Mathematik I 4. Übung Institut für Reine und Angewandte Mathematik

Institut für Reine und Angewandte Mathematik
Prof. Dr. V. Enß
Dr. M. Fleckenstein
Mathematik I
(WS 2007/2008)
4. Übung
13./14.11.2007
12) Es sei
A =
⎛cosα
− sinα
0⎞
⎜
⎟
sinα cos α 0
, α ∈R .
⎜
⎟
⎝ 0 0 1⎠
Geben Sie für alle n ∈N die Matrix A n an.
13) Es sei
⎛1
2 1 1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜0
−1
β 2 − 3⎟
A ( β)
= ⎜
, β∈R.
2 0 5 1 1 ⎟
⎜
⎟
2 4 4 4 2
⎝
⎠
Bestimmen Sie den Rang von A (β)
.
2 2
14) Bestimmen Sie die Matrix derjenigen linearen Abbildung A : R → R , für die
r r r r r ⎛1⎞
r ⎛−1⎞
A : v a −2v
und A : w a 4w
mit v = ⎜ ⎟ , w = ⎜ ⎟ gilt.
⎝1⎠
⎝ 2 ⎠
Bestimmen Sie ferner das Bild des Einheitsquadrates unter der Abbildung A .
15) Gegeben sei mit β ∈R
⎛−1
1 2 ⎞
⎜
⎟
A ( β)
= ⎜ β − 5 −14⎟
.
⎜10
15 ⎟
⎝ β ⎠
Für welche β ∈R
gilt det A ( β)
= 0 ?
16) Es sei
⎛−1
2 − 3 8 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 0 0⎟
A = ⎜ 2 −1
− 2 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 5 0 5⎟
⎜
⎟
⎝ 1 0 2 3 0⎠
.
a) Berechnen Sie det A
i) mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz
ii) durch elementare Zeilenoperationen.
b)
3
tr
Berechnen Sie det( A ) sowie det(3A).
Welchen Rang hat A A
?

2 von 3
4. Übung "Mathematik I" (WS 2007/2008)
17) Gegeben sei mit a, b∈R
die ( n,
n)
⎛a
+ b a a
⎜
⎜ a a + b a
⎜ a a a + b
⎜
⎜ . .
A = ⎜
. .
⎜
⎜ . .
⎜
⎜
a a a
⎝ a a a
Berechnen Sie det A .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-Matrix
a
a
a
a + b
a
a ⎞
⎟
a ⎟
a ⎟
⎟
. ⎟
.
⎟
⎟
. ⎟
a
⎟
⎟
a + b
⎠
.
⎛ 0 1⎞
Ü12) A = ⎜ ⎟
⎝ − 1 0⎠
⎛1
− 2⎞
⎛1
− 2 2 ⎞ ⎜ ⎟
Ü13) a) Es seien A = ⎜ ⎟ , B = ⎜3
1 ⎟ . Berechnen Sie AB und BA .
⎝4
3 −1⎠
⎜ ⎟
⎝0
3 ⎠
b) Es seien β, γ ∈R
. Bestimmen Sie für jedes β, γ den Rang der Matrix
⎛ β 1 1 −1
2 ⎞
⎜
⎟
⎜−1
1 0 − 2 1 ⎟
A = ⎜ 0 1 1 γ 2 ⎟ .
⎜
⎟
⎜ 1 −1
0 2 −1⎟
⎜
⎟
⎝ 1 0 1 1 1 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎛2⎞
⎛−1⎞
3 2 ⎜ ⎟ ⎛6⎞
⎜ ⎟ ⎛4⎞
⎜ ⎟ ⎛ 4 ⎞
Ü14) ges. A : R → R mit A : ⎜ 2 ⎟ a ⎜ ⎟ , A:
⎜1⎟
a ⎜ ⎟ , A:
⎜ 3 ⎟ a ⎜ ⎟ .
⎜ 1
6
1
1⎟
⎝ ⎠ ⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎜ 1 ⎟ ⎝−
⎠
⎝−
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Ü15) Berechnen Sie die Determinanten von
⎛ 2 2 β ⎞
⎛ 2 3⎞
⎜
⎟
A = ⎜ ⎟ sowie B = ⎜ β − 2 1 ⎟.
Für welche β ∈R
gilt det B = 22 ?
⎝−
5 1⎠
⎜ 1 4 5⎟
⎝−
− ⎠
⎛ 1 2 −1
3 ⎞
⎜
⎟
⎜ 2 3 0 0 ⎟
tr 5 tr 2
Ü16)a) A = ⎜ 2 3 0 −1⎟
gesucht: det A , det(5A
), det( A ), Rg[(
A ) ].
⎜
⎟
⎝−1
2 1 1 ⎠
⎛4
0 1 2 −1⎞
⎜
⎟
⎜0
α −1
β 3 ⎟
b) Zeigen Sie, dass für alle α , β,
γ,
δ∈R
det ⎜3
1 2 −1
4 ⎟=
0 gilt.
⎜
⎟
⎜1
γ 5 δ 0 ⎟
⎜
1 1 1 3 5
⎟
⎝ − − − ⎠
Welchen Rang hat die Matrix für α = β = γ = δ = 0 ?

Ü17)
⎛ 1
⎜
⎜−
1
⎜ 0
⎜
⎜ 0
A = ⎜
.
⎜
⎜ .
⎜
⎜
0
⎝ 0
1
1
− 2
0
.
.
0
0
0
2
1
− 3
0
0
0
0
3
1
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
3 von 3
0
0
0
0
.
1
− ( n − 1)
4. Übung "Mathematik I" (WS 2007/2008)
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
⎟
n − 1
⎟
⎟
1
⎠
Ergebnisse:
⎛
⎞
Ü12) ⎜
cos( n
π)
sin( n
π)
A n = 2 2 ⎟
⎜−
sin( n
π)
cos( n
π)
⎟
⎝ 2 2 ⎠
⎛−
7 − 8 4 ⎞
⎛−
5 2 ⎞ ⎜
⎟
Ü13) a) AB = ⎜ ⎟ , BA = ⎜ 7 − 3 5 ⎟
⎝ 13 − 8⎠
⎜
⎟
⎝ 12 9 − 3⎠
b) Rg A= 2 ⇔ γ=−1
und β=
0 ; Rg A= 3 ⇔ ( γ=−1
und β ≠0) oder ( γ≠−1
und β=
0)
;
Rg A= 4 ⇔ γ≠−1
und β ≠0
⎛1
2 −1⎞
Ü14) A = ⎜ ⎟
⎝3
0 2 ⎠
2
Ü15) det A = 17, det B = 4β
+ 8β + 10, det B = 22 ⇔ β = 1 oder β = −3
tr
Ü16) a) det A =− 8, det(5A
) = −5000,
det( A ) =− 2 , Rg[(
A ) ] = 4
b) Rang der Matrix = 4
Ü17) det A = n!
5
15
tr
2