Mathematische Strukturen - Fachhochschule Frankfurt am Main

Mathematische Strukturen
Übung zur Vorlesung
Prof.Dr.Manfred Hannemann
Fachbereich 2,
Fachhochschule Frankfurt/Main
Kleiststraße 3,
60318 Frankfurt/Main
Email: hannemann@em.uni-frankfurt.de
Home-Page: www.fh-frankfurt.de/∼fx7009
11. März 2004

Inhaltsverzeichnis
I Klassen, Mengen und ihre Verknüpfungen 9
1 Klassen und Mengen 11
2 Mengenverküpfungen 13
II Relationen und Abbildungen 15
3 Relationen 17
4 Abbildungen 19
5 Anwendungen 21
III Algebraische Strukturen 23
6 Gruppe 25
7 Körper 27
8 Algebra 29
IV Mathematische Logik 31
9 Aussagenlogik 33
3

4 INHALTSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis
5

6 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis
7

Teil I
Klassen, Mengen und ihre
Verknüpfungen
9

Kapitel 1
Klassen und Mengen
1. Der Kreter Epimendes sagte: ”Alle Kreter lügen!”. Bildet die Klasse aller
Kreter dann eine Menge oder eine Unmenge.
2. Welche der angegebenen Mengen ist für jede beliebige Wahl der Menge
M̸= ∅ nicht leer? M∪M, M∩M, M\M, M×M.
3. Welche der Mengen ∅, {0}, {∅} sind gleich?
4. Es sei A := {1, 2, 3, {1, 2, 3}}, B := {1, 2, {1, 2}}. Man bestimme A∪B,
B∩A, A\B, B\A.
5. Untersuchen Sie die Mengen
(a) A = {Menge aller Vierecke};
(b) B = {Menge aller Rechtecke};
(c) C = {Menge aller Rhomben};
(d) D = {Menge aller Quadrate};
im R 2 , ob die Inklusion D⊂C⊂B⊂Agilt.
6. Berechnen Sie die Schnittmenge der beiden Kreisflächen K 1 = {(x, y) ∈
R 2 |(x − 1) 2 +(y − 2) 2 ≤ 1} und K 2 = {(x, y) ∈ R 2 |x 2 + y 2 ≤ 3}.
7. Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche sind falsch?
(a) Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich.
(b) Jede Teilmenge einer unendlichen Menge ist unendlich.
Hinweis: Eine endliche Menge hat endlich viele Elemente, wohingegen eine unendliche
Menge entweder abzählbar (z.B. N) unendlich viele oder überabzählbar
(z.B. R) unendlich viele Elemente hat.
8. Man zeige, daß das abgeschlossene Intervall [a, b] keine Teilmenge des offenen
Intervalls (a, b) ist.
11

9. Es sei A := {1, 2, ...8, 9}, B := {2, 4, 6, 8}, C := {1, 3, 5, 7, 9}, D := {3, 4, 5}
und E := {3, 5}. Gesucht sind die Mengen X , die mit einer der vorgegebenen
Mengen übereinstimmt und zusätzlich eine der folgenden Bedingungen
erfüllt:
(a) X und B sind disjunkt;
(b) X⊂Dund X⊄B;
(c) X⊂Aund X⊄C;
(d) X⊂Cund X⊄A;
10. Geben Sie jede der folgenden Mengen explizit an:
(a) A = {x|x 2 − x − 2=0};
(b) B = {x|x ist ein Buchstabe in dem Wort ”Otto”};
(c) C = {x|x 2 = 9 und x − 3=5};
(d) D = {x|x ist ein Vokal};
(e) E = {x|x ist eine Ziffer der Zahl 12321};
11. Bestimmen Sie welcher nachfolgenden Mengen endlich, abzählbar oder
überabzählbar unendlich sind:
(a) Die Menge aller Parallelen zur x- bzw. y-Achse im R 2 ;
(b) Die Menge aller Buchstaben im kyrillischen Alphabet;
(c) Die Menge aller Zahlen, die ein Vielfaches von 7 sind;
(d) Die Menge aller Tiere;
(e) Die Lösungsmenge der Gleichung x 46 +37x 13 − 3x 4 +7x 2 − 8=0;
(f) Die Menge aller konzentrischen Kreise im R 2 .

Kapitel 2
Mengenverküpfungen
1. Die Menge A×B wird durch ein Rechteck symbolisiert. Zeichnen Sie die
Menge A×{b} bzw. {a}×B ein.
2. Man bilde das kartesische Produkt zwischen den Punktmengen A :=
{1, 2, 3, 4} und B := {1, 3, 5}.
3. Für das Werfen eines fairen Würfels ergibt sich die Ereignismenge (Menge
aller möglichen Würfelzustände) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Stellen Sie für die
Ereignismengen
(a) A = {es werden nur gerade Zahlen gewürfelt};
(b) B = {es werden nur ungerade Zahlen gewürfelt};
(c) C = {es werden nur Primzahlen gewürfelt};
die folgenden Verknüpfungen fest:
•A∪B, B∪C, C E (A), C E (B), C E (C), A∪B∪C;
• A\B, B\A,A\C, C\A,B\C, C\B,
Interpretieren sie außerdem die Produkt-Ereignismengen A×B und A×
B×C
4. Sei A = B∩C. Sind dann die Aussagen
(a) A×A=(B×B) ∩ (C ×C);
(b) A×A=(B×C) ∩ (B ×C);
wahr?
5. Konstruieren Sie das kartesische Produkt S×T ×U der Mengen S =
{a, b, c}, T = {b, c, d} und U = {a, d} mit Hilfe eines Baum-Diagramms.
13

6. Stellen Sie das kartesische Produkt A n ×B n der Mengen A n := {a|a ∈
[n, n +1),n ∈ Z} und B n := {a|b ∈ [n, n +1),n ∈ Z} für n = −1, 0, 1, 2
graphisch dar.
7. Eine Münze mit den Zuständen Kopf (K) und Zahl (Z) werde dreimal
hintereinander geworfen. Geben Sie die Menge der möglichen Elementarereignisse
an. Finden Sie außerdem für Ereignisse
A = {Alle Ereignisse bei denen zwei oder dreimal hintereinander Zahl fällt}
bzw. B = {Alle drei Ereignisse sind gleich} die Schnittmenge.
8. Auf der reellen Achse wähle man zufällig zwei Punkte a und b, mit a ∈
[0, 3], b ∈ [−2, 0], aus. Bestimmen Sie die Gesamtereignissmenge E und
das Ereignis A, welche alle Punkte mit dem Abstand |a − b| < 3 enthält.
Stellen diese graphisch dar.
9. In einem Zug sind 60Prozent der Fahrgäste Männer, 70 Prozent Raucher
und 80 Prozent ”Pendler” zwischen Wohnung und Arbeitsstätte. Geben
Sie eine Abschätzung nach oben wieviel Prozent der Vereinigung aller drei
Mengen angehören.
10. Man bestimme die Punktmenge im R 2 , die durch die Ungleichungen
gebildet wird.
x +2y ≤ 4
x − y ≤ 1
x ≥ −1 (2.1)
11. Erzeugen Sie von den Klassen A := {a, b, c} und B := {1, 3, 5} jeweils die
Potenzklasse bzw. alle Partitionen.
12. Welche der folgenden Klassen stellt die leere Klasse dar? Befindet sich eine
Unmenge darunter?
(a) X := {x|x 2 =8, 2x =4};
(b) Y := {y|y ≠ y};
(c) Z := {z|z +8=8};

Teil II
Relationen und
Abbildungen
15

Kapitel 3
Relationen
1. Stellt die Gerade g(x) =a + bx im R 2 eine Relation dar?
2. G sei die Menge aller Geraden und R die Relation ”steht senkrecht auf”
über G. Zeigen Sie, daß diese Zuordnungsvorschrift nicht transitiv ist.
3. Stellen Sie die Verknüpfungen +, · jeweils als Relation auf R dar.
4. Kann eine beliebige Ebene im R 3 Element einer Äquivalenzrelation sein?
5. Angenommen Dekan B. lege fest, daß jeder Student(in) genau 4 der 7
angebotenen Vorlesungen belegen muß. Die Dozenten geben die jeweiligen
Hörerzahlen mit 51, 30, 30, 20, 25, 12 und 18 an. Zeigen Sie, daß die Zuordnung
der Studenten auf die sieben Dozenten einer Relation entspricht.
Finden Sie gegebenenfalls die Relationsklasse.
6. Auf der Menge P aller Personen, die in Frankfurt/Main wohnen, seien die
Relationen:
(a) ”hat denselben Vornamen wie”;
(b) ”hat dasselbe Geschlecht wie”;
(c) ”ist Bruder von”;
(d) ”hat mehr Geld als”;
gegeben. Stellen Sie fest, ob es sich dabei um Äquivalenzrelationen bzw.
Ordnungsrelationen handelt.
7. Ist die Zuordnung ”ist kongruent auf” eine Äquivalenzrelation auf der
Menge aller Dreiecke?
8. Ist ”” eine Äquivalenzrelation?
9. Stellt die Menge aller Permutationen der Zahlen 1, 2, 3, 4 eine Relation
dar?
17

Kapitel 4
Abbildungen
1. Man betrachte die Menge der geordneten Paare (n 1 ,n 2 ) des kartesischen
Produktes N × N der natürlichen Zahlen n 1 ,n 2 ∈ N. Geben Sie eine
Abbildungsvorschrift an, die die Addition von geordneten Paaren festlegt.
2. Es seien f : R → R und g : R → R, die durch
f(x) =
{ 2x − 5 für x>2
x 2 − 2|x| für x ≤ 2
g(x) = 3x +1
definierten Abbildungen. Man bestimme f(−2),g(−3),f(4),g(f(2)),
f(g(2)),f(f(3)).
3. Gegeben sind die Abbildungen
f(x) =
{ 0 für x =0
1
x
für x ≠0
g(x) = x 3 − 3x +2
h(x) = x 4 − 10x 2 +9.
Stellen Sie f,g,h graphisch dar und finden Sie ihre Definitions- bzw.
Wertemengen. Bilden Sie außerdem die Kompositionen g ◦h, h◦g, h◦f ◦g.
Ist die Komposition g ◦ h kommutativ?
4. Es sei f :(−1.1) → R, die durch f(x) = x
1−|x|
definierte Abbildung. Man
zeige, daß f injektiv und surjektiv ist und finde die Umkehrabbbildung.
5. Man betrachte die konzentrischen Kreise K 1 := {(x, y) | x 2 + y 2 = a 2 },
K 2 := {(x, y) | x 2 + y 2 = b 2 } mit 0

Schnittpunkte mit der y-Achse. Untersuchen Sie außerdem ihr Verhalten
für alle x ∈ (∞, −1) ∪ (1, ∞).
7. Finden Sie eine Abbildung f :[0.1] → [−∞, ∞], die das Einheitsintervall
[0, 1] auf die ganze reelle Achse R abbildet. Klassifizieren Sie diese
Abbildung. Gibt es eine Umkehrabbildung?
8. In welchem abgeschlossenem Intervall [a, b] sind die folgenden Funktionen
für alle x ∈ [a, b] bijektiv: cos x, arccos x, e x ; √ 1
x,
1+x , cosh x, e−x2 .
Stellen Sie alle Funktionen graphisch dar.

Kapitel 5
Anwendungen
1. Ein ideales Gas habe bei der Temperatur T =0 ◦ C den Druck p =1P ascal
in einem festen Volumen V . Geben Sie die Funktion p = f(T ) an. Welche
Schwierigkeit ergibt sich bei der graphischen Darstellung von f(T )?
2. Bilden Sie die Kugeloberfläche S 2 auf die Ebene R 2 ab.
3. Bei einer Wheatstone Brücke sind der unbekannte Widerstand Y und der
bekannte Widerstand R eingeschaltet. Der Schieber S ist auf dem Meßdraht
(Meßstrecke = 1m) so eingestellt, daß das Meßinstrument (Amperemeter)
keinen Strom anzeigt.
Machen Sie sich mit der Wheatstone Brücke vertraut und stellen Sie den
Widerstand Y als Funktion des Meßdrahtabschnittes x dar. Zeichnen Sie
den zugehörigen Graph für alle Werte x ∈ [0, 1].
4. Ein an zwei 20m hohen Masten in der Ebene befestigtes Kabel entspricht
der Funktion f(x) =a cosh x + b. Bestimmen Sie die Konstanten a, b und
ermitteln Sie die Stelle des stärksten Durchhangs des Seiles.
21

Teil III
Algebraische Strukturen
23

Kapitel 6
Gruppe
1. Bildet die Menge G := {−1, 1} eine multiplikative abelsche Gruppe?
2. Sei S die Menge der reellen Zahlen der Form r = a + b √ 2 mit a, b ∈ Q
und a, b ≠ 0. Zeigen Sie, daß S mit der gewöhnlichen Multiplikation eine
Gruppe ist.
3. D sei die Gruppe der Drehungen eines Quadrates mit den im Gegenuhrzeigersinn
numerierten Ecken 1, 2, 3, 4.
Wie viele Elemente hat D? Man gebe die Elemente an und stelle die
Verknüpfungstafel für D auf. Ist D abelsch?
25

Kapitel 7
Körper
1. Man konstruiere einen Körper mit zwei Elementen.
2. Ist die Menge der ganzen Zahlen ein Körper?
3. Ist die Menge der reellen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation
als Verknüpfung ein Körper?
27

Kapitel 8
Algebra
1. Ist die Menge der reellen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation
als Verknüpfung eine Algebra?
2. Beinhaltet die Boole’sche Algebra auch eine Vektorraumstruktur?
3. Gilt das folgende Kommutativgesetz
e Prozent von π = π Prozent von e (8.1)
für die beiden irrationalen Zahlen π und e. Wenn ja, kann (8.1) auf zwei
beliebige reelle Zahlen verallgemeinert werden?
29

Teil IV
Mathematische Logik
31

Kapitel 9
Aussagenlogik
1. Stellen Sie eine Wahrheitstafel für die Junktoren (¬, ∧, ∨) zweier Aussagen
A und B auf.
2. Ist die Aussage: 10 ist ungerade oder 3 2 = 9 wahr oder unwahr?
3. Epimendes ein Kreter sagte: Alle Kreter lügen. Ist dieser Satz eine Aussage?
Wenn ja, ist sie wahr oder unwahr?
4. Führe die folgenden Sätze auf Ausageformen zurück:
(a) Die notwendige Bedingung dafür, daß x eine Primzahl ist, ist: x ist
ungerade oder x =2.
(b) Das Gras wächst nur dann, wenn genug Regen fällt.
(c) Es regnet, aber die Sonne scheint noch immer.
(d) Er wird heute sterben, wenn keine ärztliche Hilfe eintrifft.
(e) Wenn die Steuern steigen und die Regierungsausgaben sinken, gibt
es keine Inflation.
5. Stellen Sie mit Hilfe von Dualzahlen die Elementarkonjunktion der Aussagen
(A, B) dar.
6. Aus welchen der Aussagen folgt, daß alle Hunde Flöhe haben?
(a) Wenn ein Tier Flöhe hat, dann ist es ein Hund.
(b) Tweety ist ein Hund, und Tweety hat Flöhe.
(c) Es gibt keine Hunde.
(d) Außer Hunden haben keine Tiere Flöhe.
7. Hugo ist krank und muß ins Krankenhaus. Hier wird er von der Kapazität
Professor Fix und seinem Doktorranden Fox gründlichst untersucht.
Danach entwickelt sich folgendes ärztliches Fachgespräch:
33

Professor: Der Patient leidet an einer oder mehreren der folgenden sieben
Krankheiten: dem Kaugummizwang, der Hirnversalzung, der intermitierenden
Nasophobie, der Denkinsuffizienz, Riechneurose, dem mentalen
Großzehsyndrom und der peripheren Hockanomalie.
Doktorrand: Angenommen, es ist die Hirnversalzung, ... dann kann er
nicht unter Kaugummizwang leiden. Wenn er dagegen den Kaugummizwang
hat, jedoch nicht an der Riechneurose leidet.
Professor: Dann hat er die Denkinsuffizienz. Und wenn der Patient an
der intermitierenden Nasophobie leidet, dann hat er, falls er nicht
an Kaugummizwang erkrankt ist, das mentale Großzehsyndrom oder
die Denkinsuffizienz oder gar beide Leiden.
Doktorrand: Wenn er nicht an der peripheren Hocknanomalie leidet, ...
Professor: ... dann hat er auch keine Denkinsuffizienz,
Doktorrand: Wenn der Patient unter Kaugummizwng leidet, ...
Professor: ... dann hat er entweder eine periphere Hockanaomalie oder
eine Hirnversalzung. Falls er eine Riechneurose hat, dann hat er entweder
intermitierende Nasophobie oder Kaugummizwang.
Doktorrand: Wenn mentales Großzehsyndrom vorliegt,
Professor:... dann hat er auch eine Riechneurose und falls er an peripherer
Hockanomalie erkrankt ist, hat er auch intermitierende Nasophobie.
Falls er intermitierende Nasophobie hat, ist zwar eine Riechneurose
auszuschließen, doch liegt dann ein Kaugummizwang vor.
Nach sovielen Informationen unserer beiden Experten sollten Sie wissen,
welche Krankheiten der Patient hat und welche nicht. (Hinweis: Formalisieren
Sie zunächst die unübersichtliche Prosa.)