und Sozialstatistik Klausur Statistische Inferenz 15.02.2013 Name

Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13
Lehrstuhl für Wirtschafts- und
Sozialstatistik
Klausur
Statistische Inferenz
15.02.2013
Name:
Matrikelnummer:
Studiengang:
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe
Punkte 6 5 5 5 5 4 4 6 40
erzielte Punkte
Note:
Hinweise:
- Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
- Zur Lösung der Aufgaben dürfen nur die ausgeteilten Blätter verwendet werden.
- Lösungen ohne Begründung bzw. Rechenweg werden nicht als vollständige Lösung
gewertet.
- Zugelassen sind nur folgende Hilfsmittel:
- unkommentiertes Skript zur Vorlesung Statistische Inferenz
- Verteilungstabellen zu Vorlesungen des Lehrstuhls
- nicht programmierbarer Taschenrechner

Matrikelnummer: 1
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Die diskreten Zufallsvariablen X und Y haben folgende gemeinsame Verteilung:
Y = 0 Y = 1
X = 0 1 2 15
15
X = 1 2 10 15
15
a) Prüfen Sie, ob X und Y identisch verteilt, austauschbar und/oder unabhängig sind.
b) Geben Sie den bedingten Erwartungswert von X gegeben Y = 1 an.
c) Geben Sie die bedingte Erwartung von X gegeben Y an.

Matrikelnummer: 2
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Die Zufallsvariable X kann die Ausprägungen 1, 2 und 3 annehmen. Über die Verteilung von
X ist folgendes bekannt:
P (X = 1)
= θ
P (X = 2) = 4θ
P (X = 3) = 1−
5θ
(
1
θ ∈ 0, ] )
[
5
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X in Abhängigkeit von θ.
Eine Stichprobe vom Umfang 5 führte zu den Werten {2, 2, 1, 2, 3}.
b) Stellen Sie die Likelihood-Funktion für den unbekannten Parameter θ auf.
c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den unbekannten Parameter θ.

Matrikelnummer: 3
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Gegeben sind die Zufallsvariablen X, Y und Z mit den folgenden Verteilungen
X ~ N(1,4), Y ~ Re[2, 8], Z ~ N(0,1).
Die Kovarianz zwischen X und Y beträgt 0,5. X und Z sind unabhängig.
Bestimmen Sie:
a) Var(2X+5)
b) E(3X+Y–1)
c) Var(X-2+Y)
d) corr(aX, 3X+1)
mit a > 0
e) corr(3X, 2Z+1)

Matrikelnummer: 4
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Die Zufallsvariable X beschreibe die Körpergröße von Jugendlichen und sei normalverteilt
mit unbekanntem Erwartungswert θ und bekannter Varianz von 64 cm 2 . Eine Stichprobe vom
Umfang 36 ergab 173 cm als durchschnittliche Körpergröße.
a) Testen Sie die Hypothese H 0 : θ = 170 ( H 1 : θ ≠ 170 ) anhand obiger Stichprobe zum
Niveau α = 0,05. Ist Ihr Ergebnis statistisch gesichert?
b) Skizzieren Sie den Verlauf der Gütefunktion G(θ) für H 0 : θ ≤170
und zeichnen Sie das
Signifikanzniveau α = 0,05, den Fehler 1. Art für θ = 160 und den Fehler 2. Art für
θ = 180 ein.
c) Gibt es einen Test zur Hypothese H 0 : θ ≠ 170 mit H 1 : θ = 170? (kurze Begründung)

Matrikelnummer: 5
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Die „Wolkenlos“ Airline behauptet, dass weniger als 5% ihrer Flüge verspätet sind. Bei der
Überprüfung von 500 Flügen wurden 15 Verspätungen beobachtet.
a) Geben Sie zum Signifikanzniveau α = 0,1 ein Konfidenzintervall für den Anteil der
Verspätungen an.
b) Zu welchem Konfidenzniveau erhält man bei der hier beobachteten Stichprobe ein
Intervall der Länge 0,03?

Matrikelnummer: 6
Aufgabe 6 (4 Punkte)
Aus einer Grundgesamtheit der Größe 100 wird eine Stichprobe vom Umfang 5 gezogen. Für
jeden Merkmalsträger i werden zwei Merkmale ( w
i
und x
i
) betrachtet:
i 5 18 35 67 91
x
i 10 6 8 12 8
w 100 53 86 130 75
i
Die Summe der Merkmalswerte w
i
aller Merkmalsträger und deren Standardabweichung sind
bekannt und betragen 9.000 bzw. 82,2.
a) Schätzen Sie die Summe der Merkmalswerte x i
in der Grundgesamtheit mittels einer
einfachen Stichprobe.
b) Schätzen Sie die Summe der Merkmalswerte x
i
mittels gebundener Hochrechnung.
c) Ist es sinnvoll, die Varianzen der Schätzer aus a) und b) als Auswahlkriterium für eines
der Verfahren zu nutzen? (keine Berechnung notwendig)

Matrikelnummer: 7
Aufgabe 7 (4 Punkte)
Ein Unternehmen hatte in den vergangenen fünf Jahren folgende Werbeaufwendungen und
Umsatzerlöse pro Jahr:
Jahr i
Werbeaufwendungen x
i
in Tsd. €
Umsatzerlöse y
i
in Tsd. €
2008 45 150
2009 48 183
2010 69 300
2011 66 273
2012 93
Die KQ-Gerade bezüglich der Beobachtungen von 2008 bis 2011 ist y = −104,1 + 5,8x.
a) Welchen Wert hat
∑ u i ?
4
i=
1
b) Geben Sie den erwarteten Umsatzerlös von 2012 an.
c) Es gilt R 2 = 0,989 und s 2 y = 3827,25 (Tsd. €)². Welchen Wert hat
∑ u
2 i ?
4
i=
1

Matrikelnummer: 8
Aufgabe 8 (6 Punkte)
Von 3 äußerlich nicht zu unterscheidenden Urnen enthalten zwei Urnen 50 % weiße Kugeln
und eine Urne enthält 30 % weiße Kugeln. Aus einer zufällig ausgewählten Urne werden 3
Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Berechnen Sie die nicht bedingte Wahrscheinlichkeit, 1 weiße Kugel zu ziehen. Berechnen
Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeiten für die beiden Zustände, falls 1 oder keine weiße
Kugel gezogen wurden.

Matrikelnummer: 9
Zusatzblatt zu Aufgabe …

Matrikelnummer: 10
Zusatzblatt zu Aufgabe …