{ }R { }5 { }1 { }0 - Institut für Reine und Angewandte Mathematik

Institut für Reine und Angewandte MathematikProf. Dr. V. EnßDr. M. FleckensteinMathematik I(WS 2007/2008)3. Übung6./7.11.20077) Gegeben seien mit β∈Rdie Geradenschar⎛ 1 ⎞ ⎛2β + 4⎞r 3 r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟G β =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝−4⎠⎝ 1 ⎠3{ x ∈R x = − 2 + t β t ∈R }, die Ebene E = { x ∈Rx − 2 5 }sowie die Ebene E 2 , die durch die Punkte⎛ 1 ⎞r r ⎜ ⎟1 ⎜ ⎟ =⎜ 1⎟⎝ − ⎠⎛0⎞⎛3⎞⎛ 0 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟P1 = ⎜1⎟, P2= ⎜2⎟, P3= ⎜−1⎟verläuft.⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝1⎠⎝1⎠⎝ 0 ⎠a) Bestimmen Sie den jeweiligen Schnittpunkt von Gβund E1. Welches geometrischeGebilde wird durch diese Schnittpunktmenge beschrieben?b) Bestimmen Sie den Kosinus des (Schnitt-)Winkels zwischen E 1 und E 2 .c) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden G von E 1 und E 2 .d) Bestimmen Sie alle Punkte, in denen sich G und die Schnittpunktmenge aus a)schneiden.e) Bestimmen Sie die (orthogonale) Projektion von − 2 auf E 1 .⎛2⎞⎜ ⎟8) Es seien K die Kugel mit Mittelpunkt M = ⎜3⎟und Radius R = 2 sowie E⎜ ⎟⎝1⎠⎛2⎞⎜ ⎟diejenige Ebene, die K in x r0 = ⎜4⎟tangiert. Bestimmen Sie den Schnitt G von E⎜ ⎟⎝2⎠mit der ( 2 , xrx 3)- Ebene und den minimalen Abstand von x0 zu G.9) Gegeben seien mit ∈R3β die Ebenenschar E = { x ∈ x β = 1}vK = 1 2 3 2 x33 2 2 2{ x ∈Rx + x + x − 2x− 2 + 14 = 0 }β9v.⎛β⎞r⎜⎟R ⎜ ⎟ sowie die Kugel⎜1⎟⎝ ⎠Bestimmen Sie β so, dass E β die Kugel K berührt, und bestimmen Sie dieBerührpunkte.

2 von 33. Übung "Mathematik I" (WS 2007/2008)⎛1⎞⎛0⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟r 4 r ⎜0⎟⎜1⎟G = x ∈R x =⎜ ⎟+ t⎜ ⎟, t ∈R ,2 0⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝1⎠⎛0⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r 4 r ⎜1⎟⎜0⎟⎜1⎟E = { x ∈R x = ⎜ ⎟ + s ⎜ ⎟ + t ⎜ ⎟ , s,t ∈R }und1 1 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝0⎠⎝1⎠⎝0⎠⎛− 1⎞⎛− 2⎞⎛− 1⎞⎛0⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r 4 r ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟H = { x ∈R x =⎜ 12 + 3 , ∈R }.0 ⎟+ t⎜+0 ⎟t⎜ 1 ⎟t⎜0⎟tk⎜0⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von G mit E .b) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von S auf H , und geben Sie den Abstandvon S zu H an.10) Es seien { }11) Gegeben seien die Ebenen⎛1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜1⎟⎜1⎟⎜1⎟r 5 rE { R ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟1 = x ∈ x = 0 t∈R }⎜ ⎟1 1 t⎜ ⎟2 0 , t⎜ ⎟1,t2und⎜1⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝2⎠⎝1⎠⎝2⎠⎛0⎞⎛1⎞⎛ λ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜1⎟⎜2⎟⎜ − 1⎟r 5 rE { R ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟λ = x ∈ x = 1 + s∈R} λ ∈R⎜ ⎟1 1 s⎜ ⎟2 0 , s , ,⎜ ⎟1 s2.⎜0⎟⎜0⎟⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝1⎠⎝1⎠⎝−2⎠Bestimmen Sie für jedes λ ∈Rdie Schnittmenge von E und E .1 λ⎛5⎞⎜ ⎟Ü8) Gegeben seien die Kugel K mit Mittelpunkt M = ⎜2⎟und Radius R = 2 5⎜ ⎟⎝1⎠⎛ 2 ⎞ ⎛2⎞⎛2⎞r 3 r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟sowie die Ebene E = { x ∈R x = ⎜ 0 ⎟ + s ⎜1⎟+ t ⎜0⎟, s , t ∈R } .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝−3⎠⎝1⎠⎝1⎠S bezeichne die Schnittmenge von E mit der Kugeloberfläche von K. BestimmenSie die beiden Punkte der Kugeloberfläche, deren Abstand zu jedem Punkt aus Skonstant ist, und berechnen Sie den jeweiligen Abstand.

3 von 33. Übung "Mathematik I" (WS 2007/2008)⎛2⎞⎛β⎞⎛0⎞⎛10⎞r 3 r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟r 3 r ⎜ ⎟ 2Ü9)a) Eβ= { x ∈Rx = ⎜1⎟+ s ⎜1⎟+ t ⎜1⎟, s,t ∈R},K = { x ∈R( x − ⎜ 8 ⎟ ) = 81 }⎜5⎟⎜0⎟⎜ ⎟⎜ 6 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝β⎠⎝ ⎠⎛ −1⎞⎛ 10 ⎞r 3 r ⎜ ⎟r 3 r ⎜ ⎟ 2b) Eβ= { x ∈R x ⎜ β ⎟ = 5 + β } ( β∈R), K = { x ∈R[ x − ⎜ 7 ⎟ ] = 9 }⎜ 2⎟⎝−⎜⎠3⎟⎝−⎠Ü10) Bestimmen Sie den (kürzesten) Abstand des Punktes⎛1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎛1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜0⎟r 4 r ⎜2⎟⎜2⎟⎜2⎟P =⎜2⎟von der Ebene E = { x ∈R x =⎜ ⎟+ t⎜ ⎟+ s⎜ ⎟, t,s ∈R }2 3 0⎜⎟⎝3⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎠⎝1⎠⎝1⎠⎝3⎠sowie den Fußpunkt des Lotes von P auf E .Ü11) Gegeben seien die Gerade⎛λ⎞⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 0⎟⎜ 0 ⎟r 5 rG { R ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟λ = x ∈ x = 0 t 0 , t ∈R } sowie⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1⎟⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝λ⎠⎝−1⎠⎛1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜ 1 ⎟r 5 rM = { x ∈R x = ⎜1⎟+ s ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ∈R }⎜ ⎟1 1 s⎜ ⎟2 0 s⎜ ⎟3 0 , s⎜ ⎟1,s2,s3.⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜−1⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝0⎠⎝1⎠⎝0⎠⎝ 1 ⎠Bestimmen Sie für jedes λ ∈Rdie Schnittmenge von G und M .Ergebnisse:⎛3⎞⎛ 7 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ü8) P 1 = ⎜2⎟, P2= ⎜ 2 ⎟ , d SP = 60 , d = 201SP2⎜5⎟⎜ 3⎟⎝ ⎠ ⎝−⎠9 1327β−9+Ü9)a) β = − (7 ± 17) B = (70β − 9, − 25β − 72, 42β27)⎛ 10 ⎞⎛ 3 ⎞⎜ ⎟⎜⎟b) β =2( 3 + 2) , = ⎜ 7 ⎟ + 311 x r⎜−2( 3 + 2) ⎟3B135+8 6⎜ ⎟⎜⎟⎝−3⎠⎝2 3⎠⎛ 10 ⎞⎛ 3 ⎞⎜ ⎟⎜β =2( 3 − 2) , = ⎜ 7 ⎟ − 312 x r B⎜−2( 3 − 2)3235−86⎜ ⎟⎜⎝−3⎠⎟ ⎟⎟⎟ ⎝2 3⎠⎛ 9 ⎞⎜ ⎟3 1 ⎜14⎟Ü10) 4 , F =⎜ 8 ⎟Ü11) λ ≠ −3 : keine Schnittmenge; λ = −3 : S = (2,0,0,3,2)7 7⎜⎟⎝11⎠λ