von K-Algebren ist. Damit ist K[V f ] eine endlich erzeugte nullteilerfreie
K-Algebra. Insbesondere sieht man an dieser Stelle, dass W irreduzibel ist.
Die Bijektion (p| W ) −1 : V f → W ⊆ A n+1
K
zeigt dann, dass V f eine affine Varietät ist.
Wenn π j : A n+1
K
→ K die j-te Koordinatenprojektion ist, dann sind die zugehörigen
Erzeuger von K[V f ] gerade die π j ◦ (p| W ) −1 : V f → K. Die Irreduzibilität von V f
folgt aus der Nullteilerfreiheit von K[V f ].
⊓⊔
Beispiel 1.3.26. Für algebraisch abgeschlossenes K ist GL(n, K) ist eine irreduzible
affine Varietät und die Gruppenoperationen sind Morphismen (Übung).
Bemerkung 1.3.27. Die standard offenen Mengen einer irreduziblen affinen Varietät
V formen eine Basis der Zariski-Topologie: Wenn U ⊆ V offen ist, dann
ist V \ U abgeschlossen, d.h. V \ U = V (I) für ein Ideal I ⊆ K[V ]. Man erhält
V \ U = ∩ V (f) und schließlich U = ∪ V f .
f∈I
Wir halten fest:
f∈I
• Die wichtigen Objekte der affinen algebraischen Geometrie sind die Zariskioffenen
Teilmengen irreduzibler affiner Varietäten.

1.3 Reguläre Funktionen 23
• Die zugehörigen Abbildungen sind die Morphismen.
• Die Einschränkung auch auf offene Teilmengen wird nötig durch das natürliche
Auftauchen rationaler Abbildungen, die nicht überall regulär sind.
• Geometrische Eigenschaften der Varietäten lassen sich in algebraische Eigenschaften
der zugehörigen Koordinatenringe übersetzen. Dies funktioniert besonders
gut auf dem Niveau der irreduzibler affinen Varietäten.
• Später wird man allgemeine Varietäten aus offenen Teilmengen irreduzibler affiner
Varietäten zusammensetzen.
Übung 1.3.1. Zeige, dass jede rationale Abbildung f : V W eine bzgl. der von
der Zariski-Topologie induzierten Topologie auf dom f stetige Abbildung f : dom f → W
induziert.
Hinweis: Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Übung 1.3.2. Seien W ⊆ A n K, V ⊆ A m K algebraische Mengen, und f : W → V eine
polynomiale Abbildung. Zeige, dass
ein Algebren-Homomorphismus ist.
f ∗ : K[V ] → K[W ], g ↦→ f ∗ (g) := g ◦ f
Übung 1.3.3. Seien U ⊆ A n K, V ⊆ A m K , W ⊆ A l K algebraische Mengen. Zeige:
1. Ist f : V → W polynomial, so ist f stetig (bzgl. der Zariski-Topologie).
2. Ist f : V → W polynomial und surjektiv, so ist f ∗ : K[W ] → K[V ] injektiv.
3. Sind f : U → V , g : V → W polynomiale Abbildungen, so gilt
Außerdem gilt (id W ) ∗ = id K[W ] .
(g ◦ f) ∗ = f ∗ ◦ g ∗ : K[W ] → K[U] .
Übung 1.3.4. Zeige, dass der Koordinatenring der Neilschen Parabel
C := {(x, y) ∈ A 2 C | x 3 − y 2 = 0}
isomorph zu C[t 2 , t 3 ] ⊆ C[t] ist und folgere, dass C nicht isomorph zu A 1 C ist.
Übung 1.3.5. Seien V ⊆ A n K, W ⊆ A m K algebraisch, und seien f, g : V → W polynomiale
Abbildungen. Zeige: Ist f ∗ = g ∗ , so folgt f = g.
Übung 1.3.6. Zeige, dass jeder affin-lineare Unterraum U ⊆ A n K eine irreduzible algebraische
Menge ist.
Übung 1.3.7. Zeige, dass Bilder algebraischer Mengen unter polynomialen Abbildungen
nicht notwendig algebraisch sind. Betrachte hierzu die Abbildung
f : A 2 C → A 1 C, (x, y) ↦→ x .
Übung 1.3.8. Zeige, dass die Hyperbel C := {(x, y) ∈ A 2 C | xy = 1} nicht isomorph zu A 1 C
ist.
Übung 1.3.9. Seien F := X 2 + 3Y − 4 und G := XY + 3X − 4 zwei Polynome aus
K[X, Y ]. Bestimme eine algebraische Menge V ⊆ A 2 K, so dass F und G als Elemente von
K[V ] aufgefasst gleich sind.
Übung 1.3.10. Es sei V eine affine Varietät mit Koordinatenring K[V ]. Seien {x 1 , . . . , x n }
und {y 1 , . . . , y m } zwei Systeme von Erzeugern von K[V ], so dass
φ : V → A n K, P ↦→ (x 1(P ), . . . , x n(P )) und ψ : V → A m K , P ↦→ (y 1(P ), . . . , y m(P ))
injektive Abbildungen mit algebraischen Bildern φ(V ), ψ(V ) sind. Zeige: φ(V ) und ψ(V )
sind isomorph als algebraische Mengen.
Bemerkung: Dies zeigt, dass die von φ bzw. ψ induzierte Zariski-Topologie auf V wohldefiniert
ist.

24 1 Affine Varietäten
Übung 1.3.11. Beschreibe den lokalen Ring O A 1
C
,x der Geraden A 1 C in einem Punkt x ∈
A 1 C.
Übung 1.3.12. Sei I := (X 2 +Y 2 −Z 2 ) ⊆ K[X, Y, Z] und J := (X 2 Y 2 +2X−1) ⊆ K[X, Y ],
und sei φ : K[X, Y, Z] → K[X, Y ] der K-Algebrenhomomorphismus definiert durch
φ(X) := X, φ(Y ) := XY, φ(Z) := 1 − X .
1. Zeige, dass φ einen K-Algebrenhomomorphismus ˜φ zwischen den Koordinatenringen
der algebraischen Mengen V (I) und V (J) induziert, d.h. zeige dass ˜φ : K[V (I)] →
K[V (J)] gegeben durch ˜φ(f + I) := φ(f) + J wohldefiniert ist.
2. Bestimme die polynomiale Abbildung f : V (J) → V (I), die ˜φ induziert, d.h. f ∗ = ˜φ
erfüllt.
3. f lässt sich zu einer polynomialen Abbildung A 2 C → A 3 C fortsetzen, allerdings nicht auf
eindeutige Art. Gebe zwei verschiedene Fortsetzungen von f an.
Übung 1.3.13. Zeige, dass der Koordinatenring K[V ] einer irreduziblen affinen Varietät V
ein Integritätsbereich ist.
Übung 1.3.14. Betrachte die Abbildung f : A 1 C → A 2 C, t ↦→ (t 2 − 1, t 3 − t).
1. Zeige: f ist eine polynomiale Abbildung von A 1 C nach V := V (Y 2 − X 2 (X + 1)).
Skizziere die reellen Punkte von V , d.h. V ∩ R 2 .
2. Bestimme den zugehörigen C-Algebrenhomomorphismus f ∗ der Koordinatenringe.
3. Zeige: Der von f ∗ induzierte Körperhomomorphismus K(V ) → K(A 1 C) ist ein Isomorphismus.
Hinweis: Gebe den inversen Körperhomomorphismus an.
Übung 1.3.15. Diskutiere die Begriffe polynomiale/rationale/dominante Funktion/Abbildung,
Definitionsbereich, reguläre Punkte, (Iso-)Morphismus, standard offene Menge anhand der
Abbildung
f : A 1 C → A 2 C, t ↦→ (t 2 − 1, t 3 − t)
und ihren Variationen (Einschränkungen, Inverse, etc.).
Übung 1.3.16. Es sei C = V (Y 2 − X 3 ) ⊆ A 2 C.
1. Zeige, dass die polynomiale Abbildung f : A 1 C → C, t ↦→ (t 2 , t 3 ) eine rationale Inverse,
g, besitzt und bestimme dom g.
2. Zeige, dass f und g einen Isomorphismus der offenen Mengen A 1 C \{0} und C \{(0, 0)}
liefern.
Übung 1.3.17. Es sei V = V (Y − XZ) ⊆ A 3 K. Zeige, dass es Geraden L ⊆ V und M ⊆ A 2 K
gibt, so dass V \ L isomorph ist zu A 2 K \ M.
Hinweis: Betrachte die Projektion (x, y, z) ↦→ (x, y).
Übung 1.3.18. Seien f : V W , g : W X rationale Abbildungen. Zeige, dass der
Definitionsbereich von g ◦ f echt größer sein kann als dom f ∩ f −1 (dom g).
Hinweis: Dies kann passieren, wenn f und g inverse rationale Abbildungen sind, betrachte
z.B. f, g wie in Übung 1.3.16.
Übung 1.3.19. Sei V = V (XT −Y Z) ⊆ A 4 C. Erkläre, warum C[V ] nicht faktoriell ist (Idee
genügt). Es sei f := X/Y ∈ C(V ). Bestimme dom f und zeige, dass dom f echt größer ist
als V \ V (Y ).

2
Projektive Varietäten
2.1 Projektive Räume
Definition 2.1.1. Sei K ein Körper. Der projektive Raum PK
n
Mengen aller eindimensionalen linearen Unterräume von K n+1 .
Der projektive Raum lässt sich wie folgt beschreiben:
P n K := {Geraden in K n+1 } = {K(x 0 , . . . , x n ) | (x 0 , . . . , x n ) ≠ 0}
=: {(x 0 : . . . : x n ) | (x 0 , . . . , x n ) ≠ 0},
über K ist die
d.h. (x 0 : . . . : x n ) = (λx 0 : . . . : λx n ) für alle λ ∈ K \ {0}. Anders ausgedrückt,
man betrachtet auf K n+1 \ {0} die Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen
die Geraden durch Null (ohne den Nullpunkt) sind. Dann bezeichnet man die
Äquivalenzklasse von (x 0 , . . . , x n ) mit (x 0 : . . . : x n ).
Man kann die affinen Räume über K als Teilmengen der projektiven Räume
auffassen. Genauer gesagt, hat man die folgenden Einbettungen:
für i = 0, . . . , n.
Beispiel 2.1.2.
j i : A n K ↩→ P n K, (x 1 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 : . . . : x i−1 : 1 : x i+1 : . . . : x n )
A 1 K
\ {0}
j−1
0 ◦j 1
−→ A 1 K \ {0}
x ↦−→ (x : 1) = (1 : 1 x ) ↦−→ 1 x
}
Isomorphie
A K
1
A K
1
1
A K
(x:1)
(1:1/x)
1
(x,1)
x
A K
1
A K
1
1/x
(1,1/x)
horizontal
1
1
P
K
vertikal

26 2 Projektive Varietäten
↑ 30.5.2012 ↑
Es bieten sich hier zwei Alternativen an, die Theorie affiner Varietäten zu verallgemeinern:
• Durch einen Verklebungsprozess gleich allgemeine Varietäten einführen.
Beispiel: Verklebung zweier Kopien von C zu PC 1 wie in Beispiel 2.1.2, illustriert
durch die Stereographische Projektion.
1
1
x
y
x : 1 = 1 : y
• Eine allgemeinere Klasse von Varietäten durch Einbetten in projektive Räume
definieren.
Als Beispiel betrachte C = {(x : y : z) | y 2 z = x 3 + axz 2 + bz 3 } ⊆ P 2 K . Seien
C 0 := {(x, y) | y 2 = x 3 + ax + b} ⊆ A 2 K
j 3
↩→ P 2 K
und
Dann gilt
C 1 := {(x, z) | z = x 3 + axz 2 + bz 3 } ⊆ A 2 K
j 2
↩→ P 2 K.
C = j 3 (C 0 ) ∪ j 2 (C 1 ) und j 3 (C 0 ) ∩ j 2 (C 1 ) = {(x : y : z) ∈ C | y ≠ 0 ≠ z}.
Die Abbildung
C 0 \ {(x, 0) ∈ C 0 } j−1 2 ◦j 3
−→ C 1 \ {(x, 0) ∈ C 1 }
( x
(x, y) ↦−→ (x : y : 1) =
y : 1 : 1 ) ( x
↦−→
y y , 1 )
y
ist dann ein Isomorphismus. Die Interpretation ist, dass C 0 und C 1 fast“ isomorph
sind, weil beide dichte offene Stücke in ein und demselben großen Objekt
”
(der projektiven Kurve“ C) sind. Dies ist analog zur projektiven Vereinheitlichung
der ”
Kegelschnitte.
Wir gehen hier den zweiten Weg.
2.2 Graduierte Ringe und homogene Ideale
Definition 2.2.1. Sei K ein Körper. Ein Polynom f ∈ K[X 0 , . . . , X n ] heißt homogen
vom Grad d, wenn es von der Form
f = ∑ a i0,...,i n
X i 0
0 . . . Xin n
mit a i0 ,...,i n
≠ 0 nur für i 0 + . . . + i n = d ist.

2.2 Graduierte Ringe und homogene Ideale 27
Beachte, dass sich jedes Polynom f in K[X 0 , . . . , X n ] in eindeutiger Weise in der
Form f = f 0 + f 1 + . . . + f N mit f d homogen von Grad d schreiben lässt. Die von
Null verschiedenen f j nennt man die homogenen Komponenten von f.
Proposition 2.2.2. (i) Sei f ∈ K[X 0 , . . . , X n ] homogen vom Grad d. Dann gilt
f(λX 0 , . . . , λX n ) = λ d f(X 0 , . . . , X n ) für alle λ ∈ K.
(ii) Wenn |K| = ∞, dann gilt auch die Umkehrung.
Beweis. (i) Dies sieht man durch Ausklammern.
(ii) Setze
F (X 0 , . . . , X n , Y ) = f(Y X 0 , . . . , Y X n ) − Y d f(X 0 , . . . , X n )
Dann folgt aus Lemma 1.1.3, dass F = 0, weil F (a 0 , . . . , a n , b) = 0 für alle
a j , b ∈ K. Sei jetzt f = ∑ a i0,...,i n
X i0
0 . . . Xin n . Dann gilt
( ∑
F = ai0...i n
Y ∑ ) (
i j
X i0
0 . . . ∑ )
Xi n
n − ai0...i n
Y d X i0
0 . . . Xi n
n
und i 0 + . . . + i n = d für alle (i 0 , . . . , i n ) mit a i0,...,i n
≠ 0.
⊓⊔
Mit K = {0, 1} und f(X) = X + X 2 sieht man, dass man auf die Bedingung
|K| = ∞ in Proposition 2.2.2 nicht verzichten kann.
Definition 2.2.3. Ein Ideal I ✂ K[X 0 , . . . , X n ] heißt homogen, wenn für jedes
f = f 0 + . . . + f n ∈ I mit f d homogen vom Grad d gilt f j ∈ I für jedes j = 0, . . . , n.
I ist genau dann homogen, wenn I von homogenen Polynomen erzeugt wird.
Wenn nämlich I homogen ist, dann bilden die homogenen Komponenten jedes Erzeugendensystems
für I selbst ein Erzeugendensystem. Umgekehrt, wenn {g α ∈ I |
α ∈ A} das Ideal I erzeugt, dann ist jedes f ∈ I eine endliche Summe von Elementen
der Form h α g α mit h α ∈ K[X 0 , . . . , X n ]. Indem man das h α in homogene
Komponenten zerlegt, kann man dabei h α sogar als homogen voraussetzen. Dann ist
auch h α g α homogen. Fasst man die Terme gleichen Grades zusammen, erhält man
die Zerlegung von f in homogene Komponenten, die deshalb in I liegen müssen.
Beachte, dass für ein homogenes Polynom f ∈ K[X 0 , . . . , X n ] und 0 ≠ λ ∈ K
gilt
∀(x 0 , . . . , x n ) ∈ A n+1
K
: f(x 0 , . . . , x n ) = 0 ⇔ f(λx 0 , . . . , λx n ) = 0. (2.1)
Für inhomogene Polynome ist diese Äquivalenz normalerweise nicht gegeben, wie
man an dem Beispiel des Polynoms X − 1 über R sieht. Da auch für homogene
Polynome im Allgemeinen f(x 0 , . . . , x n ) ≠ f(λx 0 , . . . , λx n ) für λ ≠ 1 gilt, kann man
keine Funktion auf PK n durch (x 0 : . . . : x n ) ↦→ f(x 0 , . . . , x n ) definieren. Mithilfe von
(2.1) lässt sich aber zumindest eine Verschwindungsmenge in PK n definieren. ↑ 31.5.2012 ↑
Definition 2.2.4. Sei f ∈ K[X 0 , . . . , X n ] homogen, dann ist
V (f) := {(x 0 : . . . : x n ) ∈ P n K | f(x 0 , . . . , x n ) = 0}
eine wohldefinierte Teilmenge von PK n , die wir die Verschwindungsmenge von f
nennen. Sei I ⊆ K[X 0 , . . . , X n ] ein homogenes Ideal, dann ist auch die Verschwindungsmenge
V (I) := {(x 0 : . . . : x n ) | ∀f ∈ I homogen : f(x 0 , . . . , x n ) = 0}

28 2 Projektive Varietäten
von I wohldefiniert. Für X ⊆ P n K
betrachtet man das von
{f ∈ K[X 0 , . . . , X n ] | f homogen, ∀(x 0 : . . . : x n ) ∈ X : f(x 0 , . . . , x n ) = 0}
erzeugte Verschwindungsideal I(X), das nach Konstruktion homogen ist.
Proposition 2.2.5. Wenn |K| = ∞ und X ⊆ PK n , dann gilt
I(X) = {f ∈ K[X 0 , . . . , X n ] | ∀(x 0 : . . . : x n ) ∈ X : f(x 0 , . . . , x n ) = 0}. (2.2)
Beweis. Wir bezeichnen die rechte Seite von (2.2) mit I und stellen fest, dass I ein
Ideal in K[X 0 , . . . , X n ] ist, also I(X) enthält.
Sei jetzt (x 0 , . . . , x n ) mit (x 0 : . . . : x n ) ∈ X fest gewählt. Für f ∈ I setzen wir
F (Y ) = f(Y x 0 , . . . , Y x n ).
Dann folgt F (y) = 0 für alle y ∈ K \ {0}, also F ≡ 0, weil |K| = ∞.
Wenn f = f 0 + . . . + f N mit f j homogen von Grad j die Zerlegung von f in
homogene Komponenten ist, dann gilt F = Σ a j Y j mit a j = f j (x 0 , . . . , x n ), also
f j ∈ I. Also ist I homogen und die f j sind alle in I(X). Es folgt f ∈ I(X) und
damit die Behauptung.
⊓⊔
Beispiel 2.2.6. Für K = {0, 1} und X = {(0 : 1)} ⊆ P 1 K erfüllt f = X 1 + X 2 1 die
Gleichung f(0, 1) = 1 + 1 = 0, aber X 1 und X 2 1 verschwinden nicht auf (0 : 1). Es
gilt:
I(X) = ⟨{X a 0 X b 1 | a > 0}⟩ = (X 0 ).
Lemma 2.2.7. Für die Korrespondenz
{J ⊆ K[X 0 , . . . , X n ] | homogenes Ideale } I ⇆
V
{X ⊆ P n K | Teilmengen}
↑ 6.6.2012 ↑
gelten folgende Regeln
(i) V ({0}) = PK n, V (K[X 0, . . . , X n ]) = ∅.
(ii) I ⊂ J ⇒ V (J) ⊂ V (I).
(iii) V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J).
(iv) V ( ∑ I λ ) = ∩ V (I λ ).
λ
λ
Beweis. (i), (ii) sind klar.
(iii) Seien I, J homogene Ideale, dann ist auch I ∩ J ein homogenes Ideal, weil die
Zerlegung in homogene Komponenten eindeutig ist.
⊇“: V (I), V (J) ⊆ V (J ∩ I) gilt nach (ii).
”
⊆“: Sei P /∈ V (I) ∪ V (J). Dann gibt es f ∈ I und g ∈ J, beide homogen, mit
”
f(P ) ≠ 0 ≠ g(P ). Also ist fg homogen mit fg(P ) ≠ 0, aber fg ∈ I ∩ J.

2.2 Graduierte Ringe und homogene Ideale 29
(iv) Zeige zunächst, dass ∑ λ
I λ wieder homogen ist:
f = f λ1 + . . . + f λk ∈ ∑ λ
I λ
mit f λj ∈ I λj und f λj = f 0,j + . . . + f dj,j sei die Zerlegung in homogene Komponenten.
Dann gilt f m,j ∈ I λj und die Zerlegung von f in homogene Komponenten
hat die Form f = f 0 + . . . + f d , wobei f m = ∑ f m,j . Es folgt f m ∈ ∑ I λ .
Für P ∈ V ( ∑ )
I λ und fλ ∈ I λ homogen gilt f λ (P ) = 0. Also ist P ∈ ∩ V (I λ ).
λ
λ
Für die umgekehrte Inklusion, betrachte P ∈ ∩ V (I λ ) und f = f λ1 +. . .+f λk ∈
∑
λ
λ I λ homogen (und alle f λj homogen). Dann gilt f λj (P ) = 0, also f(P ) = 0
und daher P ∈ V ( ∑ λ I λ
)
.
⊓⊔
Definition 2.2.8. Die Mengen der Form V (I) in PK n heißen algebraisch und die algebraischen
Mengen sind die abgeschlossenen Mengen einer Topologie, der Zariski-
Topologie auf PK n.
Das folgende Lemma sollte mit Proposition 1.2.11 verglichen werden. Zur Vorbereitung
stellen wir fest, dass das Radikal rad(I) eines homogenen Ideals I selbst
homogen ist. Wenn nämlich f = f l + . . . + f d die Zerlegung von f ∈ rad(I) in
homogene Komponenten ist, dann gilt f k = fl k + g, wobei alle homogenen Komponenten
von g höheren Grad haben als Grad(fl k) = kl. Wenn also f k ∈ I, dann ist
fl
k ∈ I weil I homogen ist. Damit ist f l ∈ rad(I) und wir können mit Induktion
über die Anzahl der von Null verschiedenen homogenen Komponenten schließen,
dass f − f l ∈ rad(I) gilt.
Lemma 2.2.9. (i) Sei I homogen, dann ist rad(I) ⊆ I ( V (I) ) .
(ii) Für alle algebraischen Mengen X ⊆ P n K gilt V ( I(X) ) = X.
Beweis. (i) Sei (x 0 : . . . : x n ) ∈ V (I). Dann gilt g(x 0 , . . . , x n ) = 0 für alle homogenen
Elemente g ∈ I. Wenn f ∈ rad I homogen ist, gibt es ein m ∈ N
mit f m ∈ I und f m ist homogen. Also folgt f m (x 0 , . . . , x n ) = 0 und damit
f(x 0 , . . . , x n ) = 0. Das zeigt f ∈ I ( V (I) ) .
(ii) X ⊆ V ( I(X) ) gilt nach Definition. Wenn X algebraisch ist, dann lässt es sich
in der Form X = V (I) schreiben und man erhält I(X) = I ( V (I) ) . Aber dann
gilt I ⊆ I ( V (I) ) = I(X) und daher V ( I(X) ) ⊆ V (I) = X.
⊓⊔
↑ 13.6.2012 ↑
Um den affinen und den projektiven Fall vergleichen zu können, schreiben wir
vorübergehend V a , I a (affin) und V p , I p (projektiv).
Proposition 2.2.10. Sei J ✂ K[X 0 , . . . , X n ] homogen. Dann gilt nach Definition
und
V a (J) = {(x 0 , . . . , x n ) ∈ A n+1
K
| ∀f ∈ J : f(x 0 , . . . , x n ) = 0}
V p (J) = {P ∈ P n K | ∀f ∈ J homogen : f(P ) = 0}.
Wir können aber auch schreiben V p (J) = π ( V a (J) \ {0} ) , wobei
π : A n+1
K
\ {0} −→ P n K, (x 0 , . . . , x n ) ↦−→ (x 0 : . . . : x n )
die kanonische Projektion ist.

30 2 Projektive Varietäten
Beweis. Wenn (x 0 : . . . : x n ) ∈ π ( V a (J) \ {0} ) , dann existiert ein 0 ≠ λ ∈ K mit
(λx 0 , . . . , λx n ) ∈ V a (J). Also gilt für f ∈ J, homogen vom Grad d,
λ d f(x 0 , . . . , x n ) = f(λx 0 , . . . , λx n ) = 0,
also (x 0 : . . . : x n ) ∈ V p (J).
Umgekehrt, wenn (x 0 : . . . : x n ) ∈ V p (J) und f ∈ J homogen ist, dann gilt
f(λx 0 , . . . , λx n ) = 0 für alle 0 ≠ λ ∈ K. Für ein allgemeines f ∈ J mit der Zerlegung
f = f 0 + . . . + f d in homogene Komponenten gilt dann
f(λx 0 , . . . , λx n ) = λ 0 f 0 (x 0 , . . . , x n ) + . . . + λ d f d (x 0 , . . . , x n ) = 0,
weil die f j in J liegen. Daraus folgt (x 0 , . . . , x n ) ∈ V a (J).
⊓⊔
Diese Proposition zeigt, dass die projektiven algebraischen Mengen V p (J) ⊆ PK
n
den affinen algebraischen Mengen V a (J) ⊆ A n+1
K
mit V a (J)\{0} ≠ ∅ für homogene
J entsprechen.
Betrachte das homogene Ideal J 0 := (X 0 , . . . , X n ) ⊆ K[X 0 , . . . , X n ]. Es gilt
Mit Proposition 2.2.10 folgt
V a (J 0 ) \ {0} = ∅ = V a( K[X 0 , . . . , X n ] ) .
V p (J 0 ) = V p( K[X 0 , . . . , X n ] ) = ∅.
Man nennt J 0 deshalb das irrelevante Ideal.
Satz 2.2.11 (Projektiver Nullstellensatz).
und J ✂ K[X 0 , . . . , X n ] ein homogenes Ideal.
(i) V p (J) = ∅ ⇐⇒ rad(J) ⊇ (X 0 , . . . , X n ).
(ii) V p (J) ≠ ∅ =⇒ I p( V p (J) ) = rad(J).
Sei K algebraisch abgeschlossen
Beweis. (i) Es gilt
V p (J) = ∅ ⇐⇒ V a (J) ⊂ {0} ⇐⇒ 1.2.16
rad(J) ⊇ I a ({0}) = (X 0 , . . . , X n ).
(ii) Wenn V p (J) ≠ ∅, dann haben wir für homogenes f
f ∈ I p( V p (J) ) ⇐⇒ f ∈ I a( V a (J) ) ⇐⇒ f ∈ rad(J).
⊓⊔
Die Menge V a (J) ⊆ A n+1
K
heißt der affine Kegel über V p (J).
Korollar 2.2.12. K[X 0 , . . . , X n ] und (X 0 , . . . , X n ) sind die einzigen Ideale, die
(X 0 , . . . , X n ) enthalten. Die Abbildungen
{
} homogene I⇆
J K[X 0 , . . . , X n ] ∣
{X ⊆ P
Radikalideale K n | algebraische Teilmengen }
V
sind zueinander invers.
Sei X ⊆ P n algebraisch und irreduzibel (analog zum affinen Fall definiert, vgl.
Definition 1.2.17). Dann ist a priori nicht klar, ob V a( I(X) ) auch irreduzibel ist.

2.3 Reguläre Abbildungen 31
Lemma 2.2.13. Sei |K| = ∞ und X ⊆ P n K
algebraisch, dann gilt
X irreduzibel ⇐⇒ I(X) prim.
Beweis. ”
⇐=“: (vgl. Proposition 1.2.18) Für ∅ ̸= A 1 , A 2 X algebraisch mit A 1 ∪
A 2 = X gibt es f i ∈ I(A i )\I(X), weil andernfalls X = V ( I(X) ) = V ( I(A i ) ) =
A i
)
gelten würde. Sei P ∈ X. Dann haben wir P ∈ A1 oder P ∈ A 2 , also
f 1 f 2 (P ) = 0. Dies zeigt f 1 f 2 ∈ I(X) und es folgt, dass I(X) nicht prim ist.
” =⇒“: Wenn I(X) nicht prim ist, dann gibt es f 1, f 2 ∈ K[X 0 , . . . , X n ] \ I(X) mit
f 1 f 2 ∈ I(X). Seien f i = f 0,i +. . .+f di,i für i = 1, 2 die Zerlegungen in homogene
Komponenten. Wir setzen
I i := ( I(X), f 0,i , . . . , f di ,i)
, Ai := V (I i ).
und finden A i = V (I i ) ⊆ V ( I(X) ) = X. Wegen I(A i ) I(X) gibt es einen
Punkt Q i ∈ X und ein h i ∈ I(A i ) mit h i (Q i ) ≠ 0. Damit gilt Q i ∈ X \ A i , d.h.
wir haben sogar A i X. Weiter gilt X ⊆ A 1 ∪ A 2 , denn aus (x 0 : . . . : x n ) ∈ X
folgt nach Proposition 2.2.2
∀ λ ∈ K ∗ : f 1 f 2 (x 0 , . . . , x n ) = 0 = f 1 f 2 (λx 0 , . . . , λx n ).
Es gibt o.B.d.A. unendlich viele λ ∈ K ∗ mit
0 = f 1 (λx 0 , . . . , λx n ) = λ 0 f 0,1 (x 0 , . . . , x n ) + . . . + λ d1 f d1,1(x 0 , . . . , x n ).
Aber dann haben wir f i,1 (x 0 , . . . , x n ) = 0 für i = 0, . . . , d 1 und daher
(x 0 : . . . : x n ) ∈ V ( I(X), f 0,1 , . . . , f d1 ,1)
= A1 .
Dies zeigt, dass X nicht irreduzibel ist.
⊓⊔
Bemerkung 2.2.14.
{
J K[X 0 , . . . , X n ] ∣ homogene } I⇆
Primideale V
{
X ⊆ P n K
∣
irreduzible
algebraische Teilmengen
}
↑ 14.6.2012 ↑
2.3 Reguläre Abbildungen
Polynome definieren keine Funktionen auf einer projektiven algebraischen Menge
(außer für Grad 0).
Bemerkung 2.3.1. Sei V ⊆ PK n algebraisch irreduzibel.
(i) Auf
definiert
M :=
{
(g, h)
∣ g, h ∈ K[X 0 , . . . , X n ]
eine Äquivalenzrelation (Übung).
(g, h) ∼ (g ′ , h ′ ) :⇔ gh ′ − g ′ h ∈ I(V )
}
homogen vom gleichen Grad
und h /∈ I(V )

32 2 Projektive Varietäten
(ii) Für (g, h) ∈ M und (x 0 : . . . : x n ) ∈ V mit h(x 0 , . . . , x n ) ≠ 0 gilt
g(λx 0 , . . . , λx n )
h(λx 0 , . . . , λx n ) = λd g(x 0 , . . . , x n )
λ d h(x 0 , . . . , x n ) ,
wobei deg g = deg h = d und λ ≠ 0.
(iii) Für (g, h) ∼ (g ′ , h ′ ) mit h(x 0 , . . . , x n ), h ′ (x 0 , . . . , x n ) ≠ 0 gilt g(P )
h(P ) = g′ (P )
h ′ (P ) für
P = (x 0 : . . . : x n ).
Definition 2.3.2. Sei g h
:= [(g, h)] ∈ M/∼ die durch
V h −→ K, P ↦−→ g(P )
h(P )
auf V h := {(x 0 : . . . : x n ) ∈ V | h(x 0 , . . . , x n ) ≠ 0} definierte Funktion. Eine solche
Funktion heißt rationale Funktion auf V .
Definition 2.3.3. Sei V ⊆ PK
n algebraisch und irreduzibel sowie P ∈ V . Wenn
f ∈ K(V ) := M/∼, dann heißt f regulär in P (man sagt auch, P liegt im Definitionsbereich
von f), falls f = g h
= [(g, h)] mit h(P ) ≠ 0. Wir schreiben
dom (f) := {P ∈ V | f regulär in P }.
Bemerkung 2.3.4. (i) K(V ) ist ein Körper bzgl.
und
f 1 + f 2 = g 1
h 1
+ g 2
h 2
:= g 1h 2 + g 2 h 1
h 1 h 2
f 1 · f 2 = g 1
h 1
· g2
h 2
= g 1g 2
h 1 h 2
.
(ii) Die Verknüpfungen in (i) sind verträglich mit den punktweisen Verknüpfungen
der partiell definierten rationalen Funktionen.
Lemma 2.3.5. (i) O V,P = {f ∈ K(V ) | f regulär in P } ist ein Unterring von
K(V ).
(ii) dom f ist bzgl. der Zariski-Topologie dicht in V .
Beweis. (i) Für f 1 , f 2 ∈ O V,P haben wir f 1 = g1
h 1
, f 2 = g2
h 2
mit h 1 (P ) ≠ 0 ≠ h 2 (P ).
Dann gilt f 1 − f 2 = g 1h 2 −h 1 g 2
h 1 h 2
mit h 1 h 2 (P ) = h 1 (P ) h 2 (P ) ≠ 0 und f 1 · f 2 =
g 1g 2
h 1h 2
h 1 h 2 (P ) ≠ 0. Damit gilt also f 1 − f 2 , f 1 f 2 ∈ O V,P .

✤
2.3 Reguläre Abbildungen 33
(ii) Es genügt zu zeigen: ∅ ̸= dom f offen in V (vgl. Proposition 1.3.3 und Satz
1.3.14).
Wir führen das projektive Nennerideal J ein: dazu sei
{
D f := h ∈ K[X 0 , . . . , X n ] homogen ∣ ∃ g ∈ K[X }
0, . . . , X n ] homogen
mit deg g = deg h, f = g h
und J das von D f erzeugte homogene Ideal. Es ist dann
V \ dom f = {P ∈ V | h(P ) = 0 ∀ h ∈ D f } = V (J) ∩ V
algebraisch.
⊓⊔
Der Ring O V,P heißt der lokale Ring von V in P .
↑ 20.6.2012 ↑
Lemma 2.3.6. Sei V ⊆ P n K
algebraisch und irreduzibel sowie (vgl. Seite 25)
V (i) := j −1
i
(
V ∩ ji (A n K) ) ⊆ A n K.
Dann ist V (i) ⊆ A n K
affin algebraisch.
Beweis. O.B.d.A. sei i = 0 und V (0) ≠ ∅. Wenn J = I p (V ) ⊆ K[X 0 , . . . , X n ], dann
gibt es homogene g 1 , . . . , g k ∈ K[X 0 , . . . , X n ] mit J = (g 1 , . . . , g k ). Es gilt
P ∈ V (0) ⇔ P = (x 1 , . . . , x n ) und (1 : x 1 : . . . : x n ) ∈ V
⇔ P = (x 1 , . . . , x n ) und g j (1, x 1 , . . . , x n ) = 0 für j = 1, . . . , k
⇔ P ∈ V ( (˜g 1 , . . . , ˜g k ) ) mit ˜g j (X 1 , . . . , X n ) = g j (1, X 1 , . . . , X n ).
⊓⊔
Satz 2.3.7. Die Abbildungen
{V ⊆ PK n | V = ∅ oder V V (X 0 )} {W ⊆ A n K | irred.}
irred.
V ✤ V (0)
(Zariski-Abschluss) j 0 (W )
sind zueinander inverse Bijektionen.
Beweis. Setze φ(V ) := V (0) für V V (X 0 ) irreduzibel und ψ(W ) = j 0 (W ) für
W ⊆ A n K irreduzibel. Nach Lemma 2.3.6 ist φ(V ) ist algebraisch; außerdem ist ψ(W )
algebraisch nach Definition. Für (x 1 , . . . , x n ) ∈ W gilt (1 : x 1 : . . . : x n ) ∈ ψ(W )
und (x 1 , . . . , x n ) ∈ φ ◦ ψ(W ). Zusammen sieht man, dass W ⊆ φ ◦ ψ(W ) und es
folgt
ψ ◦ φ(V ) = j 0 (V (0) ) ⊆ V = V.
Behauptung 1: φ ◦ ψ = id auf den algebraischen Mengen in A n K .
Um das einzusehen, betrachtet man eine algebraische Menge W ⊆ A n K mit W =
V a (Ĩ) und Ĩ = (˜g 1, . . . , ˜g k ), wobei ˜g j ∈ K[X 1 , . . . , X n ]. Sei d ≥ max j {deg ˜g j }. Wir
setzen
W

34 2 Projektive Varietäten
g (d)
j := X d 0 ˜g j
(X 1
X 0
, . . . , X n
X 0
)
I := ( g (d)
1 , . . . , g(d) k
)
⊆ K[X0 , . . . , X n ]
und beachten, dass g (d)
j homogen vom Grad d und I ein homogenes Ideal ist. Wenn
jetzt (1 : x 1 : . . . : x n ) ∈ j 0 (W ), dann gilt g (d)
j (1, x 1 , . . . , x n ) = ˜g j (x 1 , . . . , x n ) = 0,
d.h. wir haben j 0 (W ) ⊆ V p (I). Es folgt ψ(W ) ⊆ V p (I) und damit φ ◦ ψ(W ) ⊆
φ ( V p (I) ) . Wir erhalten die folgenden Äquivalenzen
(x 1 , . . . , x n ) ∈ φ ( V p (I) ) ⇔ (1 : x 1 : . . . : x n ) ∈ V p (I)
⇔ ˜g j (x 1 , . . . , x n ) = g (d)
j (1 : x 1 : . . . : x n ) = 0 j = 1, . . . , k
a
⇔ (x 1 , . . . , x n ) ∈ V (Ĩ) = W,
die die Gleichheit φ ◦ ψ(W ) = W beweisen.
Behauptung 2: ψ ◦ φ = id auf den irreduziblen algebraischen Mengen in V ⊆ P n
mit V V (X 0 ).
Um das einzusehen, betrachten wir eine irreduzible algebraische Menge V ⊆ P n
mit V V (X 0 ). Dann gilt V ⊆ ( V ∩j 0 (A n K )) ∪ ( V ∩V (X 0 ) ) und, weil V irreduzibel
ist und V V (X 0 ) gilt, finden wir V ⊆ V ∩ (A n K
) ⊆ V . Damit rechnen wir
ψ ◦ φ(V ) = j 0
(
φ(V )
)
= j 0
(
j0
−1
= V ∩ j 0 (A n K )
= V.
(
V ∩ j0 (A n K )))
Behauptung 3: Ist W ⊆ A n K irreduzibel, so ist auch ψ(W ) ⊆ Pn K irreduzibel.
Sei dazu ψ(W ) = A 1 ∪ . . . ∪ A k die Zerlegung in irreduzible Komponenten
A j ⊆ PK n. Dann gilt W = φ ◦ ψ(W ) = φ(A 1) ∪ . . . ∪ φ(A k ) und wir können wegen
der Irreduzibilität von W o.B.d.A. annehmen W ⊆ φ(A 1 ). Mit Behauptung 2 folgt
dann ψ(W ) ⊆ A 1 .
Behauptung 4: Für irreduzibles V ⊆ PK n ist auch φ(V ) irreduzibel.
Dies ist klar für V ⊆ V (X 0 ). Für andere V erhalten wir nach Bemerkung 2 die
Identität V = ψ ( φ(V ) ) = V (0) und zerlegen die algebraische Teilmenge φ(V ) in
irreduzible Komponenten B j ⊆ A n K , d.h. φ(V ) = B 1 ∪ . . . ∪ B k . Dann gilt
j 0 (V (0) ) = j 0 (B 1 ∪ . . . ∪ B k ) = j 0 (B 1 ) ∪ . . . ∪ j 0 (B k ) ⊆ ψ(B 1 ) ∪ . . . ∪ ψ(B k )
⊆ ψ ( φ(V ) ) = V,
und durch Abschlussbildung ergibt sich
j 0 (V (0) ) = ψ(B 1 ) ∪ . . . ∪ ψ(B k ) = V.
↑ 21.6.2012 ↑
Die Irreduzibilität von V liefert dann o.B.d.A. V ⊆ ψ(B 1 ), also φ(V ) ⊆ φ◦ψ(B 1 ) =
B 1 .
⊓⊔

Proposition 2.3.8. V ⊆ P n K sei irreduzibel mit V V (X 0).
(i) I a (V (0) ) = { ˜f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] | f ∈ I p (V )}, wobei
˜f(X 1 , . . . , X n ) = f(1, X 1 , . . . , X n ).
2.3 Reguläre Abbildungen 35
(ii) Die Menge I p (V ) d der homogenen Elemente vom Grad d in I p (V ) ist
I p (V ) d = {f (d) ∈ K[X 0 , . . . , X n ] | ˜f ∈ I a (V (0) ) mit deg ˜f ≤ d}.
Dabei sind die f (d) die durch
f (d) (X 0 , . . . , X n ) = X d 0 ˜f ( X 1
X 0
, . . . , X n
X 0
)
definierten homogenen Elemente vom Grad d.
Beweis. (i) Für (x 1 , . . . , x n ) ∈ V (0) gilt (1 : x 1 : . . . : x n ) ∈ V und für f ∈ I p (V )
folgt, dass ˜f(x 1 , . . . , x n ) = f(1, x 1 , . . . , x n ) = 0. Also gilt ˜f ∈ I a (V (0) ).
Umgekehrt sei ˜f ∈ I a (V (0) ). Dann gilt für d ≥ deg ˜f
f (d) (x 0 , . . . , x n ) = x d ˜f
( x1
0 , . . . , x )
n
= 0
x 0 x 0
für alle (x 0 : . . . : x n ) ∈ j 0 (V (0) ), weil für diese ( x 1
x 0
, . . . , x n
x0
)
∈ V(0) gilt. Wegen
j 0 (V (0) ) = V folgt f (d) (x 0 : . . . : x n ) = 0 für alle (x 0 : . . . : x n ) ∈ V und daher
f (d) ∈ I p (V ).
Wenn f := f (d) , dann gilt ˜f(X 1 , . . . , X n ) = f(1, X 1 , . . . , X n ) und das beweist
(i).
(ii) Wir haben schon gezeigt, dass f (d) ∈ I p (V ) d für ˜f ∈ I a (V (0) ) mit deg f ≤ d.
Umgekehrt, wenn f ∈ I p (V ) d , dann gilt
(
f(X 0 , . . . , X n ) = X0 d f 1, X 1
, . . . , X )
n
X 0 X 0
= X0 d ˜f
( X1
, . . . , X )
n
X 0 X n
= f (d) (X 0 , . . . , X n )
und wir haben schon gezeigt, dass ˜f ∈ I a (V (0) ).
⊓⊔
Proposition 2.3.9. Sei V ⊆ P n K irreduzibel mit V V (X 0).
(i) K(V ) ∼ = K(V (0) ).
(ii) Sei f ∈ K(V ), dann hat f als Element von K(V (0) ) den Definitionsbereich
( )
dom(f) .
j −1
0
Beweis. (i) f = g h ∈ K(V ) mit g, h ∈ K[X 0, . . . , X n ] homogen von Grad d.
Setze φ(f) := ˜g˜h mit ˜g, ˜h wie zuvor. Wir haben die folgende Implikationen
g
h = g′
h ′ ∈ K(V ) =⇒ gh′ − g ′ h ∈ I p (V )
=⇒ ˜g ˜h ′ − ˜g ′˜h ∈ I a (V (0) )
=⇒ ˜g˜h
= ˜g′ ∈ K(V (0)).
˜h′

36 2 Projektive Varietäten
Also ist φ eine wohldefinierte Abbildung K(V ) −→ K(V (0) ). Es ist Routine
zu verifizieren, dass φ ein Körperhomomorphismus ist. Die Abbildung φ
surjektiv: Wenn ˜g, ˜h ∈ K[X 1 , . . . , X n ], ˜h ≠ 0, d ≥ deg ˜g, deg ˜h, setze
g := g (d) und h := h (d) mit den Notationen aus Proposition 2.3.8(ii). Dann
gilt g, h ∈ K[X 0 , . . . , X n ] d . Also haben wir
( g
φ =
h)
g(1, X 1, . . . , X n )
h(1, X 1 , . . . , X n ) = ˜g(X 1, . . . , X n )
˜h(X1 , . . . , X n ) = ˜g˜h
und φ ist ein Körperisomorphismus.
(ii) Dies folgt aus den logischen Äquivalenzen
(x 1 , . . . , x n ) ∈ j0
−1 ( )
dom(f) ⇐⇒ (1 : x1 : . . . : x n ) ∈ dom f ∩ j 0 (V (0) )
⇐⇒ ∃ f = g h mit h(1 : x 1 : . . . : x n ) ≠ 0
⇐⇒ ∃ ˜g˜h
= φ(f) mit ˜h(x 1 , . . . , x n ) ≠ 0
⇐⇒ (x 1 , . . . , x n ) ∈ dom φ(f).
↑ 27.6.2012 ↑
⊓⊔
Definition 2.3.10. Sei V ⊆ PK n irreduzibel. Eine rationale Abbildung f :
V A m K ist ein m-Tupel f = (f 1, . . . , f m ) mit f j ∈ K(V ). Eine rationale Abbildung
f : V PK m ist eine Äquivalenzklasse von (m+1)-Tupeln (f 0 , . . . , f m )
mit f j ∈ K(V ), wobei
(f 0 , . . . , f m ) ∼ (f ′ 0, . . . , f ′ m) :⇐⇒ ∃ 0 ≠ h ∈ K(V ) mit (f 0 , . . . , f m ) = (hf ′ 0, . . . , hf ′ m).
Wir schreiben (f 0 : . . . : f m ) für die Klasse von (f 0 , . . . , f m ).
Definition 2.3.11. Eine rationale Abbildung f : V PK m heißt regulär in
P ∈ V , wenn f = (f 0 : . . . : f m ) ist für ein (m+1)-Tupel (f 0 , . . . , f m ) mit f j ∈ K(V ),
die folgende Eigenschaften erfüllen
(a) f j ist regulär in P für alle j, d.h. P ∈ ∩ dom f j (offen und dicht),
j
(b) Es gibt ein j mit f j (P ) ≠ 0.
Die Menge der Punkte P in denen f regulär ist, heißt der Definitionsbereich von
f und wird mit dom f bezeichnet. Wenn dom f = V , dann heißt f regulär.
Sei f : V PK m eine rationale Abbildung und P ∈ dom f. Dann hat f einen
Repräsentanten (f 0 , . . . , f m ) ∈ K(V ) m+1 , für den nicht alle f j (P ) verschwinden.
Also definiert f(P ) := ( f 0 (P ) : . . . : f m (P ) ) einen Punkt in PK m . Dieser Punkt ist
nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängig, solange nicht alle Komponenten
auf P verschwinden. Also kann man auf diese Weise eine Abbildung
dom f −→ PK m , P ↦−→ f(P ) := ( f 0 (P ) : . . . : f m (P ) )
definieren.
Definition 2.3.12. Sei V ⊆ PK n irreduzibel und W ⊆ Pm K algebraisch. Wenn U ⊆ V
offen ist, dann heißt eine Abbildung f : U → W ein Morphismus, wenn es eine
rationale Abbildung F : V PK m mit dom F ⊃ U und F | U = f gibt.

2.3 Reguläre Abbildungen 37
Bemerkung 2.3.13. Sei f : U → W ein Morphismus. Dann ist F durch f eindeutig
bestimmt: O.B.d.A. f(U) V (X 0 ), andernfalls ersetzt man W durch den Abschluss
von f(U) in V (X 0 ). Wir können also annehmen, dass für F = (F 0 : . . . : F m ) gilt
F 0 ≠ 0. Dann gibt es ein P ∈ U mit F 0 (P ) ≠ 0. Indem man U gegebenenfalls
verkleinert, kann man also annehmen, dass F = (1 : F 1 : . . . : F m ) und für alle
P ∈ U gilt f(P ) = ( 1 : F 1 (P ) : . . . : F m (P ) ) . Zu zeigen ist dann, dass die F j durch
ihre Werte auf U festgelegt sind.
Es genügt also zu zeigen, dass ein F j ∈ K(V ) durch die Werte der Funktion
P ↦→ F j (P ) auf einer nichtleeren offenen Teilmenge U von dom F j schon eindeutig
festgelegt ist. Nach Proposition 2.3.9 reicht es zu zeigen, dass ein F ∈ K(V (0) ) durch
seine Werte auf einer nichtleeren offenen Teilmenge von V (0) vollständig bestimmt
ist. Dazu betrachten wir g, g ′ , h, h ′ ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mit h| V(0) ≠ 0 ≠ h ′ | V(0) . Sei
U ⊆ V (0) offen und im Definitionsbereich von g h , g′
h
∈ K(V ′
(0) ) enthalten. Wenn
∣
g ∣
h U
= g′ ∣U
h
, dann gilt gh ′ − g ′ h ∈ I a (U) = I a (U) und g ′ h = g′
h
∈ K(V ′ (0) ), wobei
U = V (0) der Zariski-Abschluss von U in der irreduziblen algebraischen Menge V (0)
ist.
Beispiel 2.3.14. Sei f : P 1 K
f(x 0 : x 1 ) = ( 1 : x 1
x 0
: . . . : ( x 1
x 0
) m )
=
(
x
m
0
P m K durch f j :=
(
x1
x 0
) j
gegeben. Dann gilt
: x m−1
)
0 x 1 : . . . : x m 1
und dom f = PK 1. Also ist f regulär, d.h. f : P1 K → Pm K
haben
ist ein Morphismus. Wir
P = (x 0 : . . . : x n ) ∈ C := f ( P 1 K
) Übung
⇐⇒ xi x j+1 = x j x i+1 ∀i, j = 0, . . . , m − 1,
also ist C = V ( (X i X j+1 − X j X i−1 | i, j = 0, . . . , m − 1) ) ist eine projektive
algebraische Menge.
Wir behaupten, dass C irreduzibel ist: Es gilt C ∩ V (0) = {(t, t 2 , . . . , t m ) | t ∈ K}
und
φ : K −→ C ∩ V (0)
t ↦−→ (t, t 2 , . . . , t m )
ist bijektiv sowie Zariski-stetig (Übung). Wenn C ∩ V (0) = A 1 ∪ A 2 , dann gilt K =
φ −1 (A 1 ) ∪ φ −1 (A 2 ) und wir können o.B.d.A. annehmen, dass φ −1 (A 1 ) = K. Dies
zeigt dann A 1 = C ∩ V (0) und das beweist nach Proposition 2.3.7 die Behauptung.
Sei g : C PK 1 gegeben durch g 0 = 1, g 1 = x1
x 0
. Dann gilt g(x 0 : x 1 :
. . . : x m ) = ( 1 : x )
1
x 0
= (x0 : x 1 ) und die Abbildung ist auf G \ {(0 : . . . : 0 : 1)}
definiert. Wählt man dagegen g 0 = x m−1
x m
, g 1 = 1, erhält man g(x 0 : x 1 : . . . :
x m ) = ( x m−1
x m
: 1 ) = (x m−1 : x m ) und die Abbildung ist auf G \ {(1 : 0 : . . . : 0)}
definiert. Auf dem Schnitt der beiden Definitionsbereiche stimmen die Abbildungen
wegen x 0 x m = x m−1 x 1 überein. Also lässt sich g durch g(0 : . . . : 0 : 1) = (0 : 1)
zu einem Morphismus g : C → PK 1 fortsetzen. Weiter haben wir g ◦ f = id PK
1 und
f ◦ g = id C . Damit ist g ein Isomorphismus, d.h. ein invertierbarer Morphismus,
dessen Umkehrung auch ein Morphismus ist.

38 2 Projektive Varietäten
Birationale Abbildungen
Definition 2.3.15. Seien V und W irreduzible algebraische Mengen (projektiv oder
affin). Eine rationale Abbildung f : V W (d.h. eine rationale Abbildung
f : V PK m mit f(domf) ⊂ W ) heißt birational, wenn es eine rationale
Abbildung g : W V mit ∅ ̸= g −1 (dom f) ⊆ dom g und ∅ ̸= f −1 (dom g) ⊆
dom f gibt, für die gilt
• f ◦ g = id auf g −1 (dom f),
• g ◦ f = id auf f −1 (dom g).
Wie im affinen Fall heißt f : V W dominant, wenn f(domf) dicht in
W ist. Es ist dann für jede rationale Abbildung g : W U die Verknüpfung
g ◦ f : V U als rationale Abbildung definiert:
f −1 (domg)
f
domg
g
U
domf
f
W
V
W eine rationale Abbildung. Dann sind folgende Aus-
Satz 2.3.16. Sei f : V
sagen äquivalent:
(i) f ist birational.
(ii) f ist dominant und die Abbildung
f ∗ : K(W ) −→ K(V )
g ↦−→ g ◦ f
ist ein Isomorphismus.
(iii) Es gibt offene Mengen V 0,f ⊆ V und W 0,f ⊆ W so, dass f ∣ ∣
V0,f
: V 0,f −→ W 0,f
ein Isomorphismus ist.
Beweis. (i) ⇒ (ii)“: Wenn g : W V mit g ◦ f = id ” W gegeben ist, dann gilt
g −1 (dom f)∩dom g ≠ ∅, also ist diese Menge dicht in W . Es gilt auch f ◦g = id W
und
g −1 (domf) ∩ domg = f ◦ g ( g −1 (domf) ∩ domg ) ⊆ f(domf),
also ist f(domf) dicht, d.h. f ist dominant. Analog sieht man, dass g dominant
ist. Mit
g ∗ ◦ f ∗ : K(W ) −→ K(V ) −→ K(W )
h ↦−→ h ◦ f ↦−→ h ◦ f ◦ g
ergibt sich g ∗ ◦f ∗ = (f ◦g) ∗ = id K(V ) ist und analog f ∗ ◦g ∗ = (g ◦f) ∗ = id K(W ) .
” (ii) ⇒ (i)“: Ist f ∗ : K(W ) → K(V ) ein Isomorphismus, so gibt es nach Proposition
2.3.9 affine Varietäten W 0 ⊆ W und V 0 ⊆ V mit f ∗ : K(W 0 ) → K(V 0 ), also
findet man mit Satz 1.3.20 eine dominante rationale Abbildung g : W 0
V 0
mit (f ∗ ) −1 = g ∗ : K(V 0 ) → K(W 0 ). Analog zu 2.3.9 zeigt man (Übung),
dass g auch als rationale Abbildung g : W V aufgefasst werden kann.
Es ist g dominant und f : V 0
W 0 , daher sind g ◦ f : V 0
V 0 und
f ◦g : W 0
W 0 als rationale Abbildungen definiert. Jetzt zeigt Satz 1.3.20,
dass g ◦ f = id V0 und f ◦ g = id W0 gilt, d.h. f ist birational.

2.3 Reguläre Abbildungen 39
” (iii) ⇒ (i)“: Wir fassen f : V 0,f → W 0,f und g = f −1 : W 0,f → V 0,f als rationale
Abbildungen f : V W und g : W V auf. Dann sind f und g
dominant, also ist f birational.
” (i) ⇒ (iii)“: Gegeben sei g : W V mit g ◦ f = id V und f ◦ g = id W . Setze
V ′ := dom f ⊂ V, W ′ := dom g ⊂ W
φ := f| V ′ : V ′ → W ψ := g| W ′ : W ′ → V.
Die Mengen V 0,f := φ −1( ψ −1 (V ′ ) ) und W 0,f := ψ −1( φ −1 (W ′ ) ) sind offen und
das Diagramm
W 0,f
V 0,f
φ
φ
ψ
V ′
ψ
ψ −1 (V ′ )
ist kommutativ. Wegen V 0,f ⊆ dom φ ist φ : V 0,f → W 0,f ein Morphismus.
Analog sieht man, dass auch ψ : W 0,f → V 0,f ein Morphismus ist. Daraus folgt
die Behauptung, weil φ ◦ ψ = id W0,f und ψ ◦ φ = id V0,f gilt.
⊓⊔
φ
W
W ′
Korollar 2.3.17. Sei V eine irreduzible algebraische Menge (affin oder projektiv).
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) K(V ) ∼ = K(X 1 , . . . , X n ) (Quotientenkörper von K[X 1 , . . . , X n ]).
(2) Es gibt offene und dichte Mengen V 0,f ⊆ V und U 0,f ⊆ A n K mit V 0,f ∼ = U 0,f
(d.h. es gibt einen Isomorphismus zwischen beiden Mengen).
φ
Beweis. K(V ) −→ K(X 1 , . . . , X n ) = K(A n K ) ist nach Satz 2.3.16 genau dann ein
Isomorphismus, wenn es eine birationale Abbildung f : A n
K
V gibt. Aber dies
ist äquivalent dazu, dass man einen Isomorphismus f ∣ U0,f
: U 0,f → V 0,f finden
kann. ⊓⊔ ↑ 28.6.2012 ↑
Definition 2.3.18. Eine irreduzible algebraische Menge, die den Bedingungen von
Korollar 2.3.17 genügt, heißt eine rationale Varietät.
Übung 2.3.1. Sei V ein (n + 1)-dimensionaler K-Vektorraum. Dann definiert P(V ) :=
{Geraden in V } den projektiven Raum (von V ) der Dimension n. Für jeden linearen Unterraum
W ⊆ V kann der projektive Raum P(W ) in natürlicher Weise als Teilmenge von
P(V ) aufgefasst werden. Wir nennen P(W ) ⊆ P(V ) einen projektiven Unterraum.
1. Zeige: Sind P(W 1 ), P(W 2 ) ⊆ P(V ) projektive Unterräume mit
dim P(W 1 ) + dim P(W 2 ) ≥ n ,
so schneiden sich P(W 1 ) und P(W 2 ).
2. Betrachte die Einbettung j : A 2 R ↩→ P 2 R, (x, y) ↦→ (x : y : 1) und die Geraden
G 1 := V (X − Y ), G 2 := V (X − Y + 1) ⊆ A 2 R .
Bestimme projektive Geraden P(W i ) (dim P(W i ) = 1), so dass j −1 (P(W i )) = G i , und
berechne den Schnittpunkt der projektiven Geraden in P 2 R.
Übung 2.3.2. Sei φ : K n+1 → K n+1 ein linearer Isomorphismus.

40 2 Projektive Varietäten
1. Zeige, dass φ eine bijektive Abbildung ˜φ : PK n → PK n induziert, eine projektive Transformation.
2. Beschreibe für n = 1 die Wirkung von ˜φ auf dem affinen Raum A 1 K ↩→ PK 2 (mit
Einbettung x ↦→ (x : 1)).
Übung 2.3.3. Eine Teilmenge Q ⊆ PK
n heißt Quadrik, falls es ein homogenes Polynom
zweiten Grades p ∈ K[X 0 , . . . , X n ] gibt mit
Sei K = R, n = 2 und p = X 2 0 − X 2 1 − X 2 2 .
Q = {(x 0 : . . . : x n) ∈ P n K | p(x 0, . . . , x n) = 0} .
1. Skizziere V (p) ⊆ A 3 R und bestimme j −1
i (Q) für j i : A 2 R ↩→ PR 2 mit
j 1(x, y) = (1 : x : y), j 2(x, y) = (x : 1 : y), j 3(x, y) = (x : y : 1).
2. Sei φ : PR 2 → PR 2 eine projektive Transformation (siehe Übung 2.3.2). Wie kann
j −1
1 (φ(Q)) beschrieben werden? Bestimme eine projektive Transformation, so dass
j −1
1 (φ(Q)) = V (X2 − Y ) die Standardparabel ist.
Übung 2.3.4. Für A ∈ GL(n + 1, K) sei φ : K n+1 → K n+1 gegeben durch φ(x) = Ax,
und ˜φ : P n K → P n K sei die zugehörige projektiven Transformation (siehe Übung 2.3.2). Ein
Punkt x ∈ P n K heißt Fixpunkt von ˜φ, falls ˜φ(x) = x gilt. Zeige:
1. Der Punkt x = Kv ∈ P n K ist genau dann ein Fixpunkt von ˜φ, wenn v ein Eigenvektor
von A ist.
2. Eine projektive Transformation ˜φ : P 1 C → P 1 C mit ˜φ ≠ id hat entweder einen oder
zwei Fixpunkte, eine projektive Transformation ˜φ : P 1 R → P 1 R mit ˜φ ≠ id hat entweder
einen oder zwei oder gar keinen Fixpunkt.
Übung 2.3.5. Bestimme eine projektive Transformation auf P 2 R, die das ”
Viereck“ mit den
Ecken
(1 : 0 : 2), (1 : −1 : 1), (4 : 2 : 0) und (3 : 2 : 3)
auf das ”
Koordinatenviereck“ mit den Ecken
(1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) und (1 : 1 : 1)
abbildet. Besitzt diese Transformation Fixpunkte?
Übung 2.3.6. Betrachte die Veronese-Abbildung
φ : P 1 C → P 2 C, (t 0 : t 1 ) ↦→ (t 2 0 : t 0 t 1 : t 2 1) .
1. Zeige, dass φ wohldefiniert und injektiv ist.
2. Sei C := {(x : y : z) ∈ P 2 C | xz = y 2 }. Zeige: φ(P 1 C) = C.
Übung 2.3.7 (Unendlich ferne Punkte). Sei C := V (X 2 0 + X 2 1 − X 2 2 ) ⊆ P 2 C und H 2 :=
V (X 2) ⊆ P 2 C. Betrachte die Einbettung
j : A 2 C ↩→ P 2 C, (x 0, x 1) ↦→ (x 0 : x 1 : 1) .
1. Zeige, dass j −1 (C) eine algebraische Menge ist.
2. Bestimme C ∩ H 2 – die ”
unendlich fernen“ Punkte von C.
3. Führe a) und b) auch für die Kurven
mit a, b, r ∈ C, r ≠ 0 durch.
C a,b,r := V ((X 0 − aX 2 ) 2 + (X 1 − bX 2 ) 2 − r 2 X 2 2 ).
Übung 2.3.8. Eine Teilmenge Q ⊆ PK
n heißt Quadrik, falls es ein homogenes Polynom
zweiten Grades p ∈ K[X 0 , . . . , X n ] gibt mit
Sei K = R, n = 2 und p = X 2 0 − X 2 1 − X 2 2 .
Q = {(x 0 : . . . : x n ) ∈ P n K | p(x 0 , . . . , x n ) = 0} .

1. Skizziere V (p) ⊆ A 3 R und bestimme j −1
i (Q) für j i : A 2 R ↩→ PR 2 mit
2.3 Reguläre Abbildungen 41
j 1 (x, y) = (1 : x : y), j 2 (x, y) = (x : 1 : y), j 3 (x, y) = (x : y : 1).
2. Sei φ : PR 2 → PR 2 eine projektive Transformation (siehe Übung 2.3.2). Wie kann
j −1
1 (φ(Q)) beschrieben werden? Bestimme eine projektive Transformation, so dass
j −1
1 (φ(Q)) = V (X2 − Y ) die Standardparabel ist.
Übung 2.3.9 (Projektive Fortsetzung). Sei V ⊆ A n K eine algebraische Menge und I(V ) =
(f 1, . . . , f r) ⊆ K[X 1, . . . , X n] das zugehörige Verschwindungsideal. Betrachte die Einbettung
j : A n K ↩→ P n K , (x 1 , . . . , x n ) ↦→ (1 : x 1 : . . . : x n ) .
Bestimme ein homogenes Ideal J ⊆ K[X 0, . . . , X n], so dass V (J) ∩ j(A n K) = j(V ).
Übung 2.3.10. 1. Seien {p 1 , . . . , p n+2 } und {q 1 , . . . , q n+2 } zwei Mengen von Punkten in
PK n , die die Eigenschaft besitzen, dass jeweils n+1 Punkte nicht auf einer (projektiven)
Hyperebene liegen. Zeige, dass es eine eindeutige projektive Transformation φ : PK n →
PK n gibt mit φ(p i ) = q i für i = 1, . . . , n + 2.
Hinweis: Es kann helfen, mit den Punkten p 1 = (1 : 0 : . . . : 0), p 2 = (0 : 1 : 0 : . . . :
0),. . . , p n+1 = (0 : . . . : 0 : 1) und p n+2 = (1 : . . . : 1) zu beginnen.
2. Folgere, dass es zu drei paarweise verschiedenen Geraden in der projektiven Ebene
(d.h. in PK) 2 eine projektive Transformation gibt, so dass die Vereinigung der Geraden
auf eine der Varietäten V 1 = V (X 0X 1(X 0 − X 1)) oder V 2 = V (X 0X 1X 2) abgebildet
wird.
Übung 2.3.11. Sei I ✂ C[X 0 , . . . , X n ] ein homogenes Ideal. Zeige: I ist genau dann ein
Primideal, falls für je zwei homogene Element f, g ∈ C[X 0 , . . . , X n ] gilt: Ist fg ∈ I, so ist
f ∈ I oder g ∈ I.
Übung 2.3.12. Sei PK 1 der 1-dimensionale projektive Raum. Für paarweise verschiedene
Punkte p 1 , . . . , p 4 ∈ PK 1 mit homogenen Koordinaten p i = (x i : y i ) ist das Doppelverhältnis
definiert durch
∣ ∣ x4 x2 ∣∣∣
x3 x2 ∣∣∣
∣ y 4 y 2
∣ y 3 y 2
DV (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) :=
∣ :
∣ ,
x4 x1 ∣∣∣ x3 x1 ∣∣∣ ∣ y 4 y 1
∣ y 3 y 1 wobei
∣ a b
( )
a b
c d ∣ die Determinante der Matrix bezeichnet.
c d
1. Zeige, dass DV (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) wohldefiniert ist, d.h. unabhängig von der Wahl der
homogenen Koordinaten, und dass nicht durch 0 geteilt wird.
2. Beschreibe das Doppelverhältnis für Punkte x i ∈ A 1 R, betrachtet in der Einbettung
j : A 1 R ↩→ P 1 R, j(x) = (x : 1).
3. Das Doppelverhältnis ist invariant unter projektiven Transformationen φ : P 1 K → P 1 K,
d.h.
DV (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) = DV (φ(p 1 ), φ(p 2 ), φ(p 3 ), φ(p 4 )) .
Übung 2.3.13. Sei V ⊆ A n K eine algebraische Menge und I(V ) = (f 1 , . . . , f r ) ⊆ K[X 1 , . . . , X n ]
das zugehörige Verschwindungsideal. Betrachte die Einbettung
j : A n K ↩→ P n K , (x 1, . . . , x n) ↦→ (1 : x 1 : . . . : x n) .
Bestimme ein homogenes Ideal J ⊆ K[X 0 , . . . , X n ], so dass V (J) ∩ j(A n K) = j(V ).
Übung 2.3.14 (Dualität). Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und P(V ) der
zugehörige projektive Raum. Dann heißt P(V ∗ ) der duale projektive Raum, wobei V ∗ der
Dualraum von V ist.
1. Konstruiere Bijektionen zwischen Punkten in P(V ) und Hyperebenen in P(V ∗ ) bzw.
zwischen Hyperebenen in P(V ) und Punkten in P(V ∗ ).

42 2 Projektive Varietäten
2. Wie lässt sich für V = R 3 der Dualraum V ∗ ebenfalls mit R 3 identifizieren? Was
bedeutet die Korrespondenz zwischen Punkten und Hyperebenen in diesem Fall?
3. Für p ∈ P(V ), q ∈ P(V ∗ ) seien H p ⊆ P(V ∗ ), H q ⊆ P(V ) die dualen Hyperebenen.
Zeige:
p ∈ H q ∩ H q ′ ⇐⇒ q ∨ q ′ ⊆ H p,
wobei q ∨ q ′ die projektive Gerade bezeichnet, die durch q und q ′ verläuft.
Übung 2.3.15 (Doppelverhältnis). Seien p 1, p 2, p 3 ∈ P 1 K paarweise verschieden. Zeige:
DV (p 1 , p 2 , p 3 , p) = 1 ⇐⇒ p = p 3 .
Übung 2.3.16. Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠ 0, und x, y, u, v ∈ P 1 K seien vier verschiedene
Punkte. Wir sagen, das Punktepaare (x, y) trennt das Paar (u, v) harmonisch, wenn es eine
projektive Transformation φ : P 1 K → P 1 K gibt, die u und v fest läßt und x und y vertauscht.
1. Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) Das Paar (x, y) trennt das Paar (u, v) harmonisch.
(ii) DV (x, y, u, v) = DV (y, x, u, v).
(iii) DV (x, y, u, v) = −1.
2. Zeige, dass es zu je drei verschiedenen Punkten x, y, u ∈ P 1 K genau einen vierten
harmonischen Punkt gibt, d.h. einen Punkt v ∈ P 1 K, der zusammen mit u von dem
Paar (x, y) harmonisch getrennt wird.
Übung 2.3.17. Zeige, dass die Abbildung
φ : P 1 K → P 3 K, (x 0 : x 1 ) ↦→ (x 3 0 : x 2 0x 1 : x 0 x 2 1 : x 3 1)
wohldefiniert ist und bestimme ein homogenes Ideal I ✂ K[X 0 , . . . , X 3 ], so dass
φ(P 1 K) = V (I) .
Hinweis: I wird von drei homogenen quadratischen Polynomen erzeugt.
Übung 2.3.18. Sei V ⊆ P n K algebraisch irreduzibel und
M := {(g, h) | g, h ∈ K[X 0, . . . , X n] homogen vom gleichen Grad und h /∈ I(V )} .
Zeige, dass
eine Äquivalenzrelation auf M definiert.
(g, h) ∼ (g ′ , h ′ ) : ⇐⇒ gh ′ − g ′ h ∈ I(V )
Übung 2.3.19. Sei j : A n K ↩→ P n K die Standardeinbettung gegeben durch
j(x 1, . . . , x n) = (1 : x 1 : . . . : x n).
Sei U := V \ V (X 0) versehen mit der von der Zariski-Topologie auf P n K versehenen Topologie.
1. Bestimme eine rationale Abbildung f : P n K → A n K mit dom f = U und f ◦ j = id A n
K
.
2. Zeige, dass j ein Homöomorphismus ist.
Übung 2.3.20. Welche der folgenden Ausdrücke definieren rationale Abbildungen f :
P n K → P m K zwischen projektiven Räumen der entsprechenden Dimension? Bestimme jeweils
dom f. In welchen Fällen gibt es eine rationale Inverse?
1. (x, y, z) ↦→ (x, y),
2. (x, y) ↦→ (x, y, 1),
3. (x, y) ↦→ (x, y, 0),
4. (x, y, z) ↦→ (1/x, 1/y, 1/z),
5. (x, y, z) ↦→ ((x 3 + y 3 )/z 3 , y 2 /z 2 , 1),
6. (x, y, z) ↦→ (x 2 + y 2 , y 2 , y 2 ).

2.3 Reguläre Abbildungen 43
Übung 2.3.21. Sei f ∈ K(PK). 1 Zeige: Ist f in jedem Punkte p ∈ PK
1 regulär, so ist f
konstant.
Hinweis: Betrachte f ◦j i für i = 0, 1, wobei j i : A 1 K ↩→ P 1 K gegeben ist durch j 0 (x) = (1 : x)
und j 1 (x) = (x : 1) und verwende Satz 1.3.14 der Vorlesung.
Übung 2.3.22. Sei f : P 1 C → P 1 C ein Isomorphismus (d.h. eine rationale Abbildung mit
dom f = P 1 C und es gibt eine rationale Abbildung g : P 1 C → P 1 C mit dom g = P 1 C und
f ◦ g = id, g ◦ f = id). Zeige: f ist eine projektive Transformation.
Übung 2.3.23. Sei V ⊆ PK n algebraisch irreduzibel und f : V PK m eine rationale
Abbildung. Zeige: f : dom f → PK
m ist stetig bezüglich der (induzierten) Zariski-Topologie.
Übung 2.3.24. Zeige: Die Abbildung
f : P n−1
K → P n K , (x 1 : . . . : x n ) ↦→ (0 : x 1 : . . . : x n )
ist ein Morphismus und induziert einen Isomorphismus P n−1
K
Übung 2.3.25. Betrachte den Morphismus
∼= V (X 0) ⊆ P n K .
f : P 1 K → P n K , (x 0 : x 1 ) ↦→ (x n 0 : x n−1
0 x 1 : . . . : x 0 x n−1
1 : x n 1 ) .
Zeige, dass f einen Isomorphismus auf C ⊆ P n K ,
liefert.
C := V ((X iX j+1 − X jX i+1 | i, j = 0, . . . , n − 1, i ≠ j)),
Übung 2.3.26. Es seien f k , f k−1 ⊆ C[X 1 , . . . , X n ] teilerfremde, homogene Polynome vom
Grad k bzw. k − 1. Zeige, dass
eine rationale Varietät ist.
V := V (f k + X 0f k−1 ) ⊆ P n C

3
Singularitäten
In diesem Kapitel nehmen wir grundsätzlich an, dass K ein Körper der Charakteristik
Null ist.
3.1 Vielfachheiten in Punkten
Definition 3.1.1. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] und ν := (ν 1 , . . . , ν n ) ∈ N n . Wir verwenden
die Multi-Index-Schreibweise. Insbesondere setzen wir |ν| = ν 1 + . . . + ν n und
ν! := ν 1 ! . . . ν n !. Für P ∈ A n K mit P = (c 1, . . . , c n ) schreiben wir
(X − P ) ν := (X 1 − c 1 ) ν1 · . . . · (X n − c n ) ν n
und
( ∂
|ν| ) (
∂X ν f ∂ |ν|
(P ) :=
∂X ν1
1 . . . ∂Xνn n
für die formale Ableitung. Schließlich setzen wir
f (P )
(i)
:= ∑
|ν|=i
1
ν!
)
f (P )
( ∂
|ν|
∂X ν f )
(P ) (X − P ) ν .
Satz 3.1.2 (Taylorentwicklung).
gilt für P ∈ A n K
Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] mit deg f = d, dann
d∑
f =
i=0
f (P )
(i)
=
d∑
i=0
∑
|ν|=i
1
ν!
( ∂
|ν|
∂X ν f )
(P )(X − P ) ν .
Beweis. Die Abbildung
D P : K[X 1 , . . . , X n ] −→ K[X 1 , . . . , X n ],
ist ein Homomorphismus von K-Vektorräumen.
f ↦−→
deg
∑f
i=0
f (P )
(i)
Behauptung: {(X − P ) ν | ν ∈ N n 0 } ist eine Basis für K[X 1 , . . . , X n ].
Um das einzusehen, betrachten wir den K-Vektorraum-Isomorphismus
T P : K[X 1 , . . . , X n ] −→ K[X 1 , . . . , X n ]
∑
aν X ν = f ↦−→ f(X − P ) = ∑ a ν (X − P ) ν

46 3 Singularitäten
mit Inversem T (−P ) (Übung). Es gilt T P (X ν ) = (X − P ) ν und daraus folgt die
Behauptung, weil {X ν | ν ∈ N n 0 } eine Basis ist.
Mit der Identität (Übung)
rechnet man
∂ |σ|
∂X σ (X − P )ν (P ) =
D P f Beh.
= D P
( ∑
= ∑ ν
ν
a ν (X − P ) ν)
a ν D P (X − P ) ν
{
0 für ν ≠ σ
σ! für ν = σ.
= ∑ ν
= ∑ ν
= ∑ ν
a ν
a ν
∑
σ
∑
σ
1
σ!
a ν (X − P ) ν
( ∂
|σ|
∂X σ (X − P )ν) (P ) (X − P ) σ
1
σ! δ ν,σ(X − P ) σ σ!
= f.
⊓⊔
Definition 3.1.3. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ], P ∈ A n K . Dann heißt
{
}
µ P (f) := min i ∈ N ∣ ∃ σ ∈ N n mit |σ| = i und ∂|σ|
∂X σ f(P ) ≠ 0
die Vielfachheit von f in P und
f (P ) :=
der Leitterm von f an der Stelle P .
{
f (P )
(µ P (f))
für f ≠ 0
0 für f = 0
Bemerkung 3.1.4. (i) µ P (f) = min{i ∈ N | f (P )
(i)
≠ 0}.
(ii) f = 3X 3 − X 5 ∈ R[X], dann gilt
Mit
f(P ) = 0 ⇔ P 3 (P 2 − 3) = 0 ⇔ P ∈ {0, ± √ 3}.
↑ 4.7.2012 ↑
∂
∂X f = 9X2 − 5X 4 ,
ergibt sich
∂ 2
∂X 2 f = 18X − 20X3 ,
⎧
⎪⎨ 0 für P /∈ {0, ± √ 3}
µ P (f) = 1 für P ∈ {± √ 3}
⎪⎩
3 für P = 0.
∂ 3
f = 18 − 60X2
∂X3

3.1 Vielfachheiten in Punkten 47
Lemma 3.1.5. Seien P ∈ A n K sowie f, g ∈ K[X 1, . . . , X n ]. Dann gilt
(i) µ P (f) > 0 ⇐⇒ f(P ) = 0.
(ii) µ P (f) = ∞ ⇐⇒ f = 0.
(iii) f ≠ 0 =⇒ µ P (f) ≤ deg f.
(iv) µ P (fg) = µ P (f) + µ P (g).
(v) µ P (f + g) ≥ min{µ P (f), µ P (g)} mit Gleichheit, falls µ P (f) ≠ µ P (g).
Beweis. (i) klar
(ii) Wegen ∂|σ|
∂X
f(P ) = 0 für alle σ folgt f = 0 nach Satz 3.1.2 (die Umkehrung ist
σ
klar).
(iii) ∂|σ|
∂X
f(P ) = 0 für |σ| > deg f.
σ
(iv)
fg =
=
=
( deg ∑
f
i=µ P (f)
deg f+deg
∑
g
k=µ P (f)+µ P (g)
( deg f+deg
∑
g
k>µ P (f)+µ P (g)
) ( deg ∑
g
f (P )
(i)
i=µ P (g)
∑
l+m=k
∑
l+m=k
)
g (P )
(j)
f (P )
(l)
g (P )
(m)
)
f (P )
(l)
g (P )
(m)
+ f (P )
(µ P (f)) g(P )
(µ P (g))
} {{ }
≠0
Also gilt µ P (gf) = µ P (f) + µ P (g).
max{µ P ∑(f),µ P (g)} (
(P )
(v) f +g =
f
(i) +g(P ) )
(i) liefert µP (f +g) ≥ min{µ P (f), µ P (g)}.
i=min{µ P (f),µ P (g)}
Gleichheit gilt genau dann, wenn f (P )
(µ P (f)) + g(P )
(µ P (g)) ≠ 0. Das ist der Fall, wenn
µ P (f) ≠ µ P (g).
⊓⊔
.
Definition 3.1.6. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ], f ≠ 0 und V = V (f) sowie P ∈ A n K .
Dann heißt
µ P (V ) := min{µ P (g) | g ∈ I(V )}
die Vielfachheit von V in P . Die Menge
Reg(V ) := {P ∈ V | µ P (V ) = 1}
heißt die Menge der regulären Punkte in V und die Menge
Sing(V ) := {P ∈ V | µ P (V ) > 1}
die Menge der singulären Punkte in V .
Bemerkung 3.1.7. Es gilt µ P (V ) > 0 ⇔ P ∈ V , denn
µ P (V ) = 0 ⇔ ∃ g ∈ I(V ) mit µ P (g) = 0
⇔ ∃ g ∈ I(V ) mit g(P ) ≠ 0
⇔ P /∈ V.

48 3 Singularitäten
f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ {0} heißt quadratfrei, falls f = g 2 h mit g, h ∈ K[X 1 , . . . , X n ]
nur für deg g = 0 möglich ist.
Bemerkung 3.1.8. f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ K. Betrachte die folgenden Aussagen:
(1) (f) ist Primideal.
(2) f ist irreduzibel.
(3) f ist quadratfrei.
(4) (f) ist ein Radikalideal.
Dann gilt (1) ⇔ (2) ⇒ (3) ⇔ (4). Nur die letzte Äquivalenz erfordert mehr
als einen Routinenachweis.
” (3) ⇒ (4)“: f quadratfrei liefert f = ε m ∏
i=1
p i mit ε ∈ K und p i paarweise verschiedenen
Primelementen. Zu zeigen ist dann: g k ∈ (f) ⇒ g ∈ (f)“. Wir
”
haben
g k ∈ (f) ⇒ f | g k ⇒ p i | g k ⇒ p i | g ⇒ f | g.
” (4)⇒ (3)“: f = g2 h mit deg g > 0 liefert (gh) 2 = fh ∈ (f) und gh ∈ Rad(f) = (f),
also einen Widerspruch!
Proposition 3.1.9. Seien K algebraisch abgeschlossen und f ∈ K[X 1 , . . . , X n ]\{0}
quadratfrei. Dann gilt µ P
(
V (f)
)
= µP (f).
Beweis. Bemerkung 3.1.8 und Hilberts Nullstellensatz 1.2.16 zeigen
und Lemma 3.1.5(iv) liefert
I ( V (f) ) = rad (f) = (f)
µ P
(
V (f)
)
= min{µP (g) | g ∈ I ( V (f) ) = (f)} = µ P (f).
⊓⊔
Lemma 3.1.10. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ]. Wenn V (h) Sing(f) := {P ∈ V (f) |
µ P (f) > 1} für alle h ∈ K[X 1 , . . . , X n ]\K (d.h. Sing(f) enthält keine Hyperfläche),
dann ist f quadratfrei.
Beweis. Annahme: f = h 2 g mit deg h > 0. Dann gilt
∂
∂X i
f(P ) = h(P )
∂
∂X i
∂
(hg)(P ) + hg(P ) ∂ h(P ).
∂X i ∂X i
Wenn P ∈ V (h), so haben wir f(P ) = 0 und µ P (f) > 1. Aber es gilt V (h) ⊆
V (h 2 g) = V (f), also V (h) ⊆ Sing(f). Dieser Widerspruch beweist die Behauptung.
⊓⊔
Satz 3.1.11. Sei K algebraisch abgeschlossen, n > 1, f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ {0}.
Wenn es nur endlich viele Punkte P ∈ A n K mit µ P (f) > 1 gibt, dann gilt
µ P
(
V (f)
)
= µP (f) für alle P ∈ V (f).

3.1 Vielfachheiten in Punkten 49
Beweis. n > 1, K algebraisch abgeschlossen liefert |V (h)| = ∞ für alle h ∈
K[X 1 , . . . , X n ] \ K und es folgt V (h) Sing(f). Mit Lemma 3.1.10 sehen wir, dass
f quadratfrei ist und Proposition 3.1.9 liefert dann die Behauptung für ( nichtkonstantes
f. Für konstantes f rechnet man direkt nach, dass µ P (f) = µ P V (f) = 0
)
gilt.
⊓⊔
Beispiel 3.1.12. (i) Betrachte f = Z1 3 + Z1 2 − Z2 2 ∈ C[Z 1 , Z 2 ]. Dann gilt ∇f(P ) =
(3z1 2 + 2z 1 , −2z 2 ) = 0 für P = (z 1 , z 2 ) genau dann, wenn P = (0, 0) oder
P = (− 2 3
, 0) /∈ V (f). Beachte, dass
∂2 f = −2. Also haben wir
∂Z 2 2
⎧
⎪⎨ 0 für P /∈ V (f)
µ p (f) = 1 für P ∈ V (f) \ {(0, 0)}
⎪⎩
2 für P ∈ {(0, 0)}
und {(0, 0)} ist der einzige singuläre Punkt von V (f).
(ii) Sei V (h) ⊆ C n Hyperebene mit deg h = 1 (d.h. linear). Dann ist h quadratfrei
und es gilt µ P
(
V (h)
)
= µP (h) für alle P ∈ V (h). Dies zeigt Reg ( V (h) ) = V (h),
d.h. V (h) hat keine singulären Punkte.
(iii) Sei f ∈ C[Z 1 , Z 2 ] mit deg f = 2. Wenn V = V (f) keine Gerade enthält, dann
ist V (f) nicht-singulär. Um das einzusehen, nehmen wir an, dass µ P (V ) > 1
für P = (c 1 , c 2 ). Dann gilt 2 ≤ µ P (V ) ≤ µ P (f) ≤ deg f = 2 und
f = a(Z 1 − c 1 ) 2 + b(Z 1 − c 1 )(Z 2 − c 2 ) + c(Z 2 − c 2 ) 2 .
1. Fall: a = 0.
In diesem Fall gilt V (h) ⊆ V (f) mit h = b(Z 1 − c) + c(Z 2 − c) (Gerade).
2. Fall: a ≠ 0.
In diesem Fall gilt V (h) ⊆ V (f) mit h = (Z 1 − c 1 ) + b±√ b−4ac
2a
(Z 2 − c 2 )
(Gerade).
↑ 5.7.2012 ↑
Die Begriffe Vielfachheit, Regularität und Singularität wurden bisher nur für
Hyperflächen definiert. Für beliebige algebraische Mengen (auch irreduzibel) führen
die im Hyperflächenfall verwendeten Definitionen zu Widersprüchen.
Beispiel 3.1.13. Betrachte I = (Z 3 , f = Z 2 1 + Z 3 1 − Z 2 2) ⊆ C[Z 1 , Z 2 , Z 3 ] und V =
V (I). Setzt man µ P (V ) := min{µ P (g) | g ∈ I(V )} und g = Z 3 , so ergibt sich
µ P (V ) ≤ µ P (Z 3 ) ≤ 1, also µ P (V ) = 1 für alle P ∈ V . Das bedeutet, mit der alten
Definition sind alle Punkte in V regulär. Wenn man aber V als Teilmenge von A 2 K
betrachtet, wie in Beispiel 3.1.12, dann ist P = (0, 0) singulär.

50 3 Singularitäten
In diesem Abschnitt
wurden die Beweise
nicht vorgeführt
3.2 Schnittvielfachheiten mit Geraden
Definition 3.2.1. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ], P ∈ A n K und L eine Gerade durch P , die
durch λ ↦→ λa + P, a ∈ K n parametrisiert ist. Setze f L (λ) = f(P + λa) ∈ K[λ].
Dann heißt
µ P (f, L) := µ 0 (f L )
die Schnittvielfachheit von f mit L in P .
Lemma 3.2.2. µ P (f, L) = min{i ∈ N 0 | L V ( f (P ) )
(i) }.
Beweis.
liefert
Beachte:
f L (λ) = f(P + λa) =
deg
∑f
i=0
µ P (f, L) = min { i ∈ N 0 | ∑
L ⊆ V ( f (P )
(i)
|ν|=i
∑
|ν|=i
( 1
ν!
∂ |ν| )
∂X ν f(P ) a ν λ i
( 1 ∂ |ν|
ν! ∂X ν f(P ) a ν ≠ 0 } .
} {{ }
d ν
)
)
(P ) ⇔ f
(i)
(P + λa) ≡ 0 (als Polynom in λ)
⇔ ∑
d ν a ν λ i ≡ 0
|ν|=i
⇔ ∑
|ν|=i
d ν a ν = 0.
Damit erhält man µ P (f, L) = min { ∣
i ∈ N 0 L V ( f (P ) )}
(i) . ⊓⊔
Lemma 3.2.3. Seien L ⊆ A n K eine Gerade, P ∈ L, f, g ∈ K[X 1, . . . , X n ].
(i) µ P (f, L) > 0 ⇔ P ∈ V (f) ∩ L.
(ii) µ P (f, L) = ∞ ⇔ L ⊆ V (f).
(iii) L V (f) ⇒
∑ µ P (f, L) ≤ deg f.
P ∈L
(iv) µ P (fg, L) = µ P (f, L) + µ P (g, L).

3.2 Schnittvielfachheiten mit Geraden 51
Beweis. (i) Für P ∈ L gilt
µ P (f, L) > 0 ⇔ µ 0 (f L ) > 0 ⇔ f L (0) = 0 ⇔ f(P ) = 0.
(ii)
µ P (f, L) = ∞ ⇔ ∀i ∈ N 0 : L ⊆ V ( f (P ) )
(i)
⇔ L ⊆
deg
∩f
i=0
V ( f (P )
(i)
) ( deg ∑
f
= V
i=0
(
(P )) )
f
(i)
⊆ V.
(iii) Aus L V (f) folgt f L ≡/ 0 . Außerdem gilt deg f L ≤ deg f und durch abspalten
der Faktoren (λ − c) µc(f L) für Nullstellen c von f L erhalten wir
∑
P ∈L
µ P (f, L) = ∑ c∈K
f L (c)=0
µ c (f L ) ≤ deg f L ≤ deg f.
(iv) µ P (fg, L) = µ 0
(
(fg)L
)
= µ0 (f L g L ) = µ 0 (f L ) + µ 0 (g L ) = µ P (f, L) + µ P (g, L).
⊓⊔
Definition 3.2.4. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ {0}, V = V (f), L ⊆ A n K
und P ∈ L. Dann heißt
eine Gerade
µ P (V, L) := min{µ P (g, L) | g ∈ I(V )}
die Schnittvielfachheit von L mit V in P .
Proposition 3.2.5. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ]\{0} quadratfrei, V = V (f), L ⊆ A n K eine
Gerade und P ∈ L. Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, so gilt µ P (V (f), L) =
µ P (f, L).
Beweis. Übung (wie für Proposition 3.1.9 mit Lemma 3.2.3 statt Bemerkung 3.1.8).
⊓⊔
Korollar 3.2.6. Seien n > 1, K algebraisch abgeschlossen, f ∈ K[X 1 , . . . , X n ]\{0}.
Wenn es nur endlich viele Punkte P ∈ A n K mit µ P (f) > 1 gibt, dann gilt für jede
Gerade L ⊆ A n K und jeden Punkt P ∈ L die Gleichheit µ P
(
V (f), L
)
= µP (f, L).
Beweis. Übung (vgl. Satz 3.1.11).
⊓⊔
Satz 3.2.7. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ {0}, P ∈ A n K
und K algebraisch abgeschlossen.
Dann gilt
( ) ( )
µ P V (f) = min{µP V (f), L | L ⊆ A
n
K Gerade mit P ∈ L}.

= µ P
(
V (f)
)
.
⊓⊔
52 3 Singularitäten
Beweis. ≤“: Mit ”
µ P (g) = min{i ∈ N 0 | g (P )
(i)
≠ 0} = min{i ∈ N 0 | V ( g (P ) )
(i) ≠ A
n
K }
und
µ P (g, L) = min { ∣
i ∈ N 0 L V ( g (P ) )}
(i)
finden wir µ P (g) ≤ µ P (g, L) für alle g ∈ I ( V (f) ) und daher
µ P
(
V (f)
)
≤ µP
(
V (f), L
)
.
” ≥“: Wähle h ∈ I( V (f) ) mit µ P (h) = µ P
(
V (f)
)
=: M. Dann gilt h
(P )
(M) ≠ 0
und V ( h (P )
(M))
≠ A
n
K (homogen bzgl. P ). Also gibt es eine Gerade L durch P mit
L V ( h (P )
(M))
und wir können rechnen
µ P
(
V (f), L
)
= min{µP (g, L) | g ∈ I ( V (f) ) }
≤ µ P (h, L)
= min{i ∈ N 0 | L V ( h (P ) )
(i) }
≤ M
Beispiel 3.2.8. Betrachte f = X1 2 + X2 2 − 1 ∈ R[X 1 , X 2 ] und P = (0, 1). Zu
a ∈ R ∪ {∞} betrachte die Gerade L a : X 2 = 1 a
X 1 + 1 in R 2 mit der Parametrisierung
(x 1 , x 2 ) = (0, 1) + λ ( (
1, a) 1 = λ,
λ
a + 1) und finden so die Darstellung
f La (λ) = a2 +1
a
λ 2 − 2 2 a λ = 1 a λ ( a 2 +1
a
λ − 2) für die Einschränkung von f auf L a . Das
Polynom f ist irreduzibel und daher quadratfrei (f La ist nicht irreduzibel, aber auch
quadratfrei, was die Quadratfreiheit von f ebenfalls impliziert). Die Schnittpunkte
von L a und V (f) sind P und Q a = 1
1+a
(−2a, a 2 − 1) ∈ R 2 (vgl. Beispiel 1.3.5).
2
P
L
8
Qa
La
V(f)
↑ 11.7.2012 ↑
Es ergibt sich
µ P
(
V (f), La
)
= µP (f, L a ) =
{
1 für a ∈ R
2 für a = ∞
Weiter gilt ∇f(x 1 , x 2 ) = (2x 1 , 2x 2 ) ≠ 0 für alle (x 1 , x 2 ) mit f(x 1 , x 2 ) = 0 und das
zeigt
µ Q
(
V (f)
)
= 1 ∀Q ∈ V (f).
Schließlich finden wir
und
1 = µ P
(
V (f)
)
= µP
(
V (f), La
)
∀a ∈ R
1 = µ P
(
V (f)
)
< µP
(
V (f), L∞
)
= 2.

3.3 Regularität und Dimension 53
3.3 Regularität und Dimension
Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] irreduzibel und deg f ≥ 1, P = (a 1 , . . . , a n ) ∈ V (f) ⊆ A n K
sowie L eine Gerade durch P . Dann gilt nach Lemma 3.2.2
µ P (f, L) > 1 ⇔ L ⊆ V ( f (P ) )
(1) ,
weil L ⊆ V ( f (P ) )
(0) = V (0) = A
n
K . Beachte, dass
V ( f (P )
(1) ) = V ( n ∑
i=1
( ∂
)
)
f (P )(X i − a i ) = {Q ∈ A n | ⟨∇f(P ), Q − P ⟩ = 0},
∂X i
wobei ∇f(P ) = ( ∂f
∂f
∂X 1
(P ), . . . ,
∂X n
(P ) ) der Gradient“ von f ist und
”
⟨ , ⟩ : K n × K n −→ K
(
(x1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n ) ) n∑
↦−→ x i y i .
Sei jetzt L ⊆ V ( f (P ) )
(1) die Gerade L = {P + tB | t ∈ K} mit B = (b1 , . . . , b n ) ∈ K n .
Dann gilt ⟨∇f(P ), tB⟩ = 0 für alle t ∈ K, also insbesondere ⟨∇f(P ), B⟩ = 0, d.h.
der Richtungsvektor von L steht senkrecht“ auf dem Gradienten von f in P .
”
i=1
_
Vf(P)
P
L
V(f)
Als Ergebnis finden wir, dass V ( f (P ) )
(1) der Kandidat für den Tangentialraum“ von
”
V (f) in P ist.
Proposition 3.3.1. Sei f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ K (mit char K = 0 und K algebraisch
abgeschlossen) irreduzibel und V = V (f). Dann gilt
(i) Sing(V ) ist abgeschlossen in V .
(ii) Reg(V ) ≠ ∅ (also dicht).
Beweis. (i) Schreibe ∂ i f für das Polynom
∂X i
(formale Ableitung). Dann gilt
Sing(V ) = V (f, ∂ 1 f, . . . , ∂ n f) und das beweist (i).
(ii) Wir nehmen an, dass Sing(V ) = V . Dann gilt V (f) ∩ V (∂ 1 f, . . . , ∂ n f) = V (f),
d.h., V (f) ⊆ V (∂ 1 f, . . . , ∂ n f). Da f irreduzibel ist, folgt
(∂ 1 f, . . . , ∂ n f) ⊆ I ( V (∂ 1 f, . . . , ∂ n f) ) ⊆ I ( V (f) ) = (f).
Also teilt f das Polynom ∂ i f für jedes i = 1, . . . , n. Damit sieht man ∂ i f =
0 (aus Gradgründen), d.h. f ist konstant (char K = 0). Dieser Widerspruch
beweist die Behauptung.
⊓⊔
∂f

54 3 Singularitäten
Definition 3.3.2. Sei V ⊆ A n K eine affine Varietät und P = (a 1, . . . , a n ) ∈ V . Der
affine Unterraum
T P (V ) :=
∩
V ( f (P ) )
(1) ⊆ A
n
K
heißt Tangentialraum von V an P .
f∈I(V )
Bemerkung 3.3.3. (i) T P (V ) ist ein affiner Unterraum von A n K , weil jedes V ( f (P ) )
(1)
)
ein affiner Unterraum ist.
(ii) Vergleich mit der Analysis: Sei V = V (f 1 , . . . , f k ) und Rang
(
∂(f1 ,...,f k )
∂(x 1 ,...,x n )
(voller Rang) auf einer offenen Menge. Dann ist V eine Untermannigfaltigkeit
mit
T P (V ) = {v ∈ K n | ⟨∇f j (P ), v⟩ = 0, j = 1, . . . , k}.
= k
Lemma 3.3.4. Sei V ⊆ A n K eine affine Varietät und I(V ) = (f 1, . . . , f k ). Für
p ∈ V gilt dann
k∩
T P (V ) = V ( f (P ) )
i (1)
.
Beweis. Zu zeigen ist die Gleichheit
i=1
∩
f∈I(V )
V ( f (P ) ) k∩
(1) =
i=1
V ( f (P )
i (1)
)
. Die Inklusion
” ⊆“ ist trivial. Um ” ⊇“ zu zeigen, betrachte f ∈ I(V ). Es gilt f = ∑ k g i f i für
i=1
passend gewählte g i ∈ K[X 1 , . . . , X n ]. Mit P = (a 1 , . . . , a n ) rechnet man dann
f (P )
(1)
=
=
=
n∑
j=1
n∑
j=1
n∑
i=1
(
∂j f ) (P )(X j − a j )
k∑ (
∂j g i (P ) f i (P ) +g i (P )∂ i f i (P ) ) (X i − a i )
} {{ }
i=1
=0
n∑
g i (P ) ∂ j f i (P )(X i − a i )
j=1
} {{ }
f (P )
i (1)
.
Es folgt erst
∑
f∈I(V )
(
(P )) k∑ f
(1) ⊆
i=1
(
f
(P )
i (1)
)
und dann mit
T P (V ) =
∩
f∈I(V )
die Behauptung.
V ( f (P ) ) ( ∑ (
(P )
(1) = V f
(1)
f∈I(V )
) ) ⊇ V
( ∑
i=1
(
f
(P )
I (1)
) ) =
k∩
i=1
V ( f (P )
i (1)
)
⊓⊔

3.3 Regularität und Dimension 55
Definition 3.3.5. Sei V ⊆ A n K
eine affine Varietät. Die Zahl
dim(V ) = min{dim T P (V ) | P ∈ V }
heißt die Dimension von V . Die Elemente der Menge
Reg(V ) := {P ∈ V | dim T P (V ) = dim(V )}
heißen reguläre Punkte in V , die Elemente der Menge
Sing(V ) := {P ∈ V | dim T P (V ) > dim(V )}
heißen singuläre Punkte in V .
Bemerkung 3.3.6. Sei V = V (f) mit f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] irreduzibel. Dann gilt
µ P (f) = 1 ⇔ ∇f(P ) ≠ 0 ⇔ Rang ∇f(P ) = 1 ⇔ dim T P (V ) = n − 1,
µ P (f) > 1 ⇔ ∇f(P ) = 0 ⇔ dim T P (V ) = n.
Also sind die bisherigen Definitionen singulären und regulären Punkten für Hyperflächen
mit denen für allgemeine affine Varietäten verträglich.
Proposition 3.3.7. Sei V ⊆ A n K eine affine Varietät und I(V ) = (f 1, . . . , f k ). Die
Funktion
V −→ N 0
P ↦−→ dim T P (V )
ist von oben halbstetig (von der Zariski-Topologie in die diskrete Topologie). Anders
ausgedrückt: S(m) := {P ∈ V | dim T P (V ) ≥ m} ist für jedes m abgeschlossen bzgl.
der Zariski-Topologie.
Beweis. Es gilt
T P (V ) = {Q ∈ A n K | f (P )
i (1)
(Q) = 0 i = 1, . . . , k}
= {P + a | a ∈ K n ; f (P )
i (1)
(a + P ) = 0; i = 1, . . . , k}
= {P + a | ∑ j
∂ j f i (P )(a) = 0; i = 1, . . . , k},
woraus man dim T P (V ) = n − Rang ( ∂ j f i (P ) ) ableitet. Also ist P ∈ S(m) genau
dann, wenn jede (n − m + 1) × (n − m + 1)-Unterdeterminante von ( ∂ j f i (P ) ) verschwindet.
Sei J m das von all diesen Unterdeterminanten erzeugte Ideal. Dann gilt
P ∈ S(m) ⇔ P ∈ V (J m ),
d.h. S(m) ist abgeschlossen.
⊓⊔
Bemerkung 3.3.8. Sei d = dim(V ), dann gilt:
V \ S(d + 1) = S(d) \ S(d + 1) = {P ∈ V | dim T P (V ) = d} = Reg(V )
ist offen und nicht leer, also dicht in V .

56 3 Singularitäten
Man identifiziert T P (V ) mit einem Untervektorraum von K n , indem man P als
Ursprung für A n K
wählt und
A
n K −→ K n
Q ↦−→ Q − P
als identifizierende Abbildung nimmt. Es ist dann sinnvoll, von T P (V ) ∗ := Hom K (T P (V ), K)
zu sprechen. Sei P = (a 1 , . . . , a n ) ∈ A n K und ˜m P := (X 1 − a 1 , . . . , X n − a n )
das zugehörige maximale Ideal in K[X 1 , . . . , X n ]. Setze m p := π( ˜m P ), wobei
π
K[X 1 , . . . , X n ] −→ K[V ] der Quotientenhomomorphismus ist. Dann gilt m P = I(P )
und wir schreiben
{ ∑ ∣ }
m 2 ∣∣
P := a j b j aj , b j ∈ m P ⊆ m P .
j
Satz 3.3.9. Sei V ⊆ A n K
eine affine Varietät und P ∈ V . Dann faktorisiert die
Abbildung
˜φ : ˜m P −→ (K n ) ∗
zu einem linearen Isomorphismus
Beweis. Es gilt
wobei df(P )(b) = n ∑
i=1
f ↦−→ ( b ↦→ f (P )
(1) (b + P ) = ∑ j
m P /m 2 P −→ T P (V ).
˜φ : ˜m P −→ (K n ) ∗
f ↦−→ df(P ),
∂ j f(P )b j
)
∂ i f(P )b i , ˜m P = (X 1 − a 1 , . . . , X n − a n ) mit P = (a 1 , . . . , a n )
und d(X j − a j )(P )(b) = b j gilt. Damit folgt die Surjektivität der Abbildung ˜φ.
Als nächstes betrachten wir die folgende Kette von Äquivalenzen:
f ∈ ker ˜φ ⇐⇒ df(P ) = 0
⇐⇒
f(P )=0
µ P (f) ≥ 2
⇐⇒ f ∈
Taylorentwicklung in P ˜m2 P .
Damit folgt, dass ˜m P / ˜m 2 P ∼ = (K n ) ∗ via ˜φ und wir haben die Behauptung für den
Spezialfall V = A n K bewiesen.
Beachte:
(a) T P (V ) ↩→ K n = T P (A n K ) induziert eine surjektive lineare Abbildung r V :
T P (A n K )∗ → T P (V ) ∗ (durch Einschränkung).
(b) m 2 P = π( ˜m2 P ) = ˜m2 P + I(V ) (Menge von Nebenklassen), also gilt m P /m 2 ∼ p =
˜m P /( ˜m 2 P + I(V )) und finden das kommutative Diagramm
˜m P
˜φ
T 0 (A n K )∗
m P /m 2 P ∼ =
˜m P / ˜m 2 P + I(V ) T 0 (V ) ∗
r V

3.3 Regularität und Dimension 57
Es bleibt noch zu zeigen, dass ker (r V ◦ ˜φ) = ˜m 2 P + I(V ). Dazu betrachten wir die
folgende Kette von Äquivalenzen für I(V ) = (g 1 , . . . , g k ):
f ∈ ker (r V ◦ ˜φ) ⇐⇒ df(P )| TP (V ) = 0
3.3.4
⇐⇒ ∀b ∈ K n : df(P )(b) =
(
⇐⇒ d f −
⇐⇒ f −
k∑
a j g j
)(P ) = 0
j=1
k∑
a j g j ∈ ˜m 2 P
j=1
⇐⇒ f ∈ ˜m 2 P + I(V ).
k∑
j=1
a j g (P )
j(1) (b + P )
Dabei haben wir benützt, dass T P (V ) = {b ∈ K n | g (P )
j(1)
(b + P ) = 0; j = 1, . . . , k}.
⊓⊔
↑ 12.7.2012 ↑
Übung 3.3.1. Gegeben seien ein K-Vektorraum W und linear Funktionale l 1, . . . , l k ∈ W ∗
auf W . Der lineare Unterraum U ≤ W sei durch U := ∩ ker l j definiert und l ∈ W ∗ mit
j
l| U = 0. Zeige: es gibt a 1 , . . . , a k ∈ K mit
l =
k∑
j=1
a j l j .
Beispiel 3.3.10. Die Abbildung Dieses Beispiel wurde
in der Vorlesung nicht
mehr vorgeführt
σ : A 2 K A 2 K
(u, v) ↦−→ (u, uv)
ist birational, denn sie wird durch
σ −1 : A 2 K
A 2 K
(x, y) ↦−→ (x, y x )
auf A 2 K \ V (X) invertiert. Sei L := V (U) ⊆ A2 K die vertikale Gerade, dann gilt
σ(L) = {(0, 0)} und σ : A 1 K \ L → A2 K \ {(0, 0)} ist bijektiv.
Betrachte eine Kurve C = V (f) ⊆ A 2 K , die den Punkt (0,0) enthält. Wir untersuchen
das Urbild von C unter σ:
σ −1( C \ {(0, 0)} ) = V (f ◦ σ) \ L = V ( f(U, UV ) ) \ L

58 3 Singularitäten
Schreibt man f = deg ∑ f
i=µ 0(f)
f (0)
(i)
, so ergibt sich
f(U, UV ) =
deg
∑f
i=µ 0(f)
deg f
f (0)
(i) (U, UV ) = ∑
i=µ o(f)
U i f (0)
(i)
(1, V ).
Also ist U µ0(f) ein Teiler von f(U, UV ). Wenn (0, 0) ∈ C, dann gilt m := µ 0 (f) ≥ 1
und f(U, UV ) = U m f 1 mit f 1 ∈ K[U, V ], wobei U m und f 1 teilerfremd sind. Dies
zeigt ( f(U, UV ) ) = (f 1 ) ∩ (U m ) und zusammen sehen wir
σ −1 (C) = V ( f(U, UV ) ) = V (f 1 ) ∪ V (U m ) = V (f 1 ) ∪ L.
(i) Wenn f = αX − Y + höhere Terme mit α ≠ 0, dann gilt µ 0 (f) = 1, d.h. C ist
regulär in 0 = (0, 0). Es ergibt sich
f(U, UV ) = αU − UV + höhere Terme
= U(α − V + höhere Terme)
und damit f 1 (U, V ) = α − V + höhere Terme. Dies liefert V (f 1 ) ∩ L = {(0, α)}
und T (0,α)
(
V (f1 ) ) = . . ..
α
0
0
(ii) Wenn f = Y 2 − X 2 − höhere Terme µ 0 (f) = 2, d.h. C ist singulär in 0. Also
gilt

3.3 Regularität und Dimension 59
f(U, UV ) = U 2 V 2 − U 2 + höhere Terme = U 2 (V 2 − 1 + höhere Terme),
und daher f 1 (U, V ) = V 2 −1+höhere Terme, was auf V (f 1 )∩L = {(0, 1), (0, −1)}
führt.
1
−1
σ
0
(iii) Wenn f = Y 3 − X 3 , dann gilt µ 0 (f) = 2 und es ergibt sich f(U, UV ) = U 2 V 2 −
U 3 = U 2 (V 2 − U). Damit folgt f 1 (U, V ) = V 2 − U und V (f 1 ) ∩ L = {(0, 0)}.
σ
Die Beispiele (ii) und (iii) sind Beispiele für die Auflösung von Singularitäten.

Teil II
Algebraische Varietäten

4
Varietäten
In diesem Kapitel orientieren wir uns an dem thematisch sehr interessant konzipierten
Buch [Mu03], um eine kurze Einführung in die Theorie der algebraischen
Varietäten zu geben, die es erlaubt, innerhalb eines Semesters auch einige Resultate
zu besprechen, die man nicht nur den grundlegenden Definitionen und Eigenschaften
zuzurechnen hat. Es stellt sich allerdings heraus, dass die Darstellung in [Mu03]
gelegentlich modifiziert und sehr häufig ergänzt werden muss. Teilweise greifen wir
dann auf das Buch [Bu98] zurück.
4.1 Das Maximalspektrum eines Rings
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Die folgenden Aussagen sind alle Teil
des Hilbertschen Nullstellensatzes 1.2.16.
Satz 4.1.1. (i) Für a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ K n definiere
φ: K[X 1 , , . . . , X n ] → K, f ↦→ f(a 1 , . . . , a n ).
Dann ist ker(φ) ein maximales Ideal in K[X 1 , . . . , X n ]. Weiter gilt ker(φ) =
(X 1 − a 1 , . . . , X n − a n ).
(ii) Jedes maximale Ideal ist von dieser Gestalt.
Satz 4.1.2. Sei a ✂ K[X 1 , . . . , X n ]. Wenn f ∈ K[X 1 , . . . , X n ] auf
V (a) = {a ∈ K n | ∀h ∈ a : h(a) = 0}
verschwindet, dann gibt es ein m ∈ N mit f m ∈ a, d.h. f ∈ √ a, wobei √ a das
Radikal von a ist.
Als Konsequenz dieses Satzes ergibt sich für a, b ✂ K[X 1 , . . . , X n ]:
V (a) ⊆ V (b) ⇔ √ b ⊆ √ a = I(V (a))
Definition 4.1.3. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins.
(i) Spm(R) := {a ✂ R | a maximal } heißt das Maximalspektrum von R.
(ii) Spec (R) := {p ✂ R | p prim} heißt das Spektrum von R.
Definition 4.1.4. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins, a ✂ R und f ∈ R. Dann
setzt man
(i) V (a) := {m ∈ Spm(R) | a ⊆ m}
(ii) D(f) := {m ∈ Spm(R) | f /∈ m}

64 4 Varietäten
Beachte, dass für einen Polynomring R = k[X 1 , . . . , X n ] die Menge V (a) aus
Definition 4.1.4 mit der aus Satz 4.1.2 übereinstimmt (vergleiche auch Satz 4.1.2).
Übung 4.1.1. Die V (a) mit a ✂ R bilden die abgeschlossenen Mengen einer Topologie
(vergleiche Übung 4.6.7).
Definition 4.1.5. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Die Topologie
{Spm(R) \ V (a) | a ✂ R}
heißt die Zariski-Topologie auf Spm(R).
Beispiel 4.1.6. Die abgeschlossenen Teilmengen von Spm(K[X]) sind ∅, Spm(K[X])
und alle endlichen Teilmengen (da ein Polynom nur endlich viele Nullstellen hat und
K[X] ein Hauptidealring ist, ist das Ideal von einem Polynom erzeugt).
Proposition 4.1.7. Sei R noethersch (d.h., jede aufsteigende Folge von Idealen
wird stationär). Dann wird jede absteigende Folge von abgeschlossenen Teilmengen
von Spm(R) auch stationär (man nennt so einen topologischen Raum auch
noethersch).
Beweis. Sei Z j eine absteigende Folge von abgeschlossenen Teilmengen. Dann gilt
Z j = V (a j ) = V ( √ a j ), weil √ √
aj = √ a j . Also können wir o.B.d.A. annehmen,
dass Z j = V (a j ) mit a j = √ a j . Aber dann gilt nach der Konsequenz aus dem
Satz 4.1.2
V (a j ) = Z j ⊇ Z j+1 = V (a j+1 ) ⇔ √ a j = a j ⊆ a j+1 = √ a j+1 .
Also wird die Folge der a j und damit die Folge der Z j stationär.
⊓⊔
Definition 4.1.8. Ein topologischer Raum X heißt irreduzibel, wenn
(1) X nicht von der Form X 1 ∪ X 2 mit X 1 , X 2 X abgeschlossen ist.
(2) Für zwei nichtleere offene Teilmengen U 1 und U 2 von X gilt U 1 ∩ U 2 ≠ ∅.
Beachte dabei, dass sich durch Komplementbildung die Äquivalenz von (1) und (2)
ergibt. Wenn diese Bedingungen nicht gelten, heißt X reduzibel.
Sei jetzt R ein Integritätsbereich, K der Quotientenkörper von R und f ∈ R\{0}.
Wir setzen
[ 1
] ⟨
R := R, 1 ⟩ { g
∣ }
∣∣
= g ∈ R, m ∈ N0
f f Ring f m ⊆ K.
Man nennt R[ 1 f
] die Lokalisierung von R im Punkt f.
Definition 4.1.9. Sei X topologischer Raum und U X := {U ⊆ X|U ≠ ∅, offen}.
Weiter sei M beliebige Menge und P M = {M ′ ⊆ M} die Potenzmenge von M. Eine
Zuordnung
F : U X → P M , U ↦→ F (U) ⊆ M
heißt eine Elementargarbe, wenn gilt:
( ∪ )
∀ U i ∈ U x , i ∈ I : F U i = ∩ F (U i ).
i∈I
Bemerkung 4.1.10. Für eine Elementargarbe F : U X → P M gilt
i∈I
U 1 ⊆ U 2 ⇒ F (U 2 ) ⊆ F (U 1 ),
denn F (U 2 ) = F (U 1 ∪ U 2 ) = F (U 1 ) ∩ F (U 2 ) impliziert F (U 2 ) ⊆ F (U 1 ).

4.1 Das Maximalspektrum eines Rings 65
Die Menge M in Definition 4.1.9 kann eine Extrastruktur haben, zum Beispiel
ein Modul sein. Die F (U) können dann Untermoduln sein. Dann spricht man von
einer Elementargarbe von Moduln.
Proposition 4.1.11. Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K, X =
Spm(R) und
O(X \ V (a)) :=
∩ [ 1
]
R ⊆ K.
f
0≠f∈a
Dann definiert O eine Elementargarbe von Ringen auf X mit O(D(f)) = R[ 1 f ].
Vorbereitung des Beweises von Proposition 4.1.11:
Lemma 4.1.12. Sei R ein Integritätsbereich und a = (f i ∈ R | i ∈ I) ✂ R das von
den f i ∈ R erzeugte Ideal. Dann gilt
∩
0≠f∈a
[ 1
]
R = ∩ [ 1
]
R .
f f i
i∈I
Beweis. Die Inklusion ”
⊆“ ist klar.
Für die Umkehrung ”
⊇“ betrachten wir 0 ≠ f ∈ a und x ∈ ∩ i∈I R[ 1 f i
]. Es reicht
dann zu zeigen, dass x ∈ R[ 1 f ]. Da f beliebig ist, gilt dann x ∈ ∩ 0≠f∈a R[ 1 f ].
Sei f = ∑ j∈J a jf j mit a j ∈ R und einer endlichen Teilmenge J ⊆ I. Wegen
x ∈ R[ 1 f j
] findet man m j ∈ N mit
∀ j ∈ J :
f m j
j x ∈ R.
Da J endlich ist, gibt es ein m ∈ N 0 mit
∀ j ∈ J : f m j x ∈ R.
Also gibt es auch ein N ∈ N 0 mit f N x ∈ R, und das zeigt x ∈ R[ 1 f ].
⊓⊔
Bemerkung 4.1.13. Sei R ein Integritätsbereich und a ✂ R. Dann gilt
∩
0≠f∈a
[ 1
]
R = ∩
f
0≠f∈ √ a
[ 1
]
R
f
Dabei ist die Inklusion ⊇“ klar und für die Inklusion ⊆“ betrachten wir h ∈
” ” ∩0≠f∈a R[ ]
1
√
f mit 0 ≠ f ∈ a. Dann gibt es ein m ∈ N mit f m ∈ a. Es folgt
h ∈ R [ ]
1
f , d.h., man findet r ∈ R und k ∈ N mit h =
m
gilt auch h ∈ R [ ]
1
f .
r
(f m ) k = r
f mk . Aber dann
Beweis. (von Proposition 4.1.11) Aus V (a) = V (b) folgt mit Satz 4.1.2, dass √ a =
√
b, und dann liefert Bemerkung 4.1.13
O(X \ V (a)) = O(X \ V (b)).
Damit ist gezeigt, dass O wohldefiniert ist.
Es bleibt zu zeigen, dass für U = ∪ i∈I U i mit offenen U i gilt
O(U) = ∩ i∈I
O(U i ).
Sei dazu U = X \ V (a) und U i = X \ V (a i ). Dann ist

66 4 Varietäten
V (a) = ∩ i∈I
X \ U i = ∩ ( ∑
V (a i ) = V a i
),
i∈I
wobei ∑ a i das von den a i erzeugte Ideal ist, und es folgt
O(U) =
∩
0≠f∈a
[ 1
] 4.1.12
R =
f
∩
R
i∈I
0≠f i∈a i
[ 1
]
= ∩ ( ∩
f i
i∈I
0≠f i ∈a i
R
i∈I
[ 1
f i
])
= ∩ O(X \ V (a i )).
} {{ }
i∈I
U i
Definition 4.1.14. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, R eine endlich
erzeugte nullteilerfreie K-Algebra. Dann heißt Spm(R), versehen mit der Zariski-
Topologie und der Elementargarbe O eine affine algebraische Varietät 1 .
Wir verwenden die folgenden Schreibweisen: M = Spm(R), K[M] = R und
K(M) = K, wobei K der Quotientenkörper von R ist. Weiter schreibt man
O M (U) =
∩
0≠f∈a
[ 1
]
R ,
f
⊓⊔
↑ 12.10.2012 ↑
für U = M \ V (a). Insbesondere gilt für U = M = M \ ∅ = M \ V (1), dass
O M (M) = R.
Proposition 4.1.15. Sei K ein algebraisch abgeschossener Körper und R eine nullteilerfreie
endlich erzeugte K-Algebra. Dann ist Spm(R) irreduzibel.
Beweis. Zunächst machen wir folgende Feststellungen:
(i) Die D(f) mit f ∈ R bilden eine Basis der Zariski-Topologie auf Spm(R), das
heißt, jede Zariski-offene Teilmenge ist Vereinigung solcher Mengen (vergleiche
Übung 4.6.7).
(ii) Für f 1 , f 2 ∈ R gilt D(f 1 f 2 ) = D(f 1 ) ∩ D(f 2 ).
Wenn jetzt ∅ ̸= U 1 , U 2 ⊆ X = Spm(R) offen sind, dann gibt es 0 ≠ f i , f 2 ∈ R
mit D(f j ) ⊆ U j . Weil R nullteilerfrei ist, haben wir f 1 f 2 ≠ 0. Damit genügt es zu
zeigen, dass
∀ 0 ≠ f ∈ R : ∅ ̸= D(f).
Sei dazu R = K[X 1 , . . . , X n ]/p, wobei p✂K[X 1 , . . . , X n ] ein Primideal ist. Dann
gibt es zu 0 ≠ f ∈ R ein F ∈ K[X 1 , . . . , X n ] \ p mit F + p = f und
F /∈ p = √ p 1.2.16
= I(V (p)) = {h ∈ K[X 1 , . . . , X n ] | ∀a ∈ V (p) : h(a) = 0}.
1 Man findet in der Literatur im Wesentlichen zwei unterschiedliche Definitionen einer
affinen algebraischen Varietät. In manchen Texten wird die Irreduzibilität des zugrunde
gelegten topologischen Raumes verlangt, in anderen nicht. In Definition 1.3.9 haben wir
uns für die zweite Variante entschieden, obwohl [Re88], das eine wesentlich Quelle des
entsprechenden Kapitels war, ebenso wie die Standardreferenz [Har77], das Buch [Bu98]
und das neuere Buch [GW10] die erste Variante favorisieren. Der wesentliche Grund,
warum man sich auf irreduzible Räume beschränken möchte, ist die resultierende Nullteilerfreiheit
des Koordinatenrings. Dies erlaubt nicht nur vom Funktionenkörper zu
sprechen, sondern auch, wie in [Mu03], die Beschränkung der Garbentheorie auf Elementargarben.
Dazu kommen technische Vereinfachungen in der Diskussion von Lokalisierungen.
In dem an [Re88] angelehnten Buch [Hu00] und in [Har92] sind affine
Varietäten einfach nur als affine algebraische Mengen, das heißt zusammen mit ihren
Einbettungen in affine Räume, definiert. Das Buch [Pe95] gibt eine allgemeine Definition,
verzichtet aber auf die Irreduzibilität. Insbesondere Bücher über affine algebraische
Gruppen verzichten gerne auf die Irreduzibilität, weil die natürlich auftretenden algebraischen
Gruppen sehr oft nicht irreduzibel sind (siehe zum Beispiel [Sp81]).

4.2 Morphismen von affinen algebraischen Varietäten 67
Aber dann gibt es ein a ∈ V (p) mit F (a) ≠ 0. Sei m a das maximale Ideal zu a.
Dann ist m a von der Form
und es gilt
m a = (X 1 − a 1 , . . . , X n − a n ) ✂ K[X 1 , . . . , X n ]
a ∈ V (p) ⇔ p ⊆ m a .
Also ist m a /p ✂ R ein maximales Ideal. Weil F (a) ≠ 0 ergibt sich F + p ∉ m a und
m a /p ∈ D(f).
⊓⊔
4.2 Morphismen von affinen algebraischen Varietäten
Bemerkung 4.2.1. Seien S und R endlich erzeugte nullteilerfreie K-Algebra, wobei
K ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Weiter sei φ: S → R ein K-
Algebrenhomomorphismus. Dann ist
X = Spm(R) ∋ m t φ
↦→ φ −1 (m) ∈ Spm(S) = Y
wohldefiniert und stetig bezüglich der Zariski-Topologien (vergleiche Übung 4.6.8).
Wir betrachten einen K-Algebrenhomomorphismus φ : S → R wie in Bemerkung
4.2.1. Das nächste Ziel ist dann, zu einer offenen Teilmenge U ⊆ Y einer
affinen K-Varietät Y einen K-Algebra-Homomorphismus
O Y (U) → O X (( t φ) −1 (U))
zu konstruieren. Dazu setze U = Y \ V (a) für a ✂ S und betrachte
Es gilt
O Y (U) =
∩
0≠f∈a
[ 1
]
S ⊆ K(Y ).
f
( t φ) −1 (U) = X \ ( t φ) −1 (V (a)),
} {{ }
=:V (b)
wobei das passende b ✂ R noch zu bestimmen ist. Wegen
( t φ) −1 (V (a)) = {m ✂ R | m maximal, t φ(m) ∈ V (a)}
= {m ∈ Spm(R) | a ⊆ φ −1 (m)}
= {m ∈ Spm(R) | ( φ(a) ) ⊆ m}
= V ((φ(a)))
kann man als b das von φ(a) erzeugte Ideal ( φ(a) ) wählen kann. Damit gilt jetzt
O X
(
( t φ) −1 (U) ) =
∩
0≠h∈(φ(a))
[ 1
] 4.1.12
R =
h
∩
0≠h∈φ(a)
[ 1
R .
h]
Wenn g ∈ O Y (U), dann gibt es zu 0 ≠ f ∈ a ein s f ∈ S und ein n f ∈ N 0 mit
g = s f
f n f . Zu 0 ≠ h ∈ φ(a) findet man 0 ≠ f ∈ a mit φ(f) = h und setzt
( ) φ(s f )
ϕ(U) (g) :=
φ(f) n = φ(s f )
[ 1
t h n ∈ R ⊆ K(X).
f
h]

68 4 Varietäten
Behauptung 1: ϕ(U) hängt nicht von h ab und ist in ∩ 0≠h∈φ(a) R[ 1
h]
enthalten.
Um das einzusehen, betrachten wir zusätzlich 0 ≠ ˜h ∈ φ(a) und 0 ≠ ˜f ∈ a mit
φ( ˜f) = ˜h. Dann gilt
g = s f
f n f
= s ˜f
˜f n ˜f
⇒ s f ˜f
n ˜f = s ˜f
f n f
∈ S
⇒ φ(s f )φ( ˜f) n ˜f = φ(s ˜f
)φ(f) n f
∈ R
⇒ φ(s f )
φ(f) n f = φ(s ˜f
)
φ( ˜f) n ˜f
⇒
∈ K(X)
ϕ(U): O Y (U) → O X (( t φ) −1 (U)) ist wohldefiniert.
Behauptung 2: ϕ(U) ist ein K-Algebrenhomomorphismus (dies ist eine Routineverifikation).
Satz 4.2.2. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und S, R nullteilerfreie
endlich erzeugte K-Algebren. Weiter sei und φ: S → R ein K-Algebrenhomomorphismus.
Dann lässt sich φ für jedes offene U ⊆ Y zu einem K-Algebrenhomomorphismus
ϕ(U): O Y (U) → O X (( t φ) −1 (U)) fortsetzen.
Beweis. Nach der vorangegangenen Konstruktion bleibt nur noch die Aussage zur
Fortsetzung zu verifizieren. Dazu betrachten wir das folgende Diagramm, das mit
(
ϕ(U)
)
(s) :=
(
ϕ(U)
) ( s
f 0 )
:= φ(s)
φ(f) 0 = φ(s)
kommutativ wird:
S
∩
0≠f∈a
S [ ]
1
f
φ
R
∩
0=h∈φ(a)
ϕ(U)
R [ ]
1
h
⊓⊔
Definition 4.2.3. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und (X, O X ), (Y, O Y )
zwei affine algebraische K-Varietäten. Ein Morphismus Φ : (X, O X ) → (Y, O Y ) ist
ein Tupel (f, ϕ), wobei f : X → Y eine stetige Abbildung ist und ϕ = (ϕ(U)) U⊆Y offen
eine Familie von K-Algebrenhomomorphismen
ϕ(U): O Y (U) → O X (f −1 (U)),
die verträglich mit den natürlichen Restriktionsabbildungen für
ist:
U 2 = Y \ V (a 2 ) ⊆ U 1 = Y \ V (a 1 ) ⊆ Y
∩
S [ ]
1
0≠f∈ √ f
a 1
O Y (U 1 )
Φ(U 1)
O X (f −1 (U 1 ))
∩
S [ ]
1
0≠f∈ √ f
a 2
O Y (U 2 )
Φ(U 2)
O X (f −1 (U 2 ))

4.2 Morphismen von affinen algebraischen Varietäten 69
Übung 4.2.1. Satz 4.2.2 sagt, dass es zu einem K-Algebrenhomomorphismus φ: S → R
einen Morphismus Φ = ( t φ, ϕ): (Spm(R), O X ) → (Spm(S), O Y ) gibt, wobei ϕ(Y ) = φ.
Dabei ist O Y (Y ) = ∩ 0≠f∈S S[ 1 f ] = S[ 1 1 ] = S und ϕ(Y ): S = O Y (Y ) → O X (X) = R. Man
zeige, dass jeder Morphismus von dieser Gestalt ist.
Bemerkung 4.2.4. Wenn φ: S → R in Satz 4.2.2 surjektiv ist, dann ist die Ko-
Einschränkung
t φ: Spm(R) → V (ker φ) = t φ ( Spm(R) )
von t φ: Spm(R) → Spm(S) ein Homöomorphismus, und für jede offene Teilmenge
U ⊆ Y ist der Ringhomomorphismus ϕ(U): O Y (U) → O X
(
f −1 (U) ) surjektiv. In
dieser Situation heißt der Morphismus Φ eine abgeschlossene Immersion (vergleiche
Übung 4.6.13).
Proposition 4.2.5. Wenn φ: S ↩→ R eine ganze Ringerweiterung ist, d.h.,
jedes r ∈ R ist Nullsstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in φ(S),
dann ist t φ surjektiv.
↑ 15.10.2012 ↑
Zum Beweis verwenden wir:
Lemma 4.2.6. Sei S ↩→ R ganz und a ✂ S. Wenn das von a in R erzeugte Ideal
(a) R ganz R ist, dann gilt a = S.
Beweis. Wenn 1 ∈ (a) R , dann gibt es a j ∈ a, r j ∈ R mit 1 = ∑ m
j=1 a jr j . O.B.d.A.
können wir R = S[r 1 , . . . , r m ] annehmen, weil S[r 1 , . . . , r m ] die Voraussetzung des
Lemmas erfüllt. Damit ist also R eine endlich erzeugte S-Algebra und ganz über S.
Nach Proposition 1.1.2 ist dann R ist ein endlich erzeugter S-Modul.
Seien b 1 , . . . , b N ∈ R S-Modul-Erzeuger. Wegen (a) R = R gibt es a ij ∈ a mit
b 1 = a 11 b 1 + . . . + a 1N b N ,
.
b N = a N1 b 1 + . . . + a NN b N ,
das heißt, wir haben eine lineare Gleichung der Form Ab = b. Für à := 1 N − A
betrachte ã := det(Ã) ∈ 1 + a. Die Cramersche Regel liefert
à adj à = 㠷 1 n ,
und Multiplikation von rechts mit dem Vektor b liefert
0 = Ãadj Ãb = ãb ∈ b + a,
und damit ã = 0, falls b ≠ 0 ist (im Fall b = 0 ist R = 0 und das Lemma trivial).
Aber dann gilt 1 ∈ a, d.h. a = S.
⊓⊔
Beweis. (von Proposition 4.2.5). Für m ∈ Spm(S) ist zu zeigen, dass es ein n ∈
Spm(R) mit φ −1 (n) = m gibt.
Wir identifizieren S mit φ(S). Dann gilt φ −1 (n) = n∩S und Lemma 4.2.6 liefert
(m) R R. Aber dann gibt es ein maximales Ideal n ∈ Spm(R), das (m) R enthält.
Insbesondere ist n ∩ S ein Ideal in S, das m enthält, aber nicht die 1. Wegen der
Maximalität von m gilt m = n ∩ S, d.h. m = t φ(n).
⊓⊔
Definition 4.2.7. Ein Morphismus Φ: (X, O X ) → (Y, O Y ) von affinen algebraischen
Varietäten heißt dominant, wenn der zugehörige Ringhomomorphismus
S = O Y (Y ) → O X (X) = R injektiv ist.

70 4 Varietäten
Bemerkung 4.2.8. Ein K-Algebrenhomomorphismus φ: S → R lässt sich in einen
surjektiven und eine injektiven K-Algebrenhomomorphismus faktorisieren:
S
❍❍ ❍❍❍❍❍❍❍
φ
✈ ✈✈✈✈✈✈✈✈
φ(S)
∼ =
S/ ker(φ)
Man beachte, dass mit S auch S/ker(φ) eine endlich erzeugte K-Algebra ist. Für
den zu φ gehörigen Morphismus Φ: (Y, O Y ) → (XO X ) erhält man eine Zerlegung
in eine abgeschlossene Immersion und einen dominanten Morphismus:
Φ
(Y, O Y ) (XO X )
❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖
abgeschlossene
Immersion
(Z, O Z )
R
dominant
♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
Spm(S/ker(φ))
Satz 4.2.9. Sei Φ: (X, O X ) → (Y, O Y ) ein Morphismus affiner algebraischer Varietäten
und Z = t φ(X) der Zariski-Abschluss von t φ(X). Dann enthält t φ(X) eine
nichtleere (d.h. dichte) Zariski-offene Teilmenge von Z.
Beweis. Wegen Bemerkung 4.2.8 können wir o.B.d.A. annehmen, dass Φ dominant
ist, weil eine anschließende abgeschlossene Immersion topologisch nichts mehr am
Abschluss des Bildes ändert. Damit ist φ dann injektiv und wir können S mit φ(S)
identifizieren.
Betrachte die endlich erzeugte K(Y )-Algebra ˜R := ⟨K(Y ), R⟩ Ring ⊆ K(X). Mit
Lemma 1.1.7 ergibt sich für ˜m ∈ Spm( ˜R), dass die Körpererweiterung K(Y ) ↩→ ˜R/˜m
aus dem Diagramm
K(Y )
˜R
❋ ❋❋❋❋❋❋❋
algebraisch ist. Also erfüllt I := ˜m ∩ R ✂ R
und wir finden
˜R/˜m
I ∩ S ⊆ K(Y ) ∩ ˜m = {0}
S
❈ R
❈❈❈❈❈❈
R/I
Ziel ist jetzt zu zeigen, dass S ↩→ R/I algebraisch ist. Mit
R
■ ■■■■■■■■■
˜R
R/R ∩ ˜m
˜R/˜m

4.2 Morphismen von affinen algebraischen Varietäten 71
erkennt man, dass man eine Einbettung R/I ↩→ ˜R/˜m hat. Mithilfe von
S
R/I
K(Y )
˜R/˜m
folgt jetzt, dass S ↩→ R/I algebraisch ist, weil K(Y ) ↩→ ˜R/˜m algebraisch ist (man
multipliziert mit den Nennern durch.
Behauptung 1: Wenn S ↩→ R algebraisch ist und R endlich erzeugt über S
ist, dann gibt es ein 0 ≠ aa ∈ S, für das S [ [
1
a]
↩→ R
1
a]
ganz ist (vergleiche
Übung 4.6.15).
Damit (und mit Proposition 4.2.5) folgt
Spm ( R[ 1
a ])
Spm ( S[ 1 a ])
D(a)
Spm(R)
t φ
Spm(S)
Behauptung 2: Man zeige Spm(S[ 1 a
]) ↩→ Spm(S) ist injektiv mit Bild D(a) (vergleiche
Übung 4.6.16).
Es folgt, dass die offene und nichtleere (hier brauchen wir, dass wir endlich
erzeugte K-Algebren haben) Menge D(a) in t φ(Spm(R)) enthalten ist, und damit
die Behauptung.
⊓⊔
Bemerkung 4.2.10. Der Beweis von Satz 4.2.9 zeigt, dass für dominantes Φ das
Bild t φ(X) Zariski-dicht in Y ist, das heißt, der Zariski-Abschluss von t φ(X) ist
Y . Umgekehrt, wenn für einen Morphismus Φ = ( t φ, ϕ): (X, O X ) → (Y, O Y ) affiner
Varietäten das Bild von t φ: X → Y dicht ist, dann kann wegen
∀ m ∈ X = Spm(R) :
ker φ ⊆ φ −1 (m) = t φ(m) ∈ Y = Spm(S).
und der resultierenden Inklusion t φ(X) ⊆ V (ker φ) Y der Homomorphismus φ
nicht injektiv sein. Die Dominanz von Φ ist also äquivalent zur Injektivität von φ.
Definition 4.2.11. Sei S ein Integritätsbereich und K der Quotientenkörper von
S. Weiter sei S ⊆ R ⊆ K eine Ringerweiterung und φ : S ↩→ R die Inklusion. Wenn
es eine offene Teilmenge U ⊆ Spm(S) gibt, für die t φ : Spm(R) Homöo.
−→ U ↩→ Spm(S)
gilt, dann heißt t φ eine offene Immersion. Wenn Φ: (X, O X ) → (Y, O Y ) ein
Morphismus ist, für den t φ (übliche Notation) eine offene Immersion ist, dann sagt
man auch, dass Φ eine offene Immersion ist.
Beispiel 4.2.12. Sei S eine nullteilerfreie endlich erzeugte K-Algebra und s 1 , . . . , s m ∈
S \ {0}. Für R := S [ ]
1 1
s 1
, . . . ,
s m
und die Inklusion φ: S ↩→ R gilt dann, dass
Spm(R) −→ D(s 1 ) ∩ . . . ∩ D(s m ) ⊆ Spm(S)
ein Homöomorphismus ist. Für m = 1 folgt das aus Übung 4.6.16 (siehe den Beweis
von Satz 4.2.9). Der allgemeine Fall folgt mit Induktion.
↑ 19.10.2012 ↑

72 4 Varietäten
4.3 Verklebung von affinen Varietäten zu Varietäten
Definition 4.3.1. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, K ⊆ K eine endlich
erzeugte Körpererweiterung und (X, O X ) topologischer Raum mit Elementargarbe
O X von K-Unteralgebra von K. Das Tupel (X, O X ) heißt eine algebraische
Varietät mit Funktionenkörper K =: K(X), wenn es eine endliche offene
Überdeckung {U i } i∈I von X gibt, die folgende Bedingung erfüllt: Jedes (U i , O X | Ui )
ist eine affine algebraische Varietät mit Funktionenkörper K(U i ) = K = K(X).
Beachte dabei, dass die Eingeschränkung O X | Ui der Elementargarbe O X durch
O X | Ui (U ∩ U i ) := O X (U ∩ U i ) ⊆ K gegeben ist.
Die Idee hinter der Setzung in Definition 4.3.1 ist, dass rationale Funktionen
durch eine Einschränkung auf eine nichtleere offene Teilmenge vollständig bestimmt
sind.
Definition 4.3.2. (A, O A ) und (B, O B ) seien affine K-Varietäten mit demselben
Funktionenkörper K(A) = K = K(B).
(i) Wenn es eine affine Varietät (C, O C ) und offene Immersionen ι A : C → A,
ι B : C → B gibt (man sagt, dass C gemeinsame offene ”
Menge“ ist), definiert
man A ∪ C B als topologischen Quotienten A ⨿ B q → ( A ⨿ B ) / ∼ bezüglich
der durch
x ∼ y in A ⨿ B :⇔ x = y oder ∃c ∈ C : ι A (c) = x, ι B (c) = y
oder ∃c ∈ C : ι A (c) = y, ι B (c) = x
definierten Äquivalenzrelation ∼. Die Topologie auf ( A ⨿ B ) / ∼ ist die feinste
Topologie bezüglich der q stetig ist (Bilder offener Mengen). Beachte, dass A
und B jeweils als offene Teilmengen von A ∪ C B betrachtet werden können.
(ii) In der Situation von (i) setzt man
O A∪C B(U) := O A (U ∩ A) ∩ O B (U ∩ B) ⊆ K,
wobei zu beachten ist, das für offenes U ∈ A ∪ C B die Schnitte U ∩ A und U ∩ B
offen sind. Da Schnitte von K-Algebren selbst K-Algebren sind, erhält man so
eine Elementargarbe von K-Unteralgebren O A∪C B von K mit A ∪ C B ⊆ A ∪ B.
Das heißt, {A, B} ist eine offene Überdeckung von A ∪ C B und es gilt
O A∪C B| A = O A , O A∪C B| B = O B .
Damit ist (A, O A∪C B| A ) = (A, O A ) eine affine algebraische Varietät (analog für
B) und (A ∪ C B, O A∪C B) ist eine algebraische Varietät mit Funktionenkörper
K. Sie heißt die Verklebung von A und B entlang C.
Definition 4.3.3. Seien R und S nullteilerfreie, endlich erzeugte K-Algebren mit
gemeinsamen Quotientenkörper K. Wenn für a 1 , . . . , a n ∈ R \ {0}, b 1 , . . . , b m ∈
S \ {0} gilt
dann sind
R[ 1
a 1
, . . . ,
1
] 1
= S[
, . . . ,
a n b 1
1
]
= T ⊆ K,
b m
Spm(R)
❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦
Spm(T )
❙❙❙❙❙❙❙❙❙❙❙❙❙❙❙
D(a 1)∩...∩D(a n)
D(b 1)∩...∩D(b m)
Spm(R)

4.3 Verklebung von affinen Varietäten zu Varietäten 73
offene Immersionen. In dieser Situation heißt Spm(R) ∪ Spm(T ) Spm(S) zusammen
mit O Spm(R)∪Spm(T ) Spm(S) eine einfache Verklebung. Man schreibt auch
Spm(R) ∪ T Spm(S) dafür.
Bemerkung 4.3.4 (Produkte). (Vergleiche die Übungen 4.6.17 und 4.6.18) Seien
(X, O X ), (Y, O Y ) zwei affine algebraische K-Varietäten. Dann gibt es eine bis auf
Isomorphie eindeutig bestimmte affine Varietät (Z, O Z ), die folgende universelle
Eigenschaft besitzt:
(Z, O Z ) (X, O X )
∃!Φ Z
∀Φ X
(Y, O Y ) (W, O W )
∀Φ Y
Später werden wir (X × Y, O X×Y ) für (Z, O Z ) schreiben. Zum Vergleich sollte man
sich die universelle Eigenschaft von Produkten in anderen Kontexten, zum Beispiel
Mengen, Vektorräume oder Gruppen, in Erinnerung rufen.
X × Y
pr Y
Y
pr X
∃!Φ X×Y
∀Φ Y
X
W
∀Φ X
wobei Φ X×Y (W ) = ( Φ X (W ), Φ Y (W ) ) gilt.
Man beachte hier, dass die Produkttopologie für algebraische Varietäten nicht
geeignet ist, denn sie liefert zum Beispiel auf dem mengentheoretischen Produkt
zweier affiner Räume nicht die Zariski-Topologie auf dem resultierenden affinen
Raum.
Bevor wir zeigen, dass es eine passende Produktvarietät wirklich gibt, stellen
wir fest, dass sie aufgrund der universellen Eigenschaft im Wesentlichen eindeutig
bestimmt ist (das heißt, bis auf Isomorphismen)
Z ❆❆ X ❆❆❆❆❆❆
Y Z ′
Die Verknüpfung der beiden Diagonalmorphismen muss wegen der Eindeutigkeit
die jeweilige Identität sein. Also sind die Diagonalmorphismen Isomorphismen.
Die Konstruktion des Produkts beginnen wir mit dem Fall affiner Varietäten:
Für X = Spm(K[X 1 , . . . , X n ]/p) und Y = Spm(K[Y 1 , . . . , Y m ]/q) setzen wir
Z := Spm(K[X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . , Y m ]/(p + q).
Dann gilt K[X 1 , . . . , X n ] ⊗ K[Y 1 , . . . , Y m ] ∼ = K[X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . , Y m ]
Bemerkung 4.3.5 (Einschub zu Tensorprodukten). Sei R ein kommutativer
Ring mit Eins und M, N seien R-Moduln. Ein Tensorprodukt von M und N ist ein
R-Modul T (später (M ⊗ R N)) mit folgender universeller Eigenschaft:
M × N
B
T
∀β bilin
∃!˜β lin
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
L

74 4 Varietäten
Dabei ist L ein R-Modul und das Diagramm soll kommutieren. Das heißt, zu jeder
bilinearen Abbildung β : M × N → L existiert genau eine lineare Abbildung ˜β mit
β = ˜β ◦ B.
Es gilt: Es existiert ein bis auf Isometrie eindeutig bestimmtes Tensorprodukt.
Damit muss gelten
(f, g) ∈ K[X
❴
1 , . . . , X n ] × K[Y 1 , . . . , Y m ]
L
B
B ˜β
❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥
fg ∈ K[X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . , Y m ]
˜β( ∑ a ij x i y j ) = ∑ a ij ˜β(x i y j ) = ∑ as ij ˜β(B(X i , Y j )) = ∑ a ij β(X i , Y j ).
Für R := K[X 1 , . . . , X n ]/p und S := K[Y 1 , . . . , Y m ]/q gilt auch:
R ⊗ S = K[X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . Y m ]/(p + q).
Mit X = Spm(R) und Y = Spm(Y ) findet man so für die globalen Ringe
und das zum Morphismendiagramm
O X×Y (X × Y ) = O X (X) ⊗ k O Y (Y ),
β
X × Y
pr Y
Y
pr X
∃!Φ X×Y
∀Φ Y
X
W
∀Φ X
gehörige Diagramm von Ringhomomorphismen ist
O X (X) ⊗ O Y (Y )
O X (X)
↑ 22.10.2012 ↑
O Y (Y )
❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚
O W (W )
Definition 4.3.6. (i) A, B seien affine algebraische Varietäten, die entlang C zusammengeklebt
sind. Das Bild von t φ A×B heißt der Graph der Verklebung,
wobei t φ A×B durch das kommutative Diagramm
A × B
B
t φ A×B
ι B
A
ι A
C
gegeben ist. Wenn der Graph der Verklebung abgeschlossen ist, dann heißt die
Verklebung separiert.
(ii) Eine algebraische Varietät heißt separiert, wenn sie von offenen affinen Teilmengen
{U i } i∈I überdeckt wird und dabei gilt, dass jedes U i ∪ Ui ∩U j
U j als
Verklebung separiert ist.
Bemerkung 4.3.7. (Vergleiche Übung 4.6.19)

4.3 Verklebung von affinen Varietäten zu Varietäten 75
(i) X, Y seien zwei hausdorffsche topologische Räume und X ∩ Y offen
⊆ X, Y . Man
zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) X ∪ Y := X ∪ X∩Y Y ist hausdorffsch.
(2) Das Bild von (ι X , ι Y ): X ∩ Y ↩→ X × Y, z ↦→ (z, z) ist abgeschlossen.
(ii) Man zeige: Ein topologischer Raum X ist hausdorffsch genau dann, wenn die
Diagonaleinbettung X ↩→ X × X, x ↦→ (x, x) abgeschlossenes Bild hat.
Proposition 4.3.8. Sei Spm(R) ∪ Spm(T ) Spm(S) eine einfache Verklebung. Dann
sind folgende Bedingungen äquivalent:
(1) Die Verklebung ist separiert.
(2) T wird als K-Algebra von R und S erzeugt.
Beweis. Es gilt
1 1
]
T = R[
, . . . , , a 1 , . . . , a n ∈ R \ {0}
a 1 a n
1 1
]
= S[
, . . . , , b 1 , . . . , b m ∈ S \ {0}.
b 1 b m
Setze X := Spm(R) und Y := Spm(S). Dann gilt für Z := Spm(T )
Z = D(a 1 ) ∩ . . . ∩ D(a n ) ⊆ X
= D(b 1 ) ∩ . . . ∩ D(b m ) ⊆ Y,
und wir haben die kommutativen Diagramme
X × Y
X
Y
● ●●●●●●●●
R ⊗ S❋
R ❋❋❋❋❋❋❋
Z
S
T
Wir betrachten die Immersionen
ι X : X ↩→ X ∪ Z Y, ι Y : Y ↩→ X ∪ Z Y, Z = X ∩ Y ↩→ X ∪ Z Y.
Dann entspricht Spm(T ) = Z ↩→ X × Y = Spm(R ⊗ S) dem Ringhomomorphismus
µ: R ⊗ S → T, r ⊗ s ↦→ rs, den man aus dem Diagramm
R × S
T
R ⊗ S
gewinnt. Die Abbildung Z ↩→ X ×Y ist genau dann eine abgeschlossene Immersion,
wenn µ: R⊗S → T surjektiv ist. Das wiederum ist äquivalent dazu, dass jedes t ∈ T
von der Form µ ( ∑ n
j=1 r ) ∑ n
j ⊗ s j =
1 r js j ist. In anderen Worten, T muss von R
und S erzeugt sein.
⊓⊔
Beispiel 4.3.9. Die beiden Algebren R = K[X, XY ] und S = K[Y, XY ] erzeugen
T = k[X, Y ], aber weder A 2 k = Spm(T ) ↩→ Spm(R) ∼ = A 2 k k noch A2 k
= Spm(T ) ↩→
Spm(S) sind offen (vergleiche Übung 4.6.14). Also ist keine Verklebung möglich.
Beispiel 4.3.10. Betrachte K = K(t) = K(A 1 )
(i) Wenn R = S = K[t] und T = K [ t, 1 t
]
, dann wird T nicht von R und S erzeugt:
Das Bild nicht abgeschlossen!
A 1 k \ {0} = Spm(T ) ↩→ A 1 k = Spm(R) = Spm(S)

76 4 Varietäten
(ii) Wenn R = K[t] und S = K[ 1 t ], dann ist für T = K[t, 1 t ] mit
Spm(T ) ↩→ Spm(R),
a ↦→ a
Spm(T ) ↩→ Spm(S),
a ↦→ 1 a
Spm(T ) ↩→ Spm(R) × Spm(S),
a ↦→
(
a, 1 )
a
der Graph der letzten Abbildungen gleich V (XY − 1) ⊆ A 2 k
, also abgeschlossen.
In diesem Fall erzeugen R und S den Ring T .
Definition 4.3.11. Sei I eine Indexmenge, dann bezeichnet man die folgenden Daten
als Klebedaten
(a) Affine Varietäten,(U i , O Ui ) für i ∈ I, alle mit dem gleichen Funktionenkörper
K.
(b) U ij ↩→ U i offene Immersionen von affinen Varietäten für i, j ∈ I.
(c) Isomorphismen Φ ji = ( t φ ij , ϕ ij ) : (U ij , O Ui | Uij ) → (U ji , O Uj | Uji ) von affinen
Varietäten für i, j ∈ I, die
(c.1) U ii = U i , ϕ ii = id
(c.2) ϕ kj ◦ ϕ ji = ϕ ki : U ik ∩ U ij → U ki ∩ U kj
erfüllen.
Konstruktion 4.3.12. Sei ein Satz von Klebedaten wie in Definition 4.3.11 gegeben.
Auf ⨿ i∈I U i definiert man eine Relation ∼ durch
U i ∋ x i ∼ x j ∈ U j :⇔ x i ∈ U ij , x j ∈ U ji , t φ ji (x i ) = x j .
Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation (die Reflexivität gilt, weil ϕ ii = id) und wir
betrachten die Menge X := ( ⨿ i∈I U i)/ ∼ der Äquivalenzklassen und die zugehörige
Quotientenabbildung
q : ⨿ i∈I
U i → X, x ↦→ [x] ∼ .
Auf X betrachtet man die Quotiententopologie, die die feinste Topologie auf X
ist, bezüglich der q stetig ist. Dabei ist die Topologie auf ⨿ U i die Vereinigung der
Topologien auf den U i . Damit ist dann M ⊆ ⨿ U i genau dann offen, wenn M ∩ U i
für alle i offen ist. Im Ergebnis erhält man X einen topologischer Raum und offene
Abbildungen
f i : U i → X, x i ↦→ [x i ] ∼ .
Die f i sind injektiv, da die ϕ ij bijektiv sind. Weiter gilt f i (U ij ) = f i (U i ) ∩ f j (U j ).
Jetzt definieren wir für ∅ ≠ U ≤ X offen
O x (U) := ∩ i∈I
O Ui
(
f
−1
i (U) ) ⊆ K,
und es stellt sich die Frage, ob dies eine Elementargarbe ist.
Behauptung: (X, O X ) ist eine algebraische Varietät ist und die Abbildungen
f i : U i → X,
x i ↦→ [x i ] ∼
↑ 26.10.2012 ↑
sind offene Immersionen (vergleiche Übung 4.6.25 und Bemerkung 4.3.14).
Definition 4.3.13. Seien (X, O X ) und (Y, O Y ) algebraische Varietäten. Ein Morphismus
Φ : (X, O X ) → (Y, O Y ) besteht aus einer stetigen Abbildung f : X → Y
und einem Ringhomomorphismus ϕ(U): O Y (U) → O X (f −1 (U)) für jede offene
Teilmenge U ⊆ Y , so dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

4.3 Verklebung von affinen Varietäten zu Varietäten 77
(i) Es gibt offene Überdeckung {V i } i∈I und {U j } j∈J von X bzw. Y durch affine
Teilmengen (das heißt (U j , O Y | Uj ) ist affine Varietät; analog für die V i ’s), für
die gilt:
∀ i ∃ j : f(V i ) ⊆ U j .
(ii) Wenn f(V i ) ⊆ U j , dann erhält man einen Morphismus
Φ| (Vi ,O X | Vi ) := (f| Vi , ϕ| Vi ): (V i , O X | Vi ) → (U j , O Y | Uj )
von affinen algebraischen Varietäten, wobei
ϕ| Vi (U ∩ U j ) : O Y (U ∩ U j ) → O X (f −1 (U ∩ U j )) ⊆ O X (f −1 (U) ∩ V i )
} {{ } } {{ }
⊇f −1 (U)∩V i =O X | Vi (f −1 (U)∩V i )
Bemerkung 4.3.14. In Anlehnung an die entsprechenden Definitionen für Morphismen
affiner Varietäten führt man folgende Namen ein.
(a) Ein Morphismus Φ = (f, ϕ): (X, O X ) → (Y, O Y ) von algebraischen Varietäten
heißt eine abgeschlossene Immersion, wenn (vergleiche Bemerkung 4.2.4)
(i) f : X → f(X) ⊆ Y ein Homöomorphismus auf eine Zariski-abgeschlossene
Teilmenge ist,
(ii) für jede offene Teilmenge U ⊆ Y der Ringhomomorphismus ϕ(U): O Y (U) →
O X
(
f −1 (U) ) surjektiv ist.
(b) Φ heißt offene Immersion, wenn f : X → f(X) ⊆ Y ein Homöomorphismus
auf einen offene Teilmenge ist (vergleiche Definition 4.2.11).
(c) Φ = (f, ϕ) heißt dominant, wenn f(X) dicht in Y ist (vergleiche Bemerkung
4.2.10).
Bemerkung 4.3.15. Seien (X, O X ) und (Y, O Y ) algebraische Varietäten. Ein Produkt
von (X, O X ) und (Y, O Y ) ist eine algebraische Varietät (Z, O Z ), für die folgende
universelle Eigenschaft gilt:
(Z, O Z )
Dann gilt (vergleiche Übung 4.6.21):
∃!Φ Z
(X, O X )
∀Φ X
(Y, O Y ) (W, O W )
∀Φ Y
(i) Produkte sind eindeutig bis auf Isomorphismen. Daher ist es sinnvoll, die Notation
(X × Y, O X×Y ) für das Produkt zu verwenden.
(ii) Produkte existieren, was man durch Verkleben der Produkte der offenen affinen
Teilmengen einsieht.
(iii) Als Menge ist X × Y die Produktmenge, aber sie trägt nicht die Produkttopologie.
Damit kann man für jede algebraische Varietät einen Diagonalmorphismus
∆ : X → X × X über das Diagramm
definieren.
X × X● X ●●●●●●●●
X
Proposition 4.3.16. Sei (X, O X ) eine algebraische Varietät. Dann gilt:
id
∆
X
id

78 4 Varietäten
(1) (X, O X ) ist separiert.
(2) ∆ ist eine abgeschlossene Einbettung.
Beweis. Man erhält dies durch Reduktion auf affine Stücke (vergleiche Übung 4.6.23).
⊓⊔
4.4 Projektive Varietäten
Beispiel 4.4.1 (Projektiver Raum). Wir betrachten den Körper K(X 0 , . . . , X n )
der rationalen Funktionen in n + 1 Variablen und bestimmen einen Satz von Klebedaten
für den Funktionenkörper K := K(x 1 , . . . , x n ) ⊆ K(X 0 , . . . , X n ), wobei
Für i = 0, . . . , n setzen wir
R Xi
x j = X j
X 0
∈ K(X 0 , . . . , X n ).
[ X0
:= K , . . . , X i−1
, X i+1
, . . . , X ]
n
⊆ K
X i X i X i X i
∼= K[Y 1 , . . . , Y n ] Polynomring in n Variablen
und stellen fest, dass Spm(R Xi ) ∼ = A n K
. Weiter betrachten wir zu i, j ∈ {0, 1, . . . , n}
die endlich erzeugte K-Algebra R Xi X j
= R Xi R Xj ⊆ K. Es gilt
R Xi
[ X0
X j
, . . . , X j−1
X j
, X j+1
und wir erhalten eine offene Immersion
X j
, . . . , X n
X j
]
= R XiX j
,
Spm(R XiX j
) ↩→ Spm(R Xi ).
Um das nachzuweisen, stellen wir fest, dass R Xi X j
erst X u
X j
∈ R Xi [ X i
X j
] und damit R Xi X j
= R Xi [ Xi
X j
], weil X U
X j
· Xj
X i
= X U
X i
⊆ R Xi [ X i
X j
] impliziert. Damit befindet man
sich in der Situation von Beispiel 4.2.12 und kann schließen, dass Spm(R Xi X j
) ↩→
Spm(R Xi ) in der Tat eine offene Immersion ist.
Man überprüft, dass U i := Spm(R Xi ), U ij = Spm(R Xi X j
) =: U ji und id = ϕ ij :
U ij → U ji Klebedaten liefert, die dann mit Konstruktion 4.3.12 eine algebraische
Varietät liefern, die man mit P n k
bezeichnet und den n-dimensionale projektiven
Raum nennt.
Konstruktion 4.4.2. Sei R = ⊕ ⊕
e∈Z R (e) ein Z-graduierter Ring, das heißt
e∈Z R (e) ist eine direkte Summe abelscher Gruppen (additiv), und R ist ein Ring
mit R (e) · R (e′ ) ⊆ R (e+e′ ). Wir definieren eine Gradfunktion deg auf den R (e) durch
deg(f) := e für f ∈ R (e) \ {0}. Die Elemente der R (e) \ {0} heißen homogen vom
Grad e. Wir machen weitere Annahmen:
(a) Sei R ab jetzt auch ein Integritätsbereich und K der Quotientenkörper von R.
(b) R (e) = 0 für alle e < 0 (keine Laurentpolynome zugelassen).
Ein Element h ∈ K heißt homogen, wenn es homogene Elemente f und g in
R mit h = f g
gibt. Wir setzen dann deg(h) := deg(f) − deg(g). Diese Setzung ist
wohldefiniert:
F
g = f ′′
g ′
⇒ fg ′ = f ′ g ⇒ deg(f)+deg(g ′ ) = deg(fg ′ ) = deg(f ′ g) = deg(f ′ )+deg(g).

4.4 Projektive Varietäten 79
Die Menge K 0 := {h ∈ K | h homogen, deg(h) = 0}∪{0} ist ein Unterkörper von K,
weil f g + f ′
g
= fg′ +f ′ g
′ gg
∈ K ′ 0 . Man sollte ihn mit K = K(x 1 , . . . , x n ) in Beispiel 4.4.1
vergleichen. Wir betrachten
R g,0 :=
{ f
g n ∣ ∣∣ f ∈ R, deg(f) = n · deg(g)
}
∪ {0} ⊆ K 0 .
Wenn R eine K-Algebra ist, dann ist R g,0 eine K-Unteralgebra von K 0 . Unter
günstigen Umständen erhält man, dass K 0 ist der Quotientenkörper von R g,0 ist:
Für h ∈ K 0 gilt h = f f
= fa
′ g
· gn
n fa
mit einem a ∈ R, das deg a = deg f − n · deg g
erfüllt. Das geht zum Beispiel, wenn es zu jedem Grad ein homogenes Element gibt.
Lemma 4.4.3. In der Situation von Konstruktion 4.4.2 nehmen wir zusätzlich an,
dass R (e) ein K-Vektorraum und R eine K-Algebra ist. Dann gilt:
(i) Wenn R eine endlich erzeugte K-Algebra ist und deg g > 0, dann ist der Quotientenkörper
von R g,0 gleich K 0 (siehe Übung 4.6.27): Quot(R g,0 ) = K 0 falls
deg g > 0, andernfalls ist der Quotientenkörper nur K.
(ii) Seien g, g ′ ∈ R homogen, g ≠ 0 ≠ g ′ und T = R g,0 R g′ ,0 ⊆ K 0 . Dann ist
Spm(R g,0 ) ∪ Spm(T ) Spm(R g′ ,0) eine einfache separierte Verklebung.
Beweis. Für (ii) ist nur zu zeigen, dass die Verklebung einfach ist (vergleiche Proposition
4.3.8, die Separiertheit folgt aus der Einfachheit und T = R g,0 R g′ ,0).
Behauptung: Es gibt ein 0 ≠ p ∈ R g,0 mit T = R g,0 [ 1 p ] (analog für R g ′ ,0).
Sei e ∈ N das kleinste gemeinsame Vielfache von deg(g) und deg(g ′ ). Dann gibt
es a, a ′ ∈ N mit e = a deg(g) = a ′ (deg(g ′ ). Jedes Element von T lässt sich in der
Form mit f ∈ R und r, r′ ∈ N 0 , also in der Form
f
g r (g ′ ) r′
F
(g a (g ′ ) a′ ) m = F
g 2ma (
g a
[ g
(g ′ ) m a
∈ R g,0
) a′
(g ′ ) a′ ]
mit m ∈ N (groß genug)und deg(F ) = m · 2e schreiben. Dazu bringt man in einer
alles auf einen Nenner. Mit p := (g′ ) m
g
findet man, dass jedes Element von T in
a
R g,0 [ 1 p ] liegt. Das heißt T = R g,0[ 1 p
], und damit folgt die Behauptung. Mit der
Behauptung folgt nach Definition 4.3.3 aber sofort, dass die Verklebung einfach
ist. ⊓⊔ ↑ 29.10.2012 ↑
Definition 4.4.4. In der Situation von Lemma 4.4.3 nehmen wir zusätzlich an, dass
R eine endlich erzeugte K-Algebra ist. Betrachte I := {g ∈ R | 0 ≠ g homogen}
und die dadurch parametrisierten Klebedaten
(a) U i := Spm(R g,0 )
(b) U ij := Spm(R g,0 R g′ ,0) ↩→ Spm(R g,0 ) für g ′ , g ∈ I.
(c) ϕ ij := id : Spm(R g,0 R g′ ,0) → Spm(R g,0 R g′ ,0).
Man erhält so eine algebraische Varietät, die mit Proj(R) bezeichnet wird. Wenn
R 0 = K gilt, dann nennt man Proj(R) eine projektive Varietät.
Proposition 4.4.5. Sei R ein Z-graduierter Ring, der K-Algebra von homogenen
Elementen g 1 , . . . , g m ∈ R erzeugt wird (o.B.d.A. kann man annehmen, dass
deg g j > 0). Weiter sei R (0) = K. Dann ist Proj(R) ⊆ ∪ m
j=1 Spm(R g j ,0) eine offene
Überdeckung.

80 4 Varietäten
Beweis. Zu zeigen ist für 0 ≠ g ∈ R homogen, dass Spm(R g,0 ) ⊆ ∪ m
j=1 Spm(R g j,0).
o.B.d.A. können wir deg g > 0 annehmen, weil
Setze
deg g = 0 ⇒ Quot() = k ⇒ Spm(. . .) = (0).
e := kgV(deg g, deg g 1 , . . . , deg g m ) = a 0 deg(g) = a 1 deg g 1 = . . . = a m deg g m .
Es gilt g a 0
∈ √ (g a 1
1 , . . . , ga m m ), da g ∈ (g 1 , . . . , g m ) = R + = ⊕ e>0 R (e) und für
g = ∑ m
j=1 r jg j ein N ∈ N mit g a0N = ∑ m
j=1 f jg aj
j existiert, wobei f j ∈ R ist.
Daraus ergibt sich
1 =
m∑
j=1
f j
g a j m
j
g a 0N = ∑
j=1
weil deg f j = a 0 (N − 1) und deg g = e(N − 1).
f j
g a 0(N−1)
(
} {{ }
∈R g,0
g a j
j
g a 0 ,
Teilung der Eins: Sei S ein kommutativer Ring mit Eins und s 1 , . . . , s m Erzeuger
von S als S-Modul, was gleichbedeutend ist mit der Existenz von σ j ∈ S, für
die 1 = ∑ m
j=1 σ js j gilt. Dann ist Spm(S) = ∪ m
j=1 D(s j), wobei D(s j ) := {m ∈
Spm(S)|s j /∈ m}.
Aus der Teilung der Eins ergibt sich für S = R g,0 mit Übung 4.6.16
Behauptung: R g,0
[ g
a 0
Spm(R g,0 ) ⊆
g a j
j
m∪
j=1
a
] [ g j ]
=
j Rg,0
g a 0 .
( a g
j
j
D
g a 0
Um die Inklusion ”
⊆“ zu zeigen, betrachten wir ga 0
f
g n = fga 0l−n
g a 0l
= fga 0l−n
g a ·
jl
j
∈Rg j,0
} {{ }
)
= Spm R g,0
[ g
a 0
( g
a j
j
g a 0
g a j
j
g a j
j
]
.
∈ R gj ,0 und rechnen
) a l g
j ]
j ∈ Rgj ,0[
g a .
0
Damit ist ”
⊆“ bewiesen und ”
⊇“ geht analog.
Mit der Behauptung ist der Beweis der Proposition abgeschlossen, weil
( [ a g
j ])
j
Spm R gj ,0
g a ⊆ Spm ( )
R gj ,0
0
.
⊓⊔
Beispiel 4.4.6. Für a 0 , . . . , a n ∈ N definieren wir auf R := K[X 0 , . . . , X n ] eine
Gradfunktion durch deg X j := a j und setzen R = ⊕ ∞
e=0 R (e), wobei
R (e) =
⟨
X m 0
0 X m 1
1 · . . . · X m n
n
∣
n∑
j=0
⟩
a j m j = e .
K−V R
↑ 2.11.2012 ↑
Dann ist Proj(R) =: P(a 0 : . . . : a n ) ist eine projektive Varietät, die man einen
gewichteten projektiven Raum nennt. Wenn e = ggT(a 0 , . . . , a n ), dann gilt
P(a 0 : . . . : a n ) ∼ = P( a0
e : . . . : an e ).

4.5 Vollständigkeit 81
4.5 Vollständigkeit
Definition 4.5.1. (i) Für zwei topologische Räume X und Y heißt eine Abbildung
f : X → Y abgeschlossen, wenn für alle abgeschlossenen Teilmengen Z ⊆ X
gilt: f(Z) ⊆ Y ist abgeschlossen.
(ii) Eine algebraische Varietät heißt vollständig, wenn sie separiert ist und für
alle algebraischen Varietäten Y die Projektion X × Y pr 2
→ Y abgeschlossen ist
(genauer, die unterliegende Abbildung).
Beispiel 4.5.2. Der affine Raum A 1 K ist nicht vollständig: Zu der Projektion
A 1 K × A 1 K
pr 2
−→ A
1
K ,
(x, y) ↦→ y
betrachtet man die abgeschlossenen Teilmenge Z = V (XY − 1) ⊆ A 2 K = A1 K × A1 K ,
für die die Projektion pr 2 (Z) = A 1 K
\ {0} offen, nicht aber abgeschlossen ist.
Proposition 4.5.3. Die einzige vollständige affine Varietät ist die mit nur einem
Punkt.
Beweis. Sei X eine vollständige affine Varietät, die als abgeschlossene Teilmenge
X ⊆ A n K realisiert ist. Betrachte
A n+1
K
∼= A n K × A 1 K ⊇ X × A 1 K
pr 2
→ A
1
K ,
(x, t) ↦→ t
und das Bild B von V (x 1 t − 1) ∩ (X × A 1 K ) unter pr 2. Nach Voraussetzung ist B
abgeschlossen, und es gilt 0 /∈ B. Also ist B ist leer oder endlich. In letzterem Fall
schreiben wir B = {t (i1)
1 , . . . , t (im)
1 }.
1. Fall: B = ϕ. In diesem Fall gilt V (x 1 t − 1) ∩ (X × A 1 K ) = ϕ, also X ⊆ V (x 1), das
heißt x 1 = 0 für alle (x 1 , . . . , x n ) ∈ X.
2. Fall: B = {t (i1)
1 , . . . , t (im)
1 }. In diesem Fall haben wir X ⊆ ∪ m
j=1 V (x 1t (ij)
1 − 1).
Es ergibt sich x 1 = 1
t (i j )
1
, also x 1 ∈ { 1
t (i 1 )
1
, . . . ,
1
t (im)
n
Die Komponenten 2 bis n behandelt man analog (betrachte x j statt x 1 ). Also
ist X ist endlich, und weil X irreduzibel ist, besteht X aus nur einem Punkt. ⊓⊔
Das verbleibende Ziel dieses Abschnitts ist es, ein verifizierbares Kriterium für
die Vollständigkeit von Varietäten zu beweisen. Hilfsmittel werden dabei Bewertungsringe
R (vergleiche Übung 4.6.1) und das Konzept der R-wertigen Punkte
einer Varietät sein. Zur Vorbereitung betrachten wir eine eine K-Algebra R und
eine abgeschlossene Teilmenge X ⊆ A n k
, wobei wir nach wie vor annehmen, dass K-
algebraisch abgeschlossen ist. Dann gibt es Polynome F 1 , . . . , F m ∈ k[X 1 , . . . , X n ]
mit
X = {x ∈ A n k | F 1 (x) = . . . = F m (x) = 0} = V (F 1 , . . . , F m )
und wir nennen die Menge
X(R) := {r ∈ R n |F 1 (r) = . . . = F m (r) = 0}
die R-wertigen Punkte von X. Wenn f : R → S ein Homomorphismus von K-
Algebren ist, dann findet man eine natürliche Abbildung
X(f): X(R) → X(S), (r 1 , . . . , r n ) ↦→ (f(r 1 ), . . . , f(r n )).
Wenn R f → S g → T zwei solcher K-Algebren-Homomorphismen sind, dann gilt:
X(g ◦ f) = X(g) ◦ X(f). In der Sprache der Kategorien bedeutet das, dass durch
(R, f) ↦→ ( X(R), X(f) ) ein Funktor von der Kategorie der Polynom-K-Algebren in
die Kategorie der Mengen definiert wird.
}
.

82 4 Varietäten
Exkurs zu Kategorien
Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse Ob(C) von Objekten und zu zwei
Objekten A, B = Ob(C) einer Menge von Morphismen: Hom C (A, B). Es muss
gelten:
(a) ∃ id A ∈ Hom C (A, A)
(b) Morphismen sind komponierbar, das heißt, zu A, B, C ∈ Ob(C) gibt es eine
Abbildung
◦
Hom C (A, B) × Hom C (B, C) −→ Hom C (A, C),
und diese Abbildungen erfüllen ein Assoziativgesetz der Form
φ ◦ (ψ ◦ µ) = (φ ◦ ψ) ◦ µ
für A, B, C, D ∈ Ob(C) und µ ∈ Hom C (A, B), ψ ∈ Hom C (B, C), φ ∈ Hom C (C, D).
Beispiele für Kategorien sind:
1. Set : Objekte: Mengen; Morphismen: Abbildungen
2. Gr : Objekte: Gruppen; Morphismen: Gruppenhomomorphismen
3. T op : Objekte: topologische Räume; Morphismen: stetige Abbildungen
4. Vect K : Objekte: K-Vektorräume; Morphismen: k-lineare Abbildungen
5. AffVar K : Objekte: affine algebraische Varietäten über K; Morphismen: Morphismen
von affinen K-Varietäten
6. K-Alg : Objekte: K-Algebren; Morphismen: Homomorphismen von K-Algebren
↑ 5.11.2012 ↑
Ein Funktor C → F D ist eine Vorschrift, die jedem Objekt in C ein Objekt in
D zuordnet und jedem Morphismus φ ∈ Hom C (A, B) einen Morphismus f(φ) ∈
Hom D (F (A), F (B)), wobei F (φ ◦ ψ) = F (φ) ◦ F (ψ).
Ein Beispiel für einen Funktor K-ALG→ SET ist der Funktor X der X-wertigen
Punkte, den wir allerdings bis jetzt nur für Polynomalgebren definiert haben.
Sei jetzt A = K[X 1 , . . . , X n ]/(F 1 , . . . , F m ) eine endlich erzeugte K-Algebra und
S = Spm(A). Dann lässt sich Spm(A) als V (F 1 , . . . , F m ) ⊆ A n K
realisieren. Für
r = (r 1 , . . . , r n ) ∈ R n in X(R) faktorisiert die Auswertung
ev r : K[X 1 , . . . , X n ] → R,
X j ↦→ r j
zu einem K-Algebrenhomomorphismus ev r : A → R. Man erhält so eine Abbildung
X(R) → Hom K (A, R). Nach Übung 4.6.32 ist diese Abbildung ist eine Bijektion.
Zu f ∈ Hom K (R, S) definieren wir
f ∗ : Hom K (A, R) → Hom K (A, S),
λ ↦→ f ◦ λ
und bezeichnen den f via Satz 4.2.2 zu geordneten Morphismus Mor K (Spm S, Spm R)
mit f. Wenn R und S endlich erzeugte, nullteilerfreie K-Algebren sind, erhalten wir
mit f ∗ (Φ) = Φ ◦ f das kommutative Diagramm
X(R)
Hom K (A, R) 4.2.2 Mor K (Spm R, X)
X(f)
X(S)
f ∗
Hom K (A, S)
4.2.2
f ∗
Mor K (Spm S, X)
Das linke Quadrat in diesem Quadrat liefert ganz allgemein zwei Funktoren
Hom K (A, ·):
X(·):
K-ALG → SET
K-ALG → SET

4.5 Vollständigkeit 83
Durch Einschränkung auf endlich erzeugte nullteilerfreie K-Algebren erhält man
einen Funktor mit Werten in den affinen K-Varietäten, der ”
umkehrbar“ ist:
R ↦→ Spm(R),
(X, O X ) ↦→ O X (X).
Außerdem hat man einen Funktor von den affinen K-Varietäten in die Mengen
Y ↦→ Mor K (Y, X).
Wir möchten gerne für jede K-Varietät X einen Funktor X : K-ALG → SET
konstruieren, der für affines X auf den endlich erzeugten nullteilerfreien K-Algebren
mit dem schon konstruierten Funktor X zusammenfällt. Außerdem möchte man für
diesen Funktor die folgenden kommutativen Diagramme haben:
X(R)
Mor K (Spm R, X)
X(R)
Mor K (Spec R, X)
X(S) Mor K (Spm S, X)
X(S) Mor K (Spec S, X)
Beachte dabei, dass Spm R keine affine Varietät ist, wenn R ein K-Algebra, aber
nicht endlich erzeugt und nullteilerfrei ist.
Beachte außerdem, dass für zwei Ringe S und R mit S↩→R und m ✂ R maximal
der Schnitt S ∩ m zwar prim in S ist, im Allgemeinen aber nicht maximal. Dagegen
ist für m ✂ R prim auch S ∩ m ✂ S prim. Das erklärt, warum man in diesem Kontext
eher mit dem Spektrum als mit dem Maximalspektrum arbeiten sollte.
Hilfsmittel aus der Theorie der Bewertungsringe
Definition 4.5.4. Seien A, B kommutative Ringe mit Eins und m ✂ A, n ✂ B maximale
Ideale. Man definiert eine Dominanz-Relation ≥ durch
(A, m) ≥ (B, n) :⇔ B ⊆ und B ∩ m = n.
Beispiel 4.5.5. Sei A ein Integritätsbereich, m Spm(A) und K = Quot(A) der Quotientenkörper
von A. Dann gilt für die Lokalisierung A m von A in m, dass (vergleiche
Übung 4.6.26): A ∩ ˜m = m und
wobei ˜m das maximale Ideal in A m ist.
(A m , ˜m) ≥ (A, m),
Satz 4.5.6. Sei K ein Körper, R ⊆ K ein Unterring, der die Eins enthält, und
m ∈ Spm(R). Wenn (R, m) maximal bezüglich Dominanz in den Paaren (S, n) mit
einem Ring 1 ∈ S ⊆ K und n ∈ Spm(S) ist, dann ist R ist ein Bewertungsring und
Quot(R) = K.
Beweis. Es genügt zu zeigen, dass für x ∈ K gilt x ∈ R oder 1 x ∈ R.
1. Fall: x ist ganz über R (das heißt, es existiert ein normiertes Polynom in R[X]
mit Nullstelle x). In diesem Fall setzen wir R[x] =: ˜R und betrachten ein maximales
Ideal ˜m in ˜R. Dann ist p := R ∩ ˜m prim in R, weil R/p ↩→ ˜R/˜m ein Unterring ist
und daher nullteilerfrei. Wegen der Voraussetung an x ist ˜R/˜m eine endliche R/p-
Algebra. Nach Lemma 1.1.6 ist R/p ist ein Körper, also ist p maximal. Wegen der
Maximalität von (R, m) bezüglich Dominanz ist nach Beispiel 4.5.5 R ein lokaler
Ring. Also ist p = m das maximale Ideal des lokalen Rings R. Jetzt zeigt die Maximalität
von (R, m), dass ( ˜R, ˜m) ≥ (R, m), also insbesondere ˜R = R. Damit gilt aber

84 4 Varietäten
x ∈ R.
2. Fall: x nicht ganz über R. In diesem Fall setzen wir ˜R = R [ 1
x]
⊆ K.
Behauptung: 1 x ist nicht invertierbar in ˜R, d.h. x /∈ ˜R.
1
Andernfalls hätten wir x = a 1 + a 2 x + . . . + a 1
d+1 · mit a
x d j ∈ R. Aber
dann ergäbe sich im Widerspruch zur Annahme, dass x nicht ganz über R ist,
x d+1 − a 1 x d − . . . − a d+1 = 0.
Jetzt möchte man zeigen, dass 1 x ∈ R, das heißt ˜R = R. Nach der Behauptung
ist 1 x keine Einheit, also gibt es ein maximales Ideal ˜m ∈ Spm( ˜R) mit 1 x
∈ ˜m. Aber
dann ist p := R ∩ ˜m prim und R/p ↩→ ˜R/˜m ist surjektiv (und damit bijektiv), weil
˜R = R [ ]
1
x und
1
x
∈ ˜m impliziert, dass alle Elemente von {r + ˜m | r ∈ R} und
1
+ ˜m = 0 + ˜m ∈ ˜R/˜m
x
im Bild sind. Also ist p ist maximal, das heißt p = m. Damit folgt R = ˜R, also
1
x ∈ R.
⊓⊔
Satz 4.5.7. Sei K ein Körper, 1 ∈ B ⊆ K Unterring und n ∈ Spm(B). Dann gibt
es einen Unterring 1 ∈ R ⊆ K und ein maximales Ideal m ∈ Spm(R) mit folgenden
Eigenschaften:
(a) R ist ein Bewertungsring mit Quot(R) = K.
(b) (R, m) ≥ (B, n).
(c) B/n ↩→ R/m ist eine algebraische Körpererweiterung.
Beweis. Sei K der algebraische Abschluss 2 von B/n und betrachte B/n als eingebettet
in K, das heißt B/n ↩→ K:
B
❈
❈❈❈❈❈❈
Wir definieren eine partielle Ordnung ≥ auf
durch
h
5 5555555
B/n
{(A, g) | a ⊆ K Unterring, g : A → K Ringhomomorphismus mit g(1) = 1}
(A 1 , g 1 ) ≥ (A 2 , g 2 ) :⇔ A 2 ⊆ A 1 und g 1 | A2 = g 2 .
Nach dem Lemma von Zorn gibt es ein maximales Paar (R, g) bezüglich ≥, denn
für eine Kette (A j , g j ) gibt es mit ( ∪ A j , g) eine obere Schranke, wobei g(a) = g j (a)
für a ∈ A j gilt. Dann ist ker g ein maximales Ideal.
Behauptung 1: R ist lokal.
Behauptung 2 R ist ein Bewertungsring mit Quot(R) = K.
K
2 Einen Beweis für die Existenz des algebraischen Abschlusses findet man in [Ke95]. Siehe
auch Übung 4.6.35)

4.5 Vollständigkeit 85
Behauptung 3: B/n ↩→ R/m ist algebraisch.
Zu Behauptung 1: p := ker g ✂ R ist prim. Die Abbildung
˜g : R p → K,
r g(r)
↦→
s g(s)
setzt g fort, das heißt ˜g| R = g. Also gilt (R p , ˜g) ≥ (R, g). Weil (R, g) nach Annahme
maximal ist, gilt R p = R, und R ist lokal, weil R p lokal ist.
Zu Behauptung 2:
1. Fall: x ∈ K ganz über R. In diesem Fall setzen wir ˜R := R[x] und wie im Beweis
von Satz 4.5.6 sehen wir, dass R/m ↩→ ˜R/˜m algebraische Körpererweiterung mit
m = ker g ⊆ ˜m ist. Damit erhalten wir das folgende kommutative Diagramm
R
g
K
1 1111111
∃f
1
R/m
˜R/˜m
Der Homomorphismus f : ˜R/˜m → K, der das Diagramm kommutativ macht,
existiert, weil
˜R/˜m = (R/m)(x + ˜m ).
} {{ }
˜g
∈ ˜R/˜m
Es existiert also ein irreduzibles normiertes Polynom F ∈ R[X] mit F (x) = 0.
Wähle ein Element a ∈ K mit g(F (a)) = 0. Setze f(x + ˜m) := a und f(r + m) =
g(r) für r ∈ R. Dann ist zu zeigen, dass das so definierte f : ˜r/˜m → K ein
Ringhomomorphismus ist. Betrachte F ∈ (R/m)[X]. Für F (X) = ∑ r j X j gilt
F = ∑ (r j + m)X j . Wir setzen x + ˜m ein:
F (x + ˜m) = ∑ (r j + ˜m)(x + ˜m) j = ∑ r j X j + ˜m = 0 ∈ ˜R/˜m.
Außerdem gilt F (a) = ∑ (r j + ˜m)a j = ∑ g(r j )a j = 0. Weil es ein irreduzibles
Polynom F ∈ (R/m)[X] ⊆ K[X] mit F (x + ˜m) = 0 und ein
a ∈ K mit F (a) = 0 gibt, folgt (vergleiche die allgemeine Theorie algebraischer
Körpererweiterungen), dass sich g : R/m → K eindeutig zu einem
Körperhomomorphismus (R/m)(X + ˜m) → K mit f(x + ˜m) = a fortsetzen lässt.
Jetzt setzen wir ˜g = f ◦ q wobei q : ˜R → ˜R/˜m die Quotientenabbildung ist.
Dann ist ˜g = ˜R → K ein Körperhomomorphismus mit ˜g| R = g und wir finden,
dass ( ˜R, ˜g) ≥ (R, g). Wegen der Maximalität folgt ˜R = R, also x ∈ R.
2. Fall: x ∈ K nicht ganz über R. In diesem Fall setzen ˜R := R[ 1 x ] ∼ = R[X]. Da
[ 1 x
] nicht algebraisch ist, folgt, dass sich g : R → K zu einem Ringhomomorphismus
˜g : ˜R → K fortsetzen lässt (wähle einfach einen Wert für X). Wenn man
˜g(X) = ˜g( 1 X ) ∈ g(R) wählt, dann folgt ˜g( ˜R) = ˜g( ˜R) ist ein Unterkörper von K.
Also ist ker ˜g ein maximales Ideal, und es gilt ( ˜R, ˜g) ≥ (R, g). Wieder mit der
Maximalität folgt ˜R = R und 1 X ∈ R.
zu Behauptung 3:
B/n
B/ker h
˜R
h
K
R/m
R/ker g
g
K

86 4 Varietäten
↑ 9.11.2012 ↑
Abschließend stellen wir fest, dass B/n ↩→ K algebraisch ist, wie man an dem
folgenden Diagramm sieht:
B ❈ B/n
❈❈❈❈❈❈❈
Damit folgt auch Behauptung 3.
h
Satz 4.5.8. X sei eine separierte Varietät über K mit Funktionenkörper K =
K(X). Wenn für jede irreduzibel abgeschlossene Teilmenge X ′ ⊆ X und jeden Bewertungsring
K ⊆ R ⊆ K(X ′ ) ein Punkt x 0 ∈ X ′ mit O X′ ,X 0
⊆ R existiert, dann
ist X vollständig. Dabei ist O X ′ ,X 0
der durch den direkten Limes
O X ′ ,X 0
:= lim −→
O X ′(U) =
∪
O X ′(U)
x 0 ∈U
h
K
X 0∈U
⊓⊔
(die U durchlaufen alle offenen Umgebungen von x 0 ) definierte lokaler Ring, vergleiche
[Bu98] und Übung 4.6.38.
Beweis. Zu zeigen ist, dass für Z abg.
⊆ X × Y pr 2
−→ Y die Teilmenge pr 2 (Z) ⊆ Y
abgeschlossen ist.
1. Reduktion: Nach Übung 4.6.29 können wir o.B.d.A. voraussetzen, dass Y affin
ist. Nach Übung 4.6.30 ist dann X ×Y noethersch. Also können wir annhemen, dass
Z irreduzibel ist (allgemein gilt: Z besteht aus endlich vielen irreduziblen Komponenten,
also ist Z dann als endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen wieder
abgeschlossen). Die Varietät X ′ := pr 1 (Z) ⊆ X ist nach Übung 4.6.37 irreduzibel.
2. Reduktion: Ersetze Y durch pr 2 (Z). Zu zeigen ist dann,
Z ↩→ X ′ × Y pr 2
→ Y
abg.
surjektiv ist (das würde (pr 2 (Z) = pr 2 (Z)) liefern). Wir wissen schon, dass das Bild
dicht ist, weil die Abbildung dominant ist.
Seien K(X ′ ) und K(Z) die Funktionenkörper von X ′ und Z. Dann ist
dominant.
Z ↩→ X ′ × Y pr 1
→ X ′
Behauptung 1:: Z → X ′ induziert eine Einbettung K(X ′ ) ↩→
j1
K(Z).
Aus Bemerkung 4.2.10 wissen wir: Seien X = Spm(R), Y = Spm(S) affine K-
Varietäten und φ : S → R ein K-Algebrenhomomorphismus, dann heißt Φ : X →
Y ∈ Mor k (X, Y ) dominant, wenn φ injektiv ist. In diesem Fall hat t φ : X → Y
dichtes Bild. Man sagt auch, Φ hat dichtes Bild oder Φ(X) ⊆ Y ist dicht. Umgekehrt,
wenn φ nicht injektiv ist, das heißt 0 ≠ ker φ, dann gilt
∀ m ∈ Spm(R) : ker φ ⊆ φ −1 (m) = t φ(m) ∈ Spm(S)
und t φ(Spm R) ⊆ V (ker φ) Spm(S), also ist t φ(Spm R) nicht dicht.

4.5 Vollständigkeit 87
Aus dem Diagram
Z
dominant
X ′
gewinnt man das Diagramm
affin, offen
U Z
O X ′(U X ′)
K(X ′ )
dominant
injektiv
j 1
affin, offen
U X ′
O Z (U Z )
K(Z)
Die Einbettung j 1 hängt dabei nicht von der Wahl der affinen offenen Stücke ab
(Übung).
Sei jetzt y 0 ∈ Y = Spm S, wobei S eine nullteilerfreie k-Algebra ist. Gesucht
wird jetzt ein x 0 ∈ X ′ mit z 0 := (x 0 , y 0 ) ∈ Z. Das zeigt dann die Surjektivität der
Abbildung.
Sei S → ϕ S/m = K der zu m := y 0 gehörige Auswertungshomomorphismus. Da
Z → X ′ × Y → Y dominant ist, gibt es eine Einbettung S ↩→ K(Y ) ↩→ K(Z). Nach
j2
den Sätzen 4.5.7 und 4.5.6 gibt es einen Bewertungsring R ⊆ K(Z) mit S ⊆ R und
ein maximales ideal m R mit S ∩ m R = m. Weil K algebraisch abgeschlossen ist, gilt
S
ϕ
S/m
K
alg. Erw.
R
ϕR
R/m R K
Wegen
k(X ′ ) j 1
K(Z)
↑ 12.11.2012 ↑
j −1
1 (R)
j 1
R
ist j1 −1 (R) ein Bewertungsring mit K ⊆ j−1 1 (R) ⊆ K(X′ ). Wegen der Voraussetzungen
des Satzes gibt es jetzt ein x 0 ∈ X ′ mit O X′ ,X 0
⊆ j1 −1 (R). Sei U ⊆ X′ eine
affine Teilmenge mit x 0 ∈ U und Z ′ := Z ∩(X ×Y ) ⊆ Z. Dann sind U ×Y ⊆ X ′ ×Y
und Z ′ ⊆ Z jeweils offene affine Teilmengen und Z ′ ≠ ∅, weil pr 1 (Z) ⊆ X ′ dicht ist
und somit pr 1 (Z) ∩ U ≠ ∅ gilt. Sei U = Spm(A) mit A ⊆ K(X ′ ) und Z ′ = Spm(B)
mit B ⊆ K(Z).
Behauptung 2: B ⊆ R.
Um diese Behauptung zu beweisen, betrachten wir die abgeschlossene Immersion
Z ′ ι
↩→ U × Y und den zugehörigen surjektiven K-Algebrenhomomorphismus A ⊗ K
S ι∗ ↠ B (vergleiche Übung 4.6.39). Mit Mit p ∗ 2 := (pr 2 | U×Y ) ∗ : S → A ⊗ K S und
p ∗ 1 := (pr 1 | U×Y ) ∗ : A → A ⊗ K S gilt dann

88 4 Varietäten
K(X ′ ) j 1
K(Z)
S j
2
A
p ∗ 1
p ∗ 2
A ⊗ K S
ι
∗
B
mit p ∗ 2(s) = 1 ⊗ s und p ∗ 1(a) = a ⊗ 1. Wegen j1 −1 (R) ⊇ O X ′ ,X 0
= ∪ X 0 ∈Ũ O(Ũ) ⊇ A
folgt j 1 (A) ⊆ j 1 (j1 −1 (R)) ⊆ R und somit ι∗ (A⊗1) ⊆ R. Außerdem liefert ι ∗ (1⊗S) ⊆
R (da S ⊆ R), dass B = ι ∗ (A ⊗ S) ⊆ R, weil A ⊗ S von A ⊗ 1 und 1 ⊗ S erzeugt
wird.
Wegen B ⊆ R ist ϕ R | B : B → k wohldefiniert. Setze jetzt z 0 := n := ker ϕ R | B ✂B
und beachte, dass n ein maximales Ideal in B ist. Also gilt z 0 ∈ Spm(B) = Z ′ .
Behauptung 3: z 0 = (x 0 , y 0 ).
Dazu betrachten wir die Morphismen
{Z 0 } (ϕ R | B ) ∗ Z ′ ι
U × Y
p 2
Y {y 0 }
und die zugehörigen K-Algebrenhomomorphismen
p 1
U {x 0 }
K
ϕ R | B
B
ι ∗
A ⊗ S
p ∗ 2
S
ϕ
K
p ∗ 1
U
K
Es gilt ϕ| R ◦ ι ∗ ◦ p ∗ 1 = ϕ R ◦ (j 1 | A ) ∗ und der Kern dieser Abbildung ist ein maximales
Ideal von A, das in m R enthalten ist. Weil x 0 in diesem maximalen Ideal enthalten
ist, ist es gleich diesem Ideal und wir erhalten p 1 (z 0 ) = x 0 . Beachte weiter, dass
ϕ R ◦ ι ∗ ◦ p ∗ 2 = ϕ, denn beides sind K-Algebrenhomomorphismen S → k mit Kern
m = m R ∩S, weil m = ker ϕ sowie ker ϕ R ◦i ∗ ◦p ∗ 2 = S ∩ker ϕ R . Da beide Abbildungen
auf k und auf dem Kern übereinstimmen, gilt die Gleichheit wegen S = k+m. Damit
folgt auch p 2 (z 0 ) = y 0 = m.
⊓⊔
Ziel ist es jetzt, mit diesem Vollständigkeitskriterium nachzuweisen, dass projektive
Varietäten vollständig sind. Dazu zeigen wir zunächst die folgenden Vererbungseigenschaften
für die Vollständigkeit
1. abgeschlossene Teilmengen vollständiger Varietäten sind vollständig,
2. Bilder vollständiger Varietäten unter Morphismen sind vollständig.
Diese Vererbungseigenschaften sollten mit den analogen Eigenschaften kompakter
Mengen verglichen werden. Dann betten wir projektive Varietäten in projektive
Räume ein und zeigen, dass projektive Räume vollständig sind.
Übung 4.5.1. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und (X, O X) eine algebraische
K-Varietät mit Funktionenkörper K(X). Man zeige: Zu jeder irreduziblen abgeschlossenen
Teilmenge ∅ ̸= C ⊆ X gibt es eine Elementargarbe O C, so dass (C, O C) eine algebraische
Varietät ist.

4.5 Vollständigkeit 89
Proposition 4.5.9. (i) Wenn X und Y vollständige Varietäten sind, dann ist auch
X × Y vollständig.
(ii) Wenn X eine vollständige Varietät ist und Y ⊆ X abgeschlossen, dann ist jede
irreduzible Komponente Y i von Y vollständig.
(iii) Sei Φ = (f, ϕ): X −→ Y ein Morphismus von K-Varietäten, X vollständig und
Y separabel. Dann ist f abgeschlossen und f(X) ⊆ Y ist vollständig, wenn man
es als algebraische Varietät betrachtet (vergleiche Übung 4.5.1).
Beweis. (i)
(X × Y ) × Z abgeschlossen Z
abgeschlossen
X × (Y × Z)
abgeschlossen
Z
(ii) O.B.d.A. können wir annehmen, dass Y irreduzibel ist.
abgeschlossene
Immersion
abgeschlossen
Y × Z
Z
abgeschlossen
♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
X × Z
(iii) Die Menge Γ f = {(x, f(x))|x ∈ X} ⊆ X × Y ist abgeschlossen, da Γ f das Urbild
der abgeschlossenen Teilmenge ∆ Y ⊆ Y × Y unter dem (Zariski-stetigen)
Morphismus X × Y (Φ,id)
−→ Y × Y ist. Wegen f(X) = pr 2 (Γ f ) ⊆ Y und der
Vollständigkeit von X ist f(X) ⊆ Y abgeschlossen, da pr 2 abgeschlossen ist.
f(X) ist irreduzibel weil X irreduzibel ist und daher ist f(X) eine K-Varietät.
Behauptung 1: f(X) ist vollständig.
Um das einzusehen betrachten wir die abgeschlossenen Teilmengen W ⊆ f(X)×
Z ⊆ Y × Z und Ψ = (Φ, id): X × Z → Y × Z. Dann ist (f, id Z ) −1 (W ) ⊆ X × Z
abgeschlossen, sodass auch pr 2
(
(f, idZ ) −1 (W ) ) ⊆ Z abgeschlossen ist.
Behauptung 2: f : X → Y abgeschlossen.
Weil Z ⊆ X abgeschlossen ist, liefert (ii), dass die irreduziblen Komponenten
Z i ⊆ X von Z vollständig sind. Aber dann sind auch die f(Z i ) und somit
f(Z) = ∪ f(Z i ) abgeschlossen.
⊓⊔
Proposition 4.5.10. Sei K ein algebraischer abgeschlossener Körper, K ⊆ K eine
Körpererweiterung und K ⊆ R ⊆ K ein Bewertungsring mit maximalem Ideal m✂R.
Dann gibt es einen Bewertungsring K ⊆ R ′ ⊆ K mit maximalem Ideal m ′ ✂ R ′ mit
folgenden Eigenschaften:
(i) R ′ ⊆ R
(ii) m ′ ⊇ m
(iii) Die Verknüpfung K ↩→ R ′ → R ′ /m ′ ist ein Isomorphismus.
Beweis. Sei L := R/m und die Verknüpfung K → R → R/m = L injektiv. Dann
ist K ⊆ L eine Körpererweiterung. Wir wenden Satz 4.5.7 auf K ⊆ L an und
erhalten einen Bewertungsring K ⊆ R 1 ⊆ L mit maximalem Ideal m 1 ✂ R 1 , so
dass K ⊆ R 1 /m 1 algebraisch ist. Weil K algebraisch abgeschlossen ist, impliziert
dies K = R 1 /m 1 (genauer gesagt, ist die Verknüpfung k → R 1 → R 1 /m 1 ein
Isomorphismus).
↑ 16.11.2012 ↑

90 4 Varietäten
K R pr m
R/m L
K R ′
R 1
∼
K R 1
=
R 1 /m 1
K
Das heißt, R ′ ist das Urbild von R 1 unter pr m und m ′ ist das Urbild vom m 1 unter
pr m . Es bleibt zu zeigen, dass R ′ ein Bewertungsring ist, denn aus R ′ /m ′ ∼ = R 1 /m 1
∼ =
k und R ′ ⊆ R folgt, dass m ′ ⊇ pr −1
m (0) = m.
Für x ∈ K \ R ′ möchte man zeigen, dass 1 x ∈ R′ ):
1. Fall: x /∈ R. In diesem Fall liefert 1 x ∈ R, dass 1 x
wiederum äquivalent zu 1 x ∈ m ⊆ m′ ⊆ R ′ ist.
keine Einheit in R ist, was
2. Fall: x ∈ R. In diesem Fall gilt x /∈ m ⊆ R ′ , also ist x invertierbar in R und
1
∈ R. Wir betrachten x := x + m ∈ R/m = L. Dann gilt nach Voraussetzung,
x /∈ R 1 . Weil R 1 ein Bewertungsring ist, folgt 1 x ∈ R 1, so dass die Definition von R ′
liefert: 1 x ∈ R′ . Zusammen erhalten wir 1 x ∈ R′ , das heißt wir haben gezeigt, dass
R ′ ein Bewertungsring ist.
⊓⊔
Proposition 4.5.11. Sei R ⊆ K ein Bewertungsring mit maximalem Ideal m. Für
y 1 , . . . , y n ⊆ K \ {0} gibt es dann ein x ∈ K mit xy 1 , . . . , xy n ∈ R, aber nicht alle
xy j in m.
Beweis. Der Beweis erfolgt mit Induktion über n.
Induktionsanfang: Wir wählen x = 1 y 1
, dann gilt xy 1 = 1 ∈ R \ m.
Induktionsschritt: Angenommen, wir haben x 1 , . . . , x j ∈ K mit (1 ≤ l ≤ j):
(a l ) x l y 1 , . . . , x l y l ∈ R,
(b l ) nicht alle x l y k , k = 1, . . . , l, sind in m.
1. Fall: x j y j+1 ∈ R. In diesem Fall setzen wir x j+1 := x j . Dann gilt wegen (a j ),
dass x j+1 y 1 , . . . , x j+1 y j , x j+1 y j+1 ∈ R, das heißt a j+1 ), und nicht alle x j+1 y k mit
k = 1, . . . , j + 1 sind in m. Damit folgt auch (b j+1 ).
2. Fall: x j y j+1 /∈ R. Weil R ein Bewertungsring ist, gilt in diesem Fall
1
x j
1
y j+1
∈ R.
Wir setzen x j+1 := 1
y j+1
, dann gilt für 1 ≤ l ≤ j, dass
x j+1 y e =
y e
1
= (x j y e ) ∈ R.
y j+1 } {{ } x j y j+1
∈Ra j)
} {{ }
∈R
Wegen x j+1 y j+1 = 1 ∈ R \ m folgen (a j+1 ) und (b j+1 ).
Aus (a n ), (b n ) folgt die Behauptung der Proposition mit x = x n .
⊓⊔
Satz 4.5.12. Projektive Varietäten sind vollständig.
Beweis. Nach Proposition 4.5.9 (ii) reicht es zu zeigen, dass P n k
vollständig ist (weil
jede projektive Varietät als abgeschlossene Teilmenge eines projektiven Raums realisiert
werden kann). Wir wollen Satz 4.5.8 anwenden: Sei dazu Z ⊆ P n k abgeschlossen,

4.6 Übungen zu Kapitel 4 91
irreduzibel sowie R ⊆ k(Z) Bewertungsring (mit maximalem Ideal m ✂ R).
Behauptung 1: Es gibt ein z ∈ Z mit O Z,z ⊆ R.
Um das einzusehen, können wir o.B.d.A. annehmen, dass Z ist in keinem projektiven
Unterraum von P n K enthalten (das beweist man mit Induktion über n).
Wir wenden Proposition 4.5.10 auf K ⊆ R ⊆ k(Z) und erhalten einen Bewertungsring
R ′ ⊆ R mit maximalem Ideal m ′ ⊇ m und R ′ /m ′ ∼ = K. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit können wir annehmen, dass R ′ = R (wir zeigen
einfach O Z,z ⊆ R ′ ⊆ R), das heißt R/m ∼ = K, also gewinnt man aus K → R → R/m
einen K-Algebrenhomomorphismus ϕ: R → k mit ker ϕ = m. Seien x 0 , x 1 , . . . , x 1
die Koordinationsfunktionen auf K n+1 und ξ j := xj
x 0
∈ K(P n K ). Dann gilt (vergleiche
Übung 4.6.40)
ξ j ∈ O P n
k ,Z = ∪
O P n
k ,z ⊆ k(P n k) = k(ξ 1 , . . . , ξ n ),
u∈Z
weil Z {X 0 = 0} (denn Z ist in keinem projektiven Unterraum von P n K enthalten).
Also gibt es ein z ∈ Z mit z 0 ≠ 0. Sei η j das Bild von ξ j in O P n
k
,Z/m Z = k(Z). Nach
Proposition 4.5.11 gibt es ein λ ∈ k(Z) mit λη 0 , . . . , λ, η n ∈ R, aber nicht alle λη j
sind in m. Sei λη i /∈ m, das heißt λη i ist invertierbar in R. Dann gilt λη
λη i
, . . . , η nλ
η iλ
∈
R und η j
η i
liegt im Bild von ξ j
ξ−i
= ξ j
ξ i
= x j
x i
∈ O P n
k ,Z. Nach Umbenennung der
Koordinaten kann man annehmen, dass i = 0 gilt. Dann ist η i = η 0 = 1, weil ξ 0 = 1
ist, und daher gilt η j = η j
η 0
∈ R für j = 0, . . . , n.
Sei A n ∼ k = U 0 ⊆ P n K die affine Teilmenge {x 0 ≠ 0}. Dann gilt k[U 0 ] = k(ξ 1 , . . . , ξ n ],
und weil ∅ ̸= Z ∩ U 0 ⊆ U 0 abgeschlossen und irreduzibel ist, haben wir Z ∩ U 0
∼ =
Spm(B) mit B = k[η 1 , . . . , η n ] ⊆ R. Sei z ∈ U 0 das Element mit den Koordinaten
( ϕ(η 1 ), . . . , ϕ(η n ) ) ∈ K n . Dann gilt z ∈ Z ∩ U 0 , denn es entspricht dem
K-Algebrenhomomorphismus ϕ : B → K. Zu zeigen bleibt O Z,z ⊆ R, aber für
f ∈ O Z,z folgt f = a b
mit a, b ∈ B und b(z) ≠ 0. Mit b = b(η 1, . . . , η n ) ergibt sich
ϕ(b) = b(ϕ(η 1 ), . . . , ϕ(η n )) = b(z) ≠ 0, also b /∈ m = ker ϕ. Damit ist gezeigt, dass b
in R invertierbar ist, das heißt 1 b ∈ R. Aber dann gilt auch f = a b ∈ R. ⊓⊔
4.6 Übungen zu Kapitel 4
Übung 4.6.1. Sei R ein Integritätsring und K der Quotientenkörper von R. Zeige
(i) Die Einheiten von R bilden bezüglich der Multiplikation eine Untergruppe R ×
Einheitengruppe K × von K.
(ii) Sei Λ := K × /R × und x die Nebenklasse von x ∈ K × in Λ. Dann wird durch
der
x ≥ y :⇔ x y ∈ R
eine partielle Ordnung ≥ auf Λ definiert.
(iii) Wenn für jedes Element x ∈ K gilt x ∈ R oder 1 ∈ R, dann ist ≥ eine totale Ordnung.
x
In der Situation von (iii) nennt man R einen Bewertungsring und Λ die zugehörige Bewertungsgruppe.
Übung 4.6.2. Sei K ein Körper und K[[t]] die Menge der Folgen a 0 , a 1 , . . . in K. Mit t k
bezeichnet man die Folge 0, . . . , 0, 1, 0, . . ., bei der die 1 an der k-ten Stelle steht. Zeige:
(i) K[[t]] ist bezüglich der komponentenweisen Addition ein K-Vektorraum mit Basis
{t 0 , t 1 , t 2 , . . .}.

92 4 Varietäten
(ii) Durch (a 0 , a 1 , . . .) · (b 0 , b 1 , . . .) := (c 0 , c 1 , . . .) mit c k := ∑ k
j=0 a jb k−j wird auf K[[t]]
eine assoziative Multiplikation definiert, die K[[t]] zu einem kommutativen Ring mit
Eins macht.
(iii) Es gilt t k · t l = t k+l für alle k, l ∈ N 0.
(iv) Man bettet K in K[[t]] ein, indem man a 0 mit der Folge a 0 , 0, 0, . . . identifiziert. Dann
ist die skalare Multiplikation K×K[[t]] → K[[t]] verträglich mit der Ringmultiplikation
K[[t]] × K[[t]] → K[[t]].
(v) Beschreibe die Ringstruktur von K[[t]] in der Notation ∑ ∞
j=0 ajtj für t 0, t 1, t − 2, . . ..
(vi) Zeige, dass der Polynomring K[t] ein Unterring von K[[t]] ist.
Man nennt K[[t]] den Ring der formalen Potenzreihen (in einer Variablen) über K.
Übung 4.6.3. Sei R ein Bewertungsring mit Quotientenkörper K. Zeige, dass R genau ein
maximales Ideal hat und dieses durch
{
m := x ∈ R ∣ 1 }
x ∉ R ∪ {0} ⊆ K
gegeben ist.
Übung 4.6.4. Sei R ein Bewertungsring mit Quotientenkörper K und Λ die zugehörige
Bewertungsgruppe. Man schreibt Λ additiv und ergänzt ein Element ∞, für das man setzt
∀x ∈ Λ : x + ∞ = ∞.
Weiter setzt man
v : K → Λ ∪ {∞}, v(x) =
{
x falls x ≠ 0,
∞ falls x = 0.
Zeige:
(i) ∀x, y ∈ K : v(xy) = v(x) + v(y).
(ii) ∀x, y ∈ K : v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}.
Man nennt die Abbildung v die zu R gehörige Bewertung von R.
Übung 4.6.5. Sei K ein Körper und K[[t]] der Ring der formale Potenzreihen über K.
(i) Zeige, dass K[[t]] ein Bewertungsring ist.
(ii) Beschreibe die Bewertungsgruppe Λ sowie die Bewertung v.
(iii) Bestimme das maximale Ideal von K[[t]].
Übung 4.6.6. Sei K ein Körper, K[t] der Polynomring in einer Variablen über K und K(t)
der Quotientenkörper von K[t]. Man zeige, dass
R :=
{ g(t)
f(t) ∈ K(t) ∣ ∣∣ f(0) ≠ 0
}
ein Bewertungsring mit Bewertungsgruppe Z ist.
Übung 4.6.7. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und Spm(R) das Maximalspektrum
aller maximalen Ideale von R. Zu einem Ideal a in R betrachtet man die Verschwindungsmenge
V (a) := {m ∈ Spm(R) | a ⊆ m}. Weiter betrachtet man zu f ∈ R die Menge
D(f) := {m ∈ Spm(R) | f ∉ m}. Man zeige
(i) Für eine Familie (a i) i∈I von Idealen in R gilt ∩ i∈I V (ai) = V ( ∑ i∈I ai )
.
(ii) Die Menge aller Spm(R) \ V (a) zu den Idealen a in R bildet eine Topologie (die man
die Zariski-Topologie auf Spm(R) nennt.
(iii) Für f 1, f 2 ∈ R gilt D(f 1f 2) = D(f 1) ∩ D(f 2).

(iv) Die D(f) mit f ∈ R bilden eine Basis für die Zariski-Topologie.
4.6 Übungen zu Kapitel 4 93
Übung 4.6.8. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und S, R zwei endlich erzeugte
K-Algebren, beide auch Integritätsbereiche sind. Weiter sei φ: S → R ein Homomorphismus
von K-Algebren. Man zeige, dass durch m ↦→ φ −1 (m) eine stetige Abbildung
t φ: Spm(R) → Spm(S) definiert wird.
Übung 4.6.9. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und p ein Primideal in K[X 1, . . . , X n].
Zeige, dass die Verschwindungsmenge V (p) mit der Zariski-Topologie homöomorph zum
Maximalspektrum Spm(R) für R = K[X 1 , . . . , X n ]/p ist.
Übung 4.6.10. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und R eine endlich erzeugte
K-Algebra. Zeige, dass es ein Primideal p in einem Polynomring K[X 1, . . . , X n] gibt, für
dass die Verschwindungsmenge V (p) mit der Zariski-Topologie homöomorph zum Maximalspektrum
Spm(R) ist.
Übung 4.6.11. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und Spec(R) = {p✂R | p ist prim}.
(i) Für jedes Ideal a ✂ R heißt Ṽ (a) := {p ∈ Spec(R) | a ⊆ p} die Verschwindungsmenge
von a in Spec(R). Zeige, dass die Ṽ (a) die abgeschlossenen Mengen einer Topologie
(die auch Zariski-Topologie genannt wird) auf Spec(R) bilden.
(ii) Für f ∈ R setze ˜D(f) := {p ∈ Spec(R) | f ∉ p}. Zeige, dass die D(f) eine Basis der
Zariski-Topologie auf Spec(R) bilden.
(iii) Sei R ein Integritätsbereich. Zeige, dass für f ≠ 0 gilt D(f) ≠ ∅, und schließe daraus,
dass Spec(R) ein irreduzibler Raum ist. Hinweis: Zu zeigen ist, dass der Schnitt über
alle Primideale in R gleich Null ist.
Übung 4.6.12. Betrachte die maximalen Ideale 2Z und 3Z in Z und setze S := Z\(2Z∪3Z).
Zeige:
(i) S ist multiplikativ, d.h. ab ∈ S für a, b ∈ S.
(ii) Die Menge Z S := { a
∈ Q ∣ a ∈ Z, s ∈ S } ist ein Unterring von Q (die man die
s
Lokalisierung von Z in S nennt).
(iii) Z S hat genau zwei maximale Ideale (insbesondere ist Spm(Z S ) nicht irreduzibel, obwohl
Z S ein Integritätsbereich ist).
Übung 4.6.13. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und S, R zwei endlich erzeugte
K-Algebren, beide auch Integritätsbereiche sind. Weiter sei φ: S → R ein surjektiver
Homomorphismus von K-Algebren. Zeige:
(i) Das Bild der Abbildung t φ: Spm(R) → Spm(S), m ↦→ φ −1 (m) ist die Verschwindungsmenge
V (ker φ).
(ii) Die durch (i) gewonnene Abbildung t φ: Spm(R) → V (ker φ) ist ein Homöomorphismus
bezüglich der jeweiligen Zariski-Topologien.
Übung 4.6.14. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass das Bild M der
Abbildung t φ: A 2 K → A 2 K, das zu dem durch X ↦→ X und Y ↦→ XY definierten K-Algebren-
Homomorphismus φ: K[X, Y ] → K[X, Y ] gehört, weder offen noch abgeschlossen ist. Kann
man M als Schnitt einer offenen mit einer abgeschlossenen Menge schreiben?
Übung 4.6.15. Sei R ein Integritätsbereich und S ⊆ R ein Unterring, von dem R als Ring
endlich erzeugt ist. Weiter sei R algebraisch über S, das heißt, zu jedem r ∈ R gibt es ein
0 ≠ f ∈ S[X] mit f(r) = 0. Zeige, dass es dann ein s ∈ S gibt, für dass R [ ]
1
s ganz über
S [ ]
1
s ist.

94 4 Varietäten
Übung 4.6.16. Sei R ein Integritätsbereich und 0 ≠ a ∈ R. Betrachte die Inklusion
φ: R → R[ 1 ] und zeige:
a
(i) Die zu φ gehörige Abbildung t φ: Spm ( R[ 1 a ]) → Spm(R), m ↦→ φ −1 (m) ist injektiv.
(ii) Das Bild von t φ ist die elementaroffene Menge D(a) ⊆ Spm(R).
Übung 4.6.17. Sei R ein kommutativer Ring und M, N seien R-Moduln. Ein R-Modul T
heißt ein Tensorprodukt von M und N, wenn es eine R-bilineare Abbildung τ : M ×N → T
gibt, die folgende universelle Eigenschaft hat: Zu jeder R-bilinearen Abbildung β : M×N →
L gibt es genau eine R-lineare Abbildung ˜β : T → L mit τ ◦ ˜β = β.
(i) Es gibt, bis auf R-Modul-Isomorphie, höchstens ein Tensorprodukt von M und N.
(ii) Sei K ein Körper. Dann ist der K-Vektorraum K[X 1, . . . , X m, Y 1, . . . , Y n] ein Tensorprodukt
der K-Vektorräume K[X 1, . . . , X m], und K[Y 1, . . . , Y n].
(iii) In der Situation von (ii) sei p ein Primideal von K[X 1, . . . , X m] und q ein Primideal
von K[Y 1, . . . , Y n]. Zeige, dass p + q ⊆ K[X 1, . . . , X m, Y 1, . . . , Y n] ein Primideal ist
und K[X 1 , . . . , X m , Y 1 , . . . , Y n ]/(p + q) ein Tensorprodukt von K[X 1 , . . . , X m ]/p, und
K[Y 1 , . . . , Y n ]/q.
Übung 4.6.18. In der Situation von Übung 4.6.17(iii) sei K ein algebraisch abgeschlossener
Körper und (X, O X ) bzw. (Y, O Y ) die affinen algebraischen Varietäten V (p) bzw. V (q).
Zeige:
(i) Es gibt eine Bijektion V (p + q) → V (p) × V (q).
(ii) Die affine algebraische K-Varietät (Z, O Z), die zu V (p + q) gehört, erfüllt folgende
universelle Eigenschaft: Zu jedem Paar (Φ, Ψ) von Morphismen affiner algebraischer
K-Varietäten Φ: (W, O W ) → (X, O X ) und Ψ : (W, O W ) → (Y, O Y ) gibt es genau einen
Morphismus Λ: (W, O W ) → (Z, O Z ).
Übung 4.6.19. Seien X und Y zwei hausdorffsche topologische Räume und X ∩ Y offen
in X und Y . Zeige, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
(1) X ∪ Y := X ∪ X∩Y Y ist als topologischer Raum hausdorffsch.
(2) Das Bild von (ι X , ι Y ): X ∩ Y → X × Y ist abgeschlossen, wobei ι X : X ∩ Y → X und
ι Y : X∩Y → Y die jeweiligen Einbettungen sind und X×Y die Produkttopologie trägt.
Übung 4.6.20. Sei Φ = (f, ϕ): (X, O X ) → (Y, O Y ) ein Morphismus algebraischer Varietäten.
Seien D ⊆ X und U ⊆ Y offen sowie (D, O X | D ) und (U, O Y | U ) affin. Weiter
sei
Φ| D := ( f| D , ϕ| D
)
: (D, OX | D ) → (U, O Y | U )
mit
ϕ| D (U ′ ) = ϕ(U ′ ): O Y (U ′ ) → O X
(
f −1 (U ′ ) ∩ D )
für eine offene Teilmenge U ′ ⊆ U ein Morphismus affiner algebraischer Varietäten. Man
beachte dabei, dass O X
(
f −1 (U ′ ) ) ⊆ O X
(
f −1 (U ′ ) ∩ D ) .
Man zeige: Wenn f : X → f(X) ⊆ Y ein Homöomorphismus auf eine abgeschlossene Teilmenge
ist, und die Ringhomomorphismen ϕ(U): O Y (U) → O X
(
f −1 (U) ) für jede offene
Teilmenge U ⊆ Y surjektiv, dann ist Φ| D eine abgeschlossene Immersion.
Übung 4.6.21. Seien (X, O X ) und (Y, O Y ) algebraische Varietäten. Ein Produkt von
(X, O X ) und (Y, O Y ) ist eine algebraische Varietät (Z, O Z ), für die folgende universelle
Eigenschaft gilt: Zu jedem Paar (Φ, Ψ) von Morphismen algebraischer Varietäten
Φ: (W, O W ) → (X, O X ) und Ψ : (W, O W ) → (Y, O Y ) gibt es genau einen Morphismus
Λ: (W, O W ) → (Z, O Z ).
Man zeige:

4.6 Übungen zu Kapitel 4 95
(i) Produkte sind eindeutig bis auf Isomorphismen (man schreibt dann (X × Y, O X×Y )).
(ii) Produkte existieren (Hinweis: Verklebe Produkte von affinen offenen Stücken).
(iii) Als Menge ist das Produkt von X × Y die Produktmenge X × Y (die Topologie ist
aber nicht die Produkttopologie).
Übung 4.6.22. Man zeige, dass ein topologischer Raum genau dann hausdorffsch ist, wenn
die Diagonaleinbettung X → X × X, x ↦→ (x, x) abgeschlossenes Bild hat.
Übung 4.6.23. Sei (X, O X) eine algebraische Varietät. Zeige, dass die folgenden Bedingungen
äquivalent sind:
(1) (X, O X ) ist separiert.
(2) Der Diagonalmorphismus ∆: (X, O X ) → (X × X, O X×X ), der durch die universelle
Eigenschaft des Produkts aus der Identität (X, O X ) → (X, O X ) gewonnen wird (vergleiche
Übung 4.6.21), ist eine abgeschlossene Immersion.
Übung 4.6.24. Zeige: Wenn in der Situation von Übung 4.6.20 die Abbildung f : X →
f(X) ⊆ Y ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge ist, dann ist Φ| D eine offene
Immersion.
Übung 4.6.25. Sei I eine Indexmenge und K eine endlich erzeugte Erweiterung des algebraisch
abgeschlossenen Körpers K.
1. ∀i ∈ I sei (U i , O Ui ) eine affine Varietät mit Funktionenkörper K.
2. ∀i, j ∈ I U ij ⊆ U i offen (und damit U ij zusammen mit der Einschränkung O Uij von
O Ui auf U ij eine affine Varietät). Wir nehmen an, dass U ii = U i gilt.
3. Φ ji = (f ji, ϕ ji): (U ij, O Uij ) → (U ji, O Uji ) ein Isomorphismus affiner algebraischer
Varietäten mit
∀i, j, k ∈ I :
Φ kj ◦ Φ ji = Φ ki : U ik ∩ U ij → U ki ∩ U kj
als Morphismen affiner algebraischer Varietäten.
(i) Auf der mengentheoretischen Summe ⨿ i∈I U i definiert man eine Relation ∼ durch:
U i ∋ x i ∼ x j ∈ U j :⇐⇒ x i ∈ U ij, x j ∈ U ji, f ji(x i) = x j.
Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
(ii) Setze X := ( ⨿ i∈I U i)
/∼ und fi : U i → X, x i ↦→ [x i ] ∼ für i ∈ I.
Zeige: Wenn X mit der Quotiententopologie versehen ist, sind die f i Homöomorphismen
auf ein offenes Bild in X.
(iii) Zeige: f i (U ij ) = f i (U i ) ∩ f j (U j ).
(iv) Für ∅ ̸= U ⊆ X offen setze
O X (U) := ∩ i∈I
(
O Ui f
−1
i (U) ) ⊆ K
und zeige, dass dies eine Elementargarbe von K-Unteralgebren von K ist.
(v) Zeige, dass (X, O X ) eine algebraische Varietät ist.
Übung 4.6.26. A und B seien Ringe und m ✂ A, n ✂ B jeweils maximale Ideale. Man sagt
(A, m) dominiert (B, n) und schreibt (A, m) ≥ (B, n), wenn B ⊆ A und m ∩ B = n. Zeige,
dass (A m , ˜m) ≥ (A, m), wobei A m = { x ∣ x, y ∈ A, y ∉ m } die Lokalisierung von A in m ist
y
und ˜m das (einzige) maximale Ideal in A m .

96 4 Varietäten
Übung 4.6.27. Sei R = ⊕ e∈Z R (e) eine endlich erzeugte graduierte nullteilerfreie K-
Algebra mit R (e) = 0 für e < 0 und K der Quotientenkörper von R. Weiter sei K 0
der Unterkörper von K, der aus den homogenen Elementen in K und der Null besteht.
Für 0 ≠ g ∈ R (d) betrachte den Ring
R g,0 =
{ f
g k ∣ ∣∣ f ∈ R homogen, deg(f) = k deg(g)
}
.
Man zeige die folgenden Punkte und schließe daraus, dass K 0 der Quotientenkörper von
R g,0 ist, falls deg g > 0 ist.
(i) Die Menge S := {deg(f) | 0 ≠ f ∈ R homogen} ist eine endlich erzeugte additive
Unterhalbgruppe von N 0 .
(ii) K 0 genau dann der Quotientenkörper von R g,0 ist, wenn gilt
(iii) Die Bedingung (∗) is äquivalent zu
∀d ∈ S ∃f ∈ R, k ∈ N : d + deg(f) = k deg(g). (∗)
S ⊆ N deg(g) − S.
(∗∗)
(iv) Sei e 1, . . . , e m eine Erzeugermenge für S und a der größte gemeinsame Teiler der e j.
Dann ist jedes e ∈ N 0 mit R (e) ≠ 0 ein Vielfaches von a.
(v) Es gibt ein n 0 ∈ N mit (n 0 + N)a ⊆ S.
Hinweis: O.B.d.A. kann man mit a = 1 arbeiten, findet dann ein n ∈ N mit n, n+1 ∈ S
und schließt, dass alle Zahlen von n 2 bis n 2 + n in S liegen.
Übung 4.6.28. Zeige: Jeder Bewertungsring R ist, zusammen mit seinem maximalen Ideal
m, maximal bezüglich Dominanz (siehe Übung 4.6.26) unter den Unterringen des Quotientenkörpers
K von R und ihren maximalen Idealen.
Übung 4.6.29. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und
Y = ∪ i∈I
Ui eine offene Überdeckung von Y . Zeige, dass f genau dann abgeschlossen ist,
wenn jede der Abbildungen
f| f −1 (U i ) : f −1 (U i ) → U i
abgeschlossen ist, wobei f −1 (U i ) ⊆ X und U i ⊆ Y jeweils die Relativtopologie tragen.
Übung 4.6.30. Sei (X, O X ) eine algebraische K-Varietät im Sinne der folgenden Definition:
(a) K ist ein algebraisch abgeschlossener Körper und K ist eine endliche Körpererweiterung
von K.
(b) (X, O X ) ist ein topologischer Raum mit Elementargarbe von K-Unteralgebren von K.
(c) Es gibt eine endliche offene Überdeckung X = ∪ i∈I U i, für die jedes (U i , O X | Ui ) eine
affine Varietät mit Funktionenkörper K ist.
Zeige:
(i) X ist ein irreduzibler noetherscher Raum.
(ii) Wenn man in (c) auf die Endlichkeit der offenen Überdeckung verzichtet, ist X immer
noch irreduzibel, aber nicht mehr notwendigerweise noethersch.
Hinweis zu (ii): verklebe unendlich viele Kopien von P 1 K entlang A 1 K.
Übung 4.6.31. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und r 1, . . . , r m seien Erzeuger von
R als R-Modul. Zeige, dass Spm(R) von den offenen Mengen D(r j) = {m ∈ Spm(R) | r j ∉
m}, j = 1, . . . , m überdeckt wird.
Übung 4.6.32. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, R eine nullteilerfreie K-
Algebra und X ⊆ K n eine irreduzible Zariski-abgeschossene Teilmenge mit Verschwindungsideal
p ✂ K[X 1, . . . , X n]. Setze A := K[X 1, . . . , X n]/p und zeige:

4.6 Übungen zu Kapitel 4 97
(i) Für jedes x ∈ X(R) := {r ∈ R n | ∀f ∈ p : f(r) = 0} faktorisiert die Auswertungsabbildung
ev x : K[X 1 , . . . , X n ] → R zu einem K-Algebrenhomomorphismus ev x : A → R
und definiert so eine Bijektion
α R : X(R) → Hom K (A, R), x ↦→ ev x.
(ii) Satz 4.2.2 liefert eine Bijektion β R : Hom K (A, R) → Mor(Spm(R), X), wobei Mor(Y, X)
für zwei affine algebraische Varietäten X und Y über K die Menge der Morphismen
Φ: Y → X bezeichnet.
(iii) Wenn S ein weiterer Ring mit den für R angenommenen Eigenschaften ist und ϕ ∈
Hom K (R, S), dann definiert man
X(ϕ): X(R) → X(S), (r 1, . . . , r n) ↦→ ( ϕ(r 1), . . . , ϕ(r n) )
und
ϕ ∗ : Hom K (R/p, R) → Hom K (R/p, S), λ ↦→ f ◦ λ.
Es gilt ϕ ∗ ◦ α R = α S ◦ X(ϕ).
(iv) Wenn R und S in der Situation von (iii) endlich erzeugte K-Algebren sind, dann liefert
(ii) ein Element ϕ ∈ Mor ( Spm(S), Spm(R) ) und man kann definieren
Es gilt ϕ ∗ ◦ β R = β S ◦ ϕ ∗ .
ϕ ∗ : Mor(Spm(R), X) → Mor(Spm(S), X), Ψ ↦→ Ψ ◦ ϕ.
Übung 4.6.33. Seien C und D zwei Kategorien. Ein kontravarianter Funktor F : C →
D besteht aus einer Zuordnung C ↦→ F (C), die jedem Objekt C ∈ Ob(C) eine Objekt
F (C) ∈ Ob(D) zuordnet, und eine einer Zuordnung φ ↦→ F (φ), die jedem Morphismus
Hom C (C 1 , C 2 ) einen Morphismus F (ϕ) ∈ Hom D
(
F (C2 ), F (C 1 ) ) zuordnet. Dabei muss
gelten
(a) ∀ C ∈ Ob(C) : F (id C ) = id F (C)
(b) ∀ φ ∈ Hom C(C 2, C 3), ψ ∈ Hom C(C 1, C 2) :
Man zeige:
F (φ ◦ ψ) = F (ψ) ◦ F (φ)
(i) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und C die Kategorie der endlich erzeugten
nullteilerfreien K-Algebren (kommutativ mit Eins) und D die Kategorie der affinen K-
Varietäten. Dann definiert
A ↦→ (SpmA, O SpmA), φ ↦→ (t φ, ϕ(·) )
(vgl. Satz 4.2.2) einen kontravarianten Funktor F : C → D.
(ii) In der Situation von (i) definiert
(X, O X ) ↦→ O X (X),
(
f, ϕ(·)
)
↦→ ϕ(X)
einen kontravarianten Funktor G: D → C.
(iii) G ◦ F : C → C und F ◦ G : D → D sind jeweils die identischen Funktoren.
Übung 4.6.34. Sei C die Kategorie der endlich erzeugten nullteilerfreien K-Algebren, Set
die Kategorie der Mengen und R die Kategorie aller k-Algebren. Zeige:
(i) Sei R eine K-Algebra. Dann definieren A ↦→ Hom K (A, R) und φ ↦→ φ ∗ mit
∀φ ∈ Hom C (A, B) :
φ ∗ : Hom K (A, R) → Hom K (B, R), f ↦→ f ◦ φ
einen kontravarianten Funktor C → Set, den man mit Hom K (·, R) bezeichnet. Die
Verknüpfung mit dem kovarianten Funktor G: D → C aus Übung 4.6.33(i) liefert
einen Funktor D → Set, den wir mit (R): D → Set bezeichnen.

98 4 Varietäten
(ii) Sei A eine endlich erzeugte nullteilerfreien K-Algebra. Dann definieren R ↦→ Hom K (A, R)
und ψ ↦→ ψ ∗ mit
∀ψ ∈ Hom C (R, S) :
ψ ∗ : Hom K (A, R) → Hom K (A, S), f ↦→ ψ ◦ f
einen Funktor R → Set, den man mit Hom K (A, ·) bezeichnet. Die Verknüpfung mit
dem Funktor G: D → C aus Übung 4.6.33 liefert für eine affine K-Varietät X ∈ Ob(D)
den Funktor R → Set, den wir mit X(·): R → Set bezeichnen.
Übung 4.6.35. Sei k ein Körper. Zeige:
(i) Zu jeder Menge S gibt es eine bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte kommutative
k-Algebra mit Eins A, die S enthält und die folgende universelle Eigenschaft hat: Zu
jeder Abbildung f : S → B mit Werten in einer kommutativen k-Algebra mit Eins B
gibt es genau einen k-Algebren-Homomorphismus ϕ: A → B mit ϕ| S = f.
Hinweis: Für endliches S ist das genau der Polynomring in |S| Variablen über k.
Bezeichne A mit k[X s , s ∈ S].
(ii) Sei S die Menge aller nicht-konstanten Polynome in k[X], m ein maximales Ideal in
k[X s, s ∈ S] und k (1) := k[X s, s ∈ S]/m. Dann hat jedes nicht-konstante Polynom in
k[X] eine Nullstelle in k (1) .
(iii) Durch Wiederholung der Konstruktion in (ii) findet man einen Körperturm k ⊆ k (1) ⊆
k (2) ⊆ . . . mit der Eigenschaft, dass es jedes nicht-konstante Polynom in k (i) eine
Nullstelle in k (i+1) hat. Sei K := ∪ i∈N k(i) . Jedes f ∈ K[X] ist in einem k (i) [X]
enthalten.
(iv) Sei f ∈ k (i) [X] und x 1 ∈ k (i+1) [X] eine Nullstelle von f. Dann ist f 1 := f
X−x 1
∈
k (i+1) [X]. Falls f 1 nicht-konstant ist, hat es nach (iii) eine Nullstelle in k (i+2) [X].
Nach endlich vielen Schritten hat man die Formel
deg f
∏
f = c (X − x j)
j=1
mit c, x 1 , . . . , x deg f ∈ K.
(v) K ist eine algebraisch abgeschlossene Körpererweiterung von k.
(vi) Sei k die Vereinigung aller algebraischen Erweiterungen von k, die in K enthalten sind.
Dann ist k eine algebraische Körpererweiterung von k. Außerdem ist k algebraisch abgeschlossen.
Übung 4.6.36. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und R eine K-Algebra.
(i) Wenn X eine durch die Klebedaten ( )
(U i ) i∈I , ι ij , Φ ij gegebene algebraische K-Varietät
ist, dann betrachte ( (U i(R)) i∈I, ι ij(R), Φ ) ij(R) . Man führe für die Kategorie Set ein
passendes Konzept der Verklebung so ein, dass ( (U i(R)) i∈I, ι ij(R), Φ ) ij(R) zu Klebedaten
werden. Die aus diesen Klebedaten gewonnene Menge sei mit X(R) bezeichnet.
(ii) Zeige, dass man die Zuordnung X ↦→ X(R) aus (i) zu einem Funktor (R): Var K →
Set ergänzen kann, wobei Var K die Kategorie der K-Varietäten ist.
(iii) Die Kategorie D der affinen K-Varietäten ist eine Unterkategorie von Var K . Zeige, dass
(R): Var K → Set den Funktor (R): D → Set aus Übung 4.6.34 fortsetzt.
Übung 4.6.37. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume un X irreduzibel.
Zeige: wenn f dichtes Bild hat, dann ist auch Y irreduzibel.
Übung 4.6.38 (Direkter Limes). Sei (I, ≤) eine gerichtete Menge und (X n ) n∈I eine durch
I parametrisierte Familie von Mengen. Für n ≥ m in I seien Abbildungen ι n m : X m → X n
gegeben, die folgende Eigenschaften Erfüllen:
(a) ∀ n ∈ I : ι n n = id Xn .
(b) Wenn n ≥ m ≥ l in I, dann gilt ι n m ◦ ι m l = ι n l .

4.6 Übungen zu Kapitel 4 99
Dann heißt (X n , ι n m) ein direktes oder induktives System. Auf der mengentheoretischen
Summe ⨿ n∈N X n (d.h. der disjunkten Vereinigung der X n ) definiert man Relation R durch
∀ x ∈ X n , y ∈ X m : xRy :⇔ ∃ l ≥ n, m in I : ι l n(x n ) = ι l m(x m ).
(i) Zeige, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Die Menge limX −→ n der Äquivalenzklassen von
R heißt der direkte oder induktive Limes des Systems.
(ii) Wenn die X n alle Gruppen (Ringe, k-Vektorräume, k-Algebren) und die ι n m alle Homomorphismen
sind, dann gibt es auf limX −→ n genau eine Struktur als Gruppe (Ring,
k-Vektorraum, k-Algebra), für die die Abbildungen
ι m : X m → lim −→
X n ,
x ↦→ [x] R
alle Homomorphismen sind.
(iii) Sei z ∈ C und I die Menge aller offenen Umgebungen von z in C und ≤ auf I definiert
durch
U 1 ≤ U 2 :⇔ U 2 ⊆ U 1 .
Zeige, dass (I, ≤) eine gerichtete Menge ist.
(iv) In der Situation von (iii) sei O(U) für U ∈ I die Menge der auf U definierten holomorphen
Funktionen. Zeige, dass limO(U) gerade die Menge O −→ z der in z definierten
Keime holomorpher Funktionen ist.
Übung 4.6.39. Seien R und S endlich erzeugte nullteilerfreie k-Algebren und φ: R → S ein
k-Algebren-Homomorphismus. Zeige: wenn der zu φ gehörige Morphismus Φ: Spm(S) →
Spm(R) eine abgeschlossene Immersion ist, dann ist φ surjektiv.
Übung 4.6.40. Sei (X, O X ) eine algebraische k-Varietät mit Funktionenkörper k(X) und
Y ⊆ X eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge. Für x ∈ X sei
O X,x := lim −→
O X (U) = ∪
O X (U) ⊆ k(X),
x∈U
x∈U
wobei die U die offenen Umgebungen von x in X durchlaufen. Zeige:
(i) Für eine offene Teilmenge U ⊆ X setze O Y (U ∩Y ) := ∩ y∈U∩Y O X,y. Dann ist (Y, O Y )
eine algebraische Varietät.
(ii) Wenn X = Spm(R) eine affine k-Varietät ist und Y = V (a) für ein Ideal a ✂ R, dann
ist (Y, O Y ) isomorph zu Spm(R/a).
(iii) Setze O X,Y := {f ∈ k(X) | ∃ y ∈ Y : f ∈ O X,y} ⊆ k(X). Dann ist O X,Y ein lokaler
Ring.
(iv) Sei m Y das maximale Ideal in O X,Y . Dann ist der Körper O X,Y /m Y isomorph zum
Funktionenkörper k(Y ) bezüglich der Struktur von Y als Varietät aus (i).
Übung 4.6.41. X und Y seien hausdorffsche topologische Räume. Zeige:
(i) Sei f : Y → X eigentlich, d.h. stetig und Urbilder kompakter Mengen sind kompakt.
Wenn X lokal kompakt ist, dann ist f abgeschlossen.
(ii) Sei X ′ ein weiterer hausdorffscher topologischer Raum und f : Y → X sowie g : X ′ →
X stetig. Weiter seien Y ′ := {(y, x ′ ) ∈ Y × X | f(y) = g(x ′ )} und g ′ : Y ′ → Y sowie
f ′ : Y ′ → X die natürlichen Abbildungen mit f ◦g ′ = g◦f ′ . Dann erfüllt (Y ′ , f ′ , g ′ ) die
folgende universelle Eigenschaft: Zu jedem Tripel (Z, p, q), für das Z ein topologischer
Raum ist und p: Z → Y sowie q : Z → X ′ stetige Abbildungen mit f ◦ p = g ◦ q,
existiert genau eine stetige Abbildung r : Z → Y ′ mit p = g ′ ◦ r und q = f ′ ◦ r.
(iii) Wenn in der Situation von (ii) die Abbildung f eigentlich ist, dann ist auch die Abbildung
f ′ eigentlich.
(iv) Wenn in der Situation von (ii) die Abbildung f eigentlich und X ′ lokal kompakt ist,
dann ist die Abbildung f ′ abgeschlossen.

100 4 Varietäten
(v) Wenn X kompakt und Y lokal kompakt ist sowie f : Y → X eine stetige Abbildung,
dann gibt es einen kompakten topologischen Raum Ŷ , der Y als offene Teilmenge
enthält und eine stetige Fortsetzung von f auf Ŷ .
Hinweis: Betrachte den Abschluss des Graphen von f in Y ∞ × X, wobei Y ∞ die
Einpunkt-Kompaktifizierung von Y ist.
(vi) Sei Y lokal kompakt und f : Y → K stetig. Wenn für jede stetige Abbildung g : X ′ →
X mit lokal kompaktem Hausdorff-Raum X ′ die induzierte Abbildung f ′ : X ′ → Y ′
abgeschlossen ist, dann ist f eigentlich.
Hinweis: Wenn W ⊆ Y kompakt ist, wähle X ′ als die via (v) konstruierte Kompaktifizierung
von f −1 (W ) und zeige, dass f −1 (W ) in dem kompakten Raum X ′
abgeschlossen ist.
(vii) Ein lokal kompakter Hausdorff-Raum A ist genau dann kompakt, wenn für jeden lokal
kompakten Raum B die Projektionsabbildung A × B → B abgeschlossen ist.
Übung 4.6.42. Sei (X, O X) eine algebraische k-Varietät und Y ⊆ X abgeschlossen. Zeige
Y hat als topologischer Raum (mit der von X induzierten Topologie) nur endlich viele
irreduzible Komponenten.
Übung 4.6.43. Zeige, dass jede über einem abgeschlossenen Körper k im Sinne von Definition
4.4.4 projektive Varietät Proj(R) als abgeschlossene Teilmenge eines projektiven
Raumes P n k realisiert werden kann.

5
Algebraische Gruppen
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0 und G ⊆ K n2 =
Mat(n × n, K) die für i, j = 1, . . . , n durch K[X ij ] ∋ det(X ij ) = 1 gegebene affine
Varietät. Weiter sei R eine K-Algebra und
G(R) = {(a ij ) ∈ r n2
| det(a ij ) = 1} = SL n (R).
Wenn f : R → S ein K-Algebrenhomomorphismus ist, dann findet man zusätzlich
einen Gruppenhomomorphismus G(f): SL n (R) → SL n (S).
Man möchte gerne eine algebraische Varietät G eine algebraische Gruppe
nennen, wenn man analog zu obiger Konstruktion zu G einen Funktor G: K-Alg ′ →
Set von einer geeigneten Unterkategorie der Kategorie K-Alg der K-Algebren in
die Kategorie Gr der Gruppen konstruieren kann. In diesem Kapitel wird uns das
allerdings nur für affine Varietäten gelingen, für die wir als K-Alg ′ die Kategorie der
endlich erzeugten nullteilerfreien K-Algebren verwenden. Wir folgen dabei in diesem
Kapitel im Wesentlichen dem Aufbau in [Mu03], fügen aber zusätzliche Details ein,
wo uns die Quelle unpräzise erscheint.
5.1 Affine algebraische Gruppen
Definition 5.1.1. Sei A eine endlich erzeugte K-Algebra und G = Spm(A). Gegeben
seien drei K-Algebrenhomomorphismen:
µ : A → A ⊗ A Koprodukt, entspricht G ← G × G, Multiplikation
ϵ : A → K
ι : A → A
Koeins, entspricht G ← {neutrales Element},
Koinverse, entspricht G ← G, Inversion,
für die die folgenden Diagramme kommutativ sind:
↑ 23.11.2012 ↑
Assoziativität:
A
µ
A ⊗ K A
µ
A ⊗ K A
µ⊗id A
id A ⊗µ
A ⊗ K A ⊗ K A

✤
✤
✤
102 5 Algebraische Gruppen
Neutrales Element: (Hier ist das kleine Viereck nicht kommutativ, sondern nur die
Wege, die µ beinhalten)
Inverses Element:
A ⊗ K A
µ
id A ⊗ϵ ϵ⊗id
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲ A
A
❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥
❚ A ⊗ K K
K ⊗ K A
id A
❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
A
µ
A
A ⊗ K A
ϵ
K
id A ⊗ι
A
m A
A ⊗ K A
wobei m A die Multiplikation auf der Algebra A ist, die auf Gruppenniveau zur
Diagonalabbildung ˜m A = ∆: G → G × G gehört.
Bemerkung 5.1.2. Affine algebraische Gruppen sind im Allgemeinen keine affinen
Varietäten. Weil wir nicht vorausgesetzt haben, dass A nullteilerfrei ist, sind
sie nicht notwendigerweise irreduzibel. Die irreduziblen Komponenten einer affinen
algebraischen Gruppe sind affine Varietäten.
Proposition 5.1.3. Sei (G, µ, ϵ, ι) eine (irreduzible) affine algebraische Gruppe und
˜µ : G × G → G, ˜ϵ : pkt → G, ˜ι : G → G die zu µ, ϵ, ι zugehörigen Morphismen.
Dann ist (G, ˜µ) eine Gruppe mit e := ˜ϵ(pkt) als neutralem Element und ˜ι(g) =: g −1
als Inversem von g.
Beweis. Wir wenden den Funktor von der Kategorie der endlich erzeugten nullteilerfreien
K-Algebren in die affinen K-Varietät an und erhalten dabei folgende
kommutative Diagramme
G
˜ϵ
pkt
G
e
˜ϵ
pkt
g
❴
˜µ
G × G
id G טι
∆
G × G
˜µ
( ❴ )
g,˜ι(g)
id G טι
∆
(g, g)
G × G
˜µ
˜ϵ×id G id
❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑
G טϵ
G
❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥
❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚
G × pkt
❑
pkt ×G
❑❑❑❑❑❑❑❑❑
id G
G
(g, ✯e) bzw. (e, g)
˜µ
✵ ˜ϵ×id
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
G
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
id G טϵ
g
❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥
❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯
✍
(g, e)
(e, g)
id G
❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖❖
✎
✴
✕ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
g

✤
✤
˜µ
G
G × G
˜µ
˜µ×id G
5.1 Affine algebraische Gruppen 103
G × G ˜µ(g 1 , ˜µ(g 2 , g 3 )) (g 1 , ˜µ(g 2 , g 3 ))
id G טµ
G × G × G
˜µ(˜µ(g 1 , g 2 ), g 3 )
˜µ
❴
(˜µ(g 1 , g 2 ), g 3 )
˜µ
˜µ×id G
id G טµ
(g 1 , g 2 , g 3 )
⊓⊔
Proposition 5.1.4. Sei (G, µ, ϵ, ι) eine affine algebraische Gruppe und R eine nicht
notwendigerweise endlich erzeugte K-Algebra. Dann ist G(R) eine Gruppe bezüglich
der Multiplikation
˜µ : Hom K−Alg (A, R) → Hom K−Alg (A, R), (g, h) ↦→ m R ◦ (g ⊗ h) ◦ µ.
Dabei ist G = Spm(A), G(R) = Hom K−Alg (A, R) sind die R-wertigen Punkte von
G,
g ⊗ h : A ⊗ K A → R ⊗ h R, a ⊗ a ′ ↦→ g(a) ⊗ h(a ′ ),
und m R : R ⊗ K R → R, r ⊗ s ↦→ rs.
Beweis. (Details in Übung 5.5.1)
1. Schritt: Nachrechnen, dass m R ◦ (g ⊗ h) ◦ µ ∈ Hom K−Alg (A, R).
2. Schritt: (G(R), ˜µ) ist eine Gruppe: Die Koassoziativität von µ übersetzt sich in
die Assoziativität von ˜µ.
3. Schritt: Die Abbildung e : A ϵ → k ↩→ R ist das neutrale Element.
4. Schritt: Die Abbildung g ↦→ g ◦ ι ist die Inversion in Hom K−Alg (A, R) bezüglich
˜µ.
⊓⊔
Beispiel 5.1.5. Sei A = K[X] und Spm(A) = A 1 K . Zusammen mit µ(X) = X ⊗ 1 +
1 ⊗ X, ϵ(X) = 0 und ι(X) = −X gilt Spm(A)(R) = (R, +). Insbesondere erhalten
wir (K, +) für R = K. Man bezeichnet die so gewonnene affine algebraische Gruppe
über K mit G a und nennt sie die additive Gruppe. (Details in Übung 5.5.5).
Beispiel 5.1.6. Sei A = K[X, 1 X ] und Spm(A) = A1 k
\ {0}. Zusammen mit µ(X) =
X ⊗ X, ϵ(X) = 1 und ι(X) = 1 X
gilt Spm(A)(R) = (Unit(R), ·). Insbesondere
erhalten wir (K × , ·) für R = K. Man bezeichnet die so gewonnene affine algebraische
Gruppe über K mit G m und nennt sie die multiplikative Gruppe. (Details in
Übung 5.5.8).
1
Beispiel 5.1.7. Sei A = K[X ij ,
det X ] und X = (X ij) i,j=1,...,n . Wir betrachten
die elementar offene Teilmenge Spm(A) = D(det X) ⊆ K n2 = Mat(n × n, K).
Zusammen mit µ(X ij ) = ∑ n
e=1 X ie ⊗ X ej , ϵ(X ij ) = δ ij (Kronecker-Delta) und
ι(X ij ) = 1
det X (Xadj ) ij gilt Spm(A)(R) = GL n (R). Insbesondere erhalten wir
(GL n (K), ·) für R = K. Man nennt die so gewonnene affine algebraische Gruppe
über K die allgemeine lineare Gruppe. (Details in Übung 5.5.6).
1
Beispiel 5.1.8. Sei A = K[X ij ,
det X ] und X = (X ij) i,j=1,...,n wie in Beispiel 5.1.7.
Wir betrachten B := A/(det X − 1) = K[X ij ]/(det X − 1). Die Abbildungen ϵ, µ, ι
faktorisieren zu Abbildungen auf B“ (genauer B µ 0
→ B ⊗ ” K B, B ι 0
→ K, B ι 0
→ B). Mit
diesen Abbildungen ergibt sich für Spm(B) =: SL n (K), dass Spm(B)(R) = SL n (R).
Man nennt die so gewonnene affine algebraische Gruppe über K die spezielle lineare
Gruppe. (Details in Übung 5.5.9).

104 5 Algebraische Gruppen
Definition 5.1.9. Eine algebraische Gruppe G über K ist eine algebraische Varietät
zusammen mit drei Morphismen ˜µ: G × G → G, ˜ϵ: pkt → G, ˜ι: G → G, die
folgende Eigenschaften haben:
(i) ˜µ ist ein assoziatives Produkt auf G.
(ii) ˜ϵ(pkt) ist neutrales Element von G bezüglich ˜µ.
(iii) ˜ι(g) ist das Inverse von g in G bezüglich ˜µ.
↑ 26.11.2012 ↑
Streng genommen ist eine affine algebraische Gruppe (Spm(A), µ, ϵ, ι) keine algebraische
Gruppe, wenn A nicht nullteilerfrei ist. In diesem Fall ist nur die irreduzible
Komponente von Spm(A), die die Eins enthält, eine algebraische Gruppe.
Wir werden in diesem Kapitel nur affine algebraische Gruppen betrachten. Es
gibt aber auch wichtige Beispiele von algebraischen Gruppen, die nicht affin sind.
Dazu gehören die elliptischen Kurven und, allgemeiner, die abelschen Varietäten.
5.2 Darstellungen von affinen algebraischen Gruppen
Bemerkung 5.2.1 (Vorbemerkung zu Gruppenwirkungen und Darstellungen).
Sei G eine Gruppe mit Einselement e ∈ G und M eine Menge. Eine
Abbildung
G × M ↦→ α
M, (g, m) ↦→ g · m
heißt eine Linkswirkung, wenn
(i) ∀m ∈ M : e · m = m.
(ii) ∀m ∈ M, g, h ∈ G : g · (h · m) = (gh) · m.
Analog heißt eine Abbildung
eine Rechtswirkung, wenn
M × G α
↦→ M,
(i) ∀m ∈ M : m · e = m.
(ii) ∀m ∈ M, g, h ∈ G : (m · h) · g = m · (hg).
(m, g) ↦→ m · g
Eine lineare Darstellung von G auf einem K-Vektorraum V ist eine G × V → V
Linkswirkung mit der Zusatzeigenschaft:
∀g ∈ G :
v ↦→ g · v ist K-linear.
Alternativ kann man Wirkungen und Darstellungen auch als Gruppenhomomorphismen
betrachten:
(i) G × M → M entspricht einem Gruppenhomomorphismus G φ → Bij(M) in die
Gruppe Bij(M) der bijektiven Selbstabbildungen von M. Die Wirkung ist dann
durch g · m = φ(g)(m) gegeben.
(ii) Eine lineare Darstellung G×V → V entspricht einem Gruppenhomomorphismus
G φ → GL(V ) in die Gruppe der bijektiven und K-linearen Selbstabbildungen von
V .
Beispiel 5.2.2. (i) Sei G × M → M eine Linkswirkung und
F(M, K) := {F : M → K | Funktion}
der K-Vektorraum aller K-wertigen Funktionen auf M, dann definiert
G × F(M, K) → F(M, K), (g, F ) ↦→ (m ↦→ F (g −1 · m) )
} {{ }
=g·F (m)

5.2 Darstellungen von affinen algebraischen Gruppen 105
eine lineare Darstellung. Wir rechnen nach, dass es sich um eine Linkswirkung
handelt:
(g · (h · F ))(m) = (h · F )(g −1 m) = F (h −1 · (g −1 ◦ m)) = F (h −1 g −1 · m)
= F (gh) −1 · m) = (gh · F )(m)
(ii) Sei M × G → M, (m, g) ↦→ m ◦ g eine Rechtswirkung, dann definiert
G × F(M, K) → F(M, K), (g, F ) ↦→ (g · F )(m) = F (m · g)
ebenfalls eine lineare Darstellung. Wieder rechnen wir nach, dass es sich um
eine Linkswirkung handelt:
(g · (h · F ))(m) = (h · F )(m · g) = F (m · g) · h) = F (m · gh) = (gh · F )(m).
Definition 5.2.3. Eine algebraische Darstellung einer affinen algebraischen
Gruppe (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) auf einem K-Vektorraum V ist gegeben durch eine
K-lineare Abbildung µ v : V → V ⊗ K A, für die die folgenden Diagramme kommutieren:
(i)
V
µ V
V ⊗ K A
V
∼ =
id V ⊗ϵ
V ⊗ K K
(ii)
V
µ V
V ⊗ K A
µ V
V ⊗ K A
id V ⊗µ
µ V ⊗id A
V ⊗ K A ⊗ K A
Beispiel 5.2.4. Wenn µ V : V → V ⊗ K A eine algebraische Darstellung ist und
V = W ∗ für einen endlichdimensionalen K-Vektorraum W , dann betrachten wir V
als linearen Unterraum von K[W ]. Die linearen Abbildungen aus Definition 5.2.3 lassen
sich zu K-Algebrenhomomorphismen fortsetzen und liefern die folgenden kommutativen
Diagramme:
K[W ]
µ V
K[W ] ⊗ K A
K[W ]
µ V
K[W ] ⊗ K A
K[W ]
∼ =
id K[W ] ⊗ϵ
K[W ] ⊗ K K
µ V
K[W ] ⊗ K A
id K[W ] ⊗µ
µ V ⊗id A
K[W ] ⊗ K A ⊗ K A
Dazu gehören die folgenden kommutativen Diagramme von Morphismen zwischen
affinen algebraischen Mengen
W
˜µ V
W ∼=
W × pkt
W × G W W × G
id W טϵ
˜µ V
W × G
˜µ V
id W טµ
˜µ V ×id G
W × G × G
die insbesondere sagen, dass ˜µ V : W × G → W, (w, g) ↦→ w · g := ˜µ V (w, g) eine
Rechtswirkung ist. Wir betrachten auf der Menge F(W, K) = {f : W → K} der
K-wertigen Funktionen die Abbildung

106 5 Algebraische Gruppen
G × F(W, K) → F(W, K), (g, F ) ↦→ ( w ↦→ F (w · g) ) .
Sie ist eine lineare Darstellung von G auf F(W, K), d.h. eine Linkswirkung durch
lineare Abbildungen. Mithilfe von V → F(W, K), v ↦→ ( w ↦→ w(v) ) können wir
V als linearen Unterraum von F(W, K) betrachten. Dann ist V invariant unter
der G-Wirkung. Insbesondere liefert eine algebraische Darstellung von G auf einem
endlichdimensionalen K-Vektorraum also eine lineare Darstellung von G auf diesem
Vektorraum. Man kann zeigen, dass die so gewonnene Abbildung
˜ρ V : G × V → V
ein Morphismus affiner algebraischer Mengen ist (vergleiche Übung 5.5.7).
Umgekehrt, wenn ˜ρ V : G × V → V eine Linkswirkung durch lineare Abbildungen
und ein Morphismus affiner algebraischer Mengen ist, dann ist die zugehörige
Abbildung µ V : K[V ] → K[V ] ⊗ K A eine algebraische Darstellung, für die gilt
µ V (V ) ⊆ V ⊗ K A, sodass µ V : V → V ⊗ K A auch eine algebraische Darstellung ist.
Man kann zeigen, dass die beiden Konstruktionsprozesse µ V ↦→ ˜ρ V und ˜ρ V ↦→ µ V
zueinander invers sind (vergleiche Übung 5.5.7).
Beispiel 5.2.5. Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine affine algebraische Gruppe über K.
Dann liefert µ: A → A ⊗ A eine algebraische Darstellung von G auf A. Diese
Darstellung heißt die reguläre Darstellung von G auf A = K[G].
Bemerkung 5.2.6. Wir ergänzen die in Beispiel 5.2.4 gemachten Bemerkungen
zum Wechselspiel zwischen algebraischen und linearen Darstellungen im Falle endlichdimensionaler
Räume. Für dim K V < ∞ kann man mithilfe einer Basis die folgenden
Identifikationen vornehmen:
GL(V ) ∼ ( [
= GL n (K) 5.1.7
1
])
= Spm K X ij , .
det(X)
Angenommen, wir haben einen Morphismus φ: G → GL(V ). Dann setzen wir
φ ∗ X ij =: f ij ∈ A = K[G] und bezeichnen f ij als den ij-ten Matrixkoeffizienten
von φ. Es gilt f ij (g) = (φ(g)) ij für g ∈ G. Wenn e 1 , . . . , e n eine Basis für V
ist, dann definiert µ V : e i ↦→ ∑ n
j=1 e j ⊗ f ji eine algebraische Darstellung (im Sinne
von Definition 5.2.3) µ V : K n → K n ⊗ K A, und mithilfe der Basis erhält man so eine
algebraische Darstellung µ V : V → V ⊗ K A. Für Details und die Untersuchung der
Auswirkung von Basiswechseln siehe Übung 5.5.7.
Definition 5.2.7. Sei µ V : V → V ⊗ A eine algebraische Darstellung einer affinen
algebraischen Gruppe (G = Spm(A), µ, ϵ, ι).
(i) Ein Vektor v ∈ V heißt G-invariant, wenn µ V (v) = v ⊗ 1.
(ii) Ein linearer Unterraum W ≤ V heißt eine Unterdarstellung, wenn µ V (W ) ⊆
W ⊗ A.
↑ 30.11.2012 ↑
Bemerkung 5.2.8. Wenn A ein Integritätsbereich ist, dann stimmen die Definitionen
aus 5.2.7 mit den klassischen Definitionen überein (vergleiche Übung 5.5.10).
Dabei nennt man klassischerweise für eine lineare Darstellung G × V → V einen
Vektor v ∈ V G-invariant, wenn für alle g ∈ G gilt, dass g · v = v. Ein linearer Unterraum
W ≤ V heißt klassischerweise eine Unterdarstellung, wenn für alle w ∈ W
und alle g ∈ G gilt g · w ∈ W .
Proposition 5.2.9. Jede algebraische Darstellung V von G ist lokal endlich dimensional,
das heißt, zu jedem v ∈ V gibt es eine endlichdimensionale Unterdarstellung
W ≤ V mit v ∈ W .

5.2 Darstellungen von affinen algebraischen Gruppen 107
Beweis. Sei µ V (v) = ∑ l
j=1 v j ⊗ f j mit v j ∈ V und f j ∈ A. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit können wir annehmen, dass die f 1 , . . . , f l linear unabhängig sind.
Für den linearen Spann W := ⟨v j | j = 1, . . . , l⟩ K-VR reicht es zu zeigen, dass W
eine Unterdarstellung mit v ∈ W ist. Letzteres folgt aus der Rechnung
( l∑ )
v = (id V ⊗ϵ) ◦ µ V (v) = (id V ⊗ϵ) v j ⊗ f j =
Außerdem haben wir
j=1
l∑
ϵ(f j )v j ∈ W.
j=1
l∑
µ V (v j ) ⊗ f j = (µ V ⊗ id A ) ◦ µ V (v) = (id V ⊗µ) ◦ µ V (v)
j=1
=
l∑
v j ⊗ µ(f j ) ∈ W ⊗ K A ⊗ K A.
j=1
Behauptung: Weil die f j linear unabhängig sind, gilt µ V (v j ) ∈ W ⊗ K A.
Um das einzusehen, ergänzen wir f 1 , . . . , f l zu einer Basis f 1 , . . . , f l , f l+1 , . . . für
A und betrachten eine Basis w 1 , . . . für V ⊗ K A. Dann bilden die w i ⊗ f j eine Basis
für (V ⊗ K A) ⊗ K A. Entwickelt man jetzt ∑ l
j=1 v j ⊗ µ(f j ) nach den w i ⊗ f k , dann
kommen nur die f k mit k = 1, . . . , l vor, d.h.
l∑
l∑
v j ⊗ µ(f j ) =
} {{ }
= ∑ l
k=1 a j=1
K⊗f k
j=1
l∑
(v j ⊗ a k ) ⊗ f k .
Wir vergleichen dies mit ∑ l
j=1 µ V (v j )⊗f j und finden so µ V (v k ) = ∑ l
j=1 (v j ⊗a k ) ∈
W ⊗ K A für k = 1, . . . , l.
Damit ist gezeigt, dass für alle w ∈ W gilt µ V (w) ∈ W ⊗ k A. Also ist W eine
Unterdarstellung von V .
⊓⊔
Beispiel 5.2.10. Sei G m die multiplikative Gruppe über K und {0} ̸= V ein K-
Vektorraum. Für n ∈ Z ist dann
[
µ V,n : V −→ V ⊗ K X, 1 ]
= V ⊗ K[G m ], v ↦→ v ⊗ X n
X
eine algebraische Darstellung, die man eine Darstellung vom Gewicht n nennt. Um
das einzusehen, rechnet man mit ϵ: k[X, 1 X
] → k, X ↦→ 1
k=1
(id V ⊗ ϵ) ◦ µ v,n (v) = (id V ⊗ ϵ)(v ⊗ X n ) = v ⊗ 1,
und für µ: K[X, 1 X ] → K[X, 1 X ] ⊗ K[X, 1 X
], X ↦→ X ⊗ X betrachtet man
v❴
✤
v ⊗ X n
❴
v ⊗ X n ✤
v ⊗ X n ⊗ X n
Übung 5.2.1. Sei dim K V < ∞ und V → V ⊗ K[X, 1 ] eine Darstellung vom Gewicht n.
X
Dann hat die in Beispiel 5.2.4 konstruierte zugehörige lineare Darstellung ˜ρ V : G m ×V → V
die Gestalt ˜ρ V (λ, v) = λ · v = λ n v.
Proposition 5.2.11. Jede algebraische Darstellung V µ → V ⊗ K K [ X, 1 X
]
der multiplikativen
Gruppe G m ist von der Form V = ⊕ n∈Z V (n), wobei V (n) eine Darstellung
vom Gewicht n ist.

108 5 Algebraische Gruppen
Beweis. Wir setzen V (n) := {v ∈ V | µ(v) = v ⊗ X n }. Dann ist V (n) eine Unterdarstellung
von V , die als algebraische Darstellung das Gewicht n hat, weil sie
µ| V(n) : V (n) → V (n) ⊗ K K [ X, 1 X
]
, v ↦→ v ⊗ X
n
erfüllt. Es bleibt zu zeigen, dass V = ⊕ n∈Z V (n). Für v ∈ V gilt
µ(v) =
endl.
∑
n∈Z
[
v n ⊗ X n ∈ V ⊗ K K X, 1 ]
,
X
also ist v = (id V ⊗ϵ) ◦ µ V (v) = ∑ endl.
n∈Z v n. Weil aber offensichtlich für n ≠ m gilt
V (n) ∩ V (m) = {0}, bleibt nur noch v n ∈ V (n) zu zeigen. Mit der Rechnung
(µ ⊗ id) ◦ µ(v) =
endl.
∑
n∈Z
µ(v n ) ⊗ X n = (id v ⊗µ A ) ◦ µ(v) = ∑ n∈Z
erhält man für µ(v n ) = ∑ k∈Z w k ⊗ X k , dass
∑ ∑
n∈Z
k∈Z
w k ⊗ X k ⊗ X n = ∑ n∈Z
gilt. Damit berechnen sich die Koeffizienten w k zu
{
0 k ≠ n
w k =
v n k = n
v n ⊗ X n ⊗ X n
v n ⊗ X n ⊗ X n
und wir finden µ(v n ) = v n ⊗ X n , also v n ∈ V (n) .
⊓⊔
Proposition 5.2.12. Jede algebraische Darstellung V der additiven Gruppe G a =
Spm(K[X]) über K ist von der Form µ V : V → V ⊗ K K[X] mit
µ V (v) =
wobei f ∈ End K (V ) lokal nilpotent ist.
∞∑
n=0
f n (v) ⊗ Xn
n! ,
Beweis. Sei δ n ∈ End k (V ) definiert durch u(v) := ∑ endl.
n=0 δ n(v) ⊗ X n . Weil die X n
linear unabhängig sind, sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt, und v ↦→ δ n (v)
ist eine K-lineare Abbildung. Mit ϵ(X) = 0 und ϵ(1) = 1 rechnet man
v = (id v ⊗ϵ) ◦ µ V (v) =
endl.
∑
n=0
δ n (v) ⊗ ϵ(X n )
} {{ }
=0 für n≠0
= δ 0 (v).
Mit µ(X) = X ⊗ 1 + 1 ⊗ X ∈ K[X] ⊗ K[X] und µ(X n ) = (X ⊗ 1 + 1 ⊗ X) n ergibt
sich
(µ V ⊗ id A ) ◦ µ V (v) = (µ V ⊗ id A )
= ∑ n
( endl.
∑
δ n (v) ⊗ X n) =
n=0
∑
δ m (δ n (v)) ⊗ X m ⊗ X n
m
endl.
∑
n=0
µ(δ n (v)) ⊗ X n
und

5.2 Darstellungen von affinen algebraischen Gruppen 109
(id V ⊗µ) ◦ µ V (v) = (id V ⊗µ A )
( endl.
∑
δ n (v) ⊗ X n) = ∑ δ n (v) ⊗ (X ⊗ 1 + 1 ⊗ X) n .
n=0
Wegen (µ V ⊗ id A ) ◦ µ V = (id V ⊗µ) ◦ µ V liefert ein Koeffizientenvergleich bei den
X m ⊗ X n , dass δ m ◦ δ n = ( )
m+n
m δm+n . Wenn f := δ 1 ergibt sich so
f n
n! (v) = 1 n! (δ 1 ◦ . . . ◦ δ 1 )(v) = . . . = δ n .
Die lokale Nilpotenz ergibt sich, weil für v ∈ V ab einem bestimmten n ∈ N wegen
der Endlichkeit der Summe gilt, dass f n (v) = n!δ n (v) = 0.
⊓⊔
Übung 5.2.2. Man zeige, dass es unendlichdimensionale algebraische Darstellungen von
G a gibt, für die das f nicht nilpotent ist.
Definition 5.2.13. Eine algebraische Wirkung X × G → X einer affinen algebraischen
Gruppe G = Spm(A) auf einer affinen algebraischen Varietät X =
Spm(R) ist ein K-Algebrenhomomorphismus µ R : R → R ⊗ K A, für den die beiden
folgenden Diagramme kommutativ sind.
↑ 3.12.2012 ↑
R µ R
R ⊗ K A
R
µ R
R ⊗ K A
R
∼ =
id R ⊗ ϵ
R ⊗ K K
µ R
µ R ⊗id A
R ⊗ K A idR ⊗µ A
R ⊗ K A ⊗ K A
Bemerkung 5.2.14. Der zu einer algebraischen Wirkung µ R : R → R ⊗ K A
gehörige Morphismus X × G → X für G = Spm(A) ist eine G-Rechtswirkung,
man kann die Definition 5.2.12 einer algebraischen wirkung aber auch so modifizieren,
dass die zugehörigen Abbildung eine G-Linkswirkung wird (vergleiche
Übung 5.5.11).
Bemerkung 5.2.15. Sei µ R : R → R ⊗ K A eine algebraische Wirkung einer affinen
algebraischen Gruppe (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) auf X = Spm(R). Dann ist µ R eine
algebraische Darstellung von G auf R. Die Teilmenge R G := {f ∈ R | µ R (f) = f⊗1}
ist ein Unterring, denn es gilt
µ R (fh) = µ R (f)µ R (h) = (f ⊗ 1)(h ⊗ 1) = fh ⊗ 1.
Man nennt R G den Invariantenring in R.
Beispiel 5.2.16. Eine algebraische Wirkung X × G m → X = Spm(R) der multiplikativen
Gruppe wird eindeutig durch eine Graduierung R = ⊕ m∈Z R (m) mit
R (m) R (n) ⊆ R (m+n) beschrieben. Die Elemente von R (m) \ {0} heißen homogen
vom Grad m. Die Wirkung ist durch
gegeben.
µ R : R → R ⊗ k[X, X −1 ], f m ∈ R (m) ↦→ f m ⊗ X m (5.1)
1. Richtung: Wenn R = ⊕ m∈Z R (m) gegeben und µ R durch (5.1) definiert ist,
rechnet man
( ∑
µ R f m + ∑ ) ( ∑ )
h m = µ R (f m + h m ) = ∑ (f m + h m ) ⊗ X m
n
m
m
m
= ∑ (f m ⊗ X m + h m ⊗ X m ) = ∑
m
m
( ∑ ) ( ∑ )
= µ R fm + µ R hm
f m ⊗ X m + ∑ m
h m ⊗ X m

110 5 Algebraische Gruppen
und
µ R ( f m h l
} {{ }
∈R (m+l)
) = (f m h l ) ⊗ X m+l = (f m ⊗ X m )(h l ⊗ X l ) = µ R (f m )µ R (h l ).
Zur Verifikation der Kommutativität der beiden Diagramme betrachtet man
∑
f m ↦→ ∑ f m ⊗ X m ↦→ ∑ f m ⊗ 1 m ↦→ ∑ f m
m
m
m
m
und
∑
m f m
µ R
∑m f m ⊗ X m
µ R
∑
m f m
id ⊗µ A
µ R ⊗id
∑m f m ⊗ X m ⊗ X m
2. Richtung: Wenn umgekehrt eine algebraische Wirkung µ R : R → R⊗ K K[X, X −1 ]
gegeben ist, setzt man R (m) := {f ∈ R | µ R (f) = f ⊗ X m }. Dann sind R (m) ⊆ R
und R (m) ∩ R (l) = {0} für m ≠ l klar, und R (m) R (l) ⊆ R (m+l) folgt aus der
Rechnung:
µ R (f m h l ) = µ R (f m )µ R (h l ) = (f m ⊗ X m )(h l ⊗ X l ) = f m h l ⊗ X m+l .
Es bleibt noch zu zeigen, dass R ⊆ ⊕ m∈Z R (m). Um das einzusehen, wählen wir
f ∈ R und definieren f m ∈ R durch µ R (f) = ∑ m f m ⊗ X m . Dann gilt
∑
( ∑
f m = (id R ⊗ϵ) f m ⊗ X m) = (id R ⊗ϵ) ◦ µ R (f) = f,
m
m
also genügt es zu zeigen, dass f m ∈ R (m) , d.h. µ R (f m ) = f m ⊗ X m . Dazu rechnen
wir
∑
m f m ✤ µ R
❴
∑
m µ R(f m )
∑
m
∑l r l,m ⊗ X
❴
l
µ R ⊗id
∑m,l µ R(r l,m ) ⊗ X l
µ R
∑
m f m ⊗ X m
∑m f m ⊗ X m ⊗ X m ∑k,m,l r k,l,m ⊗ X k ⊗ X l
Dies zeigt r k,l,m = δ km δ lm f m und Anwenden von (id ⊗ϵ) ◦ µ R auf die linke Seite
liefert r l,m = δ lm f m . Zusammen ergibt sich
µ R (f m ) = ∑ l
r l,m ⊗ X l = ∑ l
δ lm f m ⊗ X l = f m ⊗ X m .
Definition 5.2.17. Sei R eine kommutative K-Algebra und M ein R-Modul. Eine
M-wertige Derivation auf R ist eine K-lineare Abbildung D : R → M mit
∀x, y ∈ R :
D(xy) = xD(y) + yD(x).
Wenn M = R, spricht man einfach von einer Derivation.
Bekannte Beispiele für Derivationen sind partielle Ableitungen und Auswertungen
partieller Ableitungen in einzelnen Punkten sowie Richtungsableitungen.

✤
✤
5.2 Darstellungen von affinen algebraischen Gruppen 111
Beispiel 5.2.18. In der Situation von Beispiel 5.2.16 ist der Euler-Operator
∑
E : R → R, f m ↦→ ∑ mf m
m
m
eine Derivation (Übung). Der Invariantenring R G m
= R (0) ist dann gerade der Kern
von E.
Beispiel 5.2.19. Eine algebraische Wirkung X ×G a → X = Spm(R) der additiven
Gruppe wird eindeutig durch eine Derivation D : R → R festgelegt. Die Wirkung
ist dann durch die Formel
µ : R → R ⊗ K K[X], f ↦→
∞∑
n=0
D n (f) ⊗ Xn
n!
festgelegt (vergleiche Übung 5.5.14). Der Invariantenring R Ga
von D.
ist gerade der Kern
Definition 5.2.20. Ein Charakter der affinen algebraischen Gruppe (G = Spm(A), µ, ϵ, ι)
ist ein Element χ ∈ A mit
(i) µ(χ) = χ ⊗ χ,
(ii) ι(χ)χ = 1.
Zur Erklärung von Definition 5.2.20 betrachten wir zwei (irreduzible) affine algebraische
Gruppen (G = Spm(A), µ A , ϵ A , ι A ) und (H = Spm(B), µ B , ϵ B , ι B ) sowie
einen Morphismus Φ = (f, ϕ): G → H. Dann stellt sich die Frage, wie man an
φ = ϕ(H): B → A abliest, ob f ein Gruppenhomomorphismus ist? Wir betrachten
dazu die Multiplikationen m G , m H und Inversionen i G , i H auf G und H:
G × G f×f H × H
m G
G
f
H
m H
(g 1 , g 2 ) ✤ f×f
❴
(
f(g1 ), f(g 2 ) )
❴
m H
f(g 1 )f(g 2 )
m G
g 1 g 2
✤
f
f(g 1 g 2 )
Für B = K [ X, X −1] liefert das
A ⊗ A
µ A
A
B ⊗ B χ ⊗ χ X ⊗ X
B
µ B
µ A
χ ❴
µ B
❴
X
Für die Inversion betrachtet man die kommutativen Diagramme
G f H
i G
G f
H
i H
A
ι A
A
B
B
ι B
Lemma 5.2.21. Die Charaktere von GL n (K) = Spm K [ X ij ,
1
det X
]
sind genau die
Potenzen von det(X).

112 5 Algebraische Gruppen
↑ 7.12.2012 ↑
Beweis. Als Erstes weist man nach, dass det(X) ein irreduzibles Polynom in K[X ij ]
1
ist (vergleiche Übung 5.5.15). Sei f ∈ K[X ij ,
det(X)
] invertierbar. Dann gibt es ein
1
h ∈ K[X ij ,
det(X) ] mit fh = 1. Jetzt wählen wir F ∈ K[X ij] und k ∈ N 0 mit
F = f (det X) k sowie H ∈ K[X ij ] und l ∈ N 0 mit H = h (det X) l . Dann gilt
F H = fh (det X) l+k = (det X) l+k und die Irreduzibilität der Determinante zeigt,
dass F = (det X) k′ für ein passendes k ′ . Dass umgekehrt jedes Element von der
Form (det X) m ein Charakter ist, ist klar.
⊓⊔
Definition 5.2.22. Sei χ ∈ A ein Charakter einer affinen algebraischen Gruppe
(G = Spm(A), µ, ϵ, ι) und µ V : V → V ⊗ K A eine algebraische Darstellung von G
auf V . Ein Vektor v ∈ V heißt eine Semiinvariante vom Gewicht χ, wenn µ V (v) =
v ⊗ χ. Der Raum aller Semiinvarianten vom Gewicht χ wird mit V χ bezeichnet.
Definition 5.2.23. Eine affine algebraische Gruppe T = Spm(A), die isomorph zu
einem endlichen direkten Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe G m ist,
heißt ein algebraischer Torus. Die Menge der Charaktere von T wird mit X(T )
bezeichnet.
Proposition 5.2.24. Sei T = Spm(A) ein algebraischer Torus. Dann gilt:
(i) X(T ) ist eine Basis für A als K-Vektorraum.
(ii) Jede algebraische Darstellung V von T ist von der Form V = ⊕ χ∈X(T ) V χ.
Beweis. Siehe Übung 5.5.12.
⊓⊔
5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen
Beispiel 5.3.1. Sei K ein Körper und R := K[t 1 , . . . , t n ].
(i) Die formale Ableitung
∂
∂t i
: R → R nach t i ist eine Derivation.
(ii) Für a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ K n ist die Auswertung f ↦→ ∂f
∂t i
(a) der Ableitung in
a eine Derivation R → K bezüglich der durch f · λ = f(a)λ gegebenen R-
Modulstruktur auf K.
Beispiel 5.3.2. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und X = Spm(R)
eine affine K-Varietät und p ∈ X. Wir bezeichnen p, wenn es als maximales Ideal
betrachtet werden soll, mit m p ✂ R. Der Körper K ist ein R-Modul bezüglich f · λ =
f(p)λ, wobei f(p) := f + m p ∈ R/m p
∼ = K. Eine Derivation α: R → K ist eine
lineare Abbildung mit
∀f, h ∈ R : α(fh) = f(p)α(h) + h(p)α(f) (5.2)
Wegen f(x) = 0 für x ∈ m p verschwindet so ein α auf m 2 p = { ∑ i x iy i | x i , y i ∈ m p }.
Man nennt die Derivationen R → K mit dieser Struktur Derivationen in p.
Bemerkung 5.3.3 (Exkurs zu Distributionen). Distributionen auf R n sind lineare
Abbildungen Cc
∞ (R n ) → F C. Typisches Beispiele sind f ↦→ f(0) und f ↦→ ∫ fh,
wobei h eine fest gewählte Funktion ist. Mit letzterem Beispiel sieht man auch, wie
man den Raum Cc
∞ (R n ) der glatten Funktionen in den Raum D ′ (R n ) der Distributionen
einbettet. Darüber hinaus findet an folgende Einbettungen
D(R n ) := C ∞ c (R n ) ↩→ L 2 (R n ) ↩→ D ′ (R n ),
die sich in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen als sehr nützlich erweist.

5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen 113
Für Distributionen kann man einen Träger definieren, indem man sagt, das eine
offene Menge nicht zum Träger gehört, wenn die Distribution alle Funktionen annulliert,
deren Träger in dieser offenen Menge liegen. Insbesondere kann man dann
von Distributionen sprechen, ( deren Träger nur aus dem Punkt Null besteht. Alle
αf(0)
∂
Auswertungen f ↦→
∂x)
von Ableitungen in 0 sind von dieser Art.
Definition 5.3.4. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, X = Spm(R) eine
affine algebraische K-Varietät und p ∈ X mit m p ✂ R. Eine lokale Distribution
mit Träger in p ∈ X ist eine K-lineare Abbildung α: R → K mit α(m N p ) = 0 für
hinreichend großes N ∈ N. Das kleinste d ∈ N 0 mit α(m d+1
p ) = 0 heißt der Grad
von α und wird mit deg α bezeichnet.
Bemerkung 5.3.5. Eine lokale Distribution mit Träger in p vom Grad 0 ist ein
skalares Vielfaches der Auswertung
ev p : R → K, f ↦→ f(p) = f + m p .
Wenn nämlich α: R → k den Grad deg α = 0 hat, dann gilt α(m p ) = 0, d.h.
ker ev p = m p ⊆ ker α.
R
α K
ev p
K
skalare
7 7777777 Multiplikation
Lemma 5.3.6. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und R eine nullteilerfreie
endlich erzeugte K-Algebra. Dann sind für 0 ≠ α ∈ Hom K (R, K) die folgenden
Aussagen äquivalent:
(1) α ist eine Derivation in p, das heißt, es gilt (5.2) für m p .
(2) α ist eine lokale Distribution mit Träger in p vom Grad 1 und α(1) = 0.
Beweis. ”
(1) ⇒ (2)“: Beispiel 5.3.2 zeigt, dass α(m 2 p) = 0 gilt, also ist α eine lokale
Distribution mit deg α ≤ 1. Aber es gilt deg α ≠ 0, denn andernfalls hätte man
α = λ ev p mit λ ≠ 0, d.h. 1 λ α = ev p. Das kann aber nicht sein, denn für eine Derivation
β gilt immer β(1) = β(1 · 1) = 1 · β(1) + 1 · β(1), also β(1) = 0, und ev p (1) ≠ 0.
Damit ist (2) gezeigt: deg α = 1 und α(1) = 0.
” (2) ⇒ (1)“: Für f, h ∈ R gilt f −f(p), h−h(p) ∈ m p, also ( f −f(p) )( h−h(p) ) ∈ m 2 p.
Aber dann liefert (2), dass α ( (f − f(p))(h − h(p)) ) = 0. Andererseits hat man
α ( (f − f(p))(h − h(p)) ) = α ( fh − f(p)h − h(p)f + f(p)h(p) )
= α(fh) − f(p)α(h) − h(p)α(f) + f(p)h(p)α(1)
= α(fh) − f(p)α(h) − h(p)α(f),
und das liefert (1).
⊓⊔
Bemerkung 5.3.7. In der Situation von Lemma 5.3.6 gilt R/m p
∼ = K.
(i)
Der K (R, R/m p ) ∼ = {α ∈ Hom K (R/m 2 p, K | α(1) = 0}
∼= Hom K (m p /m 2 p, K) = (m p /m 2 p) ∗
Wegen α(1) = 0 ist α vollständig bestimmt, wenn man es auf m p kennt. Der
Raum (m p /m 2 p) ∗ heißt der Zariski-Tangentialraum an X in p.

114 5 Algebraische Gruppen
(ii) Es gilt dim K (m p /m 2 p) ≥ dim X, wobei wir noch keine formale Definition für
dim X angegeben haben. Man hat keine Gleichheit, weil Singularitäten in X
auftauchen können, die die linke Seite vergrößern.
(iii) Es gilt
{ lokale Distribution mit Träger in p vom Grad ≤ d } ∼ = ( R/m d+1
p
Für l ≥ d haben wir eine surjektive Abbildung
R/m l+1
p
pr
↠ R/m d+1 p, r + m l+1
p ↦→ r + m d+1
p ,
denn m l+1
p ≤ m l+1
p wie man an der Klammerung (x 1 · . . . · x d+1 )x d+1 · . . . · x l+1
sieht. Durch Zurückziehen mit pr findet man (R/m d+1
p ↩→ (R/m l+1
p ) ∗ , und es
ergibt sich
{ lokale Distribution mit Träger in p } = ∪ ( )
R/m
d+1 ∗ ( )
p = lim R/m
d+1 ∗.
p
−→d
d≥0
) ∗ pr∗
Definition 5.3.8. Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine affine algebraische Gruppe und
e ∈ G das Einselement. Betrachte die Menge (siehe Bemerkung 5.3.7)
(
H(G) := lim A/m
α+1
p
−→α
der lokalen Distributionen mit Träger in e und setze
H(G) d := ( A/m d+1 ) ∗.
p
Der Zariski-Tangentialraum (m e /m 2 e) von G in e wird mit g oder Lie(G) bezeichnet
und heißt die Lie-Algebra von G.
Satz 5.3.9. Seien G, e, H(G) etc. wie in Definition 5.3.8 und µ : A → A ⊗ K A die
Komultiplikation. Für α, β ∈ H(G) definiere α ∗ β ∈ Hom K (A, K) durch
) ∗
) ∗.
α∗β
A
K
µ
∼ =
A ⊗ K A
α⊗β
K ⊗ K K
↑ 14.12.2012 ↑
Dann gilt:
(i) α ∗ β ∈ H(G) mit deg(α ∗ β) ≤ deg α + deg β.
(ii) (H(G), ∗) ist eine assoziative K-Algebra mit Einselement ϵ: A → K.
(iii) g ist abgeschlossen unter [·, ·], wobei [α, β] := α ∗ β − β ∗ α die Lie-Klammer
ist.
Beweis. (i) Sei m = m e und ϵ: A → K Koeins von G, das heißt die Auswertung ev e
in der Eins. Wegen e · e = e kommutiert das folgende Diagramm
A µ A ⊗ K A
ϵ
K
∼ =
ϵ⊗ϵ
K ⊗ K K
Also gilt ker ϵ = µ(m) ⊆ ker(ϵ ⊗ ϵ) = A ⊗ m + m ⊗ A (vergleiche Übung 5.5.17).
Damit finden wir (unter Verwendung der Konvention m 0 = A)

∀a, b ∈ N 0 :
5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen 115
∑
µ(m a+b+1 ) ⊆ µ(m) a+b+1 ⊆ m i ⊗ m j .
i+j=a+b+1
Wenn a = deg α, β = deg β, dann gilt α(m a+1 ) = 0 = β(m b+1 ), also
(α ∗ β)(m a+b+1 ) = (α ⊗ β)(µ(m a+b+1 )) ⊆
∑
i+j=a+b+1
α(m i ) ⊗ β(m j ) = 0.
Damit ist gezeigt, das α ∗ β ∈ H(G) mit deg α ∗ β ≤ deg α + deg β
(ii) Das kommutaive Diagramm in (i) zeigt, dass ϵ∗ϵ = ϵ. Mit e·a = a für beliebiges
a ∈ A erhalten wir allgemeiner die folgenden kommutativen Diagramme
A µ A ⊗ K A
also A µ A ⊗ K A
id A
A
∼ =
ϵ⊗id A
K ⊗ K A
α
K
∼ =
ϵ⊗α
K ⊗ K K
α
K
∼ =
id K ⊗ϵ
K ⊗ K K
und damit ϵ ∗ α = α. Analog sieht man auch α ∗ ϵ = α. Die restlichen Aussagen
sind Gegenstand der Übungen 5.5.18, 5.5.19 und 5.5.20.
⊓⊔
Beispiel 5.3.10. Betrachte die multiplikative Gruppe G m = Spm(K[X, X −1 ]).
Dann gilt
H(G m ) = lim
−→d
(
K[X, X −1 ]/(X − 1) d+1) ∗
.
Um das einzusehen, weist man zunächst nach, dass H(G m ) ∼ = K[E] als K-Algebra,
wobei E =
d
dX | X=1 : K[X, X −1 ] → K. Dazu betrachtet man eine Reihenentwicklung
in 1 und verifiziert (E ∗ E)(f) = (( d
dX )2 f)(1) (vergleiche Übung 5.5.21).
Beispiel 5.3.11. Betrachte die additive Gruppe G a = Spm(K[X]). Dann gilt:
H(G a ) = lim
−→d
(
K[X]/X
d+1 ) ∗
.
Hier ist zunächst die Isomorphie H(G a ) ∼ = K[D] von K -Algebren zu verifizieren,
wobei D =
d
dX | X=0 : K[X] → K. In diesem Fall entwickelt man in 0 (vergleiche
Übung 5.5.22).
Bemerkung 5.3.12. Seien G und H (irreduzible) affine algebraische Gruppen mit
Einselementen e G und e H . Weiter sei Φ = (f, ϕ): G → H ein Morphismus algebraischer
Gruppen, das heißt f ist ein Gruppenhomomorphismus. Sei φ: K[H] →
K[G] der zugehörige K-Algebrenhomomorphismus. Dann gilt φ(m eH ) ⊆ m eG , also
auch φ(m d+1
e H
) ⊆ m d+1
e G
. Damit induziert φ einen K-Algebrenhomomorphismen
K[H]/m d+1
e H
→ K[G]/m d+1
e G
, und per Dualität auch eine K-lineare Abbildung
( )
K[H]/m
d+1 ∗ ( )
e H ← K[G]/m
d+1 ∗.
e G
Zusammen induziert φ also eine K-lineare Abbildung H(H) ← H(G). Diese Abbildung
ist verträglich mit den Multiplikationen ∗ H und ∗ G aus Satz 5.3.9 (vergleiche
Übung 5.5.19).

116 5 Algebraische Gruppen
Lemma 5.3.13. Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine affine algebraische Gruppe und
µ V : V → V ⊗ A eine algebraische Darstellung. Für α ∈ H(G) definiere ˜ρ(α) ∈
End K (V ) durch das kommutative Diagramm
V
µ V
V ⊗ K A
˜ρ(α)
V
∼ =
id V ⊗ α
V ⊗ K K
Dann ist ˜ρ: H(G) → End K (V ) ein Ringhomomorphismus und damit ein K-
Algebrenhomomorphismus.
Beweis. Für ˜ρ(α) = (id V ⊗ α) ◦ µ V : V → V ⊗ K K rechnen wir einerseits
und andererseits
˜ρ(α) ◦ ˜ρ(β) = (˜ρ(α) ◦ (id V ⊗β) ◦ µ V )
= (˜ρ(α) ⊗ id k ) ◦ (id V ⊗β) ◦ µ V
= (˜ρ(α) ⊗ β) ◦ µ V
= ( (id V ⊗ α) ◦ µ V ⊗ β ) ◦ µ V ,
˜ρ(α ∗ β) = (id V ⊗ α ∗ β) ◦ µ V
= (id V ⊗ (α ⊗ β) ◦ µ A ) ◦ µ V
= ( id V ⊗ (α ⊗ β) ) ◦ (id V ⊗µ A ) ◦ µ V
= ( (id V ⊗ α) ⊗ β ) ◦ (µ V ⊗ id A ) ◦ µ V
= ( (id V ⊗ α) ◦ µ V ⊗ β ) ◦ µ V .
Damit folgt die Behauptung.
⊓⊔
Bemerkung 5.3.14. In der Situation von Lemma 5.3.13 sei e ∈ G das Einselement
und v ∈ V eine G-Invariante, das heißt µ V (v) = v ⊗ 1. Dann gilt
∀α ∈ H(G) : ˜ρ(α)(v) = α(1) · v. (5.3)
Umgekehrt, wenn (5.3) gilt, dann schreiben wir µ V (v) = ∑ j v j ⊗ a j mit endlich
vielen a j ∈ A und v j ∈ V . Dabei können wir o.B.d.A. die v j linear unabhängig
wählen
∑
(sonst fasst man Terme zusammen). Aber dann zeigt (5.3), dass ˜ρ(α)(v) =
j α(a j)v j = α(1) · v. Beachte, dass nach Definition 5.2.3 gilt v = ∑ j ϵ(a j)v j . Also
haben wir ∑ j α(a j)vj = α(1) ∑ j ϵ(a j)v j und die lineare Unabhängigkeit der v j
zeigt
∀α∀j : α(a j ) = α(1)ϵ(a j ).
Damit folgt für alle α und j, dass α ( a j − ϵ(a j )1 ) = 0.
Behauptung: Für alle j gilt a j = ϵ(a j )1.
Damit erhält man dann µ V (v) = ∑ j v j ⊗ a j = ∑ j ϵ(a j)v j ⊗ 1 = v ⊗ 1.
Um die Behauptung zu beweisen, betrachten wir f ∈ A mit α(f) = 0 für alle
α ∈ H(G). Beachte, dass α eine beliebige lineare Abbildung A → K sein kann,
für die es ein d ∈ N 0 mit m d+1
e ⊆ ker α gibt. Daher muss f ∈ ∩ d∈N 0
m d+1
e gelten.
Weil A eine endlich erzeugte K-Algebra ist, finden wir x 1 , . . . , x n ∈ A mit A =
K[x 1 , . . . , x n ]. Wenn man die x j als Funktionen auf G auffasst, dann wird A auch von
den Elementen x j − x j (e) erzeugt, das heißt, wir können o.B.d.A. annehmen, dass

5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen 117
x j (e) = 0 gilt. Jetzt schreibt man f = ∑ I∈N
c n I x I mit c I ∈ K und x I = x i1
0
1 · · · xjn n
für I = (i 1 , . . . , i n ). Dabei ist x 0 j = 1 ∈ A. Also liegen alle xI mit I ≠ (0, . . . , 0) in
m e . Weil f ∈ m e , muss also c (0,...,0) = 0 sein. Wenn |I| = i 1 + . . . + i n , dann erhält
man mit Induktion über |I|, dass für jedes k ∈ N 0 die Summe ∑ |I|=k c Ix I = 0 ist.
Also ist f = 0, was die Behauptung beweist.
Beispiel 5.3.15. Sei V eine algebraische Darstellung der multiplikativen Gruppe
G m und v = ∑ m∈Z v M ∈ V die Zerlegung in homogene Komponenten (vergleiche
Proposition 5.2.11). Dann gilt µ V (v) = ∑ m µ V (v m ) = ∑ m v m ⊗X m und der Euler-
Operator E =
d
dX | X=1 ∈ g m ⊆ H(G m ) erfüllt
˜ρ(E) : v ↦→ ∑ n
v m ⊗
d
dX | X=1X m = ∑ m
mv m .
↑ 17.12.2012 ↑
Bemerkung 5.3.16 (Duale Darstellungen). Betrachte für eine affine algebraische
Gruppe (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) die Rechtswirkung
c : G × G → G,
(x, g) ↦→ g −1 xg = c g (x)
durch Konjugation. Dazu gehört eine lineare G-Wirkung auf A = K[G], die für
F ∈ A durch
(g · F )(x) = F (x · g) = F (c g (x))
definiert ist. Wir wollen zeigen, dass diese Wirkung eine algebraische Darstellung
auf H(G) induziert, für die der Unterraum g ⊆ H(G) eine Unterdarstellung ist (die
man dann die adjungierte Darstellung nennt). Um dieses Ziel erreichen zu können,
brauchen wir die dualen Darstellungen.
Sei G × V → V eine lineare Wirkung auf einem K-Vektorraum V und V ∗ =
Hom K (V, K). Für ν ∈ V ∗ und v ∈ V setzen wir (g · ν)(v) := ν(g −1 · v). Dies
definiert eine lineare Wirkung G × V ∗ → V ∗ . Es stellt sich jetzt die Frage, ob es
ein Analogon zu dieser Konstruktion auch für algebraische Darstellungen der Form
V → V ⊗ A gibt. Das sollte dann eine algebraische Darstellung V ∗ → V ∗ ⊗ K A sein.
Das kommutative Diagramm
G × G m G
G
s
G × G
i×i
G
G × G mG
G
i
(g, h) ✤ m G
❴
s
(h, g)
❴
i×i
gh ❴
i
(gh) −1
(h −1 , g −1 ) ✤ m G
h −1 g −1
auf Gruppenebene induziert das kommutatives Diagramm
A ⊗ K A
σ
A ⊗ K A
ι⊗ι
A ⊗ K A
µ
µ
A
ι
A
A
Sei jetzt µ V : V → V ⊗ K A eine algebraische Darstellung, das heißt

118 5 Algebraische Gruppen
V
µ V
V ⊗ K A
µ V
V ⊗ K A
id V ⊗µ
µ V ⊗id A
V ⊗ K A ⊗ K A
Wir wollen daraus ein Diagram der Form
V ∗
µ V ∗
V ∗ ⊗ K A
µ V ∗
V ∗ ⊗ K A
id V ∗ ⊗µ
µ V ∗ ⊗id A
V ∗ ⊗ K A ⊗ K A
gewinnen. Ein erster Versuch könnte für µ V (v) = ∑ j v j ⊗ a j die Setzung
V ∗ = Hom K (V, K) → Hom K (V, A) ∼ = V ∗ ⊗ K A,
ν ↦→
(v ↦→ ∑ )
ν(v j )a j
} {{ }
=(ν⊗id A )◦µ V
sein, die aber die Inversenbildung in der linearen dualen Darstellung nicht abbildet.
Stattdessen setzen wir
µ V ∗ : V ∗ → V ∗ ⊗ K A ∼ = Hom K (V, A), ν ↦→ (ν ⊗ ι) ◦ µ V .
Damit erhalten wir das folgende kommutative Diagramm
V ∗
Hom K (V, K)
⊗ι
Hom K (V ⊗ K A, A)
µ V ∗
V ∗ ⊗ K A
Hom K (V, K) ⊗ K A
∼ =
Hom K (V, A)
(µ V ) ∗ :=(ψ↦→ψ◦µ V )
id V ∗ ⊗µ
µ ∗:=(φ↦→µ◦φ)
V ∗ ⊗ K A ⊗ K A
∼ =
Hom K (V, A ⊗ K A)
wobei sich die Kommutativität aus
(µ V ) ∗ (ν ⊗ ι) = (ν ⊗ ι) ◦ µ V = µ V ∗(ν)
µ ∗ (ν ⊗ a) = ( v ↦→ ν(v)a ↦→ ν(v)µ(a) ) = (id V ∗ ⊗µ 1 )(ν ⊗ a)
= ν ⊗ µ(a) = ( v ↦→ ν(v)µ(a) )
ergibt. Auch das Diagramm
V ∗ ⊗ K A
Hom K (V, A)
⊗ι Hom K (V ⊗ K A, A ⊗ K A)
µ V ∗ ⊗id A
σ ∗ ⊗(µ V ) ∗
V ∗ ⊗ K A ⊗ K A
∼ =
Hom K (V, A ⊗ K A)
ist kommutativ. Dazu beachten wir
(µ V ) ∗ ((ν ⊗ a) ⊗ ι) = ((ν ⊗ a) ⊗ ι) ◦ µ V
(µ V ∗ ⊗ id A )(ν ⊗ a) = µ V ∗(ν) ⊗ a = ((ν ⊗ ι) ◦ µ V ) ⊗ a

5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen 119
und rechnen für µ V (v) = ∑ j v j ⊗ a j :
( ((ν ) ( ∑ ))
σ ∗ ◦ ((ν ⊗ a) ⊗ ι) ◦ µ V (v) = σ ⊗ a) ⊗ ι v j ⊗ a j
( ∑
)
= σ (ν ⊗ a)(v j ) ⊗ ι(a j )
= ∑ j
j
σ ( ν(v j )a ⊗ ι(a j ) )
= ∑ ν(v j )ι(a j ) ⊗ a
j
(( ) ) ( ( ∑ ))
(ν ⊗ ι) ◦ µV ⊗ a (v) = (ν ⊗ ι) v j ⊗ a j ⊗ a
( ∑ )
= ν(v j )ι(a j ) ⊗ a
= ∑ j
j
j
ν(v j )ι(a j ) ⊗ a.
j
Jetzt genügt es, die Kommutativität des Diagramms
Hom K (V, K)
µ V ∗
Hom K (V, A)
µ ∗◦µ V ∗ ◦( ⊗ι)
σ ∗ ◦(µ V ) ∗ ◦( ⊗ι)
Hom K (V, A)
(µ V ) ∗
Hom K (V, A ⊗ K A)
zu zeigen, das heißt, für ν ∈ V ∗ muss
µ ∗ ◦ (µ V ) ∗ (ν ⊗ ι) = σ ∗ ◦ (µ V ) ∗( (µ V ) ∗ (ν ⊗ ι) ⊗ ι )
nachgewiesen werden. Dazu rechnen wir:
σ ∗ ◦ (µ V ) ∗( (µ V ) ∗ (ν ⊗ ι) ⊗ ι ) = σ ∗ ◦ ((µ V ∗(ν ⊗ ι) ⊗ ι) ◦ µ V )
= σ ∗ ((((ν ⊗ ι) ◦ µ V ) ⊗ ι) ◦ µ V )
= σ ∗ ◦ ((ν ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (µ V ⊗ id A ) ◦ µ V )
= σ ∗ ◦ ( )
(ν ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (id V ⊗µ) ◦ µ V .
Wegen µ ∗ ◦ (µ V ) ∗ (ν ⊗ ι) = µ ∗ ◦ (ν ⊗ ι) ◦ µ V
genügt es zu zeigen, dass
µ ∗ ◦ (ν ⊗ i) = σ ∗ ◦ (ν ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (id V ⊗µ) ∈ Hom k (V ⊗ K A, V ⊗ K A ⊗ K A).
Sei dazu µ(a) = ∑ j a j ⊗ a ′ j . Dann gilt für v ∈ V
µ ∗ ◦ (ν ⊗ ι)(v ⊗ a) = µ ∗ (ν(v)ι(a)) = ν(v)µ(ι(a))
σ ◦ (ν ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (id V ⊗µ)(v ⊗ a) = σ((ν ⊗ ι ⊗ ι)(v ⊗ µ(a))
= ν(v)(µ ◦ ι)(a)
= σ(ν(v)(ι ◦ ι)(µ(a)))
= ν(v)σ((ι ◦ ι)(µ(a))
= ν(v)(σ ◦ (ι ⊗ ι) ◦ µ)(a)
= ν(v)(µ ◦ ι)(a).
Damit sind wir bei folgendem Ergebnis angelangt: µ V ∗
algebraische Darstellung von G.
: V ∗ → V ∗ ⊗ K A ist eine

120 5 Algebraische Gruppen
Wir betrachten eine (irreduzible) affine algebraische Gruppe (G = Spm(A), µ, ϵ, ι)
und eine affine algebraische Varietät X = Spm(R) sowie eine Rechtswirkung
c: X × G → X, die ein Morphismismus von affinen algebraischen Varietäten
ist. Seit γ : A → A ⊗ K A der zugehörige K-Algebrenhomomorphismus. Wegen
x · (gh) = (x · g) · h für x ∈ X und g, h ∈ G haben wir die folgenden kommutativen
Diagramme:
↑ 21.12.2012 ↑
X × G × G
c×id G
X × G
R ⊗ K A ⊗ K A
γ⊗id A
R ⊗ K A
id G ×m G
X × G
c
G
c
id A ⊗µ
R ⊗ K A
γ
A
γ
Analog liefert die Gleichheit x · 1 = x für x ∈ X die kommutativen Diagramme
(id X ,e)
X
X × G
c
id
X
X
id R ⊗ϵ
R
R ⊗ K A
γ
id
R
R
Also ist γ : R → R⊗ K A ist eine algebraische Wirkung im Sinne von Definition 5.2.13
von G auf R.
Proposition 5.3.17. Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine (irreduzible) affine algebraische
Gruppe, e ∈ G das Einselement und c: G × G → G die Konjugationswirkung. Dann
ist m := m e = ker ϵ ⊆ A eine Unterdarstellung von γ : A → A ⊗ K A.
Beweis. Wir müssen zeigen, dass γ(m) ⊆ m ⊗ A. Dazu betrachten wir die kommutativen
Diagramme
{e} × G
e×id G
G × G
K ⊗ K A
ϵ⊗id A
A ⊗ K A
{e}
e
G
c
K
ϵ
A
γ
und stellen fest, dass m⊗A = ker(ϵ⊗id A ) gilt. Wenn nämlich ∑ l
j=1 a j ⊗b j ∈ A⊗ K A
mit linear unabhängigen b j ∈ A in ker(ϵ ⊗ id A ) liegt, dann gilt
( l∑ )
0 = (ϵ ⊗ id A ) a j ⊗ b j =
j=1
l∑
ϵ(a j ) ⊗ b j ∈ K ⊗ K A,
das heißt 0 = ∑ l
j=1 ϵ(a j)b j ∈ A, also verschwinden alle ϵ(a j ). Damit folgt ∑ l
j=1 a j ⊗
b j ∈ m ⊗ K A, und die Inklusion m ⊗ K A ⊆ ker(ϵ ⊗ id A ) ist trivial.
⊓⊔
Übung 5.3.1. Man zeige, dass γ : A → A ⊗ K A für jedes d ∈ N 0 eine algebraische Darstellung
induziert.
γ d+1 : (A/m d+1 ) →
(A/m d+1 ) ⊗ K A
} {{ }
=(A⊗ K A)/(m d+1 ⊗ K A)
j=1
, (f + m d+1 ) ↦→ γ(f) + (m d+1 ⊗ K A)
Hinweis: m ist eine algebraische Unterdarstellung, also ist wegen
auch m d+1 eine Unterdarstellung.
γ(m d+1 ) = γ(m) d+1 ⊆ (m ⊗ K A) d+1 = m d+1 ⊗ K A

5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen 121
Bemerkung 5.3.18. Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine (irreduzible) affine algebraische
Gruppe und γ : V → V ⊗ K A eine algebraische Darstellung. weiter sei W ≤ V eine
Unterdarstellung, das heißt γ(W ) ⊆ W ⊗ A. Dann ist
γ : (V/W ) →
(V/W ) ⊗ K A , v + W ↦→ γ(v) + (W ⊗ K A)
} {{ }
=(V ⊗ K A)/(W ⊗ K A)
eine algebraische Darstellung. Um das einzusehen, verifizieren wir, dass das Diagramm
(V/W ) ⊗ K A ⊗ K A
γ⊗id A
(V/W ) ⊗ K A
γ⊗id A
(V ⊗ K A ⊗ K A)/(W ⊗ K A ⊗ K A) (V ⊗ K A)/(W ⊗ K A)
id V /W ⊗µ
(V ⊗ K A)/(W ⊗ K A)
γ
γ
V/W
(V/W ) ⊗ K A
γ
V/W
kommutativ ist.
Bemerkung 5.3.16 liefert jetzt algebraische Darstellungen
γ d+1,∗ : ( A/m d+1) ∗
→
(
A/m
d+1 ) ∗
⊗K A
Weil (A/m d+1 ) ∗ endlich dimensional ist, gehören dazu nach Bemerkung 5.2.6 lineare
Darstellungen
G × ( A/m d+1) = G × ( A/m d+1) ∗∗
→
(
A/m
d+1 ) ∗∗
= A/m d+1 .
Dazu wiederum existieren auch duale Darstellungen: G× ( A/m d+1) ∗
→
(
A/m
d+1 ) ∗
.
Lemma 5.3.19. In der Situation von Bemerkung 5.3.18 gilt:
(i) Die Darstellungen γ d+1,∗ sind verträglich, das heißt für d ′ > d ist das Diagramm
(
A/m
d+1 ) ∗ γ d+1,∗
(
A/m
d+1 ) ∗
⊗K A
(
A/m
d ′ +1 ) ∗
γ d ′ +1,∗
(
A/m
d ′ +1 ) ∗
⊗K A
kommutativ.
(ii) Die Darstellungen (γ d+1,∗ ) d∈N0
liefern eine algebraische Darstellung
γ ∗ : H(G) → H(G) ⊗ K A.
(iii) Die linearen Darstellungen G × ( A/m d+1) ∗
→
(
A/m
d+1 ) ∗
sind verträglich und
definieren eine lineare Darstellung G × H(G) → H(G).
Beweis. Die Teile (i) und (ii) folgen direkt aus den Definitionen. Um (iii) zu beweisen,
betrachten wir die linearen Darstellungen G × ( A/m d+1) ∗
→
(
A/m
d+1 ) ∗
, die
man aus

122 5 Algebraische Gruppen
dualisieren
A/m d+1
A/m d+1 ⊗ K A
G × ( A/m d+1) ∗ (
) A/m
d+1 ∗
dualisieren
( ) A/m
d+1 ∗ (
) A/m
d+1 ∗
⊗K A G × ( A/m d+1) ∗∗ (
) A/m
d+1 ∗∗
bekommt.
⊓⊔
Bemerkung 5.3.20. Wir greifen die Situation von Proposition 5.3.17 auf. Weil
m ⊆ A eine Unterdarstellung ist, ist die Lie-Algebra g = (m/m 2 ) ∗ ⊆ H(G) invariant
unter den Darstellungen
G × H(G) → H(G) und H(G) → H(G) ⊗ K A.
Die Darstellungen G × g → g und g → g ⊗ K A heißen (beide) die adjungierte
Darstellung. Die duale Darstellung G × g ∗ → g ∗ heißt die koadjungierte Darstellung.
Lemma 5.3.21. Sei ρ : G → GL(V ) ein algebraischer Homomorphismus. Dann ist
der Ringhomomorphismus (vergleiche Lemma 5.3.13)
˜ρ : H(G) → End K (V )
G-äquivariant, wobei G auf End K (V ) durch (g, T ) ↦→ ρ(g) ◦ T ◦ ρ(g) −1 wirkt.
Beweis. Siehe Übung 5.5.23.
⊓⊔
1
Beispiel 5.3.22. Für G = GL n (K) ist A = K[G] = K[X ij ,
det X ] und g = gl n(K)
wird als K-Vektorraum von den Matrizen
E ij =
∂
[
| X=1n : K
∂X ij
X ij ,
1
]
→ K
det X
↑ 7.1.2013 ↑
erzeugt, wobei man die Matrizen E ij ∈ Mat(n × n, K) mit den zugehörigen ”
Richtungsableitungen“
identifiziert. Das heißt gl n (K) = Mat(n×n, K). Die Lie-Klammer
auf gl n (K) ist durch [A, B] = AB − BA gegeben. Die adjungierte Wirkung ist
(g, X) ↦→ gXg −1 .
Bemerkung 5.3.23 (Einschub zur Berechnung von Tangentialräumen). Sei
T x M eine affine K-Varietät mit Koordinatenalgebra K[M] und K[ϵ]) die Algebra der
dualen Zahlen, die durch ϵ := t + (t 2 ) ∈ K[t]/(t 2 )0 :=: K[ϵ] definiert ist. Dann gilt
(m x /m 2 x) ∗ ∼ = {τ ∈ HomK−Alg (K[M], K[ϵ]) | τ(m x ) ⊆ (ϵ)}
{ ∣
∼= v ∈ K n ∣∣ ∀h ∈ I(M) ✂ K[X1 , . . . , X n ] = K[A n k] :
n∑
j=1
v j
∂h
}
(x) = 0 ,
∂X j
wobei die zweite Isomorphie eine Einbettung M ↩→ A n k
voraussetzt (vergleiche Abschnitt
3.3). Wir erläutern die erste Isomorphie im Detail: Wenn α ∈ (m X /m 2 X )∗
betrachten wir die K-lineare Abbildung τ : K[M] → K[t]/(t 2 ) = K[ε], die durch
m X ∋ a ↦→ ˜α(a)t + (t 2 ) ∈ (ϵ) und 1 ↦→ 1 + (t 2 ) festgelegt wird. Sie erfüllt
τ((λ + a)(µ + b)) = τ(λµ + λb + µa + ab
= λµ + (λα(b) + µα(a))t + (t 2 )
= (λ + α(a)t + (t 2 ))(µ + α(b)t + (t 2 ))
= τ(λ + a) τ(µ + b),

5.3 Tangentialräume affiner algebraischer Gruppen 123
also ist τ ein K-Algebrenhomomorphismus. Umgekehrt, lässt sich α aus τ rekonstruieren:
Wegen τ(a) ∈ ϵ gilt
α(a + m 2 x) = τ(a)
t
+ (t) ∈ K[t]/(t) = K.
Der Zusammenhang mit den Begriffsbildungen aus Abschnitt 3.3 ergibt sich für
jedes v ∈ K n , das
∑ ∂h
∀h ∈ I(M) : vj (x) = 0 (5.4)
∂X j
erfüllt, durch die Abbildung
˜τ : K[M] → K[ε], h ↦→ h(x) + ϵ ∑ v j
∂h
∂X j
(x),
die wegen (5.4) zu einem K-Algebrenhomomorphismus τ : K[M] → K[ϵ] mit τ(m x ) ⊆
(ϵ) faktorisiert. Für die Wohldefiniertheit braucht man (5.4), weil aus K[M] =
K[X 1 , . . . , X n ]/I(M) folgt ˜τ(I(M)) = {0}. Für die Homomorphieeigenschaften
rechnen wir
τ(h 1 h 2 ) = (h 1 h 2 )(x) + ϵ ∑ ∂(h 1 h 2 )
v j (x)
∂X j
= h 1 (x)h 2 (x) + ϵ ∑ (
∂h 2
v j h(x) 1
(x) + h 2 (x) ∂h )
1
(x)
∂X j ∂X j
(
n∑ )(
)
= h 1 (x) + ϵ
= τ(h 1 )τ(h 2 ).
j=1
v j
∂h 1
∂X j
(x)
h − 2 + ϵ ∑ v j
∂h 2
∂X j
(x)
Die Inklusion τ(m x ) ⊆ (ϵ) klar, da für h ∈ m x gilt h(x) = 0, also τ(h) = ϵ·. . . ∈ (ϵ)].
Als Ergebnis erhalten wir
T x M = {v ∈ K n | ∀h ∈ I(M) : h(x + ϵv) = h(x)}.
Man beachte dabei: Wenn τ : K[M] → K[ϵ] die Inklusion τ(m X ) ⊆ (ϵ) erfüllt und
von einem v kommt, dann gilt für f = X j , dass τ(f) = X j + ϵv j . Also setzt man
für ein allgemeines τ:
v j := τ(X j + I(M))
− X j .
ϵ
Beispiel 5.3.24. In der Situation von Bemerkung 5.3.23 wählen wir M = G =
SL n (k) = {g ∈ Mat(n × n, K) | det(g) = 1}. Dann ist I(M) = (det(X) − 1), wobei
⎛
und
g = sl n (K) = T 1 (M)
X =
⎜
⎝
⎞
X 11 . . . X 1n
. .
X n1 . . . X nn
⎟
⎠ ,
= {xi ∈ Mat(nxn, K) | ∀h ∈ (det(x) − 1) : h(1 + ϵξ) = h(1) = 0}
= {ξ | det(1 + ϵξ) − 1 = 0}.
Wegen det(1 + ϵξ) = det(1) + ϵ tr(ξ) (alle weiteren Terme fallen wegen ϵ 2 = 0 weg!)
erhalten wir sl n (K) = {ξ ∈ Mat(n × n, k) | tr(ξ) = 0}.

124 5 Algebraische Gruppen
Beispiel 5.3.25. Wir greifen das Beispiel 5.3.22 nochmal auf und behandeln es im
Lichte von Bemerkung 5.3.23 mit
M = GL n (K) = {(x, t) ∈ Mat(n × n, K) × K | t det(x) = 1}
und I(M) = (T det(X) − 1). Dann gilt
weil
g = gl n (K) = T (1,1) M = {(ξ, s) | h(1, 1) + ϵ(ξ, s) = 0}
= {(ξ, −T rξ) | ξ ∈ Mat(n × n, K)},
h(1, 1) + ϵ(ξ, s) = (1 + ϵξ, 1 + ϵs) = (1 + ϵs) det(1 + ϵξ) − 1
= (1 + ϵs)(1 + ϵ tr ξ) − 1 = ϵ(s + tr ξ).
Wir wollen für eine affine algebraische Varietät M und eine algebraische Wirkung
M × G → M die Frage studieren, wie K[M] G aussieht. Konkret werden wir
ein Resultat von David Hilbert beweisen, das garantiert, dass K[M] G eine endlich
erzeugte K-Algebra ist, falls G linear reduktiv ist.
Definition 5.3.26. Sei G sei affine algebraische Gruppe mit Lie-Algebra g =
Lie(G) und κ: g × g → K eine nicht ausgeartete Bilinearform, die invariant unter
der adjungierten Wirkung ist, das heißt
∀X, Y ∈ g, g ∈ G : κ(Ad(g)X, Ad(g)Y ) = κ(X, Y )
erfüllt. Sei X 1 , . . . , X n eine Basis für g und X ′ 1, . . . , X ′ n die bezüglich κ duale Basis
für g. Das bedeutet, es gilt K(X i , X ′ j ) = δ ij. Das Casimir-Element von G bezüglich
κ ist durch
Ω := X 1 ∗ X ′ 1 + . . . + X n ∗ X ′ n ∈ H(G)
definiert.
Proposition 5.3.27. Ω hängt nicht von der Wahl der Basis ab.
Beweis. Sei Y 1 , . . . , Y n eine weitere Basis für g und Y ′
1, . . . , Y ′ n die dazu duale Basis
bezüglich κ. Für die Übergangsmatrizen A und A ′ zwischen diesen Basen gilt
Y i =
n∑
j=1
also A ′ = (A ⊤ ) −1 . Damit rechnet man
∑
i
Y i ∗ Y ′
i = ∑ i,j
a ij X j und Y ′
i = ∑ a ′ ijX ′ j,
a ij X j ∗ Y ′
i = ∑ i,j,k
a ij a ′ ikX j ∗ X ′ k
= ∑ j,k
δ j,k X j ∗ X ′ k
= ∑ j
X j ∗ X ′ j.
↑ 11.1.2013 ↑
⊓⊔
Korollar 5.3.28. Das Casimir-Element Ω ∈ H(G) ist G-invariant bezüglich der
adjungierten Wirkung.

5.4 Hilberts Endlichkeitssatz 125
Beweis. Sei X 1 , . . . , X n eine Basis für g, X ′ 1, . . . , X ′ n duale Basis für g bezüglich κ
und g ∈ G. Dann ist auch Ad(g)X 1 , . . . , Ad(g)X n eine Basis für g. Außerdem ist
Ad(g)X ′ 1, . . . , Ad(g)X ′ n die duale Basis für g bezüglich κ, weil κ : g × g → K nach
Voraussetzung Ad(g)-invariant ist:
κ(Ad(g)X i , Ad(g)X ′ j) = κ(X i , X ′ j) = δ ij .
Aber dann finden wir
Ad(g)(Ω) = Ad(g)(
n∑
X i ∗ X i)
′
i=1
5.3.13
=
Ringhomom.
n∑
(Ad(g)(X i ) ∗ Ad(g)X i) ′ 5.3.27
= Ω.
i=1
⊓⊔
Proposition 5.3.29. Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine affine algebraische Gruppe
und µ V : V → V ⊗ A eine algebraische Darstellung. Dann ist der Raum V G der
G-Invarianten enthalten in ker(˜ρ(Ω)), wobei ˜ρ: H(G) → End K (V ) der zu µ V
gehörige Ringhomomorphismus (vergleiche Lemma 5.3.13) ist. Man nennt ˜ρ(Ω) den
Casimir-Operator der Darstellung.
Beweis. Wegen ˜ρ(Ω) = ∑ ˜ρ(X i )˜ρ(X i ) reicht es zu zeigen, dass V G ⊆ ker(˜ρ(g)). Sei
dazu α ∈ g = ( m/m 2) ∗
. Wir können α als Derivation auf A betrachten, die auf 1
verschwindet. Nach Definition gilt v ∈ V G genau dann, wenn µ V (v) = v ⊗ 1, und
in diesem Fall haben wir id V ⊗ α(v ⊗ 1) = v ⊗ α(1) = 0, das heißt ˜ρ(α)(v) = 0. ⊓⊔
5.4 Hilberts Endlichkeitssatz
Definition 5.4.1. Eine (affine) algebraische Gruppe G heißt linear reduktiv,
wenn für jede surjektive G-äquivariante K-lineare Abbildung ϕ: V → W zwischen
zwei algebraischen Darstellungen gilt ϕ G = ϕ| V G : V G → W G ist surjektiv.
Proposition 5.4.2. Folgende Bedingungen sind für eine affine algebraische Gruppe
G äquivalent:
(1) G ist linear reduktiv.
(2) Für alle V ϕ → W wie in Definition 5.4.1 mit dim V, dim W < ∞ ist ϕ G : V G →
W G surjektiv.
(3) Wenn V eine endlich dimensionale algebraische G-Darstellung ist und v ∈ V
U ⊆ V eine Unterdarstellung ist, dann gilt für v + U ∈ (V/U) G , dass (v + U) ∩
V G ≠ ∅.
Beweis. Die Implikation (1) ⇒ (2)“ ist trivial. Für (2) ⇒ (3)“ betrachten wir eine
” ”
endlich dimensionale Unterdarstellung U ⊆ V und betrachten die G-äquivariante
Quotientenabbildung V → ϕ V/U. Wenn v + U ∈ (V/U) G , dann folgt aus (2), dass
es ein v ′ ∈ V G mit ϕ(v ′ ) = v + U existiert. Aber dann ist v ′ ∈ V G ∩ (v + U).
Um (3) ⇒ (1)“ zu zeigen stellen zunächst fest, dass nach Proposition 5.2.9
”
V lokal endlich dimensional ist, das heißt, für jedes w ∈ W G und v ∈ V mit
ϕ(v) = w gibt es einen endlichdimensionalen G-invarianten Unterraum V 0 ≤ V
mit v ∈ V 0 . Dann ist ϕ 0 = ϕ| V0 : V 0 → ϕ(V 0 ) surjektiv und G-äquivariant. Also gilt
w ∈ ϕ(V 0 ) G ∼ = (V 0 / ker ϕ 0 ) G und (3) liefert die Existenz eines v 0 ∈ V0 G ∩(v +ker ϕ 0 ).
Aber dann gilt v 0 ∈ V G und ϕ(v 0 ) = w.
⊓⊔
Proposition 5.4.3. Jede endliche Gruppe ist linear reduktiv.

126 5 Algebraische Gruppen
Beweis. Sei V eine endlich dimensionale algebraische G-Darstellung und U ≤ V
eine Unterdarstellung. Für v + U ∈ (V/U) G setzen wir v ′ = 1 ∑
g∈G g · v ∈ V G .
∑
g∈G hg · v = v′ , weil mit g auch hg ganz G durchläuft. wegen
Dann gilt hv ′ = 1
|G|
v + U = g · (v + U) = g · v + U haben wir
v ′ − v = 1
|G|
∑
(g · v − v) ∈ U.
Daraus folgt v ′ ∈ V G ∩ (v + U) und mit Proposition 5.4.2 die Behauptung.
g∈G
Proposition 5.4.4. Die multiplikative Gruppe G m ist linear reduktiv.
Beweis. Sei V eine endlich dimensionale algebraische Darstellung und U ≤ V eine
Unterdarstellung. Wir betrachten die Gewichtsraumzerlegung V = ⊕ k∈Z V (k).
Dann gilt V Gm = V (0) und U = ⊕ U∈Z U (k) mit U (U) ⊆ V (U) . Wenn v + U ∈
(V/U) G m
für v = ∑ k∈Z v k mit v k ∈ V (U) gilt, das heißt g · v − v ∈ U für alle
g ∈ G m = K × , dann gilt g · v − v ∈ U, weil v + U = g · (v + U) = g · v + U. Mit
g · v (k) = g k v (k) rechnen wir
g · v − v = ∑ k∈Z
|G|
(g · v (k) − v (k) ) = ∑ k∈Z(g k − 1)v (k) ∈ U.
⊓⊔
Also gilt für alle k ≠ 0, dass v (k) ∈ U (k) , und daher v − v (0) ∈ U. Dies liefert
v (0) ∈ V G ∩ (v + U) und mit Proposition 5.4.2 ergibt sich, dass G m linear reduktiv
ist.
⊓⊔
Proposition 5.4.5. (i) Direkte Produkte endlich vieler linear reduktiver Gruppen
sind linear reduktiv.
(ii) Wenn G linear reduktiv ist und H ✂ G ein Normalteiler. Dann ist G/H linear
reduktiv.
(iii) Wenn H ✂ G ein Normalteiler ist, und H sowie G/H linear reduktiv sind, dann
ist auch G linear reduktiv.
Beweis. (i) G = ∏ j G j und V eine endlichdimensionale algebraische G-Darstellung.
Für eine Unterdarstellung U ≤ V gelte v + U ∈ (V/U) G ⊆ (V/U) Gj . Dann liefert
Proposition 5.4.2, angewandt auf die linear reduktive Gruppe G j , dass es
ein v j ∈ V Gj ∩ (v + U) gibt. Dies impliziert v ∈ ∩ j (V Gj + U).
Behauptung: V Gj ist G-invariant für jedes j.
Um das einzusehen, stellen wir zunächst fest, dass G j trivial auf V Gj wirkt und
für i ≠ j gilt
∀g i ∈ G i , g j ∈ G j : g i g j = g j g i .
Wenn also w ∈ V G j
, dann haben wir g j (g i w) = g i (g j w) = g i w, also g i w ∈ V G j
.
Damit ist V G j
invariant unter allen G i und das zeigt die Behauptung.
Es gilt
v + U ∈ (V G1 + U/U) ∩ (V/U) G2
⊆ (V G1 + U/U) G2
≤ (V/U) G2 .
} {{ }
∼ =(V G 1 /V G 1 ∩U) G 2
Proposition 5.4.2, angewandt auf die linear reduktive Gruppe G 2 und ihre algebraische
Darstellung auf V G 1
liefert ein v 2 ′ ∈ (V G 1
) G 2
= V G 1G 2
= V G 1
∩ V G 2
mit v 2 ′ − v ∈ U ∩ V G1 , das heißt v + U ∈ (V G1G2 + U)/U. Jetzt iteriert
man das Argument und findet v + U ∈ (V G 1G 2 G 3
+ U)/U. Induktion liefert
v + U ∈ (V G + U)/U und damit zeigt Proposition 5.4.2, das G linear reduktiv
ist.

5.4 Hilberts Endlichkeitssatz 127
(ii) V trage eine algebraische Darstellung der Quotientengruppe G/H und U ≤ V
sei eine Unterdarstellung. Dann trägt V auch eine algebraische Darstellung von
G bezüglich der H trivial wirkt. Insbesondere ist dann U ≤ V auch eine G-
Unterdarstellung. Für v + U ∈ (V/U) G/H = (V/U) G liefert Proposition 5.4.2,
angewandt auf G ein v ′ ∈ V G ∩(v +U) = V G/H ∩(v +U), und das zeigt, wieder
mit Proposition 5.4.2, diesmal aber angewandt auf G/H, die Behauptung.
(iii) Wenn V −→ ϕ
W eine G-äquivariante surjektiv K-lineare Abbildung ist, dann ist
die Einschränkung V H
ϕH
−→ W H surjektiv, weil H linear reduktiv ist.
Behauptung: V H und W H sind G-invariant (und damit G/H-invariant).
Um das einzusehen, rechnen wir für v ∈ V H , g ∈ G und h ∈ H
h(g · v) = g
(g −1 hg ·v) = g · v.
} {{ }
∈H Normalteiler
Mit der Behauptung liefert die lineare Reduktivität von G/H, dass die Abbildung
V G = (V H ) G/H −→ (W H ) G/H = W G surjektiv ist. Also ist G reduktiv.
⊓⊔
Bemerkung 5.4.6. Aus Proposition 5.4.5 ergibt sich in natürlicher Weise die Frage:
Wenn G linear reduktiv ist und H ✂G, ist dann H linear reduktiv? Die Antwort
darauf ist ”
ja“, erfordert aber eine zusätzliche Konstruktion, die hier nur angedeutet
werden soll: Sei V sei eine endlich dimensionale H-Darstellung. Dann setzt man
↑ 14.1.2013 ↑
Ṽ := {f : G−→
alg.
V | ∀x ∈ G, h ∈ H : f(xh) = h −1 · f(x)}.
Auf Ṽ definiert (g·f)(x) = f(g−1 x) eine algebraische (das ist zu prüfen!) Darstellung
von G. Für die G-Invarianten gilt dann
˜G = {G f →| ∀g, x ∈ G∀h ∈ H : f(g −1 xh) = h −1 · f(x)}
= {v ∈ V | ∀h ∈ H : h −1 · v = v} = V H ,
wobei die v ∈ V als konstante Funktionen betrachtet werden. Für eine H-
äquivariante Abbildung φ: V → W definiert
˜φ: Ṽ → ˜W ,
f ↦→ φ ◦ f
eine G-äquivariante Abbildung. Sie ist wegen
(φ ◦ f)(xh) = φ(f(xh)) = φ(h −1 · f(x)) H−äquiv.
= h −1 · φ(f(x)) = h −1 · ˜φ(f)(x))
wohldefiniert. Wenn φ surjektiv ist, dann lässt sich zeigen, dass auch ˜φ surjektiv ist.
Weil G linear reduktiv ist, folgt dann die Surjektivität von V H = Ṽ G −→ ˜φ ˜W G =
W H und damit die lineare Reduktivität von H.
Beispiel 5.4.7. Die additive Gruppe G a ist nicht linear reduktiv. Wir betrachten
dazu den Homomorphismus
( ) 1 t
G a → GL 2 (K), t ↦→
0 1
Mit V := K[X 1 , X 2 ] und W := K[X 1 , X 2 ]/(X 2 ) = K[X 1 ], der Wirkungen (t ·
f)(X 1 , X 2 ) = f(X 1 − tX 2 , X 2 ) auf V und der trivialen Wirkung auf W finden
wir V Ga = K[X 2 ] und W Ga = W . Die Abbildung V Ga → W Ga ist aber die Nullabbildung,
also insbesondere nicht surjektiv.

128 5 Algebraische Gruppen
Insbesondere für den folgenden Satz sein in Erinnerung gerufen, dass wir
charK = 0 vorausgesetzt haben.
Satz 5.4.8. Die Gruppe SL n (K) ist linear reduktiv (damit ist wegen Proposition
5.4.5 auch GL n (K) linear reduktiv, weil die endliche Gruppe GL n (K)/SL n (K)
linear reduktive ist).
Zur Vorbereitung des Beweises von Satz 5.4.8 betrachten wir für einen endlichdimensionalen
K-Vektorraum V die Spurform
κ : End K (V ) × End K (V ) → K,
(ϕ, ψ) ↦→ tr(ϕψ).
Sie ist nicht ausgeartet (Übung) und symmetrisch. Mit κ(ϕ) := κ(ϕ, ϕ) gilt
∀g ∈ GL(V ), ∀ϕ ∈ End K (V ) :
κ(gϕg −1 ) = κ(ϕ).
Lemma 5.4.9. Die eingeschränkte Form κ| sl(V )×sl(V ) , wobei sl(V ) := {ϕ ∈ End K (V ) |
tr(ϕ) = 0} ist nicht-ausgeartet.
Beweis. Das κ-orthogonale Komplement von sl(V ) in End K (V ) ist sl(V ) ⊥ κ
= K·id V
(Übung). Aber dann gilt sl(V ) ∩ sl(V ) ⊥ = {0}, was nach einem Standardkriterium
zur Einschränkung nicht-ausgearteter bilinearer Formen die Behauptung beweist.
⊓⊔
Jetzt können wir mit κ ein Casimir-Element Ω auf sl(V ) bilden.
Beispiel 5.4.10 (Casimir für SL(V ) bezüglich κ). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit
können wir annehmen, dass V = k n . Wir betrachten die Standardbasis
der E ij mit i, j = 1, . . . , n für Mat(n × n, K), die in der ij-ten Position eine 1 und
sonst nur Nullen hat. Dann setzen wir F ij := E ⊤ ij und H i := E ii − E i+1,i+1 . Dann
sind
{E ij } i

5.4 Hilberts Endlichkeitssatz 129
↑ 18.1.2013 ↑
(3) tr(˜ρ(Ω)) = 0.
Beweis. Die Implikationen (1) ⇒ (2)“ und (2) ⇒ (3)“ sind klar. Es bleib also nur
” ”
” (3) ⇒ (1)“ zu zeigen. Dazu betrachten wir Gruppe T ∼ = G n−1
m der Diagonalmatrizen
in SL n (K) und seine Lie-Algebra t := Lie(T ), die aus den Diagonalmatrizen in
sl n (K) besteht. Wenn B := A/I = K[T ] die Koordinatenalgebra von T ist, dann
ist die Einschränkung von V auf T durch V → V ⊗ K A → V ⊗ K B gegeben. Nach
Proposition 5.2.24 lässt sie sich in Gewichtsräume V = ⊕ κ∈X(T ) V κ zerlegen. Man
beachte, dass K[T ] ⊆ K[X 1 , . . . , X n , X1 −1 , . . . , X−1 n ] und χ ∈ k[T ]. Wir betrachten:
χ = X α mit α = (α 1 , . . . , α n ) und finden so eine eindimensionale Darstellung K −→
χ
K ⊗ K K[T ] = K[T ], die insbesondere ein K-Algebrenhomomorphismus ist, der durch
den Wert an der Stelle 1 festgelegt wird. Sei jetzt h ∈ t ⊆ g = ( m/m 2) ∗
⊆ K[T ]
∗
interpretiert als Abbildung
K[T ] → K, f ↦→ ∑ h j
∂f
∂X j
(1).
Dann gilt
und wir finden die Gleichung
( ∑
n
˜χ(h) V = (id Vχ ⊗ h)(v ⊗ χ) = h(χ)v = α j h j
)v
tr(˜ρ(h) 2 ) = ∑
χ=X α dim(V χ )(
j=1
n∑
α j h j ) 2 ,
die als Gleichung in Q lesbar ist (wegen charK = 0). Wenn jetzt für n − 1 über Q
linear unabhängigen Elementen h ∈ t gilt tr(˜ρ(h) 2 = 0, dann folgt V χ = {0} für alle
˜χ ≠ 0. Also hat V nur einen Gewichtsraum, nämlich V 0 . Damit ist ρ| T trivial, und
somit sind wegen (ρ(g −1 tg) = ρ(g −1 )ρ(t)g(g) = id auch alle ˜ρ| g −1
∪
T g trivial. Da aber
g∈SL n(K) g−1 T g in SL n (K) dicht ist (betrachte die Jordan-Normalform der Elemente
und addiere kleine ϵ’s auf Diagonale um paarweise verschiedene Eigenwerte
zu erzeugen, die die Diagonalisierbarkeit garantieren), ist auch ρ selbst trivial. Als
Ergebnis erhalten wir: Wenn tr(˜ρ(h) 2 ) = 0 für alle h ∈ t, dann ist ρ trivial.
Wir machen eine vorläufige Rechnung für n = 2, in der die zweite Gleichheit
noch zu klären ist:
Ω = ˜ρ
(E ∗ F + F ∗ E + 1 )
2 H ∗ H
?
= ˜ρ
(EF + F E + 1 2 H2)
( ( ) ( )
0 1 0 0 ) ( ( ) ( )
0 0 0 1 )
= ˜ρ
+ ˜ρ
+ 1 ( ( )
2 ˜ρ 1 0 )
0 0 1 0
( ( )
1 0
= ˜ρ ) +
0 0
= 3 ( ( )
2 ˜ρ 1 0 )
0 1
= 3 2 ˜ρ(H2 ).
( 0 0
0 1
)
+ 1 2
j=1
1 0 0 0
( ) 1 0 )
0 1
Sobald man diese Rechnung gerechtfertigt hat, liest man aus ihr ab, dass tr (˜ρ(H) 2) =
tr ( 3
2 ˜ρ(Ω)) = 0. Für die Rechtfertigung der Rechnung beachten wir, dass man die
Darstellung ρ von SL n (K) zu einer Darstellung von GL n (K) (wieder durch ρ bezeichnet)
fortsetzen kann, weil
0 1

130 5 Algebraische Gruppen
SL n (K) ∩ K · 1 n = {ξ1 n | ξ n = 1} ⊆ T,
das heißt, wir können ρ(ξ1) = ξ id V ∗ für ξ ∈ K × setzen. Wenn i: SL n (K) → GL n (K)
die Inklusion ist, dann interpretieren wir i als Darstellung auf K n und haben ρ = ρ◦i.
Beim Übergang zu den Distributionenalgebren finden wir
˜ρ(a ∗ b) = ˜ρ ◦ ĩ(a ∗ b) = ˜ρ ( ĩ(a)ĩ(b) ) = ˜ρ ( ab )
für a, b ∈ sl n (K) ⊆ H ( SL n (K) ) . Diese Gleichung die Rechnung für n = 2, und für
allgemeines n können wir rechnen
( ∑
(
˜ρ(Ω) = ˜ρ E ij F ij + F ij E ij + 1 − 1 ) )1 n
n
i

✤
5.4 Hilberts Endlichkeitssatz 131
Beweis. (von Satz 5.4.8 Sei V sei eine endlich dimensionale algebraische Darstellung
von SL n (K) und C V := ˜ρ(Ω) ∈ End K (V ) der zugehörige Casimir-Operator. Das
charakteristische Polynom χ V (X) = det(X id V −C V ) von C V ist mit N := dim K V
durch
χ V (X) = det(X id V −C V ) = X N + c 1 X N−1 + . . . + c N −mX M
gegeben, wobei c N −m ≠ 0 gilt. Wir setzen
P (X) :=
1
c N−m X m χ V (X) = XN−m
c N−m
+ . . . + 1
und betrachten P (C V ). Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt χ V (C V ) = 0, also
haben wir C m V P (C V ) = 0 und somit
im ( P (C V ) ) ⊆ ker C m V
5.4.12
⊆
V SL n(k)
Sei jetzt U eine Unterdarstellung von V und v + U ∈ (V/U) SLn(k) . Dann ist U
invariant unter C V und es gilt C V (v + U) ⊆ U. Also gilt C V v ∈ U und für v ′ :=
P (C V )v erhalten wir v ′ − v ∈ U. Zusammen ergibt sich v ′ ∈ V SLn(K) ∩ (v + U),
sodass nach Proposition 5.4.2 die Gruppe SL n (K) linear reduktiv ist.
⊓⊔
Satz 5.4.13 (Hilbert). Sei (G = Spm(A), µ, ϵ, ι) eine linear reduktive algebraische
Gruppe über K und K[X 1 , . . . , X n ] → K[X 1 , . . . , X n ] ⊗ A eine algebraische
Darstellung, die sowohl die Graduierung als auch das Produkt erhält. Dann ist
K[X 1 , . . . , X n ] G endlich erzeugt.
↑ 21.1.2013 ↑
Beweis. Wir setzen S := K[X 1 , . . . , X n ] und betrachten es als graduierten Ring
S G = ⊕ l≥0 (SG ∩ S l ). Sei S+
G := ⊕ l>0 (SG ∩ S l ) der K-Spann aller Invarianten
vom Grad größer als 0 und J := (S+) G ✂ S das von S+ G in S erzeugte Ideal. Weil S
noethersch ist, wird J von endlich vielen Elementen f 1 , . . . , f N ∈ S+ G erzeugt. Also
ist der S-Modul-Homomorphismus
ϕ: S ⊕ . . . ⊕ S → J,
} {{ }
N Kopien
N∑
(h 1 , . . . , h N ) ↦→ h j f j
j=1
surjektiv.
Behauptung: S G wird von den f j erzeugt.
Um das zu zeigen, betrachten wir ein homogenes Element h ∈ S G und zeigen mit
Induktion (über deg h), dass h ∈ K[f 1 , . . . , f N ]. Das beweist dann die Behauptung,
weil S G direkte Summe seiner homogenen Bestandteile ist. Der Induktionsanfang
mit deg h = 0 ist klar, weil ein konstantes h in K liegt. Für deg h > 0 gilt h ∈ S G + ⊆
J G . Die Gruppe G wirkt diagonal auf S ⊕ . . . ⊕ S, und bezüglich dieser Wirkung
ist ϕ eine G-äquivariante Abbildung, wie man an folgendem Diagramm sieht:
(h 1 , . . . , h N )
❴
ϕ
∑ n
j=1 h jf j
✤
g
g
(g · h 1 , . . . , g · h N )
❴
ϕ
∑ N
j=1 (g · h j)f j
∗
∑ N
j=1 g · (h jf j )

132 5 Algebraische Gruppen
Dabei gilt die Gleichheit ∗, weil die Darstellung Produkt und Graduierung erhält:
g · (h j f j ) = (g · h j )(g · f j ) = (g · h j ) f j . Wegen der linearen Reduktivität von G
ist dann ϕ: S G ⊕ . . . ⊕ S G → J G surjektiv, das heißt es gibt h ′ 1, . . . , h ′ N ∈ SG
mit h = ϕ(h ′ 1, . . . , h ′ N ) = ∑ N
j=1 h′ j f j. Wegen deg f j > 0 haben wir deg h ′ j < deg h.
Also zeigt Induktion, dass h ′ j ∈ K[f 1, . . . , f N ], woraus dann sofort h ∈ K[f 1 , . . . , f N ]
folgt.
⊓⊔
Lemma 5.4.14. Sei G = Spm A eine affine algebraische Gruppe, R endlich erzeugte
K-Algebra und R → R ⊗ K A algebraische Darstellung. Dann gibt es Erzeuger
r 1 , . . . , r N ∈ R für R, für die der lineare K-Spann ⟨r 1 , . . . , r N ⟩ K-VR ⊆ R eine G-
Unterdarstellung ist.
Beweis. Seien s 1 , . . . , s M Erzeuger für R, dann gibt es nach Lemma 5.3.6 endlichdimensionale
G-invariante K-Vektorräume V 1 , . . . , V M mit s j ∈ V j . Aber dann ist die
Summe V := ∑ M
j=1 V j ebenfalls endlich dimensional und G-invariant. Jetzt ergänzt
man s 1 , . . . , s M zu einem Erzeugendensystem von V .
⊓⊔
Satz 5.4.15. Sei G eine linear reduktive algebraische Gruppe und R eine endlich
erzeugte K-Algebra, auf der G algebraisch und durch K-Algebrenisomorphismen dargestellt
wird. Dann ist R G endlich erzeugt.
Beweis. Wir wähle Erzeuger r 1 , . . . , r N für R wie in Lemma 5.4.14. Sei V =
⟨r 1 , . . . , r N ⟩ K-VR , dann hat man nach Lemma 5.4.14 auf V eine lineare G-Darstellung,
die durch ein Formel der Bauart
G → GL N (K), g ↦→ (a ij )
gegeben ist, wobei g · r j = ∑ N
i=1 a ijr i darstellende Matrix (a ij ) definiert. Sei jetzt
S = K[X 1 , . . . , X N ]. Wir betrachten auf S folgende G-Wirkung:
(g · f) := ∑
α∈N N 0
( ∑
N ) α1
( ∑
N ) αN
c α a i1 X i · . . . · a iN X i
i=1
i=1
↑ 28.1.2013 ↑
für f = ∑ α∈N
c
0
N α X α1
1 · . . . · X α N
N
. Diese Wirkung erfüllt die Voraussetzungen von
Satz 5.4.13. Also ist der K-Algebrenhomomorphismus ϕ: S → R, der durch X j ↦→ r j
definiert wird und ∑ c α X α auf ∑ c α r α abbildet, G äquivariant und surjektiv. Weil
G linear reduktiv ist, ist dann auch ϕ: S G → R G surjektiv, und weil nach Satz 5.4.13
die K-Algebra S G endlich erzeugt ist, gilt das auch für R G .
⊓⊔
Am 1.2.2013 gab es einen Ausblick auf weiterführende Resultate und
Fragestellungen in der algebraischen Geometrie.
5.5 Übungen zu Kapitel 5
Übung 5.5.1. Sei (G = Spm(A), µ, ε, ι) eine affine algebraische Gruppe im Sinne von Definition
5.1.1 und R eine K-Algebra. Zeige, dass G(R) bezüglich der Multiplikation
Hom K (A, R) × Hom K (A, R) → Hom K (A, R), (g, h) ↦→ (g ⊗ h) ◦ µ
eine Gruppe ist. Dabei ist g ⊗ h: A ⊗ K A → R durch (g ⊗ h)(a 1 ⊗ a 2) = g(a 1) h(a 2) und
K-lineare Fortsetzung definiert.
Übung 5.5.2 (Inverser Limes). Sei I eine Indexmenge mit einer Präordnung ≤ (d.h.
reflexiv und transitiv), die gerichtet ist (d.h. zu n, m ∈ I gibt es l ∈ I mit n ≤ l und
m ≤ l). Wir nennen (I, ≤) dann eine gerichtete Menge. Sei jetzt (X n ) n∈I eine durch I
parametrisierte Familie von Mengen und für n ≥ m in I seien Abbildungen π n m : X n → X m
gegeben, die folgende Eigenschaften Erfüllen:

5.5 Übungen zu Kapitel 5 133
(a) ∀ n ∈ I : π n n = id Xn .
(b) Wenn n ≥ m ≥ l in I, dann gilt π m l ◦ π n m = π n l .
Dann heißt (X n, πm) n ein inverses oder projektives System. Die Menge
{
lim
←− Xn := (x n) n∈I ∈ ∏ ∣ }
∣∣
X n ∀ n ≥ m : π
n
m (x n) = x m
n∈I
heißt der inverse oder projektive Limes des Systems. Zeige:
(i) Wenn die X n alle Gruppen (Ringe, K-Vektorräume, K-Algebren) und die πm n alle
Homomorphismen sind, dann ist auch limX ←− n eine Gruppe (Ring, K-Vektorraum, K-
Algebra).
(ii) Wenn A ein kommutativer Ring ist und M n := A[X]/(X n ) für n ∈ N, dann ist
(M n ) n∈N zusammen mit den Abbildungen
π n m : A[X]/(X n ) → A[X]/(X m ), f + (X n ) ↦→ f + (X m )
ein inverses System von Ringen.
(iii) lim ←−
M n ist als Ring isomorph zum Ring der formalen Potenzreihen A[[X]] über A.
Übung 5.5.3. Sei G eine endliche Gruppe, K ein algebraisch abgeschlossener Körper und
K[G] die Gruppenalgebra von G (siehe Beispiel 5.1.4). Setze A := Hom K-VR (K[G], K) und
statte A mit der punktweisen Addition und der punktweisen Multiplikation aus. Zeige:
(i) A ist eine endlich erzeugte K-Algebra.
(ii) A⊗ K A ist als K-Algebra isomorph zu Hom K-VR (K[G]× K K[G], K) mit den punktweisen
Operationen.
(iii) Sei m: K[G] × K[G] → K[G] die Multiplikation von K[G] und i: K[G] → K[G] die
K-lineare Abbildung mit i(δ g) = δ g −1. Dann ist (Spm(A), µ, ε, ι) mit
(a) µ: A → A ⊗ K A, a ↦→ a ◦ m
(b) ε: A → K, a ↦→ a(δ 1 )
(c) ι: A → A, a ↦→ a ◦ i
eine affine algebraische Gruppe.
Übung 5.5.4. Sei G = Z/nZ und R eine K-Algebra. Bestimme die Gruppe SpmA(R),
wobei wie in Übung 5.5.3 die Algebra A durch Hom K-VR (K[G], K) mit der punktweisen
Addition und der punktweisen Multiplikation gegeben ist (vgl. Übung 5.5.1).
Übung 5.5.5. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und A := K[X]. Zeige:
Spm(A) = A 1 K ist bzgl. der Abbildungen
(M) µ: A → A ⊗ K A, X ↦→ X ⊗ 1 + 1 ⊗ X,
(E) ε: A → K, X ↦→ 0,
(I) ι : A → A, X ↦→ −X
eine affine algebraische Gruppe. Wenn R eine K-Algebra ist, dann Spm(A)(R) die additive
Gruppe von R.
Übung 5.5.6. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper un A = K[X ij , det(X) −1 ],
wobei X = (X ij ) eine n × n-Matrix von Variablen ist. Zeige: Spm(A) = GL n (K) ⊆
Mat(n × n, K) ist bzgl. der Abbildungen
(M) µ: A → A ⊗ K A, X ij ↦→ ∑ n
l=1 X il ⊗ X lj ,
(E) ε: A → K, X ij → δ ij (Kronecker-Delta),
(I) ι : A → A, X ij ↦→ det(X) −1 (X adj ) ij (adjunkte Matrix aus der Cramerschen Regel)
eine affine algebraische Gruppe. Wenn R eine K-Algebra ist, dann ist
Spm(A)(R) = GL n(R)
die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit Einträgen in R.

134 5 Algebraische Gruppen
Übung 5.5.7. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, V ein endlich dimensionaler
K-Vektorraum und A eine kommutative K-Algebra. Betrachte V ∗ als linearen Unterraum
der Koordinatenalgebra K[V ] und zeige:
(i) Jede K-lineare Abbildung ρ: V ∗ → V ∗ ⊗ K A lässt sich in eindeutiger Weise zu einem
Homomorphismus K[V ] → K[V ] ⊗ K A von K-Algebren fortsetzen.
(ii) Wenn A = K[G] der Ring der regulären Funktionen einer (irreduziblen) affinen algebraischen
Gruppe ist und ρ: V ∗ → V ∗ ⊗ K A eine algebraische Darstellung im Sinne
von Definition 5.2.3, dann definiert der aus der Fortsetzung K[V ] → K[V ] ⊗ K A von ρ
gewonnene Morphismus ˜ρ: V × G → V eine Rechts-G-Wirkung auf V .
(iii) Sei (v 1 , . . . , v n ) eine angeordnete Basis für V und ϕ: G → GL n (K) der aus ˜ρ und
der Basis gewonnene Gruppenhomomorphismus. Dann ist ϕ ein Morphismus affiner
algebraischer Varietäten.
(iv) In der Situation von (iii) definiere eine K-lineare Abbildung K n → K n ⊗ K A durch
e i ↦→ ∑ n
j=1 ej ⊗ ϕ∗ (X ji), wobei X die Matrix der Erzeuger von K[Mat(n × n, K)] ist
und e 1, . . . , e n die Standardbasis für K n . Identifiziert man K n über die zu (v 1, . . . , v n)
duale Basis für V ∗ , dann erhält man auf diese Weise ρ zurück.
Übung 5.5.8. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und A = K [ X, 1 X
]
. Zeige:
Spm(A) = A 1 K \ {0} ist bzgl. der Abbildungen
(M) µ: A → A ⊗ K A, X ↦→ X ⊗ X,
(E) ε: A → K, X ↦→ 1,
(I) ι : A → A, X ↦→ 1 X
eine affine algebraische Gruppe. Wenn R eine K-Algebra ist, dann Spm(A)(R) die multiplikative
Einheitengruppe von R.
Übung 5.5.9. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und A = K[X ij , det(X) −1 ] wie
in Übung 5.5.6 und B = A/(det(X) − 1) = K[X ij ]/(det(X) − 1). Zeige: Die Abbildungen
µ, ε und ι aus Übung 5.5.6 induzieren Abbildungen
(M) µ 0 : B → B ⊗ K B,
(E) ε 0 : B → K,
(I) ι 0 : B → B
bezüglich denen Spm(B) = SL n (K) ⊆ Mat(n × n, k) eine affine algebraische Gruppe ist.
Wenn R eine K-Algebra ist, dann Spm(B)(R) = SL n (R) die Gruppe der n × n-Matrizen
mit Einträgen in R und Determinante 1.
Übung 5.5.10. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und V ein endlich dimensionaler
K-Vektorraum und G = Spm(A) eine affine algebraische Gruppe. Weiter sei
ρ: V ∗ → V ∗ ⊗ K A eine algebraische Darstellung im Sinne von Definition 5.2.3. Betrachte
V ∗ als linearen Unterraum der Koordinatenalgebra K[V ] und ˜ρ: V × G → V die in
Übung 5.5.7 aus ρ gewonnene Rechts-G-Wirkung. Man zeige:
(i) Durch ⟨g · ν, v⟩ = ⟨ν, ˜ρ(v, g)⟩ wird eine lineare Darstellung
G × V ∗ → V ∗ , (g, ν) ↦→ g · ν.
definiert.
(ii) ∀ν ∈ V ∗ : ρ(ν) = ν ⊗ 1 ⇔ (∀g ∈ G : g · ν = ν).
(iii) ∀ W ≤ V ∗ : ρ(W ) ⊆ W ⊗ K A ⇔ (∀g ∈ G, ω ∈ W : g · ω ∈ W ).
Übung 5.5.11. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, G = Spm(A) eine affine
algebraische Gruppe über K und X = Spm(R) eine affine algebraische K-Varietät.
(i) Sei µ R : R → R ⊗ K A eine algebraische Wirkung im Sinne von Definition 5.2.13. Zeige,
dass der zugehörige Morphismus X × G → X eine G-Rechtswirkung ist.
(ii) Gib eine Umformulierung von Definition 5.2.13 an, für die der zugehörige Morphismus
eine G-Linkswirkung wird.

5.5 Übungen zu Kapitel 5 135
Übung 5.5.12. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, T = Spm(A) ein algebraischer
Torus über K und X(T ) die Menge der Charaktere von T . Zeige
von T ist die direkte Summe von Semiinvarian-
V =
⊕
V χ .
(i) X(T ) ist eine K-Basis für A.
(ii) Jede algebraische Darstellung V
tenräumen:
χ∈X(T )
Übung 5.5.13. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0 und
V = K[t]. Betrachte die K-lineare Abbildung f : V → V , die f(t n ) = nt n−1 für n ∈ N
erfüllt, und zeige, dass durch
µ V (v) := ∑ n∈N 0
f n (v) ⊗ Xn
n!
eine algebraische Darstellung µ V : V → V ⊗ K[X] der additiven Gruppe G a über K definiert
wird.
Übung 5.5.14. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0 und
X = Spm(R) eine affine algebraische K-Varietät. Zeige, dass jede algebraische Wirkung
µ R : R → R ⊗ K[X] der additiven Gruppe G a über K auf X durch eine lokal nilpotente
Derivation D : R → R fest gelegt wird, für die gilt:
µ R(f) =
∞∑
n=0
D n (f) ⊗ Xn
n! .
Übung 5.5.15. Zeige, dass die Determinante als Element von K[X 11, . . . , X nn] irreduzibel
ist.
Hinweis: Setze det(X) = fh an und betrachte den Totalgrad von f, h und det(X) in den
Variablen X 11 , . . . , X 1n .
Übung 5.5.16. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, V ein endlichdimensionaler
K-Vektorraum und V → V ⊗ K K [ X, 1 X
]
eine Darstellung vom Gewicht n. Bestimme die in
Übung 5.5.7 konstruierte zugehörige lineare Darstellung der multiplikativen Gruppe G m
über K auf V ∗ .
Übung 5.5.17. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, A eine endlich erzeugte K-
Algebra und ε: A → K eine Homomorphismus von K-Algebren. Zeige, dass der Kern des
Homomorphismus ε⊗ε: A⊗ K A → K⊗ K K ∼ = K gleich (A⊗ K ker ε)+(ker ε⊗ K A) ⊆ A⊗ K A
ist.
Übung 5.5.18. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und G = Spm(A) eine affine
algebraische Gruppe mit Komultiplikation µ. Zeige, dass die Menge H(G) der lokalen
Distributionen mit Träger im Einselement e ∈ G zusammen mit der durch
α ∗ β := (α ⊗ β) ◦ µ
definierten Multiplikation eine assoziative Algebra ist.
Übung 5.5.19. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und ϕ: G → H ein Morphismus
zwischen affinen algebraischen Gruppen (d.h., ein Morphismus von affinen Varietäten,
der auch ein Gruppehomomorphismus ist). Wir bezeichnen den zugehörigen Homomorphismus
von K-Algebren K[H] → K[G] mit φ und die maximalen Ideale an den Einselementen
in G bzw. H mit m und n. Zeige, dass die von φ induzierten k-linearen Abbildungen
(K[H]/n d+1 ) ∗ → (K[G]/m d+1 ) ∗
mit d ∈ N 0 mit den Multiplikationen von H(G) und H(H) verträglich sind.

136 5 Algebraische Gruppen
Übung 5.5.20. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und G = Spm(A) eine affine
algebraische Gruppe mit Komultiplikation µ. Zeige, dass die Lie-Algebra g ⊆ H(G) aller
lokalen Distributionen mit Träger im Einselement e ∈ G vom Grad 1 unter der Lie-
Klammer [α, β] := α ∗ β − β ∗ α abgeschlossen ist. Zeige weiter:
(i) [·, ·]: g × g → g ist K-bilinear und schiefsymmetrisch.
(ii) ∀α, β, γ ∈ g : [α, [β, γ]] = [[α, β], γ] + [β, [α, γ]].
Übung 5.5.21. Zeige, dass die K-Algebra H(G m ) für die multiplikative Gruppe über dem
algebraisch abgeschlossenen Körper K von dem Element E =
d
∣ : K[X, X −1 ] → K
X=1
erzeugt wird.
((
Hinweis: Es gilt (E ∗ E)(f) =
d
dX
) 2f )
(1).
dX
Übung 5.5.22. Zeige, dass die K-Algebra H(G a ) für die additive Gruppe über dem algebraisch
abgeschlossenen Körper K von dem Element D =
d
∣ : K[X] → K erzeugt
X=0
wird.
Übung 5.5.23. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, ρ: G → GL(V ) ein algebraischer
Homomorphismus und ˜ρ: H(G) → End(V ) der zugehörige Ringhomomorphismus
aus Lemma 5.3.13. Weiter sei End(V ) mit der G-Wirkung T ↦→ ρ(g)T ρ(g) −1 ausgestattet.
Man zeige, dass ˜ρ bezüglich dieser Wirkung und der in Lemma 5.3.19 konstruierten
G-Wirkung auf H(G) äquivariant ist.
Übung 5.5.24. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, V ein endlich dimensionaler
K-Vektorraum und β : V ×V → K eine nicht ausgeartete, schiefsymmetrische Bilinearform.
Betrachte
Sp(V ) := {g ∈ GL(V ) | ∀v, v ′ ∈ V : β(gv, gw) = β(v, w)}
und zeige:
(i) dim K (V ) ist gerade.
(ii) Sp(β) ist eine affine algebraische Gruppe (genannt die symplektische Gruppe).
(iii) Die Lie-Algebra von Sp(β) ist
sp(β) = {X ∈ gl(V ) | ∀v, v ′ ∈ V : β(Xv, w) + β(v, Xw) = 0}.
Übung 5.5.25. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, V ein endlich dimensionaler
k-Vektorraum und β : V × V → k eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform.
Betrachte
O(V ) := {g ∈ GL(V ) | ∀v, v ′ ∈ V : β(gv, gw) = β(v, w)}
und zeige:
(i) O(β) ist eine affine algebraische Gruppe (genannt die orthogonale Gruppe).
(ii) Die Lie-Algebra von O(V ) ist
o(β) = {X ∈ gl(V ) | ∀v, v ′ ∈ V : β(Xv, w) + β(v, Xw) = 0}.
dX

Teil III
Anhang

A
Ringe
In diesem Kapitel werden elementare Strukturaussagen für Ringe bewiesen. Ringe
verallgemeinern in natürlicher Weise sowohl das Konzept der ganzen Zahlen mit
Addition und Multiplikation als auch das der quadratischen Matrizen mit komponentenweiser
Addition und Matrizenmultiplikation oder das der Polynomfunktionen
mit punktweiser Addition und Multiplikation. Kanonisch ergeben sich aus der Definition
eines Rings die Begriffe Unterring und Quotientenring, wobei die Suche nach
einem geeigneten Quotientenbegriff auf das Konzept des Ideals führt. Ebenso kanonisch
ist der Begriff des Ringhomomorphismus, der den Vergleich verschiedener
Ringe möglich macht. Weitere Begriffsbildungen wie die Nullteilerfreiheit, Gradfunktion,
Primelemente oder der Polynomring werden aus den speziellen Beispielen
durch Abstraktion gewonnen. Ein wesentliches Resultat dieses Kapitels ist, dass sich
die Zerlegbarkeit der Elemente in Primelemente von einem Ring auf den zugehörigen
Polynomring vererbt. Es geht auf Gauß zurück.
A.1 Ringe und Ideale
Definition A.1.1. Sei R ≠ ∅ eine Menge sowie +: R × R → R (Addition) und
·: R × R → R (Multiplikation) zwei Abbildungen. (R, +, ·) heißt Ring, wenn die
folgenden Eigenschaften gelten.
(i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(ii) (R, ·) ist ein Monoid.
(iii) (x + y) · z = x · z + y · z ( ”
Punkt vor Strich“) für alle x, y, z ∈ R
(Rechts-Distributivgesetz).
(iii’) z · (x + y) = z · x + z · y ( ”
Punkt vor Strich“) für alle x, y, z ∈ R
(Links-Distributivgesetz).
Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn xy = yx für alle x, y ∈ R gilt (multiplikatives
Kommutativgesetz).
Das Distributivgesetz ist eine Verträglichkeitsbedingung für beide Verknüpfungen.
Die Assoziativgesetze erlauben das Weglassen von Klammern bei mehrfachen Verknüpfungen.
In der Regel wird der Punkt in der Multiplikation weggelassen.
Beispiel A.1.2. (i) Jeder Körper ist ein kommutativer Ring.
(ii) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring.

140 A Ringe
(iii) Die n×n-Matrizen Mat(n×n, R) über einem Ring formen bzgl. der üblichen Matrizenaddition
und Multiplikation einen Ring mit der Einheitsmatrix als Einselement.
(iv) Sei V ein K-Vektorraum. Dann ist die Menge End K (V ) = Hom K (V, V ) der
linearen Selbstabbildungen von V ein Ring bzgl. der punktweisen Addition und
der Hintereinanderschaltung als Multiplikation.
(v) Sei M eine Menge und R ein Ring. Dann ist die Menge {f : M → R} der
R-wertigen Abbildungen mit der punktweisen Addition und der punktweisen
Multiplikation ein Ring mit der konstanten Funktion 1 als Einselement.
(vi) Diverse Funktionenräume sind bzgl. der punktweisen Operationen kommutative
Ringe: Dies ist z.B. der Fall für C k (]a, b[), der Raum der k-mal stetig differenzierbaren
Funktionen auf dem Intervall ]a, b[.
(vii) Z[i] := Z + iZ := {c ∈ C | c = a + ib; a, b ∈ Z} ist ein Ring bzgl. der komplexen
Addition und der komplexen Multiplikation. Er heißt der Ring der Gaußschen
Zahlen.
⊓⊔
Proposition A.1.3. Sei (R, +, ·) ein Ring. Dann gilt
(i) Es gibt nur ein Einselement.
(ii) Es gibt nur ein Nullelement.
(iii) Zu jedem x ∈ R gibt es nur ein additives Inverses. Dieses wird mit −x bezeichnet.
Insbesondere gilt −(−x) = x.
(iv) 0 · x = x · 0 = 0 für alle x ∈ R.
(v) x(−y) = −xy, (−x)y = −xy für alle x, y ∈ R.
Beweis. Idee: Dies sind direkte Folgerungen aus den Definitionen.
(i) Seien 1 und 1 ′ Einselemente. Dann gilt 1 = 1 · 1 ′ = 1 ′ .
(ii) Seien 0 und 0 ′ Nullelemente. Dann gilt 0 = 0 + 0 ′ = 0 ′ .
(iii) Seien x ′ und x ′′ additive Inverse von x. Dann gilt
x ′ = 0 + x ′ = (x ′′ + x) + x ′ = x ′′ + (x + x ′ ) = x ′′ + 0 = x ′′ .
(iv) 0 · x + 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x. Aber wenn y + y = y, dann folgt
y = 0 + y = (−y + y) + y = −y + y = 0.
(v) x(−y) + xy = x(−y + y) = x · 0 = 0.
⊓⊔
Definition A.1.4. Sei (R, +, ·) ein Ring. Eine Teilmenge S von R heißt ein Unterring
von R, wenn (S, +, ·) selbst ein Ring ist und 1 ∈ S gilt. Die Menge
Cent(R) = {r ∈ R | (∀s ∈ R) sr = rs}
heißt das Zentrum. Ein Element r ∈ R heißt eine Einheit, wenn es ein s ∈ R
mit rs = 1 = sr gibt. Die Menge der Einheiten von R wird mit Unit(R) oder auch
R × bezeichnet. Sei 1 ≠ 0, d.h. R ≠ {0}. Dann heißt R ein Divisionsring oder
Schiefkörper, wenn Unit(R) = R \ {0}.

A.1 Ringe und Ideale 141
Beispiel A.1.5. (i) Z hat keine echten Unterringe. Die Einheiten von Z sind 1 und
−1.
(ii) C k+1 (]a, b[) ist ein Unterring von C k (]a, b[). Die Einheiten von C k (]a, b[) sind
gerade die k-fach stetig differenzierbaren Funktionen, die nirgendwo verschwinden.
(iii) Sei R = Mat(n × n, K). Dann gilt Cent(R) = K1. Außerdem bilden z.B. die
Diagonalmatrizen oder die oberen Dreiecksmatrizen Unterringe von R. Die Einheiten
von R sind gerade die invertierbaren Matrizen.
(iv) Ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0 ist ein Divisionsring genau dann, wenn er ein
Körper ist.
Beispiel A.1.6. Sei H = R 4 mit einer vorgegebenen Basis, die mit {1, i, j, k} bezeichnet
wird. Wir setzen
· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1
Setzt man jetzt die Multiplikation {1, i, j, k} × {1, i, j, k} → H reell bilinear
fort, so erhält man eine Multiplikation bzgl. der (H, +, ·) zu einem Divisionsring,
den Quaternionen, wird. Dabei ist das multiplikative Inverse eines Elements z =
r + is + ju + kv ≠ 0 durch
z −1 =
r − is − ju − kv
r 2 + s 2 + u 2 + v 2
gegeben. Die Ähnlichkeit mit der Konstruktion der komplexen Zahlen ist evident.
Übung A.1.1. Sei (R, +, ·) ein Ring.
(i) Zeige: Cent(R) ist ein kommutativer Unterring von R.
(ii) Zeige: ( Unit(R), ·) ist eine Gruppe, d.h. · ist assoziativ, es existiert ein Einselement
und zu jedem Element ein Inverses.
(iii) Sei n ∈ Z und r ∈ R. Gib eine Definition für r n an und weise r n r m = r n+m nach.
Zeige weiter, dass (rs) n = r n s n gilt, falls s ∈ R mit r kommutiert, d.h. rs = sr.
(iv) Zeige: Wenn zu jedem r ∈ R \ {0} ein s ∈ R mit rs = 1 existiert, dann ist R ein
Divisionsring.
(v) Sei a ∈ Unit(R) und x ∈ R mit ax = 0. Zeige: x = 0.
Definition A.1.7. Sei R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole. Elemente von N k 0 nennen
wir Multiindizes. Sie seien durch i = (i 1 , . . . , i k ) bezeichnet. Die Summe von
zwei Multiindizes sei komponentenweise gegeben.
(i) Eine formale Potenzreihe in X 1 , . . . , X k mit Koeffizienten in R ist eine formale
Summe
∑
a i X i := ∑
a i X i1
1 · · · Xi k
k
,
i∈N k 0
i∈N k 0
wobei die a i ∈ R sind. Dies ist zunächst nichts anderes als eine suggestive
Schreibweise für eine Folge (a i ) i∈N k
0
von Elementen in R. Der Sinn dieser
Schreibweise liegt darin, dass sie die folgende Multiplikation auf der Menge

142 A Ringe
R[[X 1 , . . . , X k ]] aller formalen Potenzreihen in X 1 , . . . , X k natürlich“ erscheinen
lässt, weil sie das Ausmultiplizieren“ von Produkten von endlichen Sum-
”
”
men nachahmt (man nennt dies das Cauchy–Produkt):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ ∑
a i X i ⎠ ⎝ ∑
b i X i ⎠ := ∑ ( ) ∑
a l b m X i .
i∈N k 0
i∈N k 0
i∈N k 0
l+m=i
Neben diesem Produkt hat man noch die übliche koeffizientenweise Addition:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ ∑
a i X i ⎠ + ⎝ ∑
b i X i ⎠ := ∑
(a i + b i )X i .
i∈N k 0
i∈N k 0
i∈N k 0
(ii) Eine formale Potenzreihe ∑ i∈N
a k i X i heißt Polynom, wenn nur endlich viele
0
a i von Null verschieden sind. Der Grad eines Polynoms 0 ≠ f = ∑ i∈N
a k i X i
0
ist gegeben durch
deg(f) := max{|i|: a i ≠ 0},
wobei |i| := i 1 + . . . + i k . Außerdem setzt man deg(0) := −∞. Wenn a i ≠ 0 nur
für |i| = d gilt, dann heißt f homogen vom Grad d. Die Menge der Polynome
in X 1 , . . . , X k über R wird mit R[X 1 , . . . , X k ] bezeichnet. Die Teilmenge der
homogenen Polynome vom Grad d bezeichnen wir mit R[X 1 , . . . , X k ] d .
Wenn k = 1, dann heißt a deg f der Leitkoeffizient von f. Ist der Leitkoeffizient
gleich 1, so heißt f monisch oder normiert.
Proposition A.1.8. Seien R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole.
(i) Die Menge R[[X 1 , . . . , X k ]] mit den in Definition A.1.7 angegebenen Verknüpfungen
ist ein Ring, der genau dann kommutativ ist, wenn R kommutativ
ist.
(ii) R[X 1 , . . . , X k ] ist ein Unterring von R[[X 1 , . . . , X k ]].
Beweis. Idee: Dies sind reine Routinerechnungen.
⊓⊔
Übung A.1.2. Sei R ein Ring. Zeige, dass 1 − X eine Einheit im Ring R[[X]] der formalen
Potenzreihen in einer Variablen über R ist.
Übung A.1.3. Sei R ein Ring und X 1, . . . , X k Symbole. Zeige:
(i) R[[X 1, . . . , X k−1 ]][[X k ]] ist isomorph zu R[[X 1, . . . , X k ]].
(ii) R[X 1 , . . . , X k−1 ][X k ] ist isomorph zu R[X 1 , . . . , X k ].
Definition A.1.9. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge I ⊆ R heißt ein Ideal von R,
wenn
I − I ⊆ I, RI ⊆ I, IR ⊆ I.
Man schreibt I ✂ R, wenn I ein Ideal in R ist.
Definition A.1.10. Seien R und S Ringe mit Einselementen 1 R bzw. 1 S . Eine
Abbildung ϕ: R → S heißt ein Ringhomomorphismus, wenn gilt

(a) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ R.
(b) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) für alle x, y ∈ R.
(a) ϕ(1 R ) = 1 S .
A.1 Ringe und Ideale 143
Wir bezeichnen das Bild von ϕ mit im (ϕ) und den Kern ϕ −1 (0 S ) von ϕ mit ker (ϕ).
Wenn ϕ bijektiv ist, heißt ϕ ein Isomorphismus.
Es folgt unmittelbar aus den Definitionen, dass im (ϕ) ein Unterring von S ist,
während ker (ϕ) niemals ein Unterring von R, aber immer ein Ideal in R ist.
Beispiel A.1.11. (i) Sei n ∈ Z. Dann ist nZ = {nx ∈ Z | x ∈ Z} ein Ideal in
Z. Da jedes Ideal in Z automatisch eine Untergruppe von (Z, +) ist, zeigt die
nachfolgende Proposition A.1.12, dass hat diese Gestalt hat.
(ii) Die Auswertung einer Funktion an einer Stelle x liefert Ringhomomorphismen
ev x : C k (]a, b[) → R, f ↦→ f(x). Allgemeiner kann man Funktionen auch auf
Teilmengen einschränken, z.B.
rest ]c,d[ : C k (]a, b[) → C k (]c, d[),
f ↦→ f| ]c,d[
für ein Teilintervall ]c, d[ ⊆ ]a, b[. Die zugehörigen Kerne bestehen aus den Funktionen,
die auf {x} bzw. ]c, d[ verschwinden.
(iii) Der Ring R = Mat(n × n, K) enthält keine Ideale außer {0} und R. In der Tat,
durch geeignete Multiplikation von links und rechts mit Matrizen, die nur einen
von 0 verschiedenen Eintrag haben, sieht man, dass jedes von {0} verschiedene
Ideal alle solche Matrizen und dann ganz R enthält.
(iv) Sei R ein kommutativer Ring. Dann ist aR für jedes a ∈ R ein Ideal, das man
das von a erzeugte Hauptideal nennt.
(v) Sei R ein kommutativer Ring und A ⊆ R. Dann ist { ∑ n
j=1 a jr j | r j ∈ R, a j ∈
A, n ∈ N} ein Ideal, das man das von A erzeugte Ideal nennt. ( ) r 0
(vi) Sei R = R und R ′ = Mat(2 × 2, R). Dann ist die durch φ(r) = definierte
Abbildung ( ) φ: R → R ′ ein Ringhomomorphismus, nicht dagegen die durch
0 r
r 0
ψ(r) = definierte Abbildung (erhält die Eins nicht).
0 0
Proposition A.1.12. Jede Untergruppe I von (Z, +) ist von der Form dZ mit d ∈
N ∪ {0}.
Beweis. Wenn I = {0} ist, dann wählen wir d = 0. Andernfalls finden wir ein von
Null verschiedenes Element n ∈ I. Wegen I − I ⊆ I ist dann auch −n ∈ I und wir
können annehmen, dass n > 0 ist. Sei d die kleinste positive Zahl in I und k ∈ I.
Teilen mit Rest liefert k = md + r für ein m ∈ Z und 0 ≤ r < d. Weil aber NI ⊆ I
und I = −I gilt, haben wir ZI ⊆ I. Also gilt r = k − md ∈ I, so dass wegen der
Minimalität von d die Gleichheit r = 0 und somit k ∈ dZ folgt. Da umgekehrt mit
d auch dZ in I ist, gilt I = dZ.
⊓⊔
Bemerkung A.1.13. Seien S ⊆ R kommutative Ringe und A = {f : R → R | f
Polynomfunktion in einer Variablen} (d.h. f(λ) = a 0 + a 1 λ + . . . + a n λ n ). Wir
definieren eine Abbildung Φ: S[X] → A durch
Φ ( a 0 + a 1 X + . . . + a n X n) (λ) = ( a 0 + a 1 Φ(X) + . . . + a n Φ(X) n) (λ)
= a 0 + a 1 λ + . . . + a n λ n .

144 A Ringe
Offensichtlich ist Φ : S[X] −→ A ein Ringhomomorphismus. Allerdings ist Φ im
allgemeinen nicht injektiv, selbst wenn S = R gilt: Wähle z.B. R = {0, 1}. Dies ist
ein Körper und für F = X + X 3 gilt
Φ(F )(λ) = λ + λ 3 = 0 ∀λ ∈ R.
Verknüpft man Φ noch mit der Auswertung in einem festen Punkt λ o ∈ R, so
erhält man den Auswertungshomomorphismus
S[X] → R
a 0 + a 1 X + . . . + a n X n ↦→ a 0 + a 1 λ o + . . . + a n λ n o .
Beispiel A.1.14. Sei K ein Körper und A ∈ Mat(n × n, K), A = (a ij ) i,j=1,...,n .
Betrachte
B = (a ij − X δ ij ) i,j=1,...,n ∈ Mat(n × n, K[X])
und setze
χ A := det B = ∑
σ∈S n
sign (σ) [ (a 1σ(1) − X δ 1σ(n) ) · · · (a nσ(n) − X δ nσ(n) ) ] .
Dann ist χ A ∈ K[X] das charakteristische Polynom von A.
Frage: Kollidiert dies mit der Definition des charakteristischen Polynoms in der
linearen Algebra?
Antwort: Sei Φ die Auswertung von Polynomen wie in Bemerkung A.1.13. Dann gilt
Φ(χ A )(λ) = det(A − λ1) = χ A (λ).
d.h. die Definitionen liefern bei Auswertung das Gleiche.
⊓⊔
Proposition A.1.15. Sei R ein Ring und I ⊆ R ein Ideal.
(i) Durch x ∼ y für x − y ∈ I wird eine Äquivalenzrelation auf R definiert, deren
Äquivalenzklassen durch
[x] := x + I := {x + i | i ∈ I}
gegeben sind.
(ii) Die Menge R/I der Äquivalenzklassen unter ∼ ist ein Ring bzgl. der Addition
[x] + [y] := [x + y]
∀x, y ∈ R
und der Multiplikation
[x] · [y] := [x · y] ∀x, y ∈ R.
Dieser Ring heißt der Quotientenring von R nach I.
(iii) Die Abbildung ϕ: R → R/I, r ↦→ r + I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus
mit Kern I.
Beweis. Idee: Der Beweis geht in wesentlichen Teilen so wie für Quotientenvektorräume.
Nur für die Wohldefiniertheit der Multiplikation auf R/I muss man RI ⊆ I und IR ⊆ I
benützen.
Die Details seien als Übung dem Leser überlassen.
⊓⊔

A.1 Ringe und Ideale 145
Beispiel A.1.16. Sei n ∈ Z. Dann ist Z/nZ gerade der Ring der Restklassen
modulo n.
⊓⊔
Proposition A.1.17. Sei ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus sowie I ⊆ R und
J ⊆ S Ideale mit ϕ(I) ⊆ J. Dann definiert
ϕ(r + I) := ϕ(r) + J
einen Ringhomomorphismus ϕ: R/I → S/J.
Beweis. Idee: Die Wohldefiniertheit folgt sofort aus ϕ(I) ⊆ J, der Rest ist eine Routinerechnung.
Die Details seien als Übung dem Leser überlassen.
⊓⊔
Übung A.1.4. Seien R und S Ringe und R ′ ein Unterring von R. Zeige
(i) Wenn ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus ist, dann ist ϕ(R) isomorph zu R/ ker (ϕ).
(ii) Jedes homomorphe Bild von R ist isomorph zu R/I für ein Ideal I in R.
(iii) Für jedes Ideal I von R ist R ′ ∩ I ein Ideal von R ′ und R ′ + I ein Unterring von R.
(iv) Für jedes Ideal I von R gilt R ′ /(R ′ ∩ I) ∼ = (R ′ + I)/I.
(v) Für zwei Ideale I ⊆ J von R ist J/I := {j + I | j ∈ J} ein Ideal in R/I und es gilt
(R/I)/(J/I) ∼ = R/J.
Übung A.1.5. Sei R ein Ring und J ⊂ R ein Linksideal, d.h. es gilt J + J ⊆ J und
Untergruppe mit RJ ⊆ J. Definiere den Idealisator von J in R durch
i R (J) := {a ∈ R | Ja ⊂ J}.
Zeige, dass i R (J) der größte Unterring von R ist, in dem J ein zweiseitiges Ideal ist.
Übung A.1.6. Sei (R, +, ·) ein Ring, Cent(R) sein Zentrum und R × = Unit(R) die Menge
der Einheiten. Zeige:
1. Cent(R) ist ein kommutativer Unterring von R.
2. (R × , ·) ist eine Gruppe.
3. Wenn ax = 0 für a ∈ R × und x ∈ R, so ist x = 0.
4. (c) gilt im Allgemeinen nicht für Elemente a, x ∈ R.
5. Wenn 1 ≠ 0 und zu jedem r ∈ R \ {0} ein s ∈ R existiert mit rs = 1, dann ist R ein
Divisionsring.
Übung A.1.7 (Polynomringe). Sei R ein nullteilerfreier Ring, d.h. für alle r, s ∈ R gilt:
Aus rs = 0 folgt r = 0 oder s = 0.
1. Zeige, dass die Einheiten im Polynomring R[X] gerade die Einheiten von R sind,
betrachtet als Polynome vom Grad 0.
2. Zeige, dass 1 − X eine Einheit im Ring R[[X]] der formalen Potenzreihen in einer
Variablen über R ist.
3. Zeige anhand eines Beispiels für R = Z/4Z, dass die Bedingung ”
nullteilerfrei“ für den
Beweis von a) wesentlich ist.
Übung A.1.8 (Nilpotente Elemente). Sei R ein kommutativer Ring und R × seine Einheitengruppe.
Ein Element x ∈ R heißt nilpotent, wenn ein n ∈ N mit x n = 0 existiert. Es
sei Nil(R) die Menge der nilpotenten Elemente in R. Zeige:
1. (Nil(R), +) ist eine Untergruppe von (R, +),

146 A Ringe
2. Für a ∈ R × und x ∈ Nil(R) ist a + x ∈ R × .
Übung A.1.9 (Einheiten). Sei R ein Ring. Bestimme alle Einheiten im Ring R[[X]] der
formalen Potenzreihen in einer Variablen über R.
Übung A.1.10 (Nullteiler und Nicht-Einheiten). Sei R ein Ring.
1. Ein Element r ∈ R \ {0} heißt Nullteiler, falls es ein Element s ∈ R \ {0} gibt mit
rs = 0 oder sr = 0. Bestimme alle Nullteiler von Z/nZ für n ∈ Z.
2. Zeige anhand eines Beispiels: Im Allgemeinen folgt aus rs = 1 für r, s ∈ R nicht
notwendig, dass r und s Einheiten in R sind.
Hinweis: Betrachte zum Beispiel R = (End(V ), +, ◦), wobei V der Vektorraum aller
reellen Folgen ist.
A.2 Integritätsbereiche
Definition A.2.1. Sei R ein Ring. Ein Element r ∈ R\{0} heißt Nullteiler, wenn
0 ∈ r(R \ {0}) ∪ (R \ {0})r. Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring R
mit 1 ≠ 0 ohne Nullteiler.
Beispiel A.2.2. (i) Jeder Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich: Wenn
r ≠ 0 und sr = 0, dann folgt 0 = 0 · r −1 = srr −1 = s und analog für rs = 0.
Insbesondere ist Z ⊆ Q ein Integritätsbereich.
(ii) Z/4Z ist kein Integritätsbereich, weil [2] · [2] = [0]. Dagegen ist Z/2Z sogar ein
Körper. Wir werden später sehen, dass Z/nZ genau dann ein Integritätsbereich
ist, wenn es ein Körper ist, und dies genau dann auftritt, wenn n (bzw. −n)
eine Primzahl ist.
⊓⊔
Proposition A.2.3. Wenn R ≠ {0}, dann sind äquivalent
(1) R ist Integritätsbereich.
(2) Aus ra = rb mit r ≠ 0 folgt a = b.
Beweis. Für die Implikation ”
(1) ⇒ (2)“ schließt man
r ≠ 0, ra = rb =⇒ r(a − b) = 0
(1)
=⇒ a − b = 0 =⇒ a = b
und die Umkehrung sieht man mit
r ≠ 0, ra = 0 =⇒ ra = r0
(2)
=⇒ a = 0.
⊓⊔
Proposition A.2.4. Wenn R ein Integritätsbereich ist, dann sind auch der Ring
R[[X 1 , . . . , X k ]] der formalen Potenzreihen und der Ring R[X 1 , . . . , X k ] der Polynome
über R Integritätsbereiche.

Beweis. Idee: Führe eine passende Ordnung auf N k 0 ein.
A.2 Integritätsbereiche 147
Wir betrachten folgende Ordnung auf N k 0: i < j, wenn es ein k o ∈ {1, . . . , k} gibt
mit i m = j m für m < k o und i ko < j ko . Diese Ordnung heißt die lexikographische
Ordnung und ist total, d.h. für zwei verschiedene Multiindizes i und j gilt entweder
i < j oder j < i. Außerdem gilt
i < j; l ≤ m =⇒ i + l < j + m,
wobei l ≤ m bedeutet l < m oder l = m (Übung).
Wenn jetzt F = ∑ i∈N
a k i X i und G = ∑
0
i∈N
b k i X i zwei von Null verschiedene
0
Elemente von R[[X 1 , . . . , X k ]] sind, dann gibt es ein bzgl. der lexikographischen
Ordnung minimales l o , für das a lo ≠ 0 gilt. Analog haben wir ein minimales m o
mit b mo ≠ 0. Dann ist aber der Koeffizient von l o + m o in F · G gerade a lo · b mo ,
also von Null verschieden.
⊓⊔
Der folgende Satz verallgemeinert die Konstruktion der rationalen aus den ganzen
Zahlen.
Satz A.2.5 (Quotientenkörper). Sei R ein Integritätsbereich.
(i) Sei S = R × (R \ {0}). Dann definiert
(a, b) ∼ (c, d) :⇔ ad = bc
eine Äquivalenzrelation auf S.
(ii) Bezeichne die Äquivalenzklasse von (a, b) mit a b
und die Menge der Äquivalenzklassen
mit Q(R). Dann definieren
a
b + c ad + bc
:=
d bd
und
a
b · c ac
:=
d bd
zwei Abbildungen Q(R) × Q(R) → Q(R) bzgl. derer (Q(R), +, ·) ein Körper mit
Nullelement 0 1 und Einselement 1 1 ist.
(iii) Das additive Inverse von a b
−a
ist
b
und das multiplikative Inverse von a b mit
a ≠ 0 ist b a .
Beweis. Idee: Wesentlich ist Teil (i). Für die Transitivität der Relation braucht man
die Nullteilerfreiheit. Der Rest ist eine Routineverifikation.
Wegen der Kommutativität von R ist die Relation ∼ symmetrisch. Die Reflexivität
ist offensichtlich. Sei jetzt (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f). Dann gilt
adf = bcf = bde
und daher d(af −be) = 0. Weil d ≠ 0, zeigt die Nullteilerfreiheit jetzt, dass af = be,
d.h. (a, b) ∼ (e, f). Damit ist die Transitivität von ∼ gezeigt. Das Argument zeigt
auch, dass
ad
bd = a b
für d ≠ 0. Man kann also in Brüchen von Null verschiedene Element kürzen. Der
Rest des Beweises ist Routine, wobei zuerst der Nachweis der Wohldefiniertheit der
Verknüpfungen geführt werden muss (Übung).
⊓⊔

148 A Ringe
Der in Satz A.2.5 konstruierte Körper heißt der Quotientenkörper des Integritätsbereiches
R.
Die Teilbarkeitslehre der ganzen Zahlen lässt sich zum Teil auf allgemeinere
kommutative Ringe übertragen.
Definition A.2.6. Sei R ein kommutativer Ring und a, b ∈ R. Man sagt a teilt b
und schreibt a | b, wenn es ein r ∈ R mit ra = b gibt. In diesem Fall heißt a auch ein
Teiler von b in R. Ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von a 1 , . . . , a k ∈ R
ist dann ein gemeinsamer Teiler der a j , der von jedem anderen gemeinsamen Teiler
geteilt wird. Zwei Elemente heißen teilerfremd, wenn 1 ein ggT von a und b ist.
Ein Element d ≠ 0 in R \ Unit(R) heißt prim, wenn aus d | ab für a, b ∈ R folgt
d | a oder d | b. Zwei Elemente p, q ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit
u ∈ Unit(R) mit p = uq gibt.
Beachte, dass in dieser Definition jede Einheit Teiler eines beliebigen Ringelementes
ist. Insbesondere ist in Z der ggT nicht eindeutig, sondern nur bis auf das
Vorzeichen bestimmt. Allgemeiner ist in einem Integritätsbereich der ggT nur bis
auf Einheiten eindeutig bestimmt (Übung, vgl. Proposition A.2.3).
Definition A.2.7. Ein Ideal I in einem kommutativen Ring R heißt prim, wenn
1 ∉ I und aus xy ∈ I mit x, y ∈ R folgt: x ∈ I oder y ∈ I. Das Ideal I heißt
maximal, wenn 1 ∉ I und für jedes r ∈ R \ I ein s ∈ R mit 1 ∈ sr + I existiert.
Man sieht sofort an der Definition, dass die maximalen Ideale gerade diejenigen
Ideale sind, die in keinem von R und I verschiedenen Ideal enthalten sind (ein Ideal
I ist gleich R genau dann, wenn 1 ∈ I ist).
Beispiel A.2.8. (i) Jedes n ∈ N \ {1} ist Produkt von Primzahlen.
Wenn nämlich n nicht selbst prim ist, ist es von der Form n = ab mit a, b ∈
N \ {1}. Also ist sind insbesondere a und b kleiner als n und die Behauptung
folgt mit Induktion.
(ii) Seien a, b ∈ Z und ⟨a, b⟩ := {na + mb: n, m ∈ Z} die von a und b erzeugte
Untergruppe von (Z, +). Nach Proposition A.1.12 ist ⟨a, b⟩ nach Proposition
A.1.12 von der Form dZ mit d ≥ 0. Also ist d ein gemeinsamer Teiler von a und
b. Außerdem gibt es n, m ∈ Z mit d = na + mb. Daher ist jeder gemeinsame
Teiler von a und b auch Teiler von d. Insbesondere ist d ein ggT von a und b.
⊓⊔
Beispiel A.2.9. (i) Sei n ∈ N, dann ist nZ ein Primideal in Z genau dann, wenn n
eine Primzahl ist: Sei zunächst n prim und xy = nm, d.h. n teilt xy. Dann teilt n
entweder x oder y und dementsprechend ist entweder x oder y in nZ enthalten.
Umgekehrt, wenn nZ prim ist und n = xy mit x, y ∈ N \ {1} ist, dann folgt
o.B.d.A. x ∈ nZ, d.h. insbesondere n ≤ x im Widerspruch zu n = xy. Also ist
n prim. Man kann hier auch zeigen, dass nZ genau dann maximal ist, wenn n
prim ist, wir verschieben das aber auf später.
(ii) Sei R = C k (]a, b[) wie in Beispiel A.1.11 und I = ker (ev x ). Dann ist I maximal
in R, weil man zu jeder Funktion f, die in x nicht verschwindet, Funktionen
g ∈ R und h ∈ I finden kann, für die
1 = g(y)f(y) + h(y) ∀y ∈ ]a, b[
gilt. Zum Beispiel funktioniert g : y ↦→ f(x) −1 und h : y ↦→ 1 − f(y)f(x) −1 .
⊓⊔

A.2 Integritätsbereiche 149
Proposition A.2.10. Sei R ein kommutativer Ring und I ⊆ R ein Ideal.
(i) R/I ist ein Integritätsbereich genau dann, wenn I prim ist.
(ii) R/I ist ein Körper genau dann, wenn I maximal ist.
(iii) Wenn I maximal ist, dann ist I prim.
Beweis. Idee: Dies sind direkte Konsequenzen der Definitionen.
(i) Sei R/I ein Integritätsbereich. Wenn xy ∈ I für x, y ∈ R, dann gilt
(x + I)(y + I) = xy + I = 0 + I,
also x + I = 0 + I oder y + I = 0 + I, d.h. x ∈ I oder y ∈ I. Also ist I prim.
Sei umgekehrt I prim. Wenn jetzt (x + I)(y + I) = 0 + I, dann heißt das xy ∈ I,
also x ∈ I oder y ∈ I. Damit folgt x + I = 0 + I oder y + I = 0 + I, und R/I
ist nullteilerfrei.
(ii) Sei R/I ein Körper. Wenn r ∈ R \ I, dann gilt r + I ∈ (R/I) \ {0 + I}, also
existiert ein s + I ∈ R/I mit
(s + I)(r + I) = 1 + I.
Dann folgt aber sofort 1 ∈ sr + I, d.h. I ist maximal.
Sei umgekehrt I maximal und r + I ∈ (R/I) \ {0 + I}. Dann ist r ∈ R \ I und
es gibt ein s ∈ R mit sr ∈ 1 + I. Aber das bedeutet (s + I)(r + I) = 1 + I, so
dass r + I ein multiplikatives Inverses in R/I hat. Also ist R/I ein Körper.
(iii) Dies folgt sofort aus (i) und (ii), weil jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
⊓⊔
Beispiel A.2.11. Das Hauptideal (X) in Z[X] ist prim, aber nicht maximal, weil
Z[X]/(X) ∼ = Z ein Integritätsbereich ist, aber kein Körper. Zum Beispiel ist (X) in
dem Ideal
{ ∑
n }
I := a k X k | n ∈ N 0 , a k ∈ Z, a 0 ∈ 2Z
enthalten.
k=0
⊓⊔
Beispiel A.2.12. Eine Teilmenge I ⊆ Z ist ein Ideal genau dann, wenn I − I ⊆ I
gilt, weil dann automatisch alle Vielfachen von Elementen in I selbst wieder in I
sind. Proposition A.1.12 sagt dann gerade, dass jedes Ideal I in Z von der Form dZ
mit d ∈ N 0 ist.
Das Ideal dZ in Z ist prim genau dann, wenn es maximal ist. Die eine Richtung
folgt dabei aus Proposition A.2.10. Um auch die Umkehrung einzusehen, nehmen
wir an, dass dZ ein Primideal ist. Dies ist nach Beispiel A.2.9 gleichbedeutend damit,
dass d eine Primzahl ist. Sei jetzt a ∈ Z \ dZ. Dann teilt d die Zahl a nicht und
weil d prim ist, sind a und d sogar teilerfremd. Nach Beispiel A.2.8(ii) ist also jedes
k ∈ Z von der Form k = na + md mit n, m ∈ Z. Wenn wir k = 1 wählen, folgt
insbesondere 1 ∈ na + dZ, also die Maximalität von dZ.
Insbesondere erkennt man, dass Z/dZ genau dann ein Körper ist, wenn d prim
ist.
⊓⊔

150 A Ringe
Proposition A.2.13. Sei R ein Integritätsbereich.
(i) Wenn ein Primelement p ∈ R von der Form p = ab mit a, b ∈ R und p | a ist,
dann ist b eine Einheit.
(ii) Wenn p, q ∈ R prim sind mit p | q, dann ist q von der Form up mit u ∈ Unit(R).
(iii) d ∈ R ist prim genau dann, wenn dR ein Primideal ist.
Beweis. Idee: Dies folgt direkt aus den Definitionen.
(i) Aus p = ab und a = pc folgt p = pcb, d.h., 1 = cb.
(ii) Aus pr = q folgt q | p, denn q | r würde nach (i) dazu führen, dass p eine Einheit
ist. Aber (i) zeigt auch, dass wegen q | p das Element r eine Einheit ist.
(iii) Wenn p prim ist und ab ∈ pR gilt, folgt p | ab und daher p | a oder p | b. Dies
heißt aber, es gilt a ∈ pR oder b ∈ pR, d.h. pR ist prim. Umgekehrt, wenn pR
prim ist und p | ab gilt, dann folgt ab ∈ pR, also a ∈ pR oder b ∈ pR, d.h. p | a
oder p | b. Also ist p prim.
In Teil (iii) von Proposition A.2.13 wurde die Nullteilerfreiheit nicht benutzt.
⊓⊔
Beispiel A.2.14. Betrachte den Ring R = Z[X] und darin das Ideal
{ ∑
n
I :=
k=0
}
a k X k | n ∈ N 0 , a k ∈ Z, a 0 ∈ 2Z .
Wenn f = ∑ a k X k und g = ∑ b j X j Elemente von R sind und
fg = ∑ ∑
a m b l X k ∈ I
k m+l=k
gilt, dann folgt a 0 b 0 ∈ 2Z, also a 0 ∈ 2Z oder b 0 ∈ 2Z. Also muss f ∈ I oder g ∈ I
gelten, d.h., I ist prim.
⊓⊔
Übung A.2.1. Seien a, n ∈ Z.
(i) a + nZ ist genau dann eine Einheit in Z/nZ, wenn a und n teilerfremd sind.
(ii) Wenn a prim ist und n = a k , dann gibt es a k−1 (a − 1) Einheiten in Z/nZ.
Übung A.2.2. (i) Sei ϕ: R → S ein Ringhomomorphismus und R ein Körper. Zeige:
Wenn S ≠ {0}, dann ist ϕ injektiv.
(ii) Zeige: jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.
(iii) Sei R ein kommutativer Ring und I, J, P Ideale in R. Zeige: wenn P prim ist mit
IJ ⊆ P , dann gilt I ⊆ P oder J ⊆ P .
Übung A.2.3 (Polynomringe). Sei R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole. Zeige:
1. R[X 1 , . . . , X k−1 ][X k ] ist isomorph zu R[X 1 , . . . , X k ].
2. Ist R nullteilerfrei, so gilt R[X 1 , . . . , X k ] × = R × .
Übung A.2.4 (Ideale).
1. Seien R, S Ringe und φ : R → S ein Ringhomomorphismus. Seien I ⊆ R, J ⊆ S
Ideale. Sind φ(I) und/oder φ −1 (J) Ideale?
2. Bestimme alle Ideale von Z/8Z. Welche sind prim? Welche sind maximal?
Übung A.2.5 (Komplexe Zahlen). Sei (X 2 + 1) das von X 2 + 1 erzeugte Ideal in R[X].
Zeige:
R[X]/(X 2 + 1) ∼ = C .

A.2 Integritätsbereiche 151
Übung A.2.6 (Lokalisierung). Diese Aufgabe behandelt folgende Frage: Gegeben ein
kommutativer Ring R und eine geeignete Teilmenge S ⊆ R. Wie findet man einen möglichst
kleinen Ring R ′ , der R enthält und in dem die Elemente aus S Einheiten sind?
Sei R ein kommutativer Ring (R ist nicht notwendig nullteilerfrei). Sei S eine nichtleere
Teilmenge von R, so dass
• 1 ∈ S, 0 /∈ S.
• a, b ∈ S impliziert ab ∈ S.
Auf R × S definieren wir die Relation ∼ durch
(r 1 , s 1 ) ∼ (r 2 , s 2 ) ⇐⇒ ∃s ∈ S mit (r 1 s 2 − r 2 s 1 )s = 0.
1. Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Sei S −1 R die Menge der Äquivalenzklassen der Relation ∼ in R×S. Die Äquivalenzklasse
von (r, s) ∈ R × S sei mit r bezeichnet. Zeige: Durch
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r1 r2 r1s 2 + r 2s 1
r1 r2 r1r 2
+ :=
und · :=
s 1 s 2 s 1s 2 s 1 s 2 s 1s 2
werden Verknüpfungen auf S −1 R definiert, so dass S −1 R ein kommutativer Ring ist.
3. Sei
φ : R → S −1 R, r ↦→ r 1 .
Zeige: φ ist ein Ringhomomorphismus, und φ ist genau dann injektiv, wenn S keine
Nullteiler enthält. Die Elemente s 1
s 2
in S −1 R mit s 1, s 2 ∈ S sind Einheiten.
Übung A.2.7 (Quotientenring). Sei (X 2 − 1) das von X 2 − 1 erzeugte Ideal in R[X].
Zeige:
R[X]/(X 2 − 1) ∼ = R × R ,
wobei R × R mit komponentenweiser Addition und Multiplikation versehen ist.
Übung A.2.8 (Modulorechnung). Man finde alle Lösungen der folgende Gleichungen in
Z/7Z, wobei Elemente in Z/7Z durch k := k + 7Z beschrieben werden:
1. 5 · x = 4,
2. y 2 − y + 1 = 0.
Bestimme eine quadratische Gleichung, welche in Z/7Z keine Lösung besitzt.
Übung A.2.9 (Ideale und Körper). Seien K 1, . . . , K n Körper und R := K 1 ×· · ·×K n mit
komponentenweiser Addition und Multiplikation. Ist R ein Körper? Bestimme alle Ideale
in R. Welches sind Primideale, welches sind maximale Ideale?
Übung A.2.10. Sei [a, b] ⊆ R ein kompaktes Intervall und R := C([a, b]) der Ring der
stetigen Funktionen auf [a, b] mit punktweiser Addition und Multiplikation. Zeige: Ein Ideal
I ⊆ R ist maximal genau dann, wenn es ein x ∈ [a, b] gibt, so dass I = {f ∈ R | f(x) = 0}.
Übung A.2.11. In einem Integritätsbereich R heißt ein Element r ∈ R \ R × irreduzibel,
falls sich r nicht in das Produkt von zwei Nicht-Einheiten zerlegen lässt, d.h. r = ab mit
a, b ∈ R impliziert a ∈ R × oder b ∈ R × . Zeige:
1. Ist p ∈ R prim, so ist p irreduzibel.
2. Ist R faktoriell, so gilt auch die Umkehrung von a).
Übung A.2.12 (Irreduzibilität).
1. Bestimme alle irreduziblen Polynome in R[X].
2. Zeige, dass f = X 5 + X 2 + 1 irreduzibel ist in (Z/2Z)[X].

152 A Ringe
A.3 Euklidische Ringe
Satz A.3.1 (Polynomdivision). Sei R ein kommutativer Ring und f, g ∈ R[X]\
{0}.
(i) Wenn die höchsten (von Null verschiedenen) Koeffizienten von f und g sich
nicht zu Null multiplizieren, dann gilt
deg(fg) = deg(f) + deg(g).
(ii) Wenn der höchste Koeffizient von g eine Einheit ist, dann gibt es eindeutig
bestimmte Polynome q, r ∈ R[X] mit f = qg + r, wobei entweder r = 0 oder
deg(r) < deg(g) gilt.
Beweis. Idee: Setze f und g als Linearkombination der X i an, multipliziere aus, und
berechne den Koeffizienten der höchsten vorkommenden Potenz.
Sei f = ∑ m
i=0 a iX i und g = ∑ n
i=0 b iX i mit a m ≠ 0 ≠ b n . Dann gilt deg(f) = m
und deg(g) = n.
(i) fg = a m b n X m+n + ∑ n+m−1
(∑
i=0 l+m=i a )
lb m X i . Weil aber a m b n ≠ 0 nach
Voraussetzung, folgt deg(fg) = m + n.
(ii) Existenz von q und r: Wenn m < n, dann wähle q = 0 und r = f. Wir können
also n ≤ m annehmen, so dass
f = (a m b −1
n X m−n )g + ˜f,
wobei entweder ˜f = 0 oder deg( ˜f) < m. Wenn ˜f = 0, dann wählen wir r = 0
und q = a m b −1
n X m−n . Andernfalls finden wir mit Induktion über den Grad
Elemente ˜q, ˜r ∈ R[X] wie im Satz angegeben, insbesondere mit ˜f = ˜qg + ˜r. Es
gilt dann
f = (a m b −1
n X m−n + ˜q)g + ˜r,
was die Existenz von q und r beweist.
Für Eindeutigkeit nehmen wir zwei Zerlegungen f = qg + r = ˜qg + ˜r wie
angegeben an. Dann gilt (˜q − q)g = r − ˜r und mit (i)
deg ( (˜q − q)g ) = deg(q − ˜q) + deg(g) > deg(r − ˜r)
falls ˜q ≠ q. Also gilt q = ˜q und dann auch r = ˜r.
⊓⊔
Beispiel A.3.2. Sei K ein Körper, R = K[X] und p ∈ R vom Grad deg(p) = n.
Weiter sei I = ( p ) das von p erzeugte Ideal in R. Zu f ∈ K[X] existieren dann nach
Satz A.3.1 q, r ∈ K[X] mit f = qp + r sowie r = 0 oder deg(r) < n. Dies liefert
f + I = r + I, d.h. jede Nebenklasse hat einen Vertreter vom Grad kleiner als n.
Für p = X 2 + 1 und K = R erhält man
(a + bX + I)(c + dX + I) = (a + bX)(c + dX) + I = ac + (bc + ad)X + bd X 2 + I.
Wegen X 2 = −1 + p können wir dies zu
(a + bX + I)(c + dX + I) = (bc + ad)X + (ac − bd) + I

A.3 Euklidische Ringe 153
umschreiben. Wenn jetzt a ≠ 0 oder b ≠ 0, dann ergibt sich mit c =
d = die Gleichung
−b
a 2 +b 2
( )
a
(a + bX + I)
a 2 + b 2 − b
a 2 + b 2 X + I = 1 + I.
a
a 2 +b 2
Damit haben wir gezeigt, dass R[X]/ ( p ) ein Körper ist. Es ist dann leicht zu verifizieren,
dass
R[X]/ ( p ) → C
a + bX + ( p ) ↦→ a + ib
ein Isomorphismus ist. Die diesem Isomorphismus zugrunde liegende Vorstellung ist:
C ist erzeugt von R und einem Element x (nämlich dem Bild von X in R[X]/(X 2 +
1)), das die Gleichung x 2 = −1 erfüllt. ⊓⊔
und
Die folgende Definition abstrahiert zwei für Fragen der Teilbarkeit wesentliche
Eigenschaften der ganzen Zahlen und macht sie so auch für gewisse andere Ringe
(z.B. Polynomringe über einem Körper) verfügbar.
Definition A.3.3. Sei R ein Integritätsbereich. R heißt ein Hauptidealring, wenn
jedes Ideal I in R von der Form I = xR mit x ∈ R ist. R heißt ein euklidischer
Ring, wenn es eine Funktion g : R \ {0} → N 0 gibt, die folgende Eigenschaften hat:
(a) g(ab) ≥ g(a) für alle a, b ∈ R \ {0}.
(b) Wenn a ∈ R \ {0} und b ∈ R, dann gibt es Elemente q, r ∈ R mit
b = qa + r, wobei r = 0 oder g(r) < g(a) (Division mit Rest).
Die Funktion g mit den Eigenschaften (a) und (b) heißt eine Gradfunktion für R.
Beispiel A.3.4. (i) Z ist ein euklidischer Ring mit g(n) = |n|.
(ii) Sei K ein Körper. Dann ist K[X] ein euklidischer Ring mit Gradfunktion deg.
Dies folgt sofort aus Satz A.3.1, weil in einem Körper jedes von Null verschiedene
Element eine Einheit ist.
⊓⊔
Die folgende Proposition steht in engem Zusammenhang mit Beispiel A.2.8.
Proposition A.3.5. (i) Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
(ii) Sei R ein Hauptidealring. Dann haben zwei Elemente a, b ∈ R einen bis auf
Multiplikation mit einer Einheit eindeutigen ggT und dieser ist in der Menge
{ma + nb | n, m ∈ R} enthalten.
Beweis. Idee: Betrachte ein Element minimalen Grades in I.
(i) Sei I ein Ideal in R. Wenn I = {0} ist, dann gilt I = 0 · R. Andernfalls wählen
wir ein Element d ∈ I mit minimalem g(d). Für jedes i ∈ I finden wir dann
q, r ∈ R mit i = qd + r und r = 0 oder g(r) < g(d). Da aber r = i − qd ∈ I ist,
kann der zweite Fall nicht auftreten, so dass i = dq ∈ dR. Umgekehrt ist mit d
auch dR in I, also gilt I = dR.

154 A Ringe
(ii) Setze
⟨a, b⟩ := {na + mb | n, m ∈ R}
für a, b ∈ R. Dann rechnet man sofort nach, dass ⟨a, b⟩ ein Ideal in R ist, also
nach Voraussetzung von der Form dR. Dann ist d ein gemeinsamer Teiler von a
und b. Da aber d ∈ ⟨a, b⟩ ist, gibt es n, m ∈ R mit d = na + mb. Daher ist jeder
gemeinsame Teiler von a und b auch Teiler von d. Also ist d ein ggT von a und
b.
Um die Eindeutigkeitsaussage zu zeigen, nehmen wir an, dass d und d ′ jeweils
ggTs von a und b sind. Dann gibt es r, r ′ ∈ R mit dr = d ′ und d = d ′ r ′ , also
d = drr ′ . Wegen Proposition A.2.3 liefert dies 1 = rr ′ (R ist insbesondere eine
Integritätsbereich), d.h. r und r ′ sind Einheiten in R.
Beachte, dass aus der Existenz eines ggT von zwei Elementen sofort auf die
Existenz eines ggT von endlich vielen Elementen geschlossen werden kann.
⊓⊔
Algorithmus A.3.6 (Euklid). Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion
g. Um einen ggT zu berechnen, geht man vor wie für die ganzen Zahlen: Seien
a, b ∈ R \ {0} und o.B.d.A. g(a) ≤ g(b). Schreibe b = qa + r mit r = 0 oder
g(r) < g(a). Wenn r = 0, dann ist a ein ggT von a und b. Wenn r ≠ 0, dann ist
jeder ggT von a und r auch ein ggT von a und b. Also wiederholt man das Verfahren
für r und a. Weil der minimale Grad der beiden Elemente in jedem Schritt echt
abnimmt, terminiert das Verfahren. In Formeln ausgedrückt:
b = q 1 a + r 1 deg(r 1 ) < deg(g)
a = q 2 r 1 + r 2 deg(r 2 ) < deg(r 1 )
.
r j = q j+2 r j+1 + r j+2 deg(r j+2 ) < deg(r j+1 )
.
r n = q n+2 r n+1 + 0
Jetzt kann man überprüfen, dass r n+1 = ggT(a, b) gilt. Wegen r n+1 | r n und
r n−1 = q n+2 r n + r n+1 findet man r n+1 | r n−1 etc., d.h. letztendlich
r n+1 | a, b
und das liefert r n+1 | ggT(a, b). Umgekehrt, wenn d | a, b, so erhält man erst d | r 1 ,
dann d | r 2 etc., also schließlich d | r n+1 und damit ggT(a, b) = r n+1 . Beachte, dass
r n+1 = r n−1 − q n+1 r n
= r n−1 − q n+1 (r n−2 − q n r n−1 )
= (−q n+1 )r n−2 + (1 + q n q n+1 )r n−1
.
= na + mb,
wobei m, n ∈ R durch Division mit Rest bestimmbar sind.
Übung A.3.1. Sei R ein Hauptidealring. Zeige: k Elemente a 1 , . . . , a k ∈ R haben einen
bis auf Äquivalenz eindeutigen ggT und dieser ist in der Menge { ∑ k
j=1
mjaj | mj ∈ R}
enthalten.

A.3 Euklidische Ringe 155
Übung A.3.2. Sei R ein euklidischer Ring. Man gebe einen Algorithmus an, der zu
a 1 , . . . , a k ∈ R einen ggT(a 1 , . . . , a k ) bestimmt.
Proposition A.3.7. Sei R ein Hauptidealring. Wenn ggT(a, b) = 1 und a | bc,
dann gilt a | c.
Beweis. Wegen Proposition A.3.5 gibt es r, s ∈ R mit 1 = ra+sb, also c = cra+csb.
Mit der Voraussetzung findet man dann ein d ∈ R mit bc = ad. Dies liefert c =
a(cr + sd) und schließlich a | c.
⊓⊔
Lemma A.3.8. Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Seien a, b ∈ R \
{0}. Wenn b | a, aber nicht a | b, dann gilt g(b) < g(a).
Beweis. Idee: Teile mit Rest.
Die Voraussetzungen zeigen: Einerseits gilt b = qa+r mit r ≠ 0 und g(r) < g(a),
andererseits haben wir a = cb. Daher rechnet man
r = b − qa = (1 − qc)b
und findet g(a) > g(r) ≥ g(b).
⊓⊔
Proposition A.3.9. Sei R ein Hauptidealring. Dann ist jedes Primideal I ≠ {0}
maximal.
Beweis. Idee: Schreibe den Erzeuger von I als Produkt und wende Proposition A.2.13
an.
Sei I ≠ {0} prim und J ✁ R ein Ideal, das I enthält. Da R ein Hauptidealring
ist, gibt es a, b ∈ R mit I = (a) und J = (b). Nach Proposition A.2.13(iii) ist a ∈ R
prim. Wegen I ⊂ J gilt a = br mit r ∈ R. Jetzt zeigt Proposition A.2.13(i), dass
r oder b eine Einheit ist. Im ersten Fall gilt I = J und im zweiten J = R. Dies
beweist die Maximalität von I.
⊓⊔
Übung A.3.3. Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Zeige:
(i) g(1) ≤ g(r) für alle r ∈ R.
(ii) Wenn g(b) = g(1), dann ist b eine Einheit in R.
Übung A.3.4. Sei n ∈ Z eine quadratfreie Zahl und √ n ∈ C eine Wurzel von n. Zeige:
(i) Q( √ n) := {x+y √ n: x, y ∈ Q} ist ein Körper bzgl. der üblichen Operationen. (Hinweis:
Für u = x + y √ n ∈ Q( √ n) betrachte u = x − y √ n ∈ Q( √ n).)
(ii) Z[ √ n] := {x + y √ n: x, y ∈ Z} ist ein Unterring von Q( √ n).
(iii) Die Funktion g(u) = |uu| ist für n = −1, −2, 2 eine Gradfunktion für R.
(iv) Der Ring Z[ √ −5] ist kein Hauptidealring. (Hinweis: Benütze 9 = 3·3 = (2+ √ −5)(2−
√ −5) um zu zeigen, dass 3Z[
√ −5] zwar maximal in der Menge aller Ideale der Form
xZ[ √ −5], d.h. in der Menge aller Hauptideale ist, aber nicht prim ist.)
Übung A.3.5.
(i) Man zeige: Z[ √ −3] ist kein Hauptidealring.
(ii) Ist Z[ √ −3] ein euklidischer Ring?

156 A Ringe
(iii) Man zeige, dass die Einheiten von Z[ √ −3] genau die Elemente a + b √ −3 ∈ Z[ √ −3]
sind mit a 2 + 3b 2 = 1.
Übung A.3.6. Man berechne den ggT von
in Q[X].
f = X 3 + X 2 + X − 3 und g = X 6 − X 5 + 6X 2 − 13X + 7
Übung A.3.7. (i) Betrachte den Ring R := Z[X]/(X 4 +1)Z[X] und setze x := X +(X 4 +
1)Z[X] ∈ R. Berechne die ganzen Zahlen c i in
(
3∑
3∑
) ( 3∑
)
c i x i = a i x i b i x i
i=0
i=0
i=0
in Abhängigkeit von den vorgegebenen ganzen Zahlen a i und b i .
(ii) Sei K ein Körper und f ∈ K[X]\{0}. Zeige: Jede Nebenklasse von K[X]/fK[X] enthält
genau ein Element g ∈ K[X] mit g = 0 oder deg(g) < deg(f).
(iii) Sei L ein Körper und K ein Unterkörper von L (man spricht dann von einer
Körpererweiterung K ⊆ L). Seien weiter f, g ∈ K[X]. Zeige: Der ggT von f und
g, betrachtet als Elemente von K[X] ist gleich dem ggT von f und g, betrachtet als
Elemente von L[X].
Übung A.3.8. Zeige, dass Z[i] := {x + iy | x, y ∈ Z} ein Unterring von C ist, und dass
g : Z[i] → N 0 mit
g(x + iy) = x 2 + y 2 = |x + iy| 2
eine Gradabbildung ist, durch die Z[i] zu einem euklidischen Ring wird.
Übung A.3.9 (Euklidischer Algorithmus).
1. Es seien die ganzen Zahlen x := 1234 und y := 56789 gegeben. Berechne den größten
gemeinsamen Teiler von x und y, und finde ganze Zahlen a und b mit ggT(x, y) =
a · x + b · y.
2. Es seien die Polynome p := X 6 + 3 X 4 − 2 und q := 2 X 5 + 4 X 3 + 2 X gegeben.
Berechne den größten gemeinsamen Teiler von p und q in R[X], und finde Polynome
g und f aus R[X] mit ggT(p, q) = f · p + g · q.
Übung A.3.10. Sei R ein Integritätsbereich und a ∈ R \ {0} keine Einheit. Zeige, dass das
von a und X erzeugte Ideal in R[X] kein Hauptideal ist.
Bemerkung: Dies zeigt, dass R[X] nur dann ein Hauptidealring sein kann, wenn R schon
ein Körper ist. In diesem Fall ist R[X] sogar ein euklidischer Ring, also insbesondere ein
Hauptidealring.
A.4 Faktorielle Ringe
Definition A.4.1. Sei R ein Integritätsbereich. Dann heißt R ein faktorieller
Ring, wenn jede Nicht-Einheit 0 ≠ r ∈ R \ Unit(R) sich als Produkt von Primelementen
schreiben lässt.
Proposition A.4.2. Sei R faktoriell und r ∈ R \ Unit(R). Wenn r = p 1 · · · p k =
q 1 · · · q l mit p i , q j prim ist, dann gilt k = l und es gibt eine bijektive Zuordung
{p 1 , . . . , p k } → {q 1 , . . . , q l }, p i ↦→ q ji mit q ji assoziiert zu p i .

A.4 Faktorielle Ringe 157
Beweis. Idee: Man zeigt, dass p 1 assoziiert zu einem q j ist und wendet Induktion über
die Anzahl der Primfaktoren an.
Weil p 1 | q 1 (q 2 · · · q l ), gilt p 1 | q 1 oder p 1 | q 2 · · · q l , d.h. letztendlich finden wir
ein q j mit p 1 | q j . Es gibt also ein a ∈ R mit p 1 a = q j . Da aber auch q j prim ist,
folgt aus Proposition A.2.13, dass a ∈ Unit(R). Also sind p 1 und q j assoziiert. Wir
setzen j 1 := j und können o.B.d.A. annehmen, dass j 1 = 1.
Wenn k = 1, dann ist r = p 1 prim und l = 1, da das Produkt von Nichteinheiten
keine Einheit sein kann.
Wenn k > 1, dann können wir schreiben r = p 1 r ′ mit r ′ = p 2 · · · p k . Dann gibt
es eine Einheit u ∈ R mit up 1 = q 1 , also r ′ = uq 2 · · · q l und die Behauptung folgt
mit Induktion.
⊓⊔
Man sieht sofort, dass man jedes von Null verschiedene Element in einem faktoriellen
Ring in der Form up 1 · · · p k mit u ∈ Unit(R) und p i prim schreiben kann.
Satz A.4.3. Sei R ein euklidischer Ring. Dann ist R faktoriell.
Beweis. Idee: Induktion über den Grad von r, Teilen mit Rest und Lemma A.3.8.
Sei r ∈ R. Wir wollen zeigen, dass r entweder eine Einheit ist oder sich als
Produkt r = p 1 · · · p k von Primelementen p 1 , . . . , p k ∈ R schreiben lässt. Dazu
machen wir eine Induktion über den Grad g(r) von r, d.h. wir nehmen an, dass
jedes Element von kleinerem Grad entweder eine Einheit ist oder als Produkt von
Primelementen geschrieben werden kann.
Wenn r eine Einheit oder ein Primelement ist, ist nichts mehr zu zeigen. Daher
können wir annehmen, dass 0 ≠ r ∈ R \ Unit(R) kein Primelement ist. Dann gibt
es a, b ∈ R mit r|ab, nicht aber r|a oder r|b.
Man kann a und b so wählen kann, dass g(a), g(b) < g(r). Um das einzusehen,
teilen wir a und b mit Rest durch r und finden
a = cr + a ′ , b = dr + b ′
mit a ′ ≠ 0 ≠ b ′ sowie g(a ′ ), g(b ′ ) < g(r). Außerdem gilt r|a ′ b ′ , nicht aber r|a ′ oder
r|b ′ . Mit anderen Worten, a ′ und b ′ haben die gewünschten Eigenschaften.
Wir wählen jetzt a und b mit den genannten Eigenschaften so, dass g(a) minimal
ist. Weil a und b keine Einheiten sind (andernfalls hätte man r|b bzw. r|a) folgt aus
g(a), g(b) < g(r), dass sich a und b als Produkte von Primelementen schreiben
lassen:
a = p 1 · · · p k , b = q 1 · · · q l .
Schreibe jetzt ab = rs mit s ∈ R. Weil p 1 prim ist, folgt p 1 |r oder p 1 |s. Wir
zeigen, dass der Fall p 1 |s nicht auftreten kann: Dazu schreibt man a = p 1 a ′ und
s = p 1 s ′ . Dann gilt rp 1 s ′ = rs = ab = p 1 a ′ b, also rs ′ = a ′ b. Beachte, dass a kein
Teiler von a ′ sein kann, weil ar ′ = a ′ die Gleichung p 1 r ′ a ′ = a ′ , also p 1 r ′ = 1 zur
Folge hätte. Dann wäre p 1 eine Einheit im Widerspruch zur Voraussetzung, dass
p 1 prim ist. Also haben wir a ′ |a und a̸ | a ′ , sodass Lemma A.3.8 die Ungleichung
g(a ′ ) < g(a) liefert. Da aber r|a ′ b sowie r̸ | b und r̸ | a ′ (andernfalls gälte r|a), ist
dies ein Widerspruch zur Minimalität von g(a).
Wir haben also jetzt gezeigt, dass p 1 |r, d.h. es gibt ein r 1 ∈ R mit r = p 1 r 1 .
Dann gilt r 1 |r und wie zuvor sieht man, dass r 1̸ | r, weil p 1 keine Einheit ist. Also
liefert Lemma A.3.8 diesmal, dass g(r) > g(r ′ ). Also r 1 entweder eine Einheit oder
das Produkt von Primelementen. Aber dann ist r = p 1 r ′ in jedem Falle ein Produkt
von Primelementen.
⊓⊔

158 A Ringe
Allgemeiner kann man zeigen, dass jeder Hauptidealring faktoriell ist.
Bemerkung A.4.4. Sei K ein Körper, dann ist K[X] nach Beispiel A.3.4(ii) euklidisch,
also nach Satz A.4.3 faktoriell. Ein Polynom vom Grad größer Null in K[X]
ist also genau dann prim, wenn es nicht als Produkt von zwei Polynomen vom Grad
größer Null geschrieben werden kann.
⊓⊔
Definition A.4.5. Sei K ein Körper. Ein Polynom in K[X 1 , . . . , X k ], das nicht als
Produkt von zwei Polynomen vom Grad größer Null geschrieben werden, kann nennt
man auch irreduzibel.
Im Prinzip ist die Definition auch sinnvoll, wenn man K durch einen Integritätsbereich
ersetzt. Man verallgemeinert den Begriff Irreduzibilität für Elemente
von Integritätsbereichen (insbesondere Polynomringen über Integritätsbereichen)
aber in der folgenden Form: Sei R ein Integritätsbereich und a ∈ R keine Einheit.
Dann heißt a irreduzibel, wenn man a nicht in der Form a = rs schreiben kann,
wobei weder r ∈ R noch s ∈ R eine Einheit von R ist.
Diese Definition ist kompatibel mit der von irreduziblen Polynomen über Körpern,
weil die Einheiten in K[X] genau die von Null verschiedenen Elemente von K sind.
Andererseits ist für R = Z[X] das Element a = 2X reduzibel, weil 2 ∈ Z[X] keine
Einheit ist, obwohl man a nicht als Produkt von zwei Polynomen vom Grad größer
als Null schreiben kann.
Lemma A.4.6. Sei R kommutativ und p ∈ R prim. Dann ist pR[X] ein Primideal
in R[X].
Beweis. Idee: Betrachte den kanonischen Homomorphismus ϕ: R → R/pR und ∑ a jX j ↦→
∑ ϕ(aj )X j , dann zeige, dass R[X]/pR[X] ein Integritätsbereich ist.
Sei ϕ: R → R/pR der kanonische Homomorphismus und ˜ϕ: R[X] → (R/pR)[X]
definiert durch ∑
aj X j ↦→ ∑ ϕ(a j )X j .
Dann ist ˜ϕ ein surjektiver Homomorphismus mit Kern
ker ˜ϕ
{ ∑ ∣ }
= aj X j ∣∣ aj ∈ pR = pR[X].
Also (vgl. Übung A.1.4) faktorisiert ˜ϕ zu einem Isomorphismus
R[X]/pR[X] ∼ = (R/pR)[X].
Insbesondere ist nach Proposition A.2.10 und Proposition A.2.4 (R/pR)[X] ein Integritätsbereich,
weil pR prim ist. Also ist auch R[X]/pR[X] ein Integritätsbereich,
und wieder mit Proposition A.2.10 schließen wir, dass pR[X] prim in R[X] ist. ⊓⊔
Die Bemerkung nach Proposition A.2.13 zeigt, dass in der Situation von Lemma
A.4.6 das Primelement p ∈ R, betrachtet als Element von R[X], auch prim
ist.
Definition A.4.7. Sei R faktoriell. Ein Polynom f ∈ R[X] heißt primitiv, wenn
die Koeffizienten von f teilerfremd sind, d.h. es gibt kein Primelement p ∈ R, das
alle Koeffizienten teilt.

A.4 Faktorielle Ringe 159
Wenn f = ∑ k
j=0 a jX j und g = ∑ m
j=0 b jX j . Für p ∈ R gilt die Gleichheit f = pg
genau dann, wenn k = m und
∀j = 0, . . . , k : a j = pb j .
Dies zeigt, dass p genau dann alle Koeffizienten von f teilt, wenn p|f in R[X] gilt.
Lemma A.4.8. Sei R faktoriell und f, g ∈ R[X] primitiv. Dann ist auch fg primitiv.
Beweis. Sei p ∈ R prim und p|fg. Da nach Lemma A.4.6 p auch als Element von
R[X] prim ist, folgt p|f oder p|g im Widerspruch zur Primitivität von f und g. ⊓⊔
Lemma A.4.9 (Gauß–Lemma).
von R. Weiter sei f ∈ K[X].
Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper
(i) f = c(f)f 1 mit c(f) ∈ K und f 1 ∈ R[X] primitiv. Dabei ist c(f) bis auf
Vielfache in Unit(R) eindeutig bestimmt.
(ii) c(fg) ∈ c(f)c(g) Unit(R).
Beweis. Idee: c(f) wird aus Zähler und Nenner der Koeffizienten von f durch eine
passende ggT-Bildung konstruiert.
(i) Sei
f =
k∑
j=0
r j
s j
X j
mit r j , s j ∈ R und d := s 0 · · · s k . Dann gilt df ∈ R[X]. Wenn d ′ ein ggT
von d r 0
s 0
, . . . , d r k
sk
und a := d d
ist, dann ist f ′ 1 = af primitiv. Dies zeigt die
Existenzaussage. Für die Eindeutigkeit nehmen wir an
f = cf 1 = ˜c ˜f 1
mit f 1 , ˜f 1 ∈ R[X] primitiv und c, ˜c ∈ K. Wir schreiben c = a ã
b
und ˜c = mit
˜b
a, b, ã,˜b ∈ R. Dann sind a˜b und ãb ggT’s der Koeffizienten von g := a˜bf 1 = ãb ˜f 1 .
Also gibt es ein u ∈ Unit(R) mit a˜b = uãb, das dann c = u˜c erfüllt.
(ii) Wenn f = c(f)f 1 und g = c(g)g 1 , dann gilt fg = c(f)c(g)f 1 g 1 und f 1 g 1 ist nach
Lemma A.4.8 primitiv. Damit folgt die Behauptung aus der Eindeutigkeitsaussage
von Teil (i).
Man nennt das Element c(f) ∈ K für f ∈ K[X] den Inhalt von f. Der Inhalt ist
nur bis auf Vielfache in den Einheiten von R bestimmt (ähnlich wie der ggT). Wenn
f ∈ R[X], dann kann man f = rf 1 mit r ∈ R und f 1 ∈ R[X] primitiv schreiben
indem man einen ggT der Koeffizienten von f ausklammert. Insbesondere ist also
der Inhalt eines Polynoms in R[X] ein Element von R.
⊓⊔
Lemma A.4.10. Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R. Weiter sei
f ∈ R[X].
(i) Wenn deg(f) = 0, dann ist f genau dann prim, wenn es prim als Element von
R ist.
(ii) Wenn deg(f) > 0, dann ist f genau dann prim, wenn f primitiv ist und irreduzibel
(d.h. prim) in K[X].

160 A Ringe
Beweis. Idee: Man führt das auf Lemma A.4.6 und das Gauß–Lemma A.4.9 zurück.
(i) Wenn f ∈ R[X] Grad Null hat und prim in R[X] ist, ist es automatisch prim
auch in R. Die Umkehrung folgt aus Lemma A.4.6.
(ii) Wir nehmen an, f ∈ R[X] sei prim und f = rf 1 mit r ∈ R und f 1 ∈ R[X]
primitiv. Dann gilt f|f 1 weil f|r wegen Grad f > 0 nicht möglich ist. Mit
Proposition A.2.13(i) folgt r ∈ Unit(R), d.h. f ist primitiv.
Wenn f = gh mit g, h ∈ K[X] mit deg(g), deg(h) > 0, dann gilt c(g)c(h) ∈ R,
d.h. es gibt ein r ∈ R und primitive Polynome positiven Grades g 1 , h 1 ∈ R[X]
mit f = rg 1 h 1 im Widerspruch dazu, dass f prim ist. Also ist f irreduzibel in
K[X].
Umgekehrt nehmen wir jetzt an, dass f primitiv ist und irreduzibel in K[X]. Es
gelte f|gh mit g, h ∈ R[X]. Da f als Element von K[X] prim ist (Bemerkung
A.4.4), können wir o.B.d.A. annehmen, dass f|g in K[X]. Also gibt es ein k ∈
K[X] mit fk = g. Da f primitiv ist, gilt c(g) ∈ c(k) Unit(R), also c(k) ∈ R und
schließlich k ∈ R[X]. Damit haben wir f|g auch in R[X].
⊓⊔
Satz A.4.11 (Gauß). Sei R ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
R[X] faktoriell.
Beweis. Idee: Kombiniere Lemma A.4.10 mit dem Gauß–Lemma A.4.9.
Sei 0 ≠ f ∈ R[X]. Dann haben wir f = f 1 · · · f k mit f j ∈ K[X] irreduzibel (und
wir können die Zerlegung so wählen, dass deg(f j ) > 0 für j > 1). Wir schreiben
f i = c(f i )g i mit g i ∈ R[X] primitiv. Dann sind die g i immer noch irreduzibel
in K[X], also prim in R[X] nach Lemma A.4.10. Wegen Lemma A.4.9 gilt c :=
c(f 1 ) · · · c(f k ) ∈ c(f) Unit(R) ⊆ R und wir schreiben c = p 1 · · · p l mit p i prim in R
falls c keine Einheit ist. Wieder mit Lemma A.4.10 sehen wir, dass die diejenigen
p i mit deg(g i ) > 0 prim in R[X] sind. Falls deg(g 1 ) = 0 gilt g 1 ∈ Unit(R), d.h. wir
können annehmen, dass g 1 = 1. Zusammen haben wir die f = c ∈ Unit(R) falls
k = 1 und c = c(f 1 ) ∈ Unit(R) ist oder Zerlegungen in Primelemente der folgenden
Form ⎧
p 1 · · · p l g 1 · · · g k falls deg(g 1 ) > 0 und c ∉ Unit(R),
⎪⎨
(cg 1 )g 2 · · · g k falls deg(g 1 ) > 0 und c ∈ Unit(R),
f =
p 1 · · · p l g 2 · · · g k falls deg(g 1 ) = 0 und c ∉ Unit(R),
⎪⎩
(cg 2 )g 3 · · · g k falls deg(g 1 ) = 0 und c ∈ Unit(R).
.
⊓⊔
Übung A.4.1 (Ringtypen). Ordne die Begriffe Ring, kommutativer Ring, Körper, Integritätsbereich,
Hauptidealring, euklidischer Ring, faktorieller Ring in einem Diagramm an.
Bestimme Beispiele für die einzelnen Ringe. Welche Eigenschaften vererben sich von einem
Ring auf den Polynomring in einer/mehreren Veränderlichen?
Übung A.4.2. Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R, f ∈ R[X] und g ∈
K[X]. Zeige: Wenn die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind und g|f, dann ist
g ∈ R[X].
Übung A.4.3. Es sei Z[i] := {a + bi | a, b, ∈ Z; i 2
Zahlen).
= −1} (Ring der ganzen Gaußschen

A.4 Faktorielle Ringe 161
(i) Man beweise, dass dieser Ring mit der Norm g(a + bi) := a 2 + b 2 euklidisch ist (Rechnung
ausführen!).
(ii) Ist Z[i] faktoriell?
(iii) Man bestimme die Einheitengruppe von Z[i]. (Hinweis: Man überlege, wie Inverse
gebildet werden in Zusammenhang mit der Norm.)
Übung A.4.4. Sei n ∈ Z mit n /∈ {k 2 |k ∈ Z} und √ n ∈ C eine Wurzel von n. Sei
Z[ √ n] = {a + b √ n | a, b ∈ Z} wie in Übung A.3.4.
1. Zeige, dass die Normabbildung
N : Z[ √ n] → N, x = a + b √ n → N(x) := |a 2 − nb 2 |
die Eigenschaft N(xy) = N(x)N(y) erfüllt für alle x, y ∈ Z[ √ n].
2. Zeige: x ∈ Z[ √ n] × genau dann, wenn N(x) = 1.
3. Zeige, dass Z[ √ −5] nicht faktoriell ist.
Hinweis: Zeige, dass 3 ∈ Z[ √ −5] irreduzibel aber nicht prim ist, vgl. Übung A.2.11
Übung A.4.5 (Teilbarkeit). Sei R faktoriell und K der Quotientenkörper von R, f ∈ R[X]
und g ∈ K[X]. Zeige: Wenn die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind und g|f
in K[X], dann ist g ∈ R[X].
Übung A.4.6 (Irreduzibilitätkriterium). Sei φ : R → S ein Homomorphismus von Integritätsbereichen
R, S. Zeige:
1. Die Abbildung
˜φ : R[X] → S[X], f =
n∑
c iX i ↦→ ˜φ(f) :=
i=0
n∑
φ(c i)X i
ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sei f ∈ R[X] primitiv und deg( ˜φ(f)) = deg(f) > 0. Ist ˜φ(f) irreduzibel, so ist f
irreduzibel.
3. f = X 4 + 3X 3 + X 2 − 2X + 1 ist irreduzibel in Z[X].
Übung A.4.7 (Primelemente). Sei R ein faktorieller Ring. Zeige, dass es in R[X] unendlich
viele normierte Polynome gibt, die prim sind.
i=0

Literaturverzeichnis
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[Sp81] Springer, T., Linear Algebraic Groups. Birkhäuser, Boston, 1981

Sachverzeichnis
(f 0 : . . . : f m), rationale Abbildung, 36
D f , homogene Elemente des projektiven
Nennerideals, 33
I(X), Verschwindungsideal einer Menge, 8
I(X), homogenes Verschwindungsideal, 28
T P (V ), Tangentialraum der affinen
Varietät V im Punkt P , 54
V (I), Nullstellenmenge eines Ideals, 8
V (f), Verschwindungsmenge im projektiven
Raum, 27
A n K, affiner Raum, 8
K[V ], Koordinatenring von V , 15
dim(V ), Dimension einer affinen Varietät,
55
O V,P , in P reguläre rationale Funktionen
auf V , 18, 32
O V,P , lokaler Ring in P ∈ V (proj.
Varietät), 33
Reg(V ), Menge der regulären Punkte einer
affinen Varietät, 55
Reg(V ), reguläre Punkte einer Hyperfläche,
47
Sing(V ), Menge der singulären Punkte
einer affinen Varietät, 55
Sing(V ), singuläre Punkte einer Hyperfläche,
47
dom (f), Definitionsbereich einer rationalen
Abbildung, 19
dom (f), Definitionsbereich einer rationalen
Funktion, 18, 32
rad I, Radikal eines Ideals, 9
µ P (V ), Vielfachheit einer Hyperfläche in
einem Punkt, 47
µ P (V, L), Schnittvielfachheit mit einer
Gerade, 51
µ P (f), Vielfachheit eines Polynoms in
einem Punkt, 46
µ P (f, L), Schnittvielfachheit mit einer
Geraden, 50
f (P ) , Leitterm eines Polynoms f in einem
Punkt P , 46
m P , Verschwindungsideal von P , 9
AffVar K , Kategorie, 82
c(f), Inhalt von f, 159
Cent(R), Zentrum eines Ringes R, 140
deg(f), Grad eines Polynoms, 142
ev x , Auswertung, 143
F(M, K), Funktionenraum, 104
ggT(a 1 , . . . , a k ) für Ringe, 148
GL n(K), allgemeine lineare Gruppe, 103
G a, additive Gruppe, 103
G m, multiplikative Gruppe, 103
Gr, Kategorie, 82
H(G), lokale Distributionen, 114
H(G) α , lokale Distributionen vom Grad
≤ α, 114
K-Alg, Kategorie, 82
Lie(G), Lie-Algebra von G, 114
Mor(Y, X), Morphismen, 97
O(β), orthogonale Gruppe, 136
P n K , projektiver Raum, 25
rest ]c,d[ , Restriktion, 143
SL n (K), spezielle lineare Gruppe, 103
Set, Kategorie, 82
Sp(β), symplektische Gruppe, 136
T op, Kategorie, 82
Unit(R), Einheiten in einem Ring R, 140
Vect K , Kategorie, 82
deg α, Grad einer lokalen Distribution, 113
o(β), orthogonale Lie-Algebra, 136
sp(β), symplektische Lie-Algebra, 136
A ∪ C B,Verklebung, 72
I ✂ R, Ideal in einem Ring, 142
K[[t]], formale Potenzreihen, 92
R G , Invariantenring, 109
R[X 1 , . . . , X k ], Polynomring, 142
R[X 1, . . . , X k ] d , homogene Polynome vom
Grad d, 142
V χ, Semiinvarianten vom Gewicht χ, 112
X(T ), Charaktere eines Torus, 112
lim
←− X n, inverser Limes, 133
R × , Einheiten in einem Ring R, 140
Abbildung
abgeschlossene, 81
Addition, 139

166 Sachverzeichnis
affiner Kegel, 30
Algebra
über einem Ring, 3
algebraisch unabhängig, 4
algebraische Menge, 8
in einem projektiven Raum, 29
assoziierte Elemente
eines Ringes, 148
Auswertungshomomorphismus, 144
Bewertung, 92
Bewertungsgruppe, 91
Bewertungsring, 81, 91
birationale Abbildung, 38
Casimir
Element, 124
Operator, 125
Cauchy
-Produkt, auf formalen Potenzreihen,
142
Charakter, 111
charakteristische Polynom, 144
Darstellung
adjungierte, 122
algebraische, 105
koadjungierte, 122
lineare, 106
reguläre, 106
vom Gewicht n, 107
Definitionsbereich
rationaler Abbildungen, 19, 36
rationaler Funktionen, 18, 32
Derivation, 110
M-wertig, 110
in p, 112
Diagonalmorphismus, 77
Dimension
einer affinen Varietät, 55
Distribution
lokale, 113
Distributionen, 112
Distributivgesetz, 139
Division mit Rest in einem euklidischen
Ring, 153
Divisionsring, 140
dominant, 69, 77, 86
dominante Abbildung
projektiver Varietäten, 38
dominante rationale Abbildung, 20
Dominanz, 83
einfache Verklebung, 73
Einheit
in einem Ring, 140
Element
irreduzibles, 158
Elementargarbe, 64
endlich erzeugtes Ideal, 6
endliche A-Algebra, 3
endliche erzeugte R-Algebra, 3
euklidischer Algorithmus, 154
euklidischer Ring, 153
Euler
Operator, 111
formale Ableitung, 45
Funktionenkörper
einer irreduziblen affinen Varietät, 18
Funktor, 82
kontravariant, 97
Gauß
-Zahlen, 140
Gauß, Carl Friedrich (1777–1855), 140, 160
Gauß, Johann Friedrich Carl (Originalname),
140
Gewicht, 107
Grad, 78
einer lokalen Distribution, 113
eines Polynoms, 142
Gradfunktion, 153
graduierter Ring, 78
Graph
einer Verklebung, 74
größter gemeinsamer Teiler, 148
Gruppe
additive, 103
algebraische, 104
allgemeine lineare, 103
linear reduktive, 125
multiplikative, 103
orthogonale, 136
spezielle lineare, 103
symplektische, 136
Hauptideal, 143
Hauptidealring, 153
Hilbert
-Basissatz, 7
-Nullstellensatz, 9
-Nullstellensatz (projektive Version), 30
homogen, 78
homogene
Komponente, 27
homogene Elemente, 109
homogenes Ideal, 27
homogenes Polynom, 26, 142
Homomorphismus
Ring-, 142
Hyperfläche
algebraische, 12
Ideal, 142
endlich erzeugtes, 6
homogenes, 27
irrelevantes, 30

Sachverzeichnis 167
maximales, 148
von einer Menge erzeugtes, 143
Immersion
abgeschlossene, 69
abgeschlosssene, 77
offene, 71, 77
Inhalt, 159
Integritätsbereich, 146
Invariante, 106
Invariantenring, 109
irreduzible
affine Varietät, 17
irreduzible Komponenten
einer affinen Varietät, 11
irreduzible Teilmenge eines affinen Raums,
11
irreduzible Teilmenge eines projektiven
Raums, 30
irreduzibles Element, 158
irreduzibles Polynom, 158
irrelevantes Ideal, 30
Isomorphismus
affiner Varietäten, 20
projektiver algebraischer Mengen, 37
Ring-, 143
Isomorphismus algebraischer Mengen, 15
Kategorie, 82
Kegel
affiner, 30
Kern
eines Ringhomomorphismus, 143
Klebedaten
allgemein, 76
Koeins, 101
Körpererweiterung, 156
Koinverse, 101
Kommutativgesetz
multiplikativ, 139
Komponente
homogene, 27
Koordinatenring
einer algebraischen Menge, 15
Koprodukt, 101
Kurven
elliptische, 104
Leitkoeffizient, 142
Leitterm
eines Polynoms in einem Punkt, 46
Lemma
von Gauß, 159
lexikographische Ordnung, 147
Lie
Algebra, 114
Klammer, 114
Limes
direkter, 99
induktiver, 99
inverser, 133
projektive, 133
Linkswirkung, 104
lokaler Ring
einer affinen Varietät in einem Punkt, 18
einer projektiven Variatät in einem
Punkt, 33
Lokalisierung, 64
Matrixkoeffizient, 106
Maximalspektrum, 63
Menge
gerichtete, 132
monisches Polynom, 142
Morphismus, 68
affiner Varietäten, 20
algebraischer Varietäten, 76
dominanter, 77
einer Kategorie, 82
projektiver Varietäten, 36
Multiindex, 141
Multiplikation, 139
Nennerideal
projektives, 33
Nennerideal einer rationalen Funktionen,
18
Noether
-Normalisierung, 4
Noether, Emmy (1882–1935), 7
Noether, Max (1844–1921), 4
noetherscher Ring, 7
normiertes Polynom, 142
Nullstellenmenge, 8
Nullstellenstatz, 9
Nullteiler, 146
Objekt
einer Kategorie, 82
Ordnung
lexikographische, 147
totale, 147
Polynom, 142
charakteristisches, 144
homogenes, 26, 142
irreduzibles, 158
normiertes, 142
Polynomdivision, 152
Polynomfunktion
auf einer algebraischen Menge, 15
polynomiale Abbildung
zwischen algebraischen Mengen, 15
Potenzreihe
formale, 141
Potenzreihen
formale, 92
Primelement, 148
Primideal, 148

168 Sachverzeichnis
primitiv, 158
Primzerlegung
eindeutige, 156
projektiver Raum, 25, 78
gewichtet, 80
Punkte
R-wertig, 81
quadratfreies Polynom, 48
Quaternionen, 141
Quotientenkörper, 147
eines Integritätsbereiches, 148
Quotientenring, 144
Radikal
eines Ideals, 9
Radikalideal, 9
rationale Abbildung, 19, 36
dominante, 20
rationale Funktion
auf projektiven algebraischen Mengen,
32
rationale Funktionen
auf einer affinen Varietät, 18
rationale Varietät, 39
Raum
affiner, 8
irreduzibler, 64
noetherscher, 64
reduzibler, 64
Rechtswirkung, 104
reguläre Punkte
einer affinen Varietät, 55
einer Hyperfläche, 47
Regularität
rationaler Abbildungen, 19, 36
rationaler Funktionen, 18, 32
Restklassen, 145
Restriktionsabbildung, 68
Ring, 139
faktorieller, 156
kommutativer, 139
noetherscher, 7
Ringerweiterung
ganze, 69
Satz
von Gauß, 160
Schiefkörper, 140
Schnittvielfachheit
einer Hyperfläche mit einer Gerade, 51
eines Polynoms mit einer Geraden, 50
Semiinvariante, 112
singuläre Punkte
einer affinen Varietät, 55
einer Hyperfläche, 47
Spektrum, 63
standard offene Menge, 21
System
direktes, 99
induktives, 99
inverses, 133
projektives, 133
Tangentialraum
für affiner Varietäten, 54
Taylorentwicklung
für Polynome, 45
Teiler, 148
teilerfremd, 148, 158
Torus
algebraischer, 112
Unterdarstellung, 106
Unterring, 140
Varietät
abelsche, 104
affine, 17, 66
algebraische, 72
irreduzible affine, 17
projektive, 79
rationale, 39
separierte, 74
vollständige, 81
Verklebung, 72
separierte, 74
Verschwindungsideal, 8
homogenes, 28
Verschwindungsmenge, 8
im projektiven Raum, 27
Vielfachheit
einer Hyperfläche in einem Punkt, 47
eines Polynoms in einem Punkt, 46
Wirkung
algebraische, 109
Zariski
Tangentialraum, 113
Topologie, 29, 64
Zentrum
eines Rings, 140