Übungsblatt 11 - und Sozialstatistik
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Lehrstuhl für Wirtschafts- <strong>und</strong> SS 2012<br />
<strong>Sozialstatistik</strong><br />
Übungen zum Basismodul Statistik<br />
Blatt <strong>11</strong><br />
Die Aufgaben werden in der Übung am Freitag, dem 06.07.2012, 08:15 – 09:45 Uhr im HS 2<br />
(Carl-Zeiß-Str. 3) besprochen.<br />
Aufgabe 55<br />
Sei eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable mit<br />
(X,Y)<br />
1<br />
( x y ) , x {0;1; 2} <strong>und</strong> y {2; 3; 4}<br />
P( X x, Y y)<br />
36<br />
0 , sonst<br />
a) Zeigen Sie, dass<br />
eine Verteilung ist.<br />
b) Berechnen Sie<br />
,<br />
.<br />
c) Sind die Zufallsvariablen X <strong>und</strong> Y unabhängig?<br />
P(0<br />
X 2)<br />
P( X x, Y y)<br />
P(0<br />
X 2 ; 2 Y 4)<br />
P(X<br />
0 ; Y 3)<br />
,<br />
P(X<br />
0 ; Y 3)<br />
<strong>und</strong><br />
Aufgabe 56<br />
Es wird mit zwei fairen Würfeln gewürfelt. Der erste Würfel besitzt die Zahlen eins bis sechs,<br />
der zweite Würfel hat jeweils zwei Seiten mit der Zahl eins, mit der Zahl zwei <strong>und</strong> mit der<br />
Zahl drei. Sei X die Augenzahl des ersten <strong>und</strong> Y die Augenzahl des zweiten Würfels. Geben<br />
Sie die gemeinsame Verteilung an.<br />
Aufgabe 57<br />
Sei eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable mit gemeinsamer Verteilung:<br />
(X,Y)<br />
Y = 1 Y = 2 Y = 3<br />
X = 1 0,2 0,1 0,15<br />
X = 2 0,1 0,05 0,25<br />
X = 3 0 0,15 0<br />
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X <strong>und</strong> Y.<br />
b) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y.<br />
c) Geben Sie die gemeinsame Verteilung für den Fall an, dass X <strong>und</strong> Y unabhängig sind,<br />
wobei die Randverteilungen durch Teilaufgabe a) gegeben sind.
Aufgabe 58<br />
Es wird mit zwei fairen Würfeln gewürfelt. Auf Basis der beiden gewürfelten Augenzahlen<br />
seien zudem die folgenden Zufallsvariablen definiert.<br />
a) Bestimmen Sie die Randverteilung von X <strong>und</strong> Y.<br />
b) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X <strong>und</strong> Y an.<br />
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass<br />
c1) die Summe der Augenzahlen keine Primzahl ist, falls das Produkt der Augenzahlen<br />
eine Primzahl ergibt?<br />
c2) das Produkt der Augenzahlen eine Primzahl ergibt, falls die Summe der Augenzahlen<br />
eine Primzahl ist?<br />
Aufgabe 59<br />
Während der Tour de France werden die Radrennfahrer zu Dopingkontrollen gebeten. Erfahrungsgemäß<br />
sind unter den kontrollierten Radrennfahrern 15 % Dopingsünder. Eine Dopingprobe<br />
soll klären, ob der Grenzwert verbotener Stoffe im Urin überschritten wird. Diese Probe<br />
irrt sich bei Dopingsündern mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % (d. h. sie ist negativ, obwohl<br />
der Grenzwert überschritten wird). Die Probe irrt sich bei Radrennfahrern, die nicht zu<br />
den Dopingsündern zählen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % (d. h. sie ist positiv, obwohl<br />
der Grenzwert nicht überschritten wird). Zunächst wird ein Radrennfahrer einmal kontrolliert<br />
(A-Probe).<br />
a) Füllen Sie die folgende Tabelle mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten aus:<br />
Y 1 (positives Ergebnis)<br />
Y 0 (negatives Ergebnis)<br />
X 1<br />
(Dopingsünder)<br />
P(Y 1| X 1)<br />
<br />
P(Y 0 | X 1)<br />
<br />
X 0<br />
(kein Dopingsünder)<br />
P (Y<br />
1| X 0)<br />
<br />
P(Y 0 | X 0)<br />
<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt?<br />
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Dopingsünder handelt, falls<br />
die Dopingprobe positiv ist?<br />
d) Falls die A-Probe positiv ausfällt, wird eine zweite Dopingprobe durchgeführt (B-Probe).<br />
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Dopingsünder handelt, falls<br />
beide Dopingproben (A- <strong>und</strong> B-Probe) positiv sind?
Aufgabe 60<br />
Eine Krankenversicherung ermittelte, dass bei Verkehrsunfällen von PKW-Fahrern, die angegurtet<br />
waren, nur 8% der Fahrer Kopfverletzungen aufwiesen. Bei nichtangegurteten Fahrern<br />
erlitten bei einem Unfall 62% keine Kopfverletzungen. Trotz Anschnallpflicht legen immer<br />
noch 15% aller Autofahrer keinen Gurt an.<br />
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Unfall eine Kopfverletzung<br />
vorliegt.<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nach einem Unfall mit Kopfverletzungen<br />
eingelieferter Autofahrer keinen Gurt angelegt hatte?<br />
Aufgabe 61<br />
Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie:<br />
PX ( 2,38)<br />
PX ( 0,74)<br />
PX ( 1,33)<br />
PX ( 0,23)<br />
P( 0,55 X 5)<br />
das untere Quartil.