14. Vorlesung EP II. WÃ¤rmelehre 10. Temperatur und Stoffmenge 11 ...

14. Vorlesung EP 

II. Wärmelehre 

10. Temperatur und Stoffmenge 

11. Ideale Gasgleichung 

12. Gaskinetik 

13. Wärmekapazität 

Versuche: 

Brownsche Bewegung 

pneumatisches Feuerzeug 

Wärmekapazität gleicher Massen von verschiedenen Metallen 

EP WS 2009/10 Dünnweber,Faessler

II) Wärmelehre 

II) Wärmelehre = Thermodynamik 

- beschreibt Systeme mit sehr vielen (Grössenordnung 10 23 ) 

Massenpunkten. Folgende zum Teil neue physikalische 

Grössen kommen ins Spiel: 

Zustandsgrößen: z.B. Druck, Temperatur, Volumen, Stoffmenge, 

innere Energie, Entropie, .. 

sind Mittelwerte (intensiv) oder Gesamtwerte (extensiv) des Systems 

Prozeßgrößen: 

mechanische Arbeit, Wärmemenge 




(Zwei neue Basisgrössen in der Physik) 

Temperatur T: Wärme ist verknüpft mit ungeordneter Bewegung der 

Atome oder Moleküle. Temperatur wird sich als Maß für deren 

mittlere kinetische Energie herausstellen in der Gaskinetik. 

Versuch: Brownsche Bewegung der Gasmoleküle 

Zum Wärmeinhalt trägt nur der Anteil der ungeordneten Bewegung 

bei, nicht jedoch gleichsinnige, geordnete Bewegungen aller Teilchen 

(Bewegung der Substanz als Ganzes) 

Temperatur T ist 4. Basisgröße (mit Zeit, Länge, Masse) 

Stoffmenge n: Einheit ‘mol’: Stoffmenge, die genauso viele Teilchen 

enthält wie 12 g des 12 C -Kohlenstoff-Isotop.(Atomare Masseneinheit 

= 1/12 der Masse eines 12 C - Atoms.) 

N A = 6.02 . 10 23 Teilchen = 1 mol (Avogadro- oder 

Loschmidt Zahl) 

Stoffmenge n ist 5. Basisgröße 



Soll die Temperatur geändert werden, muß dem System Wärme zugeführt 

oder entzogen werden (->kinetische Energie der Teilchen) 

“Temperatur” ist wie gesagt nur als Mittelwert definiert für einen 

aus vielen Teilchen bestehenden Stoff. 

> nicht anwendbar auf Bewegung einzelner Atome oder Moleküle 

Grundlage jeder Temperatur-Messung (Nullter Hauptsatz der ThD): 

Bringe 2 Körper in Kontakt, dann nehmen beide (nach einiger Zeit) 

dieselbe Temperatur an. 

Celsius-Skala: 

ϑ 

[ o ] mit [ o C] = ‘Celsius’ 

0 [ o C] : Gefriertemp. von Wasser 

100 [ o C] : Siedetemp. von Wasser 

beides bei Normaldruck 101325 [Pa] (=1013.25 mbar) 


Gebräuchliche Temperaturskalen. 

Bild zeigt Kelvin-, Celsius- und Fahrenheit- Temperatur (Ordinate) als 

Funktion der Celsius-Temperatur (Abszisse) 

T[Celsius] = T[Kelvin] – 273,15 



Viele gängige Temperatur- Messmethoden beruhen auf der 

Beobachtung, dass sich Stoffe ausdehnen mit zunehmender - und 

zusammenziehen mit abnehmender Temperatur. 

Linearer Zusammenhang zwischen Ausdehnung und Temperatur. 

Unterschiedliche Proportionalitätskonstanten, 

„Ausdehnungskoeffizienten“: 

Linearer Ausdehnungskoeffizient α 

relative Längenänderung : 

definiert durch 

∆L/L = α ∆T 

Kubischer Ausdehnungskoeffizient γ definiert durch relative 

Volumenänderung 

∆V/V = γ ∆T 


Lineare Ausdehnungskoeffizienten: 

α Eisen 

= 12.3·10 -6 K -1 

α Kupfer = 16.7·10 -6 K -1 

Krümmung ~ ∆T 

Flüssigkeitsthermometer: 

Änderung des Volumens einer Flüssigkeit 

(Alkohol, Quecksilber) 

in begrenztem Temperaturbereich: 


∆ V 

= γ ⋅ V 

⋅∆ 

0 

T 

V o 

: Volumen bei Bezugstemperatur T o 

; ∆T=T-T o, 

γ: ‘kubischer Ausdehnungskoeffizient’ 

Bei bekanntem Querschnitt des Röhrchens: 

∆V = V(T) – V o = A ∆L 



11.Ideale Gasgleichung 

Definition eines idealen Gases: 

Gasmoleküle sind harte punktförmige Teilchen, die nur elastische 

Stöße ausführen und kein Eigenvolumen besitzen. 

Viele Gase zeigen ideales Verhalten bei hohen, aber nicht zu hohen T. 

Die Zustandsgrößen wie: 

Druck p [Pa], Temperatur T [K] 

Volumen V [m 3 ], Stoffmenge n [mol] 

lassen sich unter dieser Annahme auf 

Mittelwerte oder Gesamtwerte von 

Eigenschaften der Moleküle zurückführen. 



Variiert man T, V und p bei fester Stoffmenge n, so beobachtet man: 

pV 

T 

= 

p0V 

T 

0 

0 

= const 

T 0 

= 273.15 K, Normdruck p 0 

= 101 325 Pa 

Gesetz von Avogadro: 

Gleiche Volumina Gas von gleichem Druck und gleicher Temperatur 

enthalten gleich viele Moleküle, unabhängig von ihrer chemischen 

Beschaffenheit. Das Volumen eines Mols einer Substanz nennt man 

molares Volumen V 0 = 0.02241 m 3 mol -1 (22.41 Liter/mol) 

Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase: 

pV 

= 

p V 

0 

T 

0 

0 

T 

= R ⋅T 

R = allgemeine Gaskonstante = 8.32 J/(mol . K) 

R = k . N A 

p ⋅V 

= 

n 

R T 

n: Stoffmenge in [mol] 

verknüpft Zustandsgrößen eines idealen Gases 


Zustandsänderungen 

- Stoffmenge n sei jeweils konstant 

Isothermen = Hyperbeln 

(a) Isotherme Zustandsänderung (T = konst.) 

p = 

n 

R T 

1 

⋅ 

V 

= 

1 

const ⋅ 

V 

Boyle-Mariotte-Gesetz: 

p 0 

. V0 = p 1 

. V1 = const. 

Isobaren = Geraden 

(b) Isobare Zustandsänderung (Druck p = const.) 

Gay-Lussac Gesetz: 

bzw.: 

V 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

n ⋅ R 

p 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⋅T 

V 

T 

0 

0 

V 

= 

T 

1 

1 

= const 


(c) Isochore Zustandsänderung (Volumen V = const.) 

p 

= 

⎛ n⋅ 

R ⎞ 

⎜ ⎟⋅T 

⎝ V ⎠ 

Isochore = Geraden 

hieraus kann man durch Extrapolation 

p->0 den absoluten Nullpunkt bestimmen 

Charles-Gesetz: 

p 

T 

0 

0 

= 

p 

T 

1 

1 

= const 

Anwendung: Gasthermometer 

p 

T 

= p ( 1+ 

γ ⋅ ∆T 

) = p0 

= p0 

T 

0 

⋅ 

0 

T 

273.15K 


d) adiabatische Zustandsänderung 

Verhalten eines Systems, das ohne Wärmeaustausch zusammengedrückt 

oder entspannt wird, mechanische Arbeit wird geleistet 

adiabatische Kompression 

Wichtige Voraussetzung: 

Kompressionszeit

12. Kinetische Gastheorie: 

„Wärme“: ungeordnete Bewegung der Moleküle in einer Substanz. 

erkennbar an: Brownscher Molekularbewegung von Schwebstoffen 

Bisher: Verhalten von Gasen mit makroskopischen Variablen (p, V, T) 

beschrieben. 

Frage: Wie sind diese mit dem mikroskopischen Zustand des Gases 

(kinetische Energie, Verteilung im Raum) verknüpft? 

Gas Flüssigkeit Festkörper 

Gase: 

Gasdruck wird verursacht durch Stöße der einzelnen Gasmoleküle 

mit der Wand. 

Die Teilchen (Moleküle) im Gas bewegen sich mit verschiedenen 

Geschwindigkeiten: Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung 


Ergebnis der kinetischen Gastheorie (s. nächste Seiten für 

Interessierte): 

p⋅ 

V = 

1 

3 

N ⋅ 

2 

v 

2 

wobei N = Zahl der Gasteilchen im Volumen V und v = Mittelwert 

des Quadrats ihrer Geschwindigkeit. 

Mittels der Gasgleichung (p·V=nRT) ist somit ein Zusammenhang 

zwischen der mittleren kinetischen Energie pro Gasteilchen E kin 

und der Temperatur hergestellt: 

1 Nv 

2 nRT 

3 

= 

2 

m ⋅ v 3 R 

Ekin = = ( )T = 

2 2 N 

k = Boltzmannkonstante = 1.38 . 10 -23 [J/K] : R = k ⋅⋅NA 

N A 

obige Formel gilt nur für kugelsymmetrische Moleküle/Atome. Im 

allgemeinen Fall tragen auch Rotationsbewegungen zu bei 

Mittl. Geschw. bei 273 K: H 2 

: 1700 m/s ; N 2 

: 453 m/s ; O 2 

: 447 m/s 

A 

3 

2 

kT 

E kin 


Stoß eines Teilchens mit Wand (elastisch, m Teilchen

Für Interessierte: 

Mit diesen Annahmen kann man berechnen, wie viele Moleküle 

pro Zeit auf eine Wand der Fläche treffen und wie gross die gesamte 

Impulsänderung pro Zeit ist. Da Impulsänderung pro Zeit eine Kraft 

ergibt (Newtonsches Axiom) und Kraft pro Fläche ein Druck ist, ergibt 

sich ein Zusammenhang zwischen Druck und mittlerer kinetischer 

Energie der Teilchen . 

Die Masse der Moleküle m spielt dabei eine Rolle, ebenso die Anzahl 

der Moleküle pro Volumen N/V. 

Auf der nächsten Seite wird die Herleitung der Zusammenhänge 

explizit gezeigt. Das Resultat sieht man am Ende der Seite. 

Es zeigt: Das Produkt pV ist proportinal zur mittleren kinetischen 

Energie der Moleküle. Der Vergleich mit der allgemeinen Gasgleichung 

pV = nRT liefert eine fundamentale Erklärung der Temperatur. 


Wieviele Teilchen stoßen nun pro Zeitintervall ∆t auf die Oberfläche A? 

Von den Molekülen mit 

∆P 

= ∆N 

⋅2m⋅ 

v 

N 1 

∆N = ⋅ vx ⋅∆t 

⋅A 

⋅ 

V 2 

einer Schicht der Dicke 


x 

= 

v x 

erreichen nur die Moleküle aus 

v x 

⋅ ∆t 

Damit ist die Gesamtimpulsänderung: 

mN ⋅A 

⋅ v 

V 

2 

x 

in der Zeit ∆t die Wand 

⋅∆t 

Und somit ist der Druck auf die Oberfläche: 

(1/2: Annahme symmetr. Verteilung) 

p 

= 

F 

A 

= 

1 

A 

⋅ 

∆P 

∆t 

= 

mN ⋅ v 

V 

2 

x 

= 

mN ⋅ v 

3V 

2 

oder 

p ⋅ V 

= 

mN ⋅ v 

3 

2 

= 

n ⋅ R ⋅T 


f 

( v) 

⎛ m ⎞ 

= 4π 

⎜ 

⎟ 

⎝ 2πkT 

⎠ 


Einzelne Teilchen (Moleküle) im Gas bewegen sich jedoch mit 

verschiedenen v Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, siehe Bild 

3 

2 

v 

2 

⎛ 

⎜ 

exp⎜ 

− 

⎜ 

⎝ 

m 

v 

2 

kT 

∆N(v) = N . f(v)∆v = Zahl der Teilchen mit 

Geschwindigkeitsbetrag zwischen v + ∆v 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

Teilchen stoßen untereinander 

Änderung von v und der Richtung 

(Brownsche Molekularbewegung!) 

Mit der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung lassen sich mittlere 

Geschwindigkeit und mittleres Geschwindigkeitsquadrat berechnen: 

v 

= 

∞ 

∫ 

0 

vf (v)dv 

; 

v 

2 

= 

∞ 

∫ 

0 

v 

2 

f (v)dv 

v 

= 

8kT 

πm 

; 

v 

2 = 

3kT 

m 



Bisherige Bewegungsformen der Teilchen (Moleküle etc.) im Gas: 

-> nur Translation in den 3 Raumrichtungen: 3 Freiheitsgrade 

Thermische Energie pro Freiheitsgrad: 

Formel gilt auch für zusätzliche Freiheitsgrade (z.B. Rotation) 

der Moleküle im Gas: 

Bei i Freiheitsgraden gilt: 

E 

kin , FG 

= 

1 

kT 

2 

E 

kin , gesamt 

1 

= ⋅ i⋅ 

k 2 

⋅T 

(Gleichverteilungssatz) 

kugelsymmetrische Teilchen (z.B. Argon-Atome): 

kein Rotationsfreiheitsgrad 

hantelförmige Moleküle (z.B. N 2 , O 2 ): 2 Rotationsfreiheitsgrade 

kompliziertere Moleküle (z.B. H 2 O): 3 Rotationsfreiheitsgrade 


“Prozessgrösse” Wärmemenge 


Historisch: 1 cal (1 Kalorie) = Wärmemenge , die nötig ist, um 1g 

Wasser von 14.5 auf 15.5 °C zu erwärmen. 

Später fand man Äquivalenz von Energie und Wärmemenge, siehe 

Hauptsatz, weiter unten. Wärme ist eine Form von Energie. Die 

Gaskinetik lieferte einen direkten Zusammenhang zwischen der 

kinetischen Energie der Teilchen und der Temperatur, siehe oben. 

Neue Einheit der Wärmemenge ist die Energieeinheit Joule = J: 

Umrechnung: 1 cal = 4.187 Joule 


Wärmekapazität: Wird einer Substanz Energie in Form von Wärme Q 

.zugeführt, steigt die Temperatur, ausser bei Phasenübergang,s. unten 

Wärmezufuhr → Temperaturänderung ∆T 

∆Q 

= 

c 

masse 

⋅ m⋅∆T 

= 

c 

Mol 

⎡ J ⎤ 

⎡ J ⎤ 

[ c mol 

] = oder [ c ] 

⎥ Masse 

= ⎢ ⎥ 

⎦ ⎦ 

⎢ 

⎣mol 

⋅ K 

⎣kg 

⋅ K 

⋅n 

⋅∆T 

= C ⋅ ∆T 

C: Wärmekapazität eines bestimmten Körpers [J/K] 

c: Spezifische Wärmekapazität (bezogen auf Masse, Stoffmenge) 

c mol 

= c Masse 

⋅M 

mit M = molare Masse [kg/mol] 

Wärmekapazität hängt davon ab, unter welchen Bedingungen das 

Experiment durchgeführt wird. Man definiert zwei Wärmekapazitäten: 

c P = spezifische Wärme bei konstantem Druck (Volumenarbeit p . ∆V) 

c V = spezifische Wärme bei konstantem Volumen (isochor, p . ∆V= 0) 

c p > c V : bei isobarer Erwärmung wird zusätzlich Volumenarbeit geleistet 


Prozessgrösse Volumenarbeit: 

- mit Volumenänderung um ∆V ist mechanische Arbeit ∆W verbunden 

- Kolben-Fläche A F = p ⋅ A 

(p = const. für isobaren Prozess) 

- Beim Verschieben um ∆s wird von 

aussen „Volumenarbeit“ geleistet: 

T 

∆ 

W Vol 

= 

F 

⋅∆s 

= − p ⋅∆V 

∆W vo 

l 

Das negative Vorzeichen ist eine Folge der Definition: 

Bei Volumenverkleinerung , ∆V negativ, wird positive Arbeit von 

aussen am System geleistet. In diesem Fall soll die Volumenarbeit 

am System positiv gerechnet werden 

Die Energie des Systems erhöht sich. 


13.Wärmekapazität 

Spezifische Wärmekapazitäten c p und c v beim idealen Gas: 

c v (isochore Wärmezufuhr, ∆V=0): ∆W vol = p ⋅ ∆V= 0 

Wärmezufuhr führt allein zur Erwärmung (oder Phasenübergang) 

c p (isobare Wärmezufuhr): System-Erwärmung und zusätzliche vom System 

nach außen abgegebene mechanische Volumenarbeit in Höhe von 

∆W vol 

= p⋅∆ 

⋅∆V 

= n⋅R⋅∆ 

⋅∆T 

( 2.= folgt aus allg Gasgl. bei gegebenem ∆T) 

∆Q 

= 

n ⋅c 

p 

∆T 

= 

n ⋅c 

V 

∆T 

+ 

p⋅∆V 

= 

n ⋅c 

V 

∆T 

+ 

n ⋅R 

⋅∆T 

Daraus folgt: 

c 

p 

− cV 

= 

R 



Wärmemenge zur Erwärmung von 1Mol ideales Gas mit i Freiheitsgraden: 

∆Q 

mol 

= ∆E 

kin, 

mol 

i 

= R∆T 

isochor: 

2 

isobar: 

∆Q 

∆Q 

mol 

mol 

= c 

V 

= c 

p 

⋅∆T 

⋅∆T 

c v 

c p 

= i ⋅ R 

( 

2 

i + 1) 

⋅ R 

= 

2 

c v 

c p 

i 

1-atomig 

3/2 R 

5/2 R 

3 Translation 

2-atomig 

5/2 R 

7/2 R 

3 Translation, 2 Rotation 

3-atomig, 

nicht 

linear 

6/2 R 

8/2 R 

3 Translation, 3 Rotation 

Bei höheren Temperaturen können noch weitere Freiheitsgrade, von 

Schwingungen (Vibrationen), wichtig werden (Anstieg von c p und c V ). 



Festkörper 

c ≡ 

c 

p 

(Volumenausdehnung klein). Isochore Zustandsänderung wäre aufwändig, weil 

Kraft zur Konstanthaltung des Volumens groß, siehe Versuch Bolzensprenger. 

Bei genügend hohen Temperaturen gilt das Dulong-Petit Gesetz: 

6 Freiheitsgrade für Schwingungen um Ruhelage (3für E kin 

, 3 für V pot 

) 

i=6 c = 3 . R = 24.9 J/(mol . K) 

Beispiele: 

Blei: 

J 

c Pb 

129 

kgK 

J 

= oder 25.6 

molK 

, M Pb 

= 0,199 kg/mol 

J 

J 

Aluminium: c Al 

= 896 oder 23.3 , M 

kgK 

molK 

Al 

= 0,026 kg/mol 

Versuche: Wärmekapazität von Metallen gleicher Masse, gleicher Molzahl 



Flüssigkeiten: (Kein einfaches Gesetz) 

Zahlen-Beispiele: c in Einheiten von 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

J 

kg 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Alkohol 

1410 J/(kgK) 

Benzol 1720 " 

CCl 4 

860 " 

Wasser 4180 “ 

Ammoniak 4600-6700 “ 

Vergleich mit Kaloriedefinition: 

c H2 0 

= 

1cal /(1 g ⋅1K) 

= 4.18 J /(0.001kg ⋅1K) 


Messung der Wärmekapazität eines Körpers mit Mischungskalorimeter 

Körper gibt Wärme an das Bad und das Gefäß ab (Nullter Hauptsatz): 

∆Q K =c K. m K. (T K −T M ) 

Badflüssigkeit nimmt auf: 

∆Q B = c B 

. mB 

. (TM −T B ) 

Kalorimetergefäß nimmt auf: 

∆Q KA =W KA. (T M −T B ) 

W KA : Wasserwert = Wärmekapazität 

des Kalorimeters 

(berechnet aus einem Mischexperiment 

mit bekannten Wärmekapazitäten) 

∆Q K = ∆Q B +∆Q KA ⇒ ∆Q K =c K 

. mK 

. (TK −T M )= c B 

. mB 

. (TM −T B ) + W KA 

. (TM −T B ) 

c 

K 

( c 

= 

B 

⋅m 

B 

m 

+ W 

K 

( T 

K 

KA 

)( T 

−T 

M 

M 

) 


−T 

B 

)

14. Vorlesung EP II. WÃ¤rmelehre 10. Temperatur und Stoffmenge 11 ...

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