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Institut für Reine und Angewandte MathematikRheinisch-Westfälische Technische Hochschule AachenProf. Dr. V. EnßZum Kurs Mathematik I – III für Studierende des Bauingenieurwesens u.a.Eine Auswahl von Aufgaben, die eigentlich vor Beginn des Studiums beherrscht werden sollten:S1) Vereinfachen Sie:4 3 4c2a) ( + ) ( − ) b)ab bc ab b2n(S2) Vereinfachen Sie: − − x)ym( −y) ( −x)m3 2m+1ab2a−+cacb, nm , ∈ZS3) Vereinfachen Sie:22 5 −( 4 )( a ) ba2( 3 ) −12bS4) Vereinfachen Sie:a)a3− 2aab22b + ab− a32b)312ab22a2− 9ab34b − 4a3− 3ab22b3c)a4− 2a( a − b)(a22b2+ b4+ 2ab+ b2)S5) Bestimmen Sie alle Lösungen vonx a − x a − xa) − + = 1, a,b,c,x ∈Rmit abc ≠ 0a 2bc3c2 22a x − b a(b − ax)bb) − + = a , a,b ∈Rmit ab ≠ 0a b aS6) Berechnen Sie alle Lösungen von2 1a) x − x = b) xx ( + 2)= 2x+2 c) 4x+ 12x+ 5 = 0 .4S7) Berechnen bzw. vereinfachen Sie, und geben Sie, falls nötig, einschränkende Bedingungenan:a)6324( −4)9225( −2)2 b)4 224c)56− 2 6+2d) a a a e) ( a + b) : ( a + b)26 3 2S8) Berechnen Sie:3 2 24 3 3 4 2 2a) ( a − ab + ab−b ) : ( a− b)b) ( x + x y−xy − y ) : ( x − y )

2 von 3S9) Vereinfachen Sie (ln ist eine Logarithmus-Funktion) und geben Sie ggf. einschränkendeBedingungen an:27 2x 32 2x − y x+y 24 x− y x+ya) ln − ln + ln4xb) ln + ln + 2lnS10) Lösen Sie die folgenden Gleichungena) 2ln( x+ 2e) = 1+ ln( x+ 3e), x∈ R,x>−2e2 2 3 3b) ln( a + ab+ b ) + ln( a− b) = ln( a −b ) −ln x, alle Argumente des ln positivS11) Lösen Sie die Exponentialgleichungen2 1 ( x−1 ) 3 ,a) 7 x = 343 x ≠03− xb) a =x2b , a , b > 0 , ab ≠ 1S12) a) Geben Sie alle Nullstellen von sin x 16 an.b) Bestimmen Sie den Definitionsbereich sowie alle Nullstellen von cot( x 3 − 8).2 +S13) Skizzieren Sie die durch die Gleichungen2 2a) ( x− 1)+ y = 2c)2 2( x−1) ( y−1)−4 9= 1b)2 2( x+1) ( y−1)+4 9= 1gegebenen Kurven.S14) Skizzieren Sie den durcha)2 2x − 2x− y − 4y≤ 3b)2y ≤ 8x− 4xbeschriebenen Bereich der (x,y)-Ebene.S15) Geben Sie einschränkende Bedingungen (den maximalen Definitionsbereich) für5 2tan x2 6f1(x)= x cos x ; f2( x)= ; f2 3(x)= (3x+ x)ln xf4( x)= e2tan x;f5( x)= sin2( ecos xan und bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung.);f6( x)= ln3e3x

3 von 3S16) Skizzieren Sie die durchfff123( x)= −( x)= x( x)= x5424x +29+ 3x− 4− 8x2,+ 8 ,x ∈R,x ∈Rx ∈Rgegebenen Funktionen.S17) Bestimmen Sie zu(i)x + 1f1(x)=2x(iii)3 2x − xf3( x)=3x − x(ii)(iv)ff24( x)=( x)=2x + xx −14x − xx33+ xden maximalen Definitionsbereich, und skizzieren Sie die dadurch gegebene Funktion.S18) Skizzieren Sie grob die Graphen der durch die folgenden Terme gegebenen Funktionenjeweils in einem sinnvollen Teilbereich:(i)ex(ii)e2x(iii)ex / 2(iv)e− x(v)sin x(vi)sin(2x)(vii)sin( x / 2)(viii)sin( −x)(ix)cos x(x)cos ( −x)(xi)tan x(xii)cot x(xiii)ln x(xiv)ln(2x)