HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik II Prof ...

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Wirtschaftsmathematik II
Differentialrechnung
Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 4:
Funktionen der Wirtschaftsmathematik, Stetigkeit
1. In einem monopolistischen 1-Produkt-Unternehmen ergeben sich je Monat Fixkosten
in Höhe von 10 000 e, sowie zusätzliche produktionsabhängige Kosten in Höhe von
10 e/ME bei einer Produktionsmenge bis 8 000 ME und wegen der Zuschläge für
Überstunden etc. 12.50 e/ME für die darüber liegenden Produktionsmengen (nur
für den 8 000 ME übersteigenden Teil der Produktionsmenge!).
Für den Verkauf des Produktes wurde empirisch eine Preis-Absatz-Funktion
x(p) = 112 000 − 8 000 p
ermittelt, wobei die Produktionsmenge x in ME und der Verkaufspreis p in e/ME
angegeben werden.
(a) Bestimmen Sie eine Kostenfunktion K(x) für das Unternehmen und skizzieren
Sie diese.
(b) Bestimmen Sie für das Unternehmen eine Erlösfunktion E(x) und eine Gewinnfunktion
G(x) und skizzieren Sie diese.
(c) Bestimmen Sie die Produktionsmenge x G1 , von der an das Unternehmen mit
Gewinn arbeiten kann, sowie (durch einfache Überlegungen) die Produktionsmenge
x Gmax bei der der Gewinn maximal wird. Wie groß ist der maximale
Gewinn?
(d) Bestimmen Sie für den Fall, dass das Unternehmen seine Monopolstellung verliert,
eine Angebotsfunktion x(p), nach der das Unternehmen zu jedem (von
x unabhängigen) Marktpreis p für das Produkt die Produktionsmenge x berechnen
kann, für die sich der maximale Gewinn ergibt. (Dies ist wieder durch
einfache Überlegungen möglich.)
2. Ein monopolistisches Ein-Produkt-Unternehmen produziert seinen Output x (in
ME) mit Hilfe eines Produktionsfaktors r (Input in ME) gemäß der Produktionsfunktion
x(r) = √ r − 100, r ≥ 100. Der Faktorpreis beträgt 16 e/ME.
Die Preis-Absatz-Funktion für dieses Produkt lautet x(p) = 196 − 0, 4p, wobei der
Preis p in e/ME angegeben wird.

(a) Bestimmen Sie eine Funktion K(x) für die Materialkosten und darauf aufbauend
E(x), G(x), E(p), G(p) und skizzieren Sie diese Funktionen.
(b) Bestimmen Sie die Gewinnschwellen einmal bzgl. x, d.h. Werte x 1 und x 2 , so
dass gilt G(x) ≥ 0 ∀x ∈ [x 1 , x 2 ] und einmal bzgl. p, d.h. Werte p 1 und p 2 , so
dass gilt G(p) ≥ 0 ∀p ∈ [p 1 , p 2 ].
Überlegen Sie, ob mann diese Werte p 1 und p 2 auch bestimmen kann, ohne die
Funktion G(p) zu kennen.
3. Sind die folgenden Funktionen im gesamten Definitionsbereich stetig? Skizzieren Sie
den Graphen der Funktionen!
{ x + 1, −∞ < x ≤ 1
(a) f(x) =
2x − 1,
1 < x < ∞
⎧
0, −∞ < x < 0
⎪⎨
5x, 0 ≤ x < 1
(b) f(x) =
6 − x, 1 ≤ x ≤ 6
⎪⎩
0, 6 < x < ∞
4. Wie muss a gewählt werden, damit die Funktion f(x) =
Intervall [0,2] stetig ist?
{ ax, 0 ≤ x ≤ 1
3 − x, 1 < x ≤ 2 im
5. Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 1−e − 1
(x−5) 2 , D f = R\{5}, auf Stetigkeit und
skizzieren Sie den Graphen der Funktion! Bestimmen Sie insbesondere die Grenzwerte
lim
x→±∞
f(x) und lim
f(x)!
x→5±0
6. Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 2 1 x
, D
1 + 2 1 f = R\{0}, auf Stetigkeit und
x
skizzieren Sie den Graphen der Funktion! Bestimmen Sie insbesondere die Grenzwerte
lim f(x) und lim f(x)!
x→±∞ x→±0
7. Für das weltweit erzielte Gesamteinkommen Y (in Mrd. e) der Beschäftigten im
Bereich Multimediatechnik wird eine Entwicklung nach der ”logistischen” Funktion
prognostiziert.
Y (t) =
4800
1 + 250 · e − t 3
Gegen welchen Sättigungswert strebt das Gesamteinkommens der Beschäftigten dieses
Wirtschaftszweiges in Zukunft?
,

8. Für Kaffee werden in einem durchschnittlichen sächsischen Haushalt monatlich K e
ausgegeben. Für die Abhängigkeit dieses Wertes vom verfügbaren Haushaltseinkommen
Y wurde eine Funktion K(Y ) = 85 · e − 3000
Y durch statistische Untersuchungen
ermittelt.
(a) Überprüfen Sie durch Bestimmung der Grenzwerte, ob diese Funktion auch für
sehr hohe und für sehr niedrige Einkommen zutreffen kann!
(b) Welchen Einfluß haben die Parameter a und b auf den Verlauf (auf den Graphen)
der Funktion
f(x) = a · e − b x , a, b > 0, x > 0?
9. Bei der Herstellung eines Produktes können jeweils maximal 100 ME in einem Produktionszyklus
hergestellt werden. Die Herstellungskosten betragen 60 e/ME zzgl.
2000 e Fixkosten je Produktionszyklus.
(a) Stellen Sie eine Kostenfunktion K(x) und eine Stückkostenfunktion k(x) für
dieses Produkt auf!
(b) Handelt es sich dabei um stetige Funktionen? Falls nein, charakterisieren Sie
die Unstetigkeitsstellen!
10. Ein Großhändler bietet seinen Kunden folgende Rabatte beim Kauf eines Produktes
an: Der Einzelverkaufspreis beträgt 10 e/ME, bei Abnahme von mindestens 1000
ME werden auf den Verkaufspreis 20% Rabatt gewährt, bei Abnahme von mindestens
3000 ME wird ein Rabatt von insgesamt 30% gewährt, jeweils auf die gesamte
Menge.
(a) Stellen Sie die Umsatzfunktion für eine Lieferung auf! Skizzieren Sie diese Funktion
und bestimmen Sie die Unstetigkeitsstellen!
(b) Welche Bestellmengen sind nach dieser Funktion unwirtschaftlich?

1.
(a) K(x) =
Einige Lösungen
{ 10.00 x + 10 000 , 0 ≤ x ≤ 8 000
12.50 x − 10 000 , 8 000 < x
(b) E(x) = 14 x − 0.000 125 x 2 , 0 ≤ x ≤ 112 000
{ 4 x − 0.000 125 x
G(x) =
2 − 10 000 , 0 ≤ x ≤ 8 000
1.5 x − 0.000 125 x 2 + 10 000 , 8 000 < x ≤ 112 000
(c) x G1 = 2733.50 , x Gmax = 8 000 , G max = 14 000 ;
(d) E(x) = p · x
{ (p − 10) · x − 10 000 x ∈ [0, 8 000]
G(x) =
(p − 12.5) · x + 10 000 x ∈ [8 000, ∞)
⎧
⎨ 0 p ∈ [0, 10]
x(p) = 8 000 p ∈ (10, 12.5] ,
⎩
∞ x ∈ (12.5, ∞)
2.
wobei nur bei p ≥ 11.25 mit Gewinn gearbeitet werden kann.
(a) K(x) = 16x 2 + 1600
E(x) = 490x − 2.5x 2
E(p) = 196p − 0.4p 2
G(x) = −18.5x 2 + 490x − 1600
G(p) = −2.96p 2 + 2704.8p − 616256
(b) G(x) ≥ 0 ∀x ∈ [3.81472, 22.6718] bzw. ∀p ∈ [433.321, 480.463]
3. (a) nein, (b) ja
4. a = 2
5. lim f(x) = 1,
x→5
6. lim f(x) =
x→∞
7. 4800
8.
lim f(x) =
x→∞
lim f(x) = 1
x→−∞ 2 ,
lim f(x) = 0
x→−∞
lim f(x) = 0, lim
x→−0
f(x) = 1
x→+0
(a) lim
Y →0
K(Y ) = 0,
lim K(Y ) = 85
Y →∞
(b) f(x) = ae − b x mit a, b > 0 für x > 0 ist Sättigungsfunktion mit
Sättigungswert lim f(x) = a, lim f(x) = 0, Wendepunkt ( b, x→∞ x→0 2 ae−2 ).

9.
⎧
⎪⎨
(a) K(x) =
⎪⎩
⎧
⎪⎨
k(x) =
⎪⎩
60x + 2000 0 < x ≤ 100
60x + 4000 100 < x ≤ 200
60x + 6000 200 < x ≤ 300
.
60 + 2000
x
0 < x ≤ 100
60 + 4000
x
100 < x ≤ 200
60 + 6000
x
.
200 < x ≤ 300
.
.
,
(b) stückweise stetig, Sprünge in x i = 100 · i, i ∈ N;
Sprunghöhe: bei K(x) gilt h i = 2000 und bei k(x) gilt h i = 2000
x i
10. ⎧
⎨ 10x, 0 ≤ x < 1000, unwirtsch. für x ∈ [800, 1000)
U(x) = 8x, 1000 ≤ x < 3000, unwirtsch. für x ∈ [2625, 3000)
⎩
7x, 3000 ≤ x < ∞