15. Wärmestrahlung 15. 1. Emission, Absorption, Reflexion

WS-1
Wärmestrahlung
15. Wärmestrahlung
Basierend auf unsere alltägliche Erfahrung, haben
wir im Kapitel über elektromagnetische Wellen
(Seite EMWe-1) als ,,Wärmestrahlung", den
infraroten (lR) Bereich des elektromagnetischen
Spektrums bezeichnet: In vielen Restaurationsbetrieben
werden lR-Lampen eingesetzt um das
Essen warm zu halten; sie strahlen zwar sichtbar
rot, doch ihre meiste Leistung geben sie bei
längeren, unsichtbaren Wellenlängen ab.
In diesem Kapitel untersuchen wir ganz allgemein,
wie sich die von einer,,warmen" Körperoberfläche
ausgesandte Strahlung über das Spektrum der
Wellenlängen verteilt, und wie die vom Körper
abgegebene Strahlungsleistung von seiner
Temperatur abhängt.
15. 1. Emission, Absorption, Reflexion
Strahlung kann durch einen Körper emittiert,
absorbiert , transmittiert, gestreut oder reftektiert
werden:
Absorption
(grün).
Man schreibt die, von einem Körper bei der
Temperatur f in den Halbraum abgestrahlte
Energie pro Sekunde und euadratmeter im
Frequenzbereich zwischen ar und a + dat als:
e(rtt,T). dat ,
und definiert damit das spektrale Emissionsvermögen
e(a,T). Dieses hängt i. A. von der
Beschaffenheit der betrachteten Oberfläche ab.
Durch Integration über alle Frequenzen erhält man
das Emlbsio nsvermöoen :
E(T)= I e(a,T).da .
ö
Das spektrale Absorptionsvermögen einer
Körperoberfläche bei der Temperatur f
definiert als:
ist
ntr,r T\_ absorbierte Leistung/m2 bei der Freq. ar
t'
zugestrahlte Leistung /m2 bei der Freq. cr
qlwr,
und das Absorptionsvermögen wird, wie oben,
durch lntegration über alle Frequenzen erhalten:
:
I
A(T)= I a(a,T).da .
ö
Jeder Körper auf einer Temperatur über 0 K
sendet Strahlung aus und gibt dadurch Wärme ab.
Für das Auge erkennbar zu glühen beginnt eine
heisse Fläche allerdings erst von etwa 10OO K
aufwärts. Mit steigender Temperatur schiebt sich
das Spektrum der Strahlung zu kürzeren Wellenlängen.
Z. B. die Sonne hat eine Oberflächentemperatur
von ca. 6000K, und die spektrale Verteilung
der von ihr ausgesandten Strahlung hat ihr
Maximum im sichtbaren Bereich, bei L = 4gO nm
Die zugestrahlte Leistung, die ein Körper, der dick
genug ist um keine Strahlung durchzulassen,
nicht absorbiert, wird von ihm reflektiert oder
zurückgestreut. Das wird zusammengefasst im
temperaturabhängigen spektralen Reflexions_
vermögen
r( nt T\_
reflektierte Leistung/ m2 bei der Freq. a.r
t\w)r l - zugestrahlte Leistung /m2 bei der Freq. ar
Dessen Integral über alle Frequenzen liefert das
Reflexionsvermögen der betrachteten Ober_

WS -2
Wärmestrahlung
fläche:
R(T)=
J r(a,T).da .
Generell verlangt der Energiesatz:
0
a(a,T)+ r(to,T) =l undsomit A(Tl+ R(T)=l .
Eine völlig weisse Fläche (A=O,H =1) reflektiert
vollständig, wenn auch nicht regulär wie ein
Spiegel, sondern mehr oder weniger diffus. Das
andere Extrem bildet der schwarze Körper (A=1,
R=0), der jegliche Strahlung die auf ihn fällt,
absorbiertl.
Ein schwarzer Körper muss so konzipiert werden,
dass die auf ihn fallende Strahlung keine
Möglichkeit mehr hat, ,,ihn zu verlassen". lm Alltag
wird diese Bedingung am ehesten durch
schwarzen Samtstoff erfüllt: Zwischen den feinen
Haaren kann sich das Licht in Mehrfachstreuung
,,totlaufen" . Viel zuverlässiger ist jedoch ein Loch
in einem Hohlraum. Ein durch das Loch von
aussen in den Hohlraum eintretender Strahl wird
dort vielfach hin und her reflektiert und hat
praktisch keine Chance mehr, den Hohlraum zu
den Hohlraum auf eine beliebige Temperatur f zu
bringen, und die, bei dieser Temperatur vom
Loch, d. h. vom schwarzen Körper, emittierte
Wärmestrahlung zu untersuchen.
Die (qualitative) Abhängigkeit des Emissionsvermögens
eines Körpers von seiner Temperatur
und von seiner Oberflächenbeschaffenheit zeiot
folgendes Demonstrationsexperiment:
Die von einem mit warmem Wasser gefüllten
Becherglas in Richtung eines Hohlspiegels
emittierte Strahlung wird von diesem gesammelt
und auf einen empfindlichen Detektor geworfen.
Die vom Detektor edahrene Temperaturänderung
ist ein Mass für die empfangene Strahlungsleistung.
Man beobachtet folgendes:
- Die Strahlungsleistung steigt mit der Temperatur
des Wassers stark an.
- Wenn die Temperatur des Bechers unterhalb
der Temperatur des Detektors liegt, dann kühlt
sich der Detektor ab.
verlassen, was dazu führt, dass die öffnung von
aussen sogar schwärzer als ein matter schwarzer
Farbanstrich erscheint.
Der in der Figur eingezeichnete Ofen erlaubt ös,
lAus der Definition von A und F ist ersichilich,
dass, auch wenn ein Körper im sichtbaren Bereich
,,schwarz" erscheint, er Strahlung in anderen
Spektralbereichen durchaus reflektieren kann.
- Bei gegebener Temperatur ist die Strahlungsleistung
für einen russgeschwärzten Becher
viel höher als für einen mit'Alufolie übezogenen
Becher, aber nur wenig grösser als für den
unbehandelten Becher.
Das beobachtetet Temperaturverhalten deutet
darauf hin, dass:
Wenn die Temperatur eines Körpers höher ist als

WS -3
Wärmestrahlung
die seiner Umgebungz (Txo,prr>Tunseourg ), el
durch Strahlung Energie verliert.
Bei
T xa,pr,

WS-4
Wärmestrahlung
gabe die Bestimmung der spektralen Verteilung
der Strahlung in diesem Hohlraum bei einer vorgegebenen
Temperatur f .
lm klassischen Bild stellt man sich vor, dass der
Hohlraum von Strahlung erfüllt ist, die von
oszillierenden elektrischen Dipolen in der Hohlraumwand
ausgesendet und wieder empfangen
wird. lm thermischen Gleichgewicht wird genau
soviel Strahlung emittiert wie reabsorbiert. lm
Hohlraum bildet sich eine Vielzahl stehender
elektromagnetischer Wellen. Für den einfachen
Fall eines kubischen Hohlraumes mit der Kantenlänge
L , sind die erlaubten Wellenlängen in die
drei kartesichen Richtungen durch die Bedingungen
(siehe Seite MWe. - 6):
Dr.lr=2.L i ny.'Lr=2.L i Dr.Lr=2.L I
mit Dx = 0,1,2.,,', Dv = 0,1,2.,.i flz = 0,1,2.,.
festgelegt, wie in der nächsten Figur illustriert ist.
v
L
(
.4 s\
{ 4/
ox=2
-\
'i'Y-"
L
Zur Bestimmung der Anzahl möglicher Zustände
ist es von Vorteil, anstatt die erlaubten Weltenlängen,
die erlaubten Wellenzahlen k =2x / L zu
betrachten, da diese direkt proportional zu den
ganzen Zahlen nx,ny,nz sind:
t
K, = fl, '-; i
L
Zu jedem Tripel (n*n,nr)
X
t t 9 ' l L
Kv=Dn.-i
' ' Kr=nr.- L L
gehör1 ein kubisches
Volumenelement, innerhalb welchem sich kein
weiterer Punkt befindbn kann. Somit ist mit iedem
Punkt im k- Flaum mit den oben angegebenen
Koordinaten das,,Elementarvolumen"
(rc I L)3 = n3 /V , V =Volumen des Hohlraums,
assoziiert.
Wenn'wir also bestimmen wollen, wieviele k-
Punkte sich in einem Gebiet des k- Raumes
befinden, brauchen wir nur das ,,Volumen,, dieses
Gebietes durch das ,,Elementarvolumen,, zu
dividieren.
Eine vernünftige Klassifizierung der elektromagnetischen
Wellen ist nach ihrer Kreisfrequenz
ar. Diese ist (s. Seite MWe.- 5) mit der Wellenzahl
k über o)=c.k verknüpft, wobeifür k der Betrag
des Fortpflanzungsvektors mit den Komponenten
(ky;ky,kr) steht. Wegen dieser proporlionalität,
ist die Anzahl möglicher stehenden Wellen mit
Kreisfrequenz zwischen ar und a+da gleich
dem,,Volumen" der Kugelschale mit dem inneren
Radius k = ö /c und der Dicke dk = dco / c ,
dividiert durch das ,,Elementarvolumen,' t3 /V ,
das Ganze beschränkt auf den positiven Oktant,
da n,n,n, >0 , und multipliziert durch zwei, da
jede Welle zwei Polarisationsrichtungen annehmen
kann:
1 r/ (,0\2
1
dZ = 2.*.+o.
V
+.1
:- | .-.o@ = ---;---- . a2 .da
ö tr" \c.l C nE.co

WS.5
Wärmestrahlung
Dieser Ausdruck gilt für eine beliebige Form des
Hohlraums.
Nun kann man im klassischen Bild weiterschliessen:
Wenn jede erlaubte stehende Welle mit dem
sie erzeugenden Oszillator im Gleichgewicht
steht, muss sie im Mittel die gleiche Energie
enthalten wie dieser Oszillator, bei der Temperatur
f , nach dem Aquipartitionstheorem gerade k"7.
Somit beträgt die im Hohlraum steckende
Strahlungsenergie im Intervall zwischen ar und
ro + dot:
dE = kB.T 4-=.coz .dat.
7t- c'
Division durch 7 und do führt zum Rayleigh
(1842-191
9) -Jeans(1877-1946)
Gesetz
2
p*r (a,T) = fu.nr,
für die spektrale Energiedichfe der Strahlung im
Hohlraum bei der Temperatur f .
Leider stimmt dieses Gesetz nur bei sehr tiefen
Kreisfrequenzen o mit der experimentellen
Erfahrung überein:
Die Energiedichte nimmt nach ihm quadratisch mit
der Kreisfrequenz zu. Das bedeutet, dass der
Körper auch bei mässigen Temperaturen, wie z.
B. bei Zimmertemperatur, eine intensive hochfrequente
Strahlung aussenden müsste. Es hat aber
noch niemand dadurch einen Sonnenbrand
bekommen dass er vor einem kalten Ofen
gesessen ist...
Das lntegral der Energiedichte über alle Frequenzen
(0-+-) divergiert. Es kann aber nicht
sein, dass im Hohlraum unendlich viel Eneroie
steckt.
Den Fehler, den Rayleigh und Jeans gemacht
haben kennen wir bereits: Sie haben nicht
berücksichtigt, dass die Energie eines harmonischen
Oszillators quantisiert ist:
E,(a)=(n+)).ha.
Diese Form wurde 1900, also S Jahre vor Einsteins
Erklärung des Photoeffektes, von Max
Planck (1858-1947) postutiert um das Spektrum
des schwarzen Körpers zu erklären, und wurde
seither von der Quantenmechanik voll bestätigt.
Damit ist die mittlere Energie der Anregung mit der
Kreisfrequenz ar bei der Temperatur f ist nicht
mehr gleich kBT. Den korrekten Ausdruck
erhalten wir, inddm wir über alle En, gewichtet
durch die zugehörigen Boltzmann-Faktoren
exp(-E, / kBT) summieren, mit dem Ergebnis:
so dass:
e6I7==#
- ,,
c
- l
r't2
., T\ a2 ha
p(a,T)=; ^. E(a,T)= !'t l= \ ;.-;#-
n-c-
ZF "rr@-_l
Das ist die Plancksche Formel.
Für hot >k"T , werden durch
das Exponential im Nenner stark unterdrückt, und
das lntegral der Energiedichte über alle
Frequenzen nimmt jetzt einen endlichen Wert an:
pe(r)=[* ##='da=b.ra,
L o-c
3Für x

WS.6
Wärmestrahlung
mit b=
-2 t4
'o 'lB
-=7.s64.10-16 J/m3 K4.
15.hr'cJ
Die Strahlungsenergiedichte kommt mit der
Lichtgeschwindigkeit c aus dem Loch im Hohlraum.
Eine einfache Rechnung zeigt ferner, dass
der Anteil der Strahlung, der senkrecht zur
Oberfläche des Loches (d. h. des emittierenden
Körpers) ausgesandt wird, gleich einem Vieftel
der insgesamt abgestrahlten Leistung beträgt.
Somit erhalten wir für
Das spektrale Emissionsvermögen des schwarzen
Körpers:
^ /--7\ C / ?\\ A2 hA
€sch*\o), 1 ) = =. p\a, l ))- -
4 ' ' " tt 4nzc2 "halksT-1
Das Emissionsvermögen des schwarzen Körpers:
C
E ""n*(T) = |. Ot[) = o.Ta
'
Das spektrale Emssionsvermögen des schwarzen
Körpers wird meistens als Funktion der Wellenlänge
geschrieben. In der Transformation von der
a- zut /,- Darstellung muss berücksichtigt
werden, dass wir es mit einer Spektraldichte zu
tun haben. Daher muss oelten:
e r"6* (ot,T). da = e r"1,* (L,T).(-d1),
wobei das Minuszeichen berücksichtigt, dass zu
einer grösseren Frequenz eine kleinere Wellenlänge
gehört (siehe auch S. OO - 4).
Konkret heisst das, dass nachdem in der Formel
tür er"n*(a,f), ro überalldurch (2r.c/.1) ersetzt
wurde, der entsprechende Ausdruck noch durch
-(da / dL) = 2rc.c I L2 multipliziert werden muss,
mit dem Ergebnis:
er"6*(L,T) - 2n'!'c2 .
e;r=
- 2 1 4
mit o= -'l 'lB ^ =5.660.10-8 W /m2Ka
60.h'.c'
Das ist das Sfefan - (lSSS-|B9S) Boltzmann-
Gesetz. Danach führt eine Erhöhung der Temperatur
um knapp 20 "Ä zu einer Verdoppelung
des Emissionsvermögens. Diese starke Temperaturabhängigkeit
ist im unten gezeigten Thermogramm,
welches die Hand eines Menschen im
lnfrarotlich ihrer eigenen Wärmestrahlung zeigt,
sehr eindrücklich zu sehen. Die beiden Bilder wur-
Das Plancksche Gesetz ist für verschiedene
Temperaturen in der nächsten Figur abgebildet4:
{(1,r) i
A
"
I
I
I
I
I
I
t
I
I
I
I
I
I
I
I
I
"LAxc('scues
eEsETt
- c_ivrr.,
tl tl - _Ti_. Zic'h. 4
eE.;r[E;
t^JtEil'scHEs gEsET+
r C v
An= -T
I
den im Abstand von zwei Minuten während dem
Rauchen einer Filter-Zigarette aufgenommen:
Nikotin verengt die Blutgefässe und senkt mi-t der
Durchblutung auch die Temperatur der Haut.
J"
\
-)
,{000 K
^
o t l4 l
tr*
--r-l I EICKTI AQFg LICHT
l l 0,4 * o,8 F!r.^
+ r, p,,r1 = e rrlr* ()",7)
45oo K

WS.7
Wärmestrahlung
Die Strahlungsverteilung besitzt ein Maximum,
das sich mit der Temperatur des Strahlers
verschiebt. Seine Lage ist durch die Wellenlänge
gegeben, bei welcher die Ableitung von
e r"6*().,7) gegenüber .1. verschwindet:
L^ =c* T
, ffiil Cw = 2.898'10-3 K m
Das ist das Wiensche Verschiebungsgesetz (W.
Wien, 1864-1928) .
Das Plancksche Strahlungsgesetz vermag alle
experimentellen Ergebnisse auf das genaueste
zu erklären. ln ihm treten keine für das
Wnadmaterial des Hohlraums charakteristische
Parameter auf; es stützt sich nur auf die
Quantisierung der Energie in ,,Paketen" von der
Grösse ftar.
Sowohl das Plancksche, wie auch das Stefan-
Boltzmannsche Strahlungsgesetz lassen sich
vorteilhaft zur Messung hoher Temperaturen
venvenden, wenn die direkten Messmethoden
Thermometern versagen, weil sich die Geräte
einfach auflösen würden. Das gilt etwa für
Temperaturen oberhalb 1500 K. Allerdings muss
man berücksichtigen, dass sowohl das spektrale,
wie das integrale Emissionsvermögen eines
heissen Körpers stets kleiner sind als beim
schwazen Körper:
W
mzHz
+
I
o