HTWD, FB Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik I Prof. Dr. M ...

HTWD, FB Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Wirtschaftsmathematik I
Finanzmathematik
Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 7:
Tilgungsrechnung
1. Ein Unternehmen muß einen Kredit in Höhe von 300 000 e innerhalb von 6 Jahren
zurückzahlen, i = 9% p.a. Stellen Sie für jede der folgenden Rückzahlungsvereinbarungen
einen Tilgungsplan auf:
(a) Ratentilgung
(b) Annuitätentilgung
2. Ein Unternehmen benötigt Kapital und möchte eine Anleihe (Annuitätenschuld)
herausgeben. Für die Tilgung und Verzinsung können insgesamt 10 Jahre lang jährlich
nachschüssig 200 000 e aufgebracht werden. Welcher Betrag kann auf diese
Weise bei i = 6% p.a. finanziert werden?
3. Für den Bau eines Mietshauses wurde am 1.1.2002 ein Darlehen von 2 000 000 e zu
einem Zinssatz von 7% aufgenommen. Der jährliche Gewinn aus dem Haus beträgt
300 000 e, die zur Verzinsung und Tilgung des Darlehens verwendet werden.
(a) Wann hat sich der Bau amortisiert?
(b) Wie groß ist der Gewinn (oder Verlust) nach 6 Jahren?
4. Zur Produktion eines neuen Produktes werden sofort Barmittel in Höhe von 600 000
e benötigt. Der Kreditgeber bietet für derartige Kredite folgende Konditionen:
Auszahlung 96% (4% Disagio); Zinsen: 7% p.a.; Tilgung 3% (zzgl. ersparter Zinsen).
Es wird für die ersten beiden Jahre nach Kreditaufnahme eine Tilgungsstreckung
vereinbart, d.h. in dieser Zeit werden nur die fälligen Zinsen bezahlt.
(a) Man ermittle die ersten 4 und die letzten 2 Zeilen des Tilgungsplanes, wenn
mit einer irregulären, verminderten Abschlußannuität gerechnet wird.
(b) Welche Ausgleichszahlung müßte der Kreditnehmer zusammen mit der ersten
vollen Annuität (am Ende des 3. Jahres) mindestens leisten, damit die Laufzeit
aus einer ganzen Zahl von Jahren besteht, d.h. die verminderte Abschlußannuität
soll entfallen?
(c) Man ermittle die Gesamtlaufzeit des Kredites sowie die letzte Zeile des Tilgungsplanes,
wenn am Ende des 6. Jahres zuzüglich zur regulären Annuität
eine Sondertilgung in Höhe von 80 000e erfolgt.
(d) Wie ändert sich die ursprüngliche Kreditlaufzeit, wenn die Bank kein Disagio
berechnet, d.h. 100 % der Kreditsumme auszahlt, die übrigen Kreditbedingungen
aber gleichbleiben?
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5. Ein aufgenommener Kredit von 7 000e soll bei 9% effektivem Jahreszins innerhalb
von zwei Jahren bei monatlich nachschüssiger Ratenzahlung durch konstante Raten
zurückgezahlt werden. Wie hoch sind diese Raten?.
6. Jemand kann für ein Darlehen von 150 000e jährlich eine Annuität von 18 000e
zahlen. In welchem Jahr wird zum letzten Mal die volle Rate fällig, wenn ein Zinssatz
von 8% (p.a.) vereinbart wird? Wie hoch ist die letzte Zahlung, wenn der Restbetrag
(a) mit der letzten vollen Rate getilgt wird (erhöhte Abschlussannuität)?
(b) nach einem weiteren Jahr getilgt wird (verminderte Abschlussannuität)?
7. Für den Kauf eines Fahrrades wird folgendes Finanzierungsangebot gemacht: 12
Monatsraten zu 25,95e bei einem effektiven Jahreszins von 7,9%. Wie hoch ist der
Barzahlungspreis?
8. Für den Kauf eines Gerätes, das bei Barzahlung 599,-e kostet, wird folgende Finanzierung
angeboten: Anzahlung von 100 e, danach 18 mal monatlich nachschüssig
29,66e. Welche der folgenden Angaben für den effektiven Jahreszins ist korrekt?
(a) 4%, (b) 6%, (c) 9%
Lösungen
1. (a) A 1 = 77 000 e, . . . , 6. Jahr: Restschuld: K 5 = 50 000 e, Zins Z 6 = 4 500 e,
A 6 = 54 5000 e, (b) A 1 = . . . = A 6 = A = 66 875, 93 e 2. 1 472 017, 41 e, 3. (a) 9,29
Jahre, (b) K 6 = −855 473, 48 e
n K n−1 Z n T n A n i n
1 625 000,00 43 750,00 0 43 750,00 0,07
2 625 000,00 43 750,00 0 43 750,00 0,07
3 625 000,00 43 750,00 18 750 62 500,00 0,07
4. (a) 4 606 250,00 42 437,50 20 062,50 62 500,00 0,07
... ... ... ... ... ...
19 102 099,00 7 146,93 55 353,07 62 500,00 0.07
20 46 745,93 3 272,22 46 745,93 50 018,15 0.07
21 0,00
(b) 15 834,46 e, (c) (14,76 + 2) Jahre, A 17 = 47 942, 68 e, (d) keine Änderung
5. 318,67e
6. im 14. Jahr wird zum letzten Mal die volle Rate fällig (a) 14. Rate: 22 710,48e, (b) 15.
Rate: 5 087,32e
7. 298,91e
8. 9%
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