Mathematik III Prof. Dr. Volker Enß - Institut für Reine und ...

Mathematik IIIProf. Dr. Volker EnßInstitut für Reine und Angewandte MathematikRWTH AachenKapitel 24, Integralsätze, Flächenintegraleder Vorlesung für Bauing. u.a.Wintersemester 2004/05c○ Volker Enß, Aachen, Januar 2005Der Nachdruck dieses Textes oder von Teilen daraus ist nicht gestattet.24 Integralsätze, Integration über Flächen im R 3Im vorangehenden Kapitel 23 haben wir Integrationen über Bereiche der vollen Raumdimensionbehandelt. Jetzt wenden wir uns wieder der Integrationstheorie für Bereiche niedrigererDimension wie Kurven und Flächen zu, insbesondere im R 2 und R 3 . Zwei Typen von Kurvenintegralen(Integrale bzgl. der Bogenlänge und Kurvenintegrale von Vektorfeldern) hattenwir schon in Kapitel 22 eingeführt.Von großem Nutzen in den Anwendungen sind Integralsätze, die verschiedene Integraltypenmiteinander verbinden. Viele in der Praxis benötigte Integrale lassen sich nur dankdieser Identitäten in eine Form überführen, die tatsächlich berechnet werden kann. Aus derFülle der Integralsätze behandeln wir exemplarisch die besonders wichtigen Sätze von Gaußund Stokes. Weitere findet man in den Formelsammlungen und Büchern.24.1 Orientierte Kurven in der Ebene, Randkurven, NormalenvektorFür regulär parametrisierte Kurven im R n beliebiger Dimension haben wir bereits in 21.6aund 22.4a mit dem Durchlaufsinn vom Anfang zum Endpunkt eine Orientierung festgelegt.Für regulär parametrisierte Kurven ist das zugleich die Richtung des Fortschreitens auf derKurve bei wachsenden Parameterwerten. Speziell in der Ebene, n = 2, wenn die Kurvezugleich eine Hyperfläche, ein n − 1 = 1-dimensionales Gebilde ist, paßt dazu die folgendeWahl eines Normalenvektors nach rechts“. Sei eine Kurve C gegeben durch die reguläre”Parametrisierung x : [a, b] → R 2 mit |ẋ(t)| ≠ 0 für alle t ∈ [a, b]. Wie in 21.4 diskutiert,steht der Vektor (ẋ(t)) ⊥ := (ẋ 2 (t), −ẋ 1 (t)) tr mit |(ẋ(t)) ⊥ | = |ẋ(t)| senkrecht auf demTangentialvektor ẋ(t) (der Vektor (ẋ(t)) ⊥ ist gegenüber ẋ(t) um π/2 nach rechts gedreht)und damit senkrecht zur Kurve im Punkt x(t). Der Vektorn(t) := (ẋ(t)) ⊥ /|(ẋ(t)) ⊥ | = (ẋ(t)) ⊥ /|ẋ(t)| = 1|ẋ(t)|1(ẋ2 (t)−ẋ 1 (t))

ist der normierte Normalenvektor zur Kurve im Kurvenpunkt x = x(t) ∈ C, er wird auchmit n(x) bezeichnet. Blickt man entsprechend dem Durchlaufsinn von C, so zeigt n nachrechts. Auf Geradenstücken ist n(t) konstant.Mit Hilfe eines Normalenvektors können wir verschiedene Bereiche der Ebene unterscheiden:durchläuft man die Kurve in der Richtung mit wachsendem Parameter, so liegt derBereich, in den n hineinzeigt, rechts“ von der Kurve und der andere links“ davon.” ”Wir interessieren uns hier besonders für (Stücke von) Randkurven einfacher gutartiger“ebener Bereiche wie Rechtecke, Dreiecke, Sektoren von Kreisen etc., deren Rand eine ”doppelpunktfreie“ Kurve ist. Eine Kurve heißt doppelpunktfrei, wenn sie keine mehrmals”durchlaufenen Punkte hat (wie sie z.B. bei der 8 auftreten). Wenn der Rand des Bereiches(wie üblich) im mathematisch positiven Sinn umlaufen wird, dann zeigt der nach rechtsgedrehte Normalenvektor nach außen aus dem Flächenstück heraus, die Fläche liegt links.Man schreibt dann oft A (von area) für die Fläche und ∂A für die Randkurve mit dieserOrientierung.Beispiele: Die Kreisscheibe A mit Radius R > 0 und Zentrum zA = {x ∈ R 2 | (x 1 − z 1 ) 2 + (x 2 − z 2 ) 2 ≤ R 2 }hat als (regulär parametrisierte) Randkurve mit mathematisch positivem Umlaufsinn{( ) ∣ }( )z1 + R cos t ∣∣∣ cos tC ≡ ∂A =∈ R 2 0 ≤ t < 2π , n(t) = .z 2 + R sin tsin tDas Dreieck D = {x ∈ R 2 | x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 1 + 2x 2 ≤ 1} hat als positiv orientierteRandkurve die Vereinigung von Geradenstücken ∂D = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 :( )( )t 0C 1 : x(t) = , 0 ≤ t ≤ 1, n(t) = ;0−1(1 − tC 2 : x(t) =t/2(C 3 : x(t) =0(1 − t)/2), 0 ≤ t ≤ 1, n(t) = 1 √5(21)(−1, 0 ≤ t ≤ 1, n(t) =024.2 Fluß eines zweidimensionalen Vektorfeldes durch eine Kurve24.2a Vorbemerkungen zum Fluß durch HyperflächenGenerell ist das geometrische Gebilde, das zum Fluß eines Vektorfeldes gehört, eine Hyperfläche,die verschiedene Bereiche des Raumes trennt. Ist das Vektorfeld ein dreidimensionalesVektorfeld im dreidimensionalen Anschauungsraum, dann ist eine 3 − 1 = 2-dimensionale Hyperfläche eine gewöhnliche Fläche und man interessiert sich für den Flußdurch eine Fläche. Als Anwendungsbeispiel kann man an die Oberfläche eines Staudammsdenken, der Fluß durch diese Fläche ist die Wassermenge, die aus dem See in den Staudammeindringt. Oder man denke an die Grundwasserströmung, die in ein Baggerloch eindringt.Wenn ein zweidimensionales Vektorfeld in der Ebene betrachtet wird, dann ist eine Hyperflächeeine eindimensionale Kurve. Als Anwendungsbeispiel denke man etwa an dieStrömung von Oberflächenwasser, die (zweidimensional vereinfacht, idealisiert) in eine Landkarteeingezeichnet ist. Eine Hyperfläche kann dann eine Kurve sein, die ein Quellgebiet);).2

umschließt. Der Fluß durch diese Kurve beschreibt die Wassermenge, die vom Quellgebietan die Umgebung abgegeben wird.Für die Anwendungen interessante Hyperflächen haben zwei Seiten, gefragt ist der Flußvon einer Seite auf die andere. Bei gutartigen geschlossenen Hyperflächen kann man zwischen”innen“ und ”außen“ unterscheiden. Mathematisch wird das durch die Orientierungbeschrieben, das sind Vektoren, die senkrecht auf der Hyperfläche stehen und damit die Bezugsrichtungfestlegen. Deshalb benötigen wir orientierte Kurven für den Fluß in der Ebeneund orientierte Flächen für den Fluß im dreidimensionalen Raum. Wir beginnen mit demeinfacheren zweidimensionalen Fall.24.2b Der Fluß durch eine KurveFür die Orientierung der regulär parametrisierten Kurve C, die durch x: [a, b] → R 2 gegebenist, und den zugehörigen rechten Normalenvektor n siehe 24.1. Im Punkt x ∈ C ist dieDichte des Flusses (Fluß pro Längeneinheit) in der Richtung von n(x) durch die Kurve Chindurch gerade die reellwertige Funktion f(x) = V(x) · n(x). Der Gesamtfluß durch dieKurve C ist dann das Integral von f bezüglich der Bogenlänge, das gemäß 22.1 definiertist:∫ ∫ b∫ bf ds = f(x(t)) |ẋ(t)| dt = V(x(t)) · n(t) |ẋ(t)| dtC=a∫ baV(x(t)) · (ẋ(t)) ⊥ dt.aAlso ist der Fluß des ebenen Vektorfeldes durch die Kurve C nach rechts“”∫∫ b∫ b []V · n ds = V(x(t)) · (ẋ(t)) ⊥ dt = V 1 (x(t)) ẋ 2 (t) − V 2 (x(t)) ẋ 1 (t) dt.CaaBeispiel: Für das nach links drehende Vektorfeld V(x 1 , x 2 ) = (−x 2 , x 1 ) tr sei der Flußdurch das Stück C : x(t) = (t, t 2 ) tr , 0 ≤ t ≤ b des rechten Parabelastes zu bestimmen.( )( )( )1 2tẋ(t) = , (ẋ(t)) ⊥ 1 2t= , n(t) = √ ,2t−11 + 4t2 −1( ) −t2V(x(t)) = , V(x(t)) · (ẋ(t)) ⊥ = (−t 2 ) · 2t + t · (−1) = −2t 3 − t,t∫∫ b[V · n ds = −2t 3 − t ] dt = − 1 2 (b4 + b 2 ) < 0.C0Daß der Fluß negativ ist, erklärt sich aus der Orientierung der Kurve und der von n(t), dieentgegengesetzt“ ist zur Drehrichtung von V (Skizze machen!).”Beachte: Der normierte Normalenvektor n(t) braucht nicht explizit berechnet zu werden,es genügt der einfachere, nicht normierte Vektor (x(t)) ⊥ !3

24.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes24.3a Definition der DivergenzSei V : D → R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld, in kartesischen Koordinaten x =(x 1 , . . . , x n ) gegeben. Die reellwertige stetige Funktion( ) ( ) ( )∂ V1 ∂ V2∂ Vndiv V : D → R , (div V)(x) := (x) + (x) + . . . + (x)∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x nheißt die Divergenz des Vektorfeldes.Bedeutung: Interpretiert man das Vektorfeld V als Geschwindigkeitsfeld einer Strömung,dann ist div V die Dichte der Quellstärke (die Quellstärke pro n-dimensionale Volumeneinheit).Das Integral von div V über ein n-dimensionales Volumen beschreibt den Überschußder Quellen gegenüber (Sicker-)Verlusten, wie der Divergenzsatz von Gauß zeigt. Wir behandelndas in n = 2 (Abschnitt 24.4) und n = 3 (24.10) Dimensionen.24.3b Beispiele zur Berechnung der Divergenz(i) Sei V(x) = x, x ∈ R n ,(div x) = ∂x 1∂x 1+ . . . + ∂x n∂x n= 1 + . . . + 1 = n .(ii) V(x 1 , x 2 ) = (sin(x 2 1 x 2) , x 2 2 ex2 1 ) tr , x ∈ R 2 ,(div V)(x 1 , x 2 ) = 2x 1 x 2 cos(x 2 1 x 2 ) + 2x 2 e x2 1 .24.3c Nabla-SchreibweiseDen Vektor Nabla ∇ = (∂/∂ x 1 , . . . , ∂/∂ x n ) ≡ (∂ 1 , . . . , ∂ n ) von partiellen Ableitungsoperatorenhaben wir bereits im Zusammenhang mit dem Gradienten in 19.2c kennengelernt(grad Φ)(x) ≡ (∇ Φ)(x), der Vektoroperator macht aus einer reellwertigen Funktionein Vektorfeld, das Gradientenfeld. Umgekehrt ergibt bei der Divergenz (div V)(x) ≡(∇ · V)(x), das ”Skalarprodukt“ des Vektoroperators angewandt auf ein Vektorfeld, eine reellwertige(skalare) Funktion. Nabla wird meist als Zeilenvektor geschrieben, dann kann dasSkalarprodukt auch als Matrixprodukt aufgefaßt werden.Im dreidimensionalen Raum gibt es auch das Vektorprodukt, in Abschnitt 24.5 wirdrot V = ∇ × V eingeführt.24.4 Der Divergenzsatz (Gaußscher Satz) in der Ebene24.4a Der Divergenzsatz (Gaußscher Satz) in der EbeneSei D ⊆ R 2 offen und V : D → R 2 ein zweidimensionales stetig differenzierbares Vektorfeld.Sei A ⊆ D ein ebenes Flächenstück mit (stückweise) regulär parametrisierter doppelpunktfreierRandkurve C = ∂A ⊆ D und n sei der äußere Normalenvektor. Dann gilt∫∫∮div V dx 1 dx 2 = V · n ds ≡ V · n ds.A∂A∂ADer Fluß durch eine Kurve (24.2b) ist ein Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge (22.1),das von der Orientierung von C nur durch die Wahl von n abhängt. Wenn x: [a, b] → D4

die im mathematisch positiven Sinn orientierte Randkurve C = ∂A ist, dann zeigt derNormalenvektor zur Randkurve n(t) = (ẋ 2 (t), −ẋ 1 (t)) tr /|ẋ(t)| nach außen aus A heraus(siehe 24.1) und für das Integral gilt∫∂AV · n ds =∫ ba[]V 1 (x(t)) ẋ 2 (t) − V 2 (x(t)) ẋ 1 (t) dt.Dieser Satz bedeutet, daß für jedes A ⊆ D das Integral der Divergenz von V über denBereich A gleich dem Fluß von V durch den Rand von A nach außen ist. In diesem Sinnebeschreibt div V die ”Dichte der Quellstärke“ oder ”Ergiebigkeit“ von V für (div V)(x) >0 und eine ”Versickerungsrate“ falls (div V)(x) < 0.Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, daß das Integral einer Funktionüber ein Intervall nur von Auswertungen einer Stammfunktion auf den Rändern desIntervalls abhängt. Dies wird in den Integralsätzen wie dem Gaußschen Satz auf höhere Dimensionenverallgemeinert, wie wir auch in der Beweisskizze 24.4c sehen werden.24.4b AnwendungsbeispieleIn Anwendungen ist meist ein Fluß durch eine (geschlossene) Kurve zu berechnen, dasFlächenintegral der Divergenz ist oft einfacher zu berechnen.(i) Berechne den Fluß nach außen durch den Kreis( ) R cos tC : x(t) =, 0 ≤ t < 2π,R sin tfür das VektorfeldV(x 1 , x 2 ) =( x31 + 5x 1 − arctan (x 7 2 − sinh x 2)x 3 2 + cos(ex 1)).Die direkte Berechnung von ∫ V · n ds ist aussichtslos.C(div V)(x) = 3x 2 1 + 5 + 3x 2 2 = 3(x 2 1 + x 2 2) + 5.Die Kreisscheibe A = {x ∈ R 2 | x 2 1 + x2 2 ≤ R2 } hat C = ∂A als Rand (mathematischpositiv orientiert). Wegen der speziellen Geometrie, der Drehsymmetrie, liegt es nahe, ebenePolarkoordinaten (23.6) zu benutzen.∮∫∫]V · n ds = (div V)(x) dx 1 dx 2 =[3(x 2 1 + x2 2 ) + 5 dx 1 dx 2=C∫ 2π0A{∫ R}[ 3r 2 + 5 ] r dr dϕ = 2π0A{ 34 R4 + 5 2 R2 }.(ii) Wenn die Kurve C nicht geschlossen ist, kann sie mitunter durch ein einfaches (richtigorientiertes!) Stück ˜C geschlossen werden: C ∪ ˜C = ∂A. Beide Kurvenstücke zusammengenommenumlaufen die Fläche im mathematisch positiven Sinn, die Fläche A muß linksliegen. Dann gilt∫∫∫V · n ds = div V dx 1 dx 2 − V · n ds.CA˜C5

(iii) Als Beispiel für eine solche nicht geschlossene Kurve C betrachten wir den Kreisbogenvon (1, 1) links herum bis (1, −1):( √ )2 cos tC : x(t) = √ , π/4 ≤ t ≤ 7π/4,2 sin tund das Vektorfeld(x cos y + 2xyV(x, y) =tan x − sin y)mit Definitionsbereich D = {(x, y) ∈ R 2 | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z}. Zusammen mit demGeradenstück( )( )1 1 ˜C : ˜x(t) = , −1 ≤ t ≤ 1, n = ,t0ist C ∪ ˜C = ∂A der Rand eines guten Flächenstücks A mit mathematisch positivem Umlaufsinn(Skizze machen), das ganz im Definitionsbereich D liegt.Für die Divergenz des Vektorfeldes gilt (div V)(x, y) = 2y, eine in vertikaler Richtungungerade Funktion. Da das Flächenstück A siegelsymmetrisch zur Abszisse ist, folgt daraus∫∫div V dx dy = 2y dx dy = 0, Symmetrie!ADer Fluß durch ˜C ist leicht zu berechnen:∫∫ 1V · n ds = V 1 (˜x(t)) · 1 dt =˜C−1A∫ 1−1[cos t + 2t] dt = sin 1 − sin(−1) = 2 sin 1.Zusammenfassung der Teilergebnisse gemäß der Formel in (ii) ergibt:∫? = V · n ds = 0 − 2 sin 1 ≈ −1, 68.CDie direkte Berechnung ohne den Gaußschen Satz wäre viel schwieriger gewesen.24.4c Beweisidee zum Satz von GaußSei speziell A ein achsenparalleles Rechteck zwischen (a 1 , b 1 ) und (a 2 , b 2 ), die Randkurve∂A = C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 setzt sich aus vier Geradenstücken zusammen, die mit derrichtigen Orientierung wie folgt bezüglich der Bogenlänge parametrisiert werden können, nder (jeweils konstante) Normalenvektor nach außen:C 1 : (a 2 , x 2 ), b 1 ≤ x 2 ≤ b 2 , n = (1, 0), V · n = V 1 ,−C 2 : (x 1 , b 2 ), a 1 ≤ x 1 ≤ a 2 , n = (0, 1), V · n = V 2 ,−C 3 : (a 1 , x 2 ), b 1 ≤ x 2 ≤ b 2 , n = (−1, 0), V · n = −V 1 ,C 4 : (x 1 , b 1 ), a 1 ≤ x 1 ≤ a 2 , n = (0, −1), V · n = −V 2 .6

Für die einander gegenüberliegenden vertikalen Randstücke sind die (von der Orientierungder Kurven unabhängigen) Kurvenintegrale bezüglich der Bogenlänge∫∫∫ b2∫ b2V · n ds + V · n ds = V 1 (a 2 , x 2 ) dx 2 + (−V 1 )(a 1 , x 2 ) dx 2C 1 ±C 3 b 1 b 1=∫=∫ b2 [b 1A]V 1 (a 2 , x 2 ) − V 1 (a 1 , x 2 )( ) ∂V1(x) dx 1 dx 2 ,∂x 17.4adx 2 =∫ b2[∫ a2b 1a 1( ∂V1∂x 1)(x 1 , x 2 ) dx 1]dx 2wobei der eindimensionale Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 7.4a bei festemx 2 benutzt wurde. Entsprechend erhält man∫∫∫ a2 []V · n ds + V · n ds = V 2 (x 1 , b 2 ) − V 2 (x 1 , b 2 ) dx 1±C 2 C 4 a 1∫ ( ) ∂V2= (x) dx 1 dx 2 .∂x 2AAddition der Beiträge ergibt∫∫V · n ds = div V dx 1 dx 2∂AAfür Rechtecke A. Andere Bereiche können approximativ in paarweise disjunkte RechteckeA 1 ∪ A 2 ∪ . . . zerlegt werden. Die zweidimensionalen Integrale der Divergenz addieren sich,während die Flüsse durch innere gemeinsame Randstücke sich gegenseitig wegheben. ✷Der Satz und obige Beweisidee gelten in beliebiger Dimension, dann ist der Rand ∂Aeine geschlossene Hyperfläche. Siehe 24.10 für den dreidimensionalen Fall.24.5 Die Rotation eines Vektorfeldes im R 3 (und R 2 )24.5a Definition der Rotation eines Vektorfeldes im R 3Die Rotation als Vektor ist – ebenso wie das Vektorprodukt – eine Besonderheit des dreidimensionalenRaumes. Sei V : D ⊆ R 3 → R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, dannist rot V : D → R 3 ebenfalls ein Vektorfeld, in kartesischen Koordinaten:⎛(rot V)(x) := ⎝(∂ 2 V 3 )(x) − (∂ 3 V 2 )(x)(∂ 3 V 1 )(x) − (∂ 1 V 3 )(x)(∂ 1 V 2 )(x) − (∂ 2 V 1 )(x)⎞⎠ = (∇ × V)(x).Ist V ein Strömungsfeld, so beschreibt die Richtung von rot V(x) ≠ 0 die lokale Drehachseund |(rot V)(x)| die Flächendichte der Wirbelstärke.24.5b Rotation eines ebenen VektorfeldesFaßt man ein zweidimensionales Vektorfeld W(x 1 , x 2 ) = (W 1 (x 1 , x 2 ), W 2 (x 1 , x 2 )) alsSpezialfall eines dreidimensionalen Vektorfeldes V auf, das von x 3 unabhängig ist undV 3 = 0 erfüllt, alsoV(x 1 , x 2 , x 3 ) = (W 1 (x 1 , x 2 ), W 2 (x 1 , x 2 ), 0),7

dann ist (analog zum Vektorprodukt in der Ebene“, siehe 11.12)”⎛0⎞(rot V)(x 1 , x 2 , x 3 ) = ⎝0(∂ 1 W 2 )(x 1 , x 2 ) − (∂ 2 W 1 )(x 1 , x 2 )⎠ .Daher wird dieser Vektor oder häufiger seine einzige nicht verschwindende Komponente, diereellwertige Funktion (∂ 1 W 2 )(x) − (∂ 2 W 1 )(x) = (rot W)(x) = (rot V) · n als Rotationeines zweidimensionalen Vektorfeldes bezeichnet. Der Vektor n = (0, 0, 1) tr steht senkrecht(nach oben) auf der betrachteten x 1 , x 2 -Ebene. Beide Konventionen sind gebräuchlich,wir werden (da V 1 = W 1 und V 2 = W 2 ) nicht mehr zwischen W und V unterscheiden.24.5c Beispiele zur Berechnung der Rotation(i) Das Drehfeld um die x 2 -Achse nach rechts: V : R 3 → R 3V(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 3 , 0, −x 1 ) hat mit (rot V)(x) = (0, 1 − (−1), 0) = (0, 2, 0)eine konstante Wirbeldichte um die x 2 -Achse.(ii) Das ebene Vektorfeld V : R 2 → R 2 ,( )4 cosh(x1 − xV(x 1 , x 2 ) =2 ) e x 12x 1 (x 1 + e x 2) − e 2x 1−x 2hat als reellwertige Rotation(∂ 1 V 2 )(x) − (∂ 2 V 1 )(x) = 4x 1 + 2e x 2− 2e 2x 1−x 2+ 4 sinh(x 1 − x 2 ) e x 1= 4x 1 = (rot V)(x)[bzw., in der anderen Konvention, (rot V)(x) = (0, 0, 4x 1 ) tr , (rot V)(x) · n = 4x 1 ].24.5d Die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindetSei D ⊆ R 3 offen und Φ : D → R zweimal stetig differenzierbar, V(x) = (grad Φ)(x),dann gilt mit dem Satz von Schwarz (19.10a): (rot V)(x) ≡ 0, denn ∂ 2 V 3 (x) − ∂ 3 V 2 (x) =(∂ 2 ∂ 3 Φ)(x) − (∂ 3 ∂ 2 Φ)(x) ≡ 0 , denn der Satz von Schwarz besagt, daß es auf die Reihenfolgeder partiellen Ableitungen nicht ankommt, wenn die Funktion hinreichend oft differenzierbarist. Ebenso verschwinden die anderen Komponenten, insbesondere auch für zweidimensionaleGradientenfelder.Für einfach zusammenhängende Bereiche D ⊆ R 2 oder D ⊆ R 3 haben wir in 22.8aauch eine Umkehrung kennengelernt, denn die Integrabilitätsbedingung(4) : (∂ j V k )(x) = (∂ k V j )(x) bedeutet in zwei und drei Dimensionen gerade rot V = 0.Dann ist V ein Gradientenfeld.24.6 Der Stokessche Satz in der Ebene24.6a Der SatzSei D ⊆ R 2 offen und V : D → R 2 ein stetig differenzierbares ebenes Vektorfeld, A ⊆ Dein Bereich (Flächenstück) mit stückweise regulär parametrisierter doppelpunktfreier RandkurveC = ∂ A, die mathematisch positiv orientiert ist, so daß A links von der Kurve liegt(siehe 24.1), dann gilt der folgende zweidimensionale Integralsatz von Stokes∫∫ [] ∫(rot V)(x) dx 1 dx 2 ≡ (∂ 1 V 2 )(x 1 , x 2 ) − (∂ 2 V 1 )(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = V · dx.AA8∂A

Die Gesamtwirbelstärke in A ist gleich der Zirkulation auf der Randkurve. (Auf der linkenSeite meinen wir mit (rot V) die reellwertige Version der Rotation, so wie es danebenausgeschrieben steht, sonst hätte man dort (rot V) · n geschrieben, die Flußdichte derWirbelstärke nach oben durch die betrachtete Fläche.) In den Anwendungen ist oft das Kurvenintegralgesucht. Man berechnet den Ausdruck, der einfacher auszurechnen ist, häufig istdies das Flächenintegral.Diese Identität wird in der Literatur auch als Greensche Formel oder Greenscher Satzbezeichnet (ein in höherer Dimension anderer Satz, der bei Spezialisierung auf n = 2 mitdem Satz von Stokes übereinstimmt). Im dreidimensionalen Raum verbindet der Satz vonStokes den Fluß der Rotation eines Vektorfeldes durch eine i.a. gekrümmte Fläche mit derZirkulation längs der Randkurve.24.6b Beispiele zum zweidimensionalen Satz von Stokes(i) Zirkulation für das in 24.5c angegebene ebene Vektorfeld V : R 2 → R 2V(x 1 , x 2 ) =( )4 cosh(x1 − x 2 )e x 12x 1 (x 1 + e x 2) − e 2x 1−x 2mit der reellwertigen Rotation [bzw. (rot V) · n ](rot V)(x 1 , x 2 ) = [∂ 1 V 2 − ∂ 2 V 1 ](x 1 , x 2 ) = 4x 1 .Sei A das Dreieck A = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 1 + x 2 ≤ L} . Dann ist∫A= 4∫(rot V)(x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 =∫ L0(L − x 2 ) 22A4x 1 dx 1 dx 2 = 4dx 2 = − 2 ∣3 (L − x 2) 3 ∣∣L= 2 3 L3 .0∫ L[∫ L−x200x 1 dx 1]dx 2Das Kurvenintegral für die Zirkulation ∫ V · dx wäre mühsamer zu berechnen.∂A(ii) Ersatzkurve für ein Kurvenintegral: Im Spezialfall eines Gradientenfeldes sahen wir in22.6a und 22.8a, daß in diesem Fall das Kurvenintegral unabhängig von der Kurve ist undnur vom Anfangs- und Endpunkt abhängt. Das folgende Beispiel zeigt eine wichtige Verallgemeinerung,wo das Kurvenintegral zwar vom Weg abhängen kann, die Korrektur aberberechnet werden kann.Gesucht ist das Kurvenintegral ∫ V · dx längs der KurveC(cos tC : x(t) = (1 + cos 5 (t) )sin t), − π 2 ≤ t ≤ π 2 ,für das ebene VektorfeldV(x 1 , x 2 ) =(x1 ln(x 2 1 + x2 2 ) − x4 2x 2 ln(x 2 1 + x 2 2) + e x 2)mit Definitionsbereich D = R 2 \ {0}.Die direkte Berechnung des Kurvenintegrals für die Kurve C , einem Bogen von (0,-1)nach (0,1), der spiegelsymmetrisch zur x 1 -Achse liegt (Skizze!), wäre sehr kompliziert. Diegerade Verbindungslinie zwischen Anfangs- und Endpunkt auf der x 2 -Achse führte durch9

den Ursprung, der nicht zum Definitionsbereich gehört, ist also nicht zulässig. Eine bessereMöglichkeit ist ein Kreisbogen mit Radius 1:( ) cos t˜C : ˜x(t) = , − π sin t 2 ≤ t ≤ π ( ) − sin t2 , ˙˜x(t) =.cos tDie zusammengesetzte Kurve C ∪ (− ˜C) = ∂A ist Randkurve eines Flächenstückes Amit mathematisch positivem Umlaufsinn. (Erinnerung an 22.4a, − ˜C hat entgegengesetztenDurchlaufsinn wie ˜C und ∫ − ˜C V ·dx = − ∫ V ·dx.) A liegt ebenfalls spiegelsymmetrisch˜Czur x 1 -Achse.Nach dem Satz von Stokes gilt∫∫∫ ∫(rot V)(x) dx 1 dx 2 = V · dx = V · dx − V · dx.A∂AWir berechnen zunächst die Rotation und das Flächenintegral darüber.2x 1 2x 2(rot V)(x) = ∂ 1 V 2 − ∂ 2 V 1 = x 2x 2 1 + − x 1 x2 2 x 2 1 + + 4x 3x2 2 = 4x3 2 ,2eine in x 2 ungerade Funktion. Folglich gilt∫∫(rot V)(x) dx 1 dx 2 = 4x 3 2 dx 1 dx 2 = 0Aund damit in diesem Fall∫ ∫ ∫V · dx = V · dx +C˜CAA∫(rot V)(x) dx 1 dx 2 =C˜C(Symmetrie!)˜CV · dx.(Wenn die Ersatzkurve ˜C nicht spiegelsymmetrisch zur x 1 -Achse gewählt worden wäre,hätten wir hier einen Korrekturterm erhalten.) Auf dem Einheitskreis verschwinden die Termemit dem Logarithmus. Wir erhalten als Endergebnis∫=C∫V · dx =∫ π/2−π/2˜CV · dx =∫ π/2−π/2V(˜x(t)) · ˙˜x(t) dt[ ( − sin 4 (t) ) (− sin t) + e sin t cos t ] dt = 0 + e sin t∣ ∣ π/2−π/2 = e − 1/e.24.7 Flächen im Raum, Orientierung24.7a Regulär parametrisierte Flächen im R 3Analog zu einer eindimensionalen Kurve ist eine parametrisierte Fläche im R 3 durch einestetig differenzierbare Abbildung x eines zweidimensionalen Parameterbereichs B ⊆ R 2in den R 3 gegeben: x: B → R 3 , S = {x(u, v) ∈ R 3 | (u, v) ∈ B} ⊆ R 3 ist dasFlächenstück (S von englisch/französisch surface). Es ist regulär parametrisiert, wenn die3 × 2 -Jacobimatrix x ′ in B den maximalen Rang 2 hat, d.h. für alle Punkte (u 0 , v 0 ) ∈ Bsind die beiden dreidimensionalen Spaltenvektoren der Jacobimatrixx ′ = ( x u x v), xu (u 0 , v 0 ) := ∂ x∂u (u 0, v 0 ),10x v (u 0 , v 0 ) := ∂ x∂v (u 0, v 0 ),

linear unabhängig [evtl. mit Punkten oder Kurven als Ausnahmemengen, die für zweidimensionaleIntegrationen unerheblich sind]. x u (u 0 , v 0 ) ist der Tangentialvektor (Geschwindigkeitsvektor)im Punkt x(u 0 , v 0 ) zu der in S verlaufenden Kurve x(u, v 0 ), u der variableParameter, v 0 fest; entsprechend x v (u 0 , v 0 ) zur Kurve x(u 0 , v). Die Vektoren x u (u 0 , v 0 ),x v (u 0 , v 0 ) sind also beide tangential zur Fläche S im Punkt x(u 0 , v 0 ). Wir benutzen hierdie verbreitete Notation, bei der ein tief gestellter Variablenname die partielle Ableitung nachdieser Variablen bezeichnet.Da x u und x v linear unabhängig sind, steht x u (u 0 , v 0 ) × x v (u 0 , v 0 ) ≠ 0 dort senkrechtauf der Fläche, ebenso wie der entgegengesetzt orientierte Vektor x v × x u = −x u × x v .Anstelle von u und v werden als Parameternamen auch übliche Koordinatennamen wie(ϑ, ϕ), (ϕ, z) etc. benutzt, da solche Koordinatenflächen in Anwendungen oft auftreten.Auf die Reihenfolge im Vektorprodukt (die Vorzeichenwahl) gehen wir im Zusammenhangmit der Orientierung von Flächen ein, siehe 24.7d.In den folgenden Beispielen berechnen wir für spätere Anwendungen auch x u × x vsowie |x u × x v |.24.7b Beispiele: Zylinder, Sphäre(i) Zylinderfläche mit Radius R > 0, Zylinderkoordinaten als Parameter, Zylinderachsevertikal (die x 3 -Achse):⎛ ⎞R cos ϕx(ϕ, z) = ⎝ R sin ϕ ⎠ , 0 ≤ ϕ < 2π, h 1 ≤ z ≤ h 2 ,z⎛⎞−R sin ϕ 0x ′ (ϕ, z) = ⎝ R cos ϕ 0⎠ ,0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−R sin ϕ 0 R cos ϕx ϕ (ϕ, z) × x z (ϕ, z) = ⎝ R cos ϕ⎠ × ⎝0⎠ = ⎝R sin ϕ⎠ ,0 1 0der Vektor zeigt ”nach außen“,|x ϕ (ϕ, z) × x z (ϕ, z)| = R > 0.(ii) Zylinderdeckel in der Höhe h 1⎛ ⎞r cos ϕx(r, ϕ) = ⎝r sin ϕ⎠ , 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π,h 1⎛cos ϕ⎞−r sin ϕx ′ (r, ϕ) = ⎝sin ϕ r cos ϕ⎠ ,0 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞cos ϕ −r sin ϕ 0x r (r, ϕ) × x ϕ (r, ϕ) = ⎝sin ϕ⎠ × ⎝ r cos ϕ⎠ = ⎝0⎠ ,00 rder Vektor zeigt ”nach oben“,|x r (r, ϕ) × x ϕ (r, ϕ)| = r ≥ 0,11

einziger Ausnahmepunkt ist bei dieser Parametrisierung x(0, ϕ) = (0, 0, h 1 ) tr , der Mittelpunktdes Deckels.(iii) Kugeloberfläche mit Radius 1 (Einheitssphäre), Kugelkoordinaten als Parameter,⎛ ⎞sin ϑ cos ϕx(ϑ, ϕ) = ⎝sin ϑ sin ϕ⎠ , |x(ϑ, ϕ)| = 1, 0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π.cos ϑ⎛ ⎞cos ϑ cos ϕ⎛⎞− sin ϑ sin ϕx ϑ (ϑ, ϕ) × x ϕ (ϑ, ϕ) = ⎝cos ϑ sin ϕ⎠ × ⎝− sin ϑsin ϑ cos ϕ ⎠0⎛= ⎝der Vektor zeigt ”nach außen“,sin 2 ϑ cos ϕsin 2 ϑ sin ϕsin ϑ cos ϑ|x ϑ (ϑ, ϕ) × x ϕ (ϑ, ϕ)| = sin ϑ ≥ 0,⎞⎠ = sin ϑ · x(ϑ, ϕ),einzige Ausnahmepunkte sind bei Parametrisierung durch Kugelkoordinaten die Durchstoßpunkteder Polarachse (der x 3 -Achse) durch die Sphäre, der ”Nordpol“ x(0, ϕ) = (0, 0, 1) trund der ”Südpol“ x(π, ϕ) = (0, 0, −1) tr .24.7c Wichtiger Spezialfall: Fläche als GraphSei die Fläche als Graph einer stetig differenzierbaren Höhenfunktion“ h(x ” 1 , x 2 ) über derx 1 , x 2 -Ebene gegeben. Dies entspricht mit x 1 und x 2 als Parametern⎛x 1⎞⎛1⎞0x(x 1 , x 2 ) = ⎝ x 2⎠ , x ′ (x 1 , x 2 ) = ⎝ 0 1 ⎠ , (x 1 , x 2 ) ∈ B,h(x 1 , x 2 )∂ 1 h ∂ 2 h⎛⎞−(∂ 1 h)(x 1 , x 2 )x x1 (x 1 , x 2 ) × x x2 (x 1 , x 2 ) = ⎝−(∂ 2 h)(x 1 , x 2 ) ⎠ ,1der Vektor zeigt ”nach oben“,|x x1 × x x2 | = √ 1 + |(grad h)(x 1 , x 2 )| 2 = √ 1 + (∂ 1 h) 2 + (∂ 2 h) 2 > 0.Für den ”fliegenden Teppich“ mith(x 1 , x 2 ) = 100 + cos x 1fürB = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | 0 ≤ x 1 ≤ 6π, 0 ≤ x 2 ≤ 5}erhalten wir (grad h)(x 1 , x 2 ) = (− sin x 1 , 0),⎛ ⎞sin x 1x x1 × x x2 = ⎝ 01⎠ ,|x x1 × x x2 | = √ 1 + sin 2 x 1 .12

24.7d Orientierte Flächen im R 3 , OberflächenIm n = 3 –dimensionalen Raum sei die Hyperfläche H ein gutes“ regulär parametrisiertes”Flächenstück S ⊆ R 3 ohne Selbstdurchdringung, das Bild eines Bereiches B ⊆ R 2 . Mitder Bezeichnungsweise aus 24.7a ist n(u, v) = (x u (u, v) × x v (u, v)/|x u (u, v) × x v (u, v)|ein normierter Normalenvektor. Durch die Wahl dieses Normalenvektors haben wir eine Orientierungdes Flächenstückes festgelegt. Wir können die beiden Seiten der Fläche dadurchunterscheiden, daß der Normalenvektor in eine Seite hinein zeigt, aus der anderen heraus. Dadas Flächenstück regulär parametrisiert ist, ist in allen seinen Punkten x u ×x v ≠ 0. Deshalbund da die Fläche sich nicht selbst durchdringt, kann die Richtung nicht von einer Seite aufdie andere wechseln. Wir hätten genauso den entgegengesetzt gerichteten Normalenvektorwählen können, man muß sich nur festlegen. Werden Flächenstücke an gemeinsamen Randkurvenzusammengesetzt, so müssen die Orientierungen natürlich so gewählt werden, daßsie zusammenpassen.Gutartige Körper im dreidimensionalen Raum, Teilmengen M ⊆ R 3 , wie Quader, Zylinder,Kugeln oder Abschnitte davon haben Oberflächen S = ∂M, die stückweise regulärparametrisiert werden können. Der Normalenvektor auf den Punkten dieser geschlossenenFlächen kann so gewählt werden, daß er (fast) überall nach außen vom Körper weg zeigt,das ist der äußere Normalenvektor. (Es kann Ausnahmepunkte oder -kurven geben wie dieEcken und Kanten beim Quader, wo die Fläche keinen Normalenvektor hat und/oder dieParametrisierung nicht regulär ist. Diese kleinen Ausnahmemengen sind bei zweidimensionalenIntegrationen unerheblich.) Bei Oberflächen von Körpern benutzen wir durchweg dieOrientierung mit dem Normalenvektor nach außen. Dann passen die Orientierungen automatischzusammen, wenn wir die Oberfläche aus Teilen zusammensetzen. Fraktale und andereKörper mit schlechten“ Oberflächen werden hier nicht behandelt.”24.8 Integrale reellwertiger Funktionen über Flächenst ücke im R 3 ,Flächeninhalt24.8a Definition des Flächenintegrals reellwertiger FunktionenSei D ⊆ R 3 und f : D → R stetig. S = {x(u, v) | (u, v) ∈ B ⊆ R 2 } sei eine regulärparametrisierte Fläche, die im Definitionsbereich D von f liegt mit Tangentialvektorenx u (u, v) und x v (u, v) , siehe 24.7a.Das Flächenintegral der reellwertigen Funktion f über das Flächenstück S ist definiertals∫ ∫f dF := f(x(u, v)) |x u (u, v) × x v (u, v)| du dv.SBAnalog zum ”Kurvenintegral bezüglich der Bogenlänge“ spricht man auch vom ”Integralbezüglich des Flächeninhalts“ und die Orientierung spielt für diesen Integraltyp keine Rolle.Das Integral ist eine gewöhnliche zweidimensionale Integration 23.3 der Funktion f, ausgedrücktdurch die Parameter u und v, im zweidimensionalen Parameterraum, wobei derFaktor |x u × x v | (ähnlich wie der Faktor |ẋ(t)| bei Kurven) berücksichtigt, daß ein kleinesFlächenstück ∆ B im Parameterraum mit Flächeninhalt Vol 2 (∆ B) durch x in einFlächenstück im R 3 abgebildet wird, das approximativ den Flächeninhalt |x u (u 0 , v 0 ) ×x v (u 0 , v 0 )| · Vol 2 (∆ B) hat, (u 0 , v 0 ) ∈ ∆ B. Im Grenzwert immer feinerer Unterteilungenerhält man das Integral. In der Literatur ist auch der Name ”Oberflächenintegral“ verbreitet,das ist aber irreführend, da die Flächen i.a. nicht Oberflächen von Körpern zu sein brauchen.Den Flächeninhalt von S erhält man als Vol 2 (S) = ∫ S 1 dF = ∫ B |x u × x v | du dv.13

24.8b Beispiele von Flächenintegralen(i) Der Schwerpunkt der nördlichen Hemisphäre“ vom Radius 1, liegt aus Symmetriegründenauf der x 3 -Achse, also x S 1 = xS 2 = 0. Zur Parametrisierung benutzen wir Ku-”gelkoordinaten:⎧⎛⎞⎫⎨ sin ϑ cos ϑS = ⎝sin ϑ sin ϑ⎠⎩∣ 0 ≤ ϑ ≤ π ⎬2 , 0 ≤ ϕ < 2π ⎭ .cos ϑWie in 24.7b berechnet, gilt |x ϑ (ϑ, ϕ) × x ϕ (ϑ, ϕ)| = sin ϑ, und für die dritte Komponentex S 3 des Schwerpunktes ist x S 3 = {∫ x S 3 dF } / {∫ 1 dF } zu berechnen. f(x(ϑ, ϕ)) =Sx 3 (ϑ, ϕ) = cos ϑ, damit ist∫ ∫ [2π ∫ ]π/2∫ 2π[∫ 1]x 3 dF =cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ = t dt dϕ = π.S00Hierbei haben wir die bei Integrationen mit Kugelkoordinaten häufig nützliche Substitutiont = cos ϑ benutzt, siehe 23.9c.∫ ∫ [2π∫ ]π/21 dF =sin ϑ dϑ dϕ = 2π,S00was natürlich auch direkt aus ”Kugeloberfläche = 4π R 2 “ folgt. Somit ist der Schwerpunktx S = (x S 1 , xS 2 , xS 3 )tr = (0, 0, 1/2) tr .(ii) Für den fliegenden Teppich“ aus 24.7c”{( ) ∣x 1 ∣∣∣∣S = x 2 0 ≤ x 1 ≤ 6π, 0 ≤ x 2 ≤ 5}, h(x 1 , x 2 ) = 100 + cos x 1 ,h(x 1 , x 2 )mit00|x x1 × x x2 | = √ 1 + (grad h) 2 = √ 1 + sin 2 x 1integriere die Funktion f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (sin x 1 ) x 2 2 (x 3 − 100) über das Teilstück S 1 ={x(x 1 , x 2 ) ∈ R 3 | 0 ≤ x 1 ≤ π/2, 0 ≤ x 2 ≤ 5}.f(x(x 1 , x 2 )) = (sin x 1 ) x 2 2 cos x 1.∫ ∫ [5 ∫ ]π/2√f dF = (sin x 1 ) x 2 2 cos x 1 1 + sin 2 x 1 dx 1 dx 2S 100∫ 5∫ π/2 √= x 2 2 dx 2 1 + sin 2 x 1 sin x 1 cos x 1 dx 1 = 125003= 1253 · 1 ∣3 (1 + t2 ) 3/2 ∣∣1= 125 [2 √ ]2 − 1 ≈ 25, 4.0 9∫ 10√1 + t2 t dt14

24.9 Fluß eines dreidimensionalen Vektorfeldes durch eine FlächeZur Orientierung des Flächenstückes S siehe 24.7d. Wenn die reellwertige Flußdichte durchden Punkt x ∈ S : f(x) = V(x) · n(x) gemäß den Regeln aus 24.8a über die Fläche Sintegriert wird, erhalten wir∫∫V · n dF = V(x(u, v)) · n(u, v) |x u (u, v) × x v (u, v)| du dv,SBalso für den Fluß des dreidimensionalen Vektorfeldes V durch die orientierte Fläche S mitNormalenrichtung n = (x u × x v )/|x u × x v |∫∫V · n dF = V(x(u, v)) · (x u (u, v) × x v (u, v)) du dv.SBIm Spezialfall, in dem die Fläche ein Graph ist, S = {(x 1 , x 2 , h(x 1 , x 2 ) ) tr | (x 1 , x 2 ) ∈ B},siehe 24.7c, erhalten wir für den Fluß nach oben⎛⎞∫∫−(∂ 1 h)(x 1 , x 2 )V · n dF = V(x 1 , x 2 , h(x 1 , x 2 )) · ⎝−(∂ 2 h)(x 1 , x 2 ) ⎠ dx 1 dx 2 .SB1Beispiel: V(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 , x 2 (1 + x 2 3 ), cosh(x25 1 ) ), berechne den Fluß durch die Zylinderflächemit Radius R und Höhe 3: B = {(ϕ, z) | 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ 3},{ ( ) R cos ϕ∣ }∣∣∣S = x(ϕ, z) = R sin ϕ ∈ R 3 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ 3 .zWie in 24.7b berechnet, istx ϕ (ϕ, z) × x z (ϕ, z) =( −R sin ϕR cos ϕ0)×( 001)⎛= ⎝R cos ϕR sin ϕ0⎞⎠ ,dieser Normalenvektor ist nach außen gerichtet (Orientierung nach außen).V(x(ϕ, z)) · (x ϕ × x z ) = (R cos ϕ)(R cos ϕ) + [(R sin ϕ)(1 + z 2 )] (R sin ϕ) + 0∫S∫V · n dF =B= R 2 {∫= R 2 (1 + z 2 sin 2 ϕ),R 2 (1 + z 2B1 dϕ dz += R 2 {2π · 3 + 9sin 2 ϕ) dϕ dz∫ 2π0∫ 2π0[∫ 30] }z 2 dz sin 2 ϕ dϕ}sin 2 ϕ dϕ = R 2 · 15π > 0.Es strömt (mehr) Flüssigkeit nach außen durch den Zylindermantel hinaus.Bemerkung: Wieder ist es nicht erforderlich, den normierten Normalenvektor n(u, v)explizit zu berechnen, es genügt der einfachere Vektor x u × x v . Durch den nun folgendenIntegralsatz können solche Integrale oft noch einfacher berechnet werden.15

24.10 Divergenzsatz (Gaußscher Integralsatz) im R 324.10a Der SatzSei D ⊆ R 3 offen und V : D → R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Sei M ⊆ D eingutartiger“ dreidimensionaler Bereich, der von einer (stückweise) regulär parametrisierten”Oberfläche S = ∂M ⊆ D umschlossen wird, n der äußere Normalenvektor auf S, siehe24.7d. Dann gilt∫∫div V dx 1 dx 2 dx 3 = V · n dF .M∂Mdiv V ist jetzt die räumliche Dichte der Quellstärke. Ist x: B → R 3 eine reguläre Parametrisierungvon ∂M = S = {x(u, v) | (u, v) ∈ B}, dann ist gemäß 24.9∫∫V · n dF = ± V(x(u, v)) · (x u (u, v) × x v (u, v)) du dv ,∂MBwobei das positive (negative) Vorzeichen gilt, falls x u × x v nach außen (innen) orientiertist. Bei mehreren Teilflächen ∂M = ∪ j S j steht auf der rechten Seite die entsprechendeSumme.24.10b Beispiel zum Gaußschen Integralsatz im R 3Wir benutzen den Satz von Gauß, um ein kompliziertes Flußintegral über ein Flächenstückdurch ein eifacheres zu ersetzen. Gesucht ist der Fluß nach außen durch die obere Hemisphäre“S mit Radius ”R∫? =SV ·n dF , S =⎧ ⎛⎨⎩ x(θ, ϕ) = ⎝R sin θ cos ϕR sin θ sin ϕR cos θ⎞⎫ ⎬⎠∣ 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ ϕ < 2π ⎭für das Vektorfeld⎛V(x 1 , x 2 , x 3 ) = ⎝5x 1 + x 2 1 + tanh(ln x2 2 + 1/2)x 3 2 − 2x 1 x 2−3x 2 2 x 3 − √ x 2 1 + x2 2⎞⎠ , x ∈ R 3 , mit(div V)(x) = 5 + 2x 1 + 3x 2 2 − 2x 1 − 3x 2 2 = 5.Da die Divergenz des Vektorfeldes so einfach ist, nämlich konstant (mit Wert 5) gilt für jedeRandfläche ∂M eines 3-dimensionalen Bereiches M ⊆ R 3∫∫V · n dF = div V dx 1 dx 2 dx 3 = 5 Vol 3 (M).∂MMHier ist es naheliegend, das schwierige Integral durch ein einfacheres Flußintegral über dieKreisscheibe Kr in der Äquatorebene“ x ” 3 = 0 zu ersetzen. Dann ist der Raumbereich Mdie obere Halbkugel“”⎧⎛⎨M = ⎝⎩r sin θ cos ϕr sin θ sin ϕr cos θ⎞⎫ ⎬⎠∣ 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ ϕ < 2π ⎭ ,16∂M = S∪Kr,

⎧⎛⎨Kr = ⎝⎩r cos ϕr sin ϕ0⎞⎫ ⎬⎠∣ 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π ⎭ ,mit n = ⎛⎝als äußerem Normalenvektor. Auf Kr ist V · n = −V 3 und wegen x 3 = 0 erhalten wir beiBenutzung von Polarkoordinaten∫∫ 2π[∫ R]V · n dF = r r dr dϕ = 2π R 3 /3.Kr00Die Vollkugel hat das Volumen (4π/3) R 3 , deshalb gilt für die Halbkugel Vol 3 (M) =(2π/3) R 3 . Mit dem Gaußschen Satz fassen wir die Teilergebnisse zusammen zum Endresultat∫∫∫V·n dF = div V dx 1 dx 2 dx 3 − V·n dF = 5 (2π/3) R 3 −2π R 3 /3 = 8π R 3 /3.SMKr00−1⎞⎠17

Merke: Integration reellwertiger Funktionen über Teilmengen niedrigerer DimensionKurvenintegral bezüglich der Bogenlänge (22.1)Kurve C = {x(t) ∈ R n | t ∈ [a, b] }∫C f ds = ∫ bf(x(t)) |ẋ(t)| dtaFlächenintegral(24.8a, 24.7c)Flächenstück S = {x(u, v) ∈ R 3 | (u, v) ∈ B}∫S f dF = ∫ B f(x(u, v)) |x u × x v | du dvSpezialfall Fläche als Graph S = {(x 1 , x 2 , h(x 1 , x 2 ) ) tr | (x 1 , x 2 ) ∈ B}∫S f dF = ∫ B f(x 1, x 2 , h(x 1 , x 2 ) ) √ 1 + (∇ h) 2 dx 1 dx 2Fluß eines Vektorfeldes durch eine Hyperflächen = 2, Hyperfläche ist Kurve C (24.2b)∫C V · n ds = ∫ b{V a 1(x(t)) ẋ 2 (t) − V 2 (x(t)) ẋ 1 (t)} dtn = 3, Hyperfläche ist Flächenstück S (24.9)∫S V · n dF = ∫ B V(x(u, v)) · (x u × x v ) du dv .Im Spezialfall Fläche als Graph S = {(x 1 , x 2 , h(x 1 , x 2 ) ) tr | (x 1 , x 2 ) ∈ B}⎛⎞∫V · n dF = ∫ −(∂ 1 h)(x 1 , x 2 )V(x ⎜⎟S B 1, x 2 , h(x 1 , x 2 )) · ⎝−(∂ 2 h)(x 1 , x 2 ) ⎠ dx 1 dx 21für den Fluß nach oben.Merke: Integralsätze (Orientierungen beachten)Divergenzsatz, Gaußscher Satzn = 2, A ⊆ R 2 ebener Bereich, ∂A = {x(t) | t ∈ [a, b] } Randkurve (24.4)∫A div V dx 1 dx 2 = ∮ ∂A V · n ds = ∫ ba {V 1(x(t)) ẋ 2 (t) − V 2 (x(t)) ẋ 1 (t)} dtn = 3, M ⊆ R 3 Raumbereich, ∂M = {x(u, v) | (u, v) ∈ B} Oberfläche (24.10)∫M div V dx 1 dx 2 dx 3 = ∫ ∂M V · n dF = ± ∫ B V(x(u, v)) · (x u × x v ) du dvSatz von Stokes in der Ebenen = 2, A ⊆ R 2 ebener Bereich, ∂A = {x(t) | t ∈ [a, b] } Randkurve (24.6)∫A (rot V)(x) dx 1 dx 2 = ∮ V · dx = ∫ bV(x(t)) · ẋ(t) dt∂A a18