Lineare Algebra - Fachhochschule Frankfurt am Main

Lineare Algebra
Übungen zur Vorlesung
Prof.Dr.Manfred Hannemann
Fachbereich 2,
Fachhochschule Frankfurt/Main
Kleiststraße 3,
60318 Frankfurt/Main
Email: hannemann@em.uni-frankfurt.de
Home-Page: www.fh-frankfurt.de/∼fx7009
3. Oktober 2009

Inhaltsverzeichnis
I Elementare Vektorrechnung 9
1 Vektoren in zwei und drei Dimensionen 11
2 Koordinaten und Komponenten 15
3 Skalarprodukt, Länge und Winkel 17
4 Anwendungen 21
4.1 Aufgabenstellungen aus der analytischen Geometrie . . . . . . . 21
4.2 Physikalische Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Vektorräume 25
5 Euklidischer Vektorraum, Basis und Dimension 27
6 Reelle und komplexe Vektorräume, Unterräume 29
7 Komplexe Zahlen 31
8 Anwendungen 33
III Lineare Abbildungen 35
9 Linearität 37
10 Lineare Transformationen 39
11 Darstellungen lineare Abbildungen 41
12 Anwendungen 43
3

4 INHALTSVERZEICHNIS
IV Matrizen und Determinanten 45
13 Grundbegriffe und Verknüpfungen 47
14 Quadratische Matrizen 49
15 Spur und Determinante 51
16 Matrizenfunktionen 53
V Messvorschriften in Vektorräumen 55
17 Metrik und Norm 57
18 Skalarprodukte 59
19 Vektorprodukt 61
20 Kombinationen aus Skalar- und Vektorprodukt 63
21 Anwendungen 65
VI Lineare Gleichungssysteme 67
22 Grundbegriffe 69
23 Anwendungen 71
VII Bilinearformen 73
VIII Das Eigenwertproblem 75

Abbildungsverzeichnis
2.1 Geometrie und Kräfte zur Lampenaufgabe . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Kreuzende Flugbahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 a) Weg zur Pyramidenspitze; b) Kräfte an und im Stabwerk . . . 18
4.1 a) Ein Streckenzug im Dreieck mit unendlich vielen Kanten. b)
Bestimmung des grauschraffierten Flächeninhaltes. . . . . . . . . 22
4.2 Kräfte an und im Stabwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12.1 Koordinatentransformation zwischen den Basen B und B ′ . . . . . 44
5

6 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis
7

8 TABELLENVERZEICHNIS

Teil I
Elementare Vektorrechnung
9

Kapitel 1
Vektoren in zwei und drei
Dimensionen
1. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P = (6, 10) von den im folgenden
angegebenen Geraden im R 2 . Auß erdem ermitteln Sie die Fußpunkte der
Lote von Punkt P auf die Geraden. Skizziere Punkt, Geraden und Lote.
(a) r(λ) = (2, −6) + λ(1, 1);
(b) y = − 1 2 x + 1;
2. Gegeben seien die folgenden Geraden im R 2 :
(a) r(λ) = (2, 9) + λ(−8, 1), r ′ (λ ′ ) = (6, −5) + λ ′ (3, 4);
(b) 3x + 5y = 4, 2x ′ − 6y ′ = 9;
Berechnen Sie die Schnittwinkel zwischen den jeweiligen Geradenpaaren
((x, y), (x ′ , y ′ ), (λ, λ ′ ) ∈ R 2 ).
3. Gegeben sind die fünf Vektoren (1, 0), (1, −1), (1, 1), (−3,3) und (2, 0) aus
R 2 . Wieviele Möglichkeiten gibt es in diesem Raum eine Basis zu erzeugen
4. Beweisen Sie, daß die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung |u · v| ≤ |u||v|
gilt für alle u, v ∈ R 2 .
5. Zeigen Sie, daß die Dreiecksungleichung |u +v| ≤ |u| + |v| gilt für alle u,
v ∈ R 2 .
6. Ermittle x, y ∈ R, wenn gilt (4, y) = x(2, 3) + (0, 7).
7. Geben Sie alle Lösungsvektoren x ∈ R 2 an , die die Gleichung a · x = b
erfüllen. a ist dabei ein konstanter vorgegebener reeller Vektor aus R 2 und
b eine feste reelle Zahl.
8. Berechnen Sie das Skalarprodukt u · v für die Vektoren:
11

12 KAPITEL 1. VEKTOREN IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN
(a) u = (2, 3), v = (8, 1);
(b) u = (1, 1, 1), v = (−1, 1);
(c) u = (a, b), v = (b, a), a, b ∈ R;
(d) u = α(x, y), v = (−1, 2), x, y, α ∈ R;
9. Zerlegen Sie die in 7) angegebenen Vektoren v in einen Vektor v ⊥ senkrecht
und in einen Vektor parallel v || zu u.
10. Ermittle den Betrag |u| für
(a) u = ( √ 2, √ 2);
(b) u = (1, 1);
(c) u = (1, −1);
(d) u = (cos φ, sin φ);
(e) u = (exp x −x
, exp
2 2 );
11. Sind die Vektoren a = (1, 1) und b = (tan π 4 , cot π 4
) parallel zueinander
12. Unter welchem Winkel schneiden sich die Diagonalen des Vierecks mit den
Endpunkten (0, 0), (3, 2), (4, 6),(1, 3)
13. Ein Flugzeug fliege relativ zum Erdboden mit einer Geschwindigkeit von
12[ km
Std
] in nördliche Richtung, da gleichzeitig ein Westwind (d.h. ein aus
westlicher Richtung kommender Wind) mit 50[ km
Std
] relativ zum Erdboden
weht. In welche Richtung wäre das Flugzeug bei Windstille geflogen.
Bestimmen Sie diese a) graphisch und b) algebraisch.
14. Beweisen Sie, daß sich die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren.
15. a und b ∈ R 2 seien zwei nichtparallele (nichtkolineare) Vektoren. Zeigen
Sie, daß aus λa + µb = 0 notwendigerweise λ = µ = 0 folgt.
16. Eine Leiter AB mit der Länge a ruht gegen eine senkrechte Wand OB.
Der Fußpunkt B der Leiter werde mit einer konstanten Geschwindigkeit
v 0 in x- Richtung zur Seite verschoben. Zeige, daß dabei der Mittelpunkt
M der Leiter eine Kreisbahn vom Radius a 2
bezüglich des Zentrums O des
Kreises durchläuft.
17. Beweisen Sie, daß die Vektoren a und b in einem Kreis senkrecht aufeinander
stehen. Dabei bilden a und b mit dem Durchmesser 2r (r ist der Radiusvektor)
des Kreises ein Dreieck und liegen mit ihrer Pfeilspitze bzw.
-Ende auf dem Kreisrand.
18. Zeigen Sie, daß die Diagonalen eines Rhombus senkrecht aufeinander stehen.

13
19. Auf einem Schiff, welches sich mit 15[ km ] nach Nord-Osten bewegt, beobachtet
h
eine Frau (oder Mann) ein zweites Schiff, das im Abstand von 5[km] mit
einer Geschwindigkeit von 5[ km ] nach Süden zu fahren scheint.
h
a) Wir groß ist die tatsächliche Geschwindigkeit des Schiffes
b) Bei welcher Entfernung kommen sich die beiden Schiffe am nächsten

14 KAPITEL 1. VEKTOREN IN ZWEI UND DREI DIMENSIONEN

Kapitel 2
Koordinaten und
Komponenten
1. Gegeben seien die folgenden Darstellungen eines Vektors im R 3
⎛
⎝ x ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
r cos φ sinθ
y ⎠, ⎝ r sin φ sin θ ⎠, ⎝ r cos φ
⎞
r sin φ ⎠ . (2.1)
z r cos θ z
Welche der hier eingehenden Variablen (x, y, z), (r, φ, θ), (r, φ, z) sind Koordinaten
und welche Komponenten des Vektors
2. Zeigen Sie, da die Vektoren a 1 = (1, 0, 1), a 2 = (1, 1, 0), a 3 = (0, 1, 1) eine
Basis des R 3 bilden, und bestimmen Sie die Komponenten des Vektors
(x 1 , x 2 , x 3 ) bezüglich dieser Basis. Sind (x 1 , x 2 , x 3 ) auch gleichzeitig Koordinaten
3. Berechnen Sie die Komponenten x 1 , x 2 , x 3 des Vektors x = (2, 1, 2) bezüglich
der Basis
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 2 2
⎝ 2 ⎠, ⎝ −1 ⎠, ⎝ 2 ⎠ . (2.2)
2 2 −1
Geben Sie eine orthonormale Basis an, in der der Vektor x die Komponenten
x 1 = 3 2 , x 2 = 3√ 3
2
und x 3 = 0 hat.
4. Ein Würfel habe die Eckpunkte (0, 0, 0), (2, 2,1),(1, 1,5). Bestimmen Sie
die Komponenten der anderen Eckpunkte.
5. An einem 12m (6m) langen Seil, welches zwischen zwei 11.4m (5.7m)
voneinander entfernten Masten gespannt ist, hängen zwei Straßenlampen
mit dem Gewicht |G| = 50N . Die beiden Lampen haben dabei den
gleichen Abstand d zur Seilmitte.
15

16 KAPITEL 2. KOORDINATEN UND KOMPONENTEN
(a) Man zeige, dass die Beziehung
cosα =
|F 2 |
√
|G|2 + |F 2 | 2 (2.3)
gilt und diskutiere sie in Abhängigkeit von |F 2 |.
(b) Wie weit müssen die Lampen von der Seilmitte mindestens entfernt
sein, wenn das Seil nur mit 100N belastet werden darf
Abbildung 2.1: Geometrie und Kräfte zur Lampenaufgabe

Kapitel 3
Skalarprodukt, Länge und
Winkel
1. Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie sich nicht schneiden und nicht
parallel sind. Zeigen Sie, da die Geraden
⎛
g 1 (t 1 ) := ⎝ 2 ⎞ ⎛
0 ⎠ + t 1
⎝ 1 ⎞ ⎛
1 ⎠, g 2 (t 2 ) := ⎝ 5 ⎞ ⎛
6 ⎠ + t 2
⎝ 0 ⎞
−1 ⎠, (3.1)
4 0
7 1
windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand.
2. Wie gro ist der Abstand der Punkte (2, 1) und (−2, 1) von der Geraden,
die durch x 1 (t) = 5 − t, x 2 (t) = 3 − 10t (t ∈ R) beschrieben wird
3. Jeder Vektor x ∈ R 2 läßt sich in der Form x = x ‖ + x ⊥ darstellen, wobei
x ‖ zu einem vorgegebenen Vektor a parallel und x ‖ zu b orthogonal ist.
Man berechne x ‖ und x ⊥ .
4. Vom Zentrum eines gleichseitigen Sechsecks aus wirken nach den Ecken
hin Kräfte der Größe 1N, 3N, 5N, 7N, 9N und 11N. Welchen Betrag und
welche Richtung besitzt ihre Resultierende
5. Welchen Winkel müssen zwei Vektoren vom gleichen Betrag aus R 2 einschließen,
wenn auch ihr
(a) Summenvektor;
(b) Differenzvektor;
den gleichen Betrag haben soll
6. Von einem Flugplatz (Koordinatenursprung) starten Flugzeuge in nördlicher
Richtung (y-Richtung) mit einem Steigwinkel von 30 ◦ und kreuzen
dabei einen 10km nördlich und in 10km Höhe verlaufenden Flugkorridor,
17

18 KAPITEL 3. SKALARPRODUKT, LÄNGE UND WINKEL
den Flugzeuge alle 5 Minuten mit 600[ km h
] von West nach Ost (x-Richtung)
passieren. Geben Sie die Gerade g 1 der Flugbahn der startenden Flugzeuge
und die Gerade g 2 des Flugkorridors an (siehe Abb. 6).
Bestimmen Sie den Abstand s 1 der Geraden zueinander. Wie gro ist bei
optimaler Wahl der Startzeiten der Abstand s 2 der startenden zu den
kreuzenden Flugzeugen
Abbildung 3.1: Kreuzende Flugbahnen
7. An einer Pyramide mit quadratischem Grundriss und Kantenlänge a führt
ein Weg mit 25 % Steigung von einer Ecke bis zur Spitze (siehe Abb. 7 a)).
Bestimmen Sie die Höhe h der Pyramide, die Lnge c des ersten Wegstücks
und die Längen b und a ′ sowie die Gesamtlänge L des Weges in Abhängigkeit
von a.
Hinweis: Unter der Steigung sei hier das Verhältnis aus Höhendifferenz
und zurückgelegtem Weg zu verstehen.
Abbildung 3.2: a) Weg zur Pyramidenspitze; b) Kräfte an und im Stabwerk
8. Ein an einer lotrechten Wand befestigter, waagerechter Kragarm ist durch
eine Zugstange gesichert, die unter dem Winkel α gegen den Arm verläuft
(siehe Abb. 7 b) ). Der Kragarm darf höchstens mit 5KN und die Zugstange
höchstens mit 6KN belastet werden (d.h. |F T | ≤ 5KN, |F Z | ≤ 6KN).
(a) Wie groß darf bei einem Winkel α = 30 ◦ die Last |G| sein

(b) Man gebe bei einer Last |G| = 4KN einen zulässigen Winkelbereich
für α an.
19

20 KAPITEL 3. SKALARPRODUKT, LÄNGE UND WINKEL

Kapitel 4
Anwendungen
4.1 Aufgabenstellungen aus der analytischen Geometrie
1. Gegeben seien die beiden Geraden g und h mit
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
2 1
1
g(t) = ⎝ −2 ⎠ + t · ⎝ −2 ⎠, h(t) = ⎝ 2
3
−2
−3
⎞
⎛
⎠ + t · ⎝
1
0
−1
⎞
⎠ (4.1)
(a) Welchen Winkel schließen die Richtungsvektoren der beiden Geraden
ein
(b) Zeigen Sie, daß sich g und h nicht schneiden.
(c) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, von der die beiden Geraden
denselben Abstand haben. Wie groß ist dieser Abstand (Hinweis
zur Kontrolle: E 1 hat die Gleichung 2x − y + 2z = 3.)
(d) In welchen Punkt P ′ geht P = (1, 2, −3) durch Spiegelung an der
Ebene E 1 über In welchem Punkt schneidet das Lot von P auf die
Ebene E 1 diese Ebene
(e) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden der
Ebene E 1 und der zu h senkrechten Ebene durch den Punkt P.
2. Gegeben seien die Ebene E 1 und die Gerade G 1 :
⎛ ⎞ ⎛
0
E 1 : 7x + 4y + 4z = 4; G 1 : g 1 (t) = ⎝ 1 ⎠ + t · ⎝
0
in R 3 .
4
1
−8
⎞
⎠ (4.2)
(a) Bestimmen Sie die Ebene E 2 , die G 1 enthält und zu E 1 senkrecht ist.
21

22 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN
(b) Geben Sie die zu E 2 senkrechte Ursprungsgerade G 2 an.
(c) Welche Ebenen haben zu E 2 den Abstand 1 Schneiden Sie diese
Ebenen mit E 1 und G 2 .
(d) Welche Punkte haben sowohl von E 2 , als auch von E 1 den Abstand
1 Welche Punkte haben von E 2 und von G 2 den Abstand 1
3. Im R 2 sei ein Kreis K und ein Punkt P im Äußeren von K gegeben.
Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten von P an K.
4. Im R 2 seien zwei Kreise K 1 und K 2 gegeben durch
K 1 : (x − m 1 ) 2 − r 2 1 = 0, K 2 : (x − m 2 ) 2 − r 2 2 = 0, (4.3)
mit
(
2
m 1 =
0
) (
−3
, m 2 =
0
)
, r 1 = 4, r 2 = 2. (4.4)
Man ermittle die Schnittpunkte und den Abstand der Zentren von K 1 und
K 2 .
5. Berechnen Sie die Länge des fett (Abb 4.1 a) gezeichneten, aus unendlich
vielen Kanten bestehenden Streckenzuges.
6. Wie groß ist die schraffierte Fläche in Abbildung 4.1b
Abbildung 4.1: a) Ein Streckenzug im Dreieck mit unendlich vielen Kanten. b)
Bestimmung des grauschraffierten Flächeninhaltes.

4.2. PHYSIKALISCHE PROBLEMSTELLUNGEN 23
4.2 Physikalische Problemstellungen
1. Tim und Jan treten im 50m-Lauf gegeneinander an. Als Tim ins Ziel
kommt, hat Jan erst 40m zurückgelegt. ”Das macht keinen Spaß”, beschwert
sich Jan, ”Im nächsten Rennen will ich 10m Vorsprung haben.” Tim
setzt dazu seinen Startblock um 10m nach hinten, so dass er 60m laufen
muß. Jan dagegen läuft immer noch 50m.
Wer gewinnt das nächste Rennen und mit welchem Zeitvorsprung wird
einer der beiden Sieger Mit welcher Geschwindigkeit müßte Jan laufen,
um mit Tim gleichzeitig im zweiten Lauf durch das Ziel zu gehen
2. Eine Schnecke bewegt sich ab 12 : 00Uhr auf dem Minutenzeiger einer
Uhr mit konstanter Geschwindigkeit 1 m vom Mittelpunkt nach außen.
h
Bestimmen Sie ihre Bahnkurve r(t), sowie den Betrag der Geschwindigkeit
und der Beschleunigung.
3. Ein Dreieck mit den Eckpunkten A = (2, 1, 2), B = (5, 7, 4) und C =
(8, 0, 1) wird von einer Flüssigkeit mit konstanter Geschwindigkeit v =
(−1, −1, 8 durchströmt (Einheiten in cm bzw. cm s
). Wie groß ist das Volumen
der Flüssigkeitsmenge, die in 7 Sekunden durch das Dreieck fließt
4. An einer Wäscheleine hängen in gleichen Abständen von je 20cm fünf
Kleidungsstücke mit dem Gewicht von jeweils 5N. Dabei entsteht an der
tiefsten Stelle des Seils ein Winkel von 5 ◦ zwischen Leine und Horizontale.
(a) Man konstruiere die Form des Seils;
(b) Welchen Abstand haben die beiden Pfosten
Skizzieren Sie diesen Lastfall.
5. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit eines 100m breiten Flusses sei 0.4 m s .
Ein Hund versucht, den Fluß zu durchschwimmen. Seine mittlere Eigengeschwindigkeit
beträgt 0.6 m s
. Er schwimmt unter dem Winkel α gegen
das Ufer.
(a) Man bestimme die Zeit T(α), die er zur Durchquerung benötigt. Ferner
zeige man, da jeder Punkt des gegenüberliegenden Ufers erreicht
werden kann.
(b) Wie weit wird der Hund abgetrieben, wenn α = π 2ist Wie groß
ist α, wenn er an dem dem Startpunkt gegenüberliegenden Punkt
ankommt
6. Drei Stangen sind in den Punkten A, B bzw. C am Boden verankert und
ihre anderen Enden sind im Punkt D fest verbunden (siehe Abb. 4.2). Im
Punkt D hängt ein Gewicht von 100N. Welche Kräfte werden von den
einzelnen Stangen aufgenommen
Ermitteln Sie das Ergebnis auf zwei verschiedene Arten:

24 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN
(a) mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems
(b) durch Multiplikation der Zerlegungsgleichung für die Gewichtskraft
G mit dem Kreuzprodukt zweier geeigneter Vektoren.
Abbildung 4.2: Kräfte an und im Stabwerk

Teil II
Vektorräume
25

Kapitel 5
Euklidischer Vektorraum,
Basis und Dimension
1. Zeigen Sie, daß a) die Gleichung a×x = b (a,b ∈ E 3 ) dann und nur dann
eine Lösung x ∈ E 3 hat, wenn a · b = 0 und a ≠ 0 ist, sowie b) x = b×a
a 2
eine Lösung ist und c) geben Sie die allgemeinste Form der Lösung im E 3
an.
2. Beweisen Sie, daß der Flächeninhalt des aus den Vektoren a,b,c ∈ E 3
gebildeten Dreiecks gleich 1 |a × b + b × c + c × a| ist.
2
3. Zeigen Sie die folgenden Zusammenhänge für die Vektoren a,b,c ∈ E 3 :
(a) a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b);
(b) a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b);
4. In welchen Fällen sind die drei Vektoren des E 3 a, a ×b, (a ×b) ×(a+b)
linear abhängig bzw. linear unabhängig Begründung.
5. Spannen die drei Vektoren a 1 = (2, 1, 3), a 2 = (1, 0, −2), a 3 = (3, 1, 1) den
E 3 auf
6. Im E 3 sei α der Winkel, den die Gerade g := a+tb (t ∈ R) mit der Ebene
e := a 1 + t 1 b 1 + t 2 b 2 (t 1 , t 2 ∈ R) bildet. Man bestimme sinα.
7. Der Vektor v ∈ E 3 habe in der kanonischen Basis (e 1 ,e 2 ,e 3 ) die die Komponenten
(3, 1, −4) T . Geben Sie selbigen Vektor in der Basisdarstellung
f 1 = (1, 1, 1) T , f 2 = (0, 1, 1) T , f 3 = (0, 0, 1) T an.
8. Gegeben seien zwei Ebenen E 1 und E 2 . Welche Dimension kann dann das
kartesische Produkt E 1 × E 2 haben
27

28KAPITEL 5. EUKLIDISCHER VEKTORRAUM, BASIS UND DIMENSION

Kapitel 6
Reelle und komplexe
Vektorräume, Unterräume
1. Welche Schnittmenge haben die beiden Ebenen
im R 3 .
E 1 := {x| x = (1, 1, 1)+ λ 1 (1, 0, 0) + µ 1 (0, 1, 0), λ 1 , µ 1 ∈ R}
E 2 := {x| x = (0, 0, 1)+ λ 2 (0, 1, 1) + µ 2 (0, −1, 1), λ 2 , µ 2 ∈ R}
2. Berechnen Sie jeweils paarweise die Winkel zwischen den Vektoren a =
(0, 8, 0), b = (0, 6, 0), c = (0, 2, 0) im R 3 . Stellen diese drei Vektoren
die Eckpunkte eines Dreiecks dar Analysieren Sie diese Aufgabe sowohl
analytisch als auch graphisch.
3. Im R 2 seien die Unterräume
U 1 := {x| x = r(1, 0), r ∈ R}
U 2 := {x| x = s(1, 1), s ∈ R}
gegeben. Zeigen Sie, daß U 1 ∪U 2 kein Unterraum des R 2 ist. Ist dagegen
U 1 × U 2 ein Unterraum von R 3
4. Im E 3 sei ein Unterraum U durch die Gleichung U : 2x 1 − x 2 + 3x 3 = 0
gegeben. Man gebe die orthonormierte Basis von U an.
5. Bilden die Vektoren a 1 = (1, 0, 2, 3), a 2 = (2, −1, 0, 1), a 3 = (0, 2, 1, 1),
a 4 = (−1, 1, 2, 1) ein (Hyper-) Viereck im R 4
6. Ist U := {x| x = z(1, 0), z ∈ C} ein Unterraum des C 2 .
7. Kann man einen beliebigen Vektor z ∈ C n durch die Zerlegung z = x+iy
mit x,yR n darstellen
29

30KAPITEL 6. REELLE UND KOMPLEXE VEKTORRÄUME, UNTERRÄUME

Kapitel 7
Komplexe Zahlen
1. Man finde den Realteil Re(z) = x und den Imaginärteil Im(z) = y der
komplexen Zahl z = x + iy so, daß gilt 3x + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i.
2. Zeigen Sie, daß gilt
(a) z 1 + z 2 = z 1 + z 2
(b) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |.
3. Bestimmen Sie die Gleichung für a) einen Kreis vom Radius 4 mit dem Mittelpunkt
(−2, 1) und b) einer Ellipse mit der Hauptachse der Länge 10 und
den Brennpunkten bei (−3, 0) und (3, 0) in der komplexen Zahlenebene.
4. Stelle die folgenden komplexen Zahlen in Polarkoordinaten dar: 2 +2 √ 3i,
−5 + 5i, − √ 6, − √ 2i, −3i, 17.
5. Zeigen Sie, daß der Zusammenhang
cos φ + i sin φ = exp iφ
gilt.
(Hinweis: Benutzen Sie die Reihenentwicklung expx = 1+x+ x2
der Exponentialfunktion.)
6. Zeige, daß cos φ =
exp iφ+exp −iφ
exp iφ−exp −iφ
und sin φ =
2 2i
gilt.
2! + x3
3! +...
7. Gegeben sei eine komplexe Zahl z. Interpretieren Sie z exp iα geometrisch
in der Gaußschen Zahlenebene für reelle α.
8. Bestimmen Sie alle Werte von z ∈ C für die gilt z 5 = −32 gilt und
lokalisieren Sie die Lösungen in der komplexen Ebene.
9. Interpretieren Sie die Division z1
z 2
zweier komplexer Zahlen z 1 , z 2 geometrisch.
10. Drücken Sie jede der folgenden Gleichungen durch z = x + iy und z aus:
2x + y = 5, x 2 + y 2 = 36, |x − y| = 1, x 3 = 2.
31

32 KAPITEL 7. KOMPLEXE ZAHLEN
11. Gegeben sind die Punktmengen A := {3, −i, 4, 2+i, 5}, B := {−i, 0, −1, 2+
i}, C := {− √ 2i, 1 , 3}. Bestimme A∩B, A∪B, A∪C, A∪(B∩C), A∩(B∩C),
2
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
12. Stellen Sie die jeweilige Menge der komplexen Zahlen z, für die gilt
(a) | z−3
z+3 | = 2
(b) | z−3
z+3 | < 2
graphisch in C dar.
13. Gegeben seien die Mengen A und B, die durch |z −1| < 1 und |z −2i| < 2
beschrieben werden. Visualisieren Sie A ∩ B und A ∪ B in C.
14. Bestimme zwei komplexe Zahlen deren Summe 4 und deren Produkt 8
ergibt.

Kapitel 8
Anwendungen
1. Drei Kräfte greifen in der Ebene an einem Objekt O an. Bestimme mittels
komplexer Zahlendarstellung (in C und reellen Vektoren (im R 2 ), welche
Kraft notwendig ist, um das Objekt O an der Fortbewegung zu hindern.
2. Für einem Wechselstromkreis kann man die Spannung U(t) und die Stromstärke
I(t) als komplexe periodische Funktionen
U(t) = U 0 e iωt (8.1)
I(t) = I 0 e iωt (8.2)
darstellen. Dabei entsprechen U 0 und I 0 den Amplituden von Spannung
und Stromstärke und ω = 2πν der Kreisfrequenz in der Phase iωt. Für den
Haushaltsstrom aus deutschen Steckdosen ist die Frequenz mit ν = 50Hz
festgelegt.
Skizzieren Sie den Verlauf der Spannungs- und Stromfunktion in der komplexen
Ebene und zeichnen Sie die Verläufe ihrer Real- und Imaginärteile
in ein Zeit-Spannung- bzw. Zeit-Strom-Diagramm ein. Zeigen Sie mit Hilfe
des komplexen Ohmschen Gesetzes
U = ZI, (8.3)
daß der komplexe Widerstand Z und der korrespondierende komplexe
Leitwert Z −1 nicht von der Frequenz ω und der Zeit t abhängt. Stellen
Sie den Wirkwiderstand R(Z) und den Scheinwiderstand I(Z), sowie den
Wirkleitwert R(Z −1 ) und den Blindleitwert I(Z −1 ) in Abhängigkeit von
den Amplituden U 0 , I 0 und der konstanten Phasenverschiebung δφ zwischen
Spannung und Strom dar.
3. Der komplexe Widerstand (Impedanz) Z ergibt sich aus den Beziehungen
(a) Z = ¯Z = R, wenn es sich um einen ohmschen Widerstand R handelt;
(b) Z = 1
iωC
für einen idealen Kondensator;
33

34 KAPITEL 8. ANWENDUNGEN
(c) Z = −iωL für eine ideale Spule;
wobei C die Kapazität des Kondensators , L die Induktivität der Spule
und ω die Kreisfrequenz darstellt. Für eine Serienschaltung gilt dann
Z =
n∑
Z k , (8.4)
k=1
und für eine Parallelschaltung
Z −1 =
n∑
k=1
Z −1
k . (8.5)
Geben Sie eine Formel zur Berechnung des komplexen Gesamtwiderstandes
für einen Serienschwingkreis (Ohmscher Widerstand, Kondensator und
Spule sind in Reihe geschaltet) an.
4. Xaver hat ein Feld geerbt. Es wird durch die vier auf einem Kreis liegenden
Eckpunkte A, B, C, D erzeugt und hat die Seitenlängen 50m, 70m,
60m und 50m. Helfen Sie Xaver die Fläche seines Ackers zu berechnen.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt F dieses Vierecks.

Teil III
Lineare Abbildungen
35

Kapitel 9
Linearität
1. Seien V und W zwei Vektorräume und f : V → W eine Abbildung. Welche
der folgenden Abbildungen ist linear
(a) V = W = N, v ↦→ Quersumme von v;
(b) V = W = N, v ↦→ 2v;
(c) V = W = R, v ↦→ sin v;
(d) V = W = R, v ↦→ v 3 ;
(e) V = C, W = R, v ↦→ |v|;
(f) V = W = C, v ↦→ v;
(g) V = R, W = R 2 , v ↦→ (v + 1, v − 1);
(h) V = R 2 , W = R, v = (v 1 , v 2 ) ↦→ v 1 + v 2 ;
(i) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 2 , 3);
(j) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 1 + 3, v 2 − 2);
(k) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 1 v 2 , v 1 + v 2 );
(l) V = W = R 2 , v = (v 1 , v 2 ) ↦→ (v 1 − v 2 , v 1 + v 2 );
2. Ist die Abbildung f : R 2 → R mit f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 − 1 linear Wenn
ja, in welche Unter-Abbildungsklasse innerhalb der linearen würden Sie
selbige einordnen
3. Sei f : C → C die konjugierte Abbildung auf die komplexen Zahlen, d.h.
es gilt f(z) = ¯z, wobei z ∈ C.
a) Man zeige, daß f linear ist.
b) Ist f ein Isomorphismus Wenn ja, finden Sie die Umkehrabbildung.
4. Man zeige, daß die folgenden linearen Abbildungen f, g, h ∈ Hom(E 2 ,E 2 )
linear unabhängig sind: f(x, y) = (x, 2y), g(x, y) = (y, x + y), h(x, y) =
(0, x).
37

38 KAPITEL 9. LINEARITÄT
5. Ist p(x) = a · x mit a,x ∈ E 2 (a fest aber beliebig) eine Linearform
bezüglich x
6. Die lineare Abbildung F : R 3 → R 3 sei durch F(x, y, z) := (x+2y −z, y+
z, x + y − 2z) gegeben. Geben Sie die Dimension für das Bild F und den
Kern F an. Welchen Rang hat dieser Homomorphismus

Kapitel 10
Lineare Transformationen
1. Man bestimme Kern(T) und entscheide, ob T injektiv ist.
(a) T : R 2 → R 2 mit T(x, y) = (y, x);
(b) T : R 2 → R 2 mit T(x, y) = (0, 2x + 3y);
(c) T : R 2 → R 2 mit T(x, y) = (x + y, x − y);
(d) T : R 2 → R 3 mit T(x, y) = (x, x + y);
(e) T : R 2 → R 3 mit T(x, y) = (x − y, y − x, 2x − 2y);
(f) T : R 3 → R 2 mit T(x, y, z) = (x + y + z, x − y − z);
2. Sei T : R 2 → R 2 die Orthogonalprojektion auf die Gerade y = x Bestimmen
Sie Kern(T). Ist T injektiv
3. Sei T : R n → R n der durch definierte lineare Operator.
Unter welchen Bedingungen hat T eine Inverse Man berechne T −1 gegebenenfalls.
4. Sei f : C → C die konjugierte Abbildung auf die komplexen Zahlen, d.h.
es gilt f(z) = ¯z, wobei z ∈ C.
a) Man zeige, daß f linear ist.
b) Ist f ein Isomorphismus Wenn ja, finden Sie die Umkehrabbildung.
5. Man zeige, daß die folgenden linearen Abbildungen f, g, h ∈ Hom(E 2 ,E 2 )
linear unabhängig sind: f(x, y) = (x, 2y), g(x, y) = (y, x + y), h(x, y) =
(0, x).
6. Ist p(x) = a · x mit a,x ∈ E 2 (a fest aber beliebig) eine Linearform
bezüglich x
7. Die lineare Abbildung f : R 3 → R 3 sei durch f(x, y, z) := (x+2y −z, y +
z, x + y − 2z) gegeben. Geben Sie die Dimension für das Bild f und den
Kern f an. Welchen Rang hat dieser Homomorphismus
39

40 KAPITEL 10. LINEARE TRANSFORMATIONEN
8. Finden Sie die Matrizendarstellung F der linearen Abbildung f in Aufgabe
9) und berechnen Sie die folgenden Determinanten: detF, detF T , detFF T ,
det[F, F T ]. Hierbei ist der sogenannte Kommutator definiert durch [A, B] :=
AB − BA.
9. Ein linearer Operator P : V → V heißt Projektor, wenn er symmetrisch
und idempotent ist, d. h. wenn gilt P = P 2 und P = P T . Ein linearer
Operator R heißt Reflektor, wenn er symmetrisch und involutorisch ist, d.
h. wenn gilt R = R T und R 2 = 1.
(a) Zeigen Sie: Ist R ein Reflektor, dann ist P = 1−R
2
ein Projektor. Ist
P ein Projektor, dann ist R = 1 − 2P ein Reflektor.
(b) Zeigen Sie, da ein Projektor P = (P ij ) = ( vivj
v·v T ) für v ∈ R n ist.
(c) An welcher Ebene spiegelt R = 1 − 2P, falls P wie in (b) definiert
ist

Kapitel 11
Darstellungen lineare
Abbildungen
1. Man betrachte die folgenden beiden Basen im E 2 :
{e 1 = (1, 0);e 2 = (0, 1)}, {f 1 = √ 1
2
(1, 1);f 2 = √ 1
2
(−1, 1)}.
Gesucht ist die Drehmatrix U, die das Basissystem {e 1 ,e 2 } auf {f 1 ,f 2 }
abbildet und deren Umkehrung V . Man zeige, dass UV = V U = 1 und
det UV = 1 gilt.
2. Stellen Sie das Vektorprodukt a ×x ∈ E 3 als lineare Abbildung bezüglich
x dar. Berechnen Sie die zugehörige Determinante der Matrix.
3. Zeigen Sie, daß Drehungen im E 3 mit y = Dx das Skalarprodukt y T y =
x T x erhalten. Welche Eigenschaften müssen dann die Drehmatrizen D
erfüllen
4. Man zeige, dass durch die Matrix
⎛
⎞
cosφ sin φ 0
A = ⎝ −sin φ cosφ 0 ⎠ (11.1)
0 0 1
eine lineare Abbildung a(x) = A · x erklärt werden kann, die
(a) die Länge eines beliebigen Vektors x ∈ R 3 nicht ändert;
(b) den Winkel zwischen zwei Vektoren x, y ∈ R 3 nicht ändert.
5. Eine Matrix P ∈ R (n,n) heißt Projektor, wenn sie symmetrisch und idempotent
ist, d. h. wenn gilt P = P 2 und P = P T . Eine Matrix R ∈ R (n,n)
heißt Reflektor, wenn sie symmetrisch und involutorisch ist, d. h. wenn
gilt R = R T und R 2 = 1.
(a) Zeigen Sie: Ist R ein Reflektor, dann ist P = 1−R
2
ein Projektor. Ist
P ein Projektor, dann ist R = 1 − 2P ein Reflektor.
41

42 KAPITEL 11. DARSTELLUNGEN LINEARE ABBILDUNGEN
(b) Zeigen Sie, da ein Projektor Pij = vivj
v·v
für v ∈ R n ist.
T
(c) An welcher Ebene spiegelt R = 1 − 2P, falls P wie in b) definiert
ist
6. Gegeben ist die Matrix
B =
(
8 −2
−2 5
)
(11.2)
Gesucht ist eine Matrix
( a b
A =
c d
)
(11.3)
mit
A 2 = B. (11.4)
7. Ist A eindeutig bestimmbar Wie hängen die zugehörigen linearen Abbildungen
a(x) = A · x und b(x) = B · x aus vorheriger Aufgabe zusammen.

Kapitel 12
Anwendungen
1. Ein Schiff fährt von Jacksonville/Florida nach Südosten. Es empfängt
zwei von Jacksonville und dem 1000km südlich gelegenen Hafen von La
Habana gleichzeitig gesendete Radarsignale (Ausbreitungsgeschwindigkeit
3 · 10 8 m s
) mit einer Zeitdifferenz von 2ms.
Welche Strecke hat das Schiff zurückgelegt (Gehen Sie davon aus, daß
die Krümmung der Erde hier noch keine Rolle spielt.)
2. Geben Sie die (orthogonale) Koordinatentransformation in ein Basissystem
des R 2 an, dass gerade seinen Ursprung in einem Punkt P auf einem
Kreis um O mit Radius r hat und dessen negative x-Achse durch O geht.
Wie sieht die Transformation im Raum aus, wenn P auf einer Kugel mit
Radius r liegt, die negative x-Achse wieder durch O geht und die z-Achse
in der Ebene durch die Punkte O, P und Z = (0, 0, 1) liegt
3. Zwei Ebenen durch die Punkte P = (0, 3, 4) bzw. Q = (5, 0, −1) schneiden
sich entlang der Geraden g(t) = t · (1, 2, 0) für alle t ∈ R. Wie verläuft die
Bahn einer Kugel bei einer angreifenden Gewichtskraft G = |G|(0, 0, −1),
die im Punkt P losgelassen wird
Hinweis: Zerlegen Sie die Gewichtskraft G = |G|(0, 0, −1) in eine Komponente
orthogonal und eine Komponente parallel zu der Ebene.
4. Drei Firmen A, B und C führen neue Zahnpasten auf dem Markt ein. Zu
Beginn sind die Marktanteile wie folgt verteilt: A hat 40 Prozent , B hat
20 Prozent und C hat 40 Prozent. Während des ersten Jahres behält A
85% ihrer Kunden, verliert 5% an B und 10% an C; B behält 75% ihrer
Kunden, verliert 15% an A und 10% an C; C behält 90% und verliert an
A und B jeweils 5% ihrer Kunden.
(a) Man stelle eine Matrix auf, die den Übergang der Marktanteile im
ersten Jahr beschreibt.
43

44 KAPITEL 12. ANWENDUNGEN
(b) Welche Anteile haben die einzelnen Firmen am Ende des ersten und
des zweiten Jahres, wenn die Änderungen dieselben bleiben
(c) Man gebe eine Gleichung an, die eine stationäre Verteilung der Marktanteile
beschreibt, d.h. eine Verteilung, die sich (bei der oben angegebenen
Übergangsmatrix) im Verlauf eines Jahres nicht ändert. Man
bestimme eine solche stationäre Verteilung. Ist sie eindeutig
5. In der Ebene seien zwei kartesische Koordinatensysteme mit den Basen
B = {i, j} und B ′ = {k, l} gegeben, die um den Winkel β gegeneinander
gedreht sind (Abb. 12). Ein Vektor a ∈ R 2 habe bezüglich B die Koordinaten
(a 1 , a 2 ) .
(a) Man bestimme die Koordinaten von a bezglich B ′ (Koordinatentransformation).
Wie lauten die entsprechenden Formeln für die Rücktransformation
von B ′ nach B
(b) Man leite mit Hilfe von a) die Additionstheoreme fr die trigonometrischen
Funktionen sin und cos her.
6. Wie lang sind die Nähte eines Fuball mit 30cm Durchmesser
Nehmen Sie hierzu entgegen Sepp Herberger’s Axiom ”Der Ball ist rund!”
an, da der Ball ein Polyeder ist.
7. Ein Würfel habe die Eckpunkte (0, 0, 0), (2, 2, 1) und (1, 1, 5). Bestimmen
Sie die Koordinaten der übrigen Würfelecken.
Abbildung 12.1: Koordinatentransformation zwischen den Basen B und B ′ .

Teil IV
Matrizen und
Determinanten
45

Kapitel 13
Grundbegriffe und
Verknüpfungen
1. Gegeben seien die Matrizen
( 1
A = (1, 2)B =
2
)
; C =
( 1 0
2 3
) ( 2 0 1
; D =
4 1 3
)
(13.1)
Man berechne, falls möglich, die folgenden Matrizenprodukte:
A · B; B · A; C · D; D · C T ; (13.2)
D · C; D T · C; D T · C T (13.3)
( ) 1 2
2. Die Matrix A = sei die kanonische Darstellung mit der Basis
3 4
{e 1 = (1, 0);e 2 = (0, 1)} der linearen Abbildung F : E 2 → E 2 , F(x) =
Ax. Geben Sie die Matrix A in den verschiedenen Basissystemen
(a) {a 1 = (0, 1);a 2 = (1, 0)};
(b) {f 1 = 1 √
2
(1, 1);f 2 = 1 √
2
(−1, 1)};
(c) {d 1 = (1, 3);d 2 = (2, 4)};
an und berechnen Sie jeweils die lineare Abbildung F(x).
3. Gegeben ( sind die ) Matrizen ( )
1 −1 1 1
A = , B =
∈ R
1 1
−1 1
(2,2) .
Berechnen Sie
(a) A T , B T ;
(b) AA T , BB T , AB, BA;
(c) [A, B], [A, A T ], [B, B T ];
47

48 KAPITEL 13. GRUNDBEGRIFFE UND VERKNÜPFUNGEN
4. Welche Bedingungen müssen an die Matrix A ∈ R (2,2) geknüpft werden,
damit s(x,y) := x T Ay ein Skalarprodukt im R 2 wird
5. Finden Sie die inversen Matrizen A −1 und B −1 zu den in Aufgabe 2)
definierten Matrizen A und B.
6. Gilt für alle Matrizen A ∈ K (n,m)
bzw.
A · A T = A T · A (für K = R) (13.4)
A · A † = A † · A (für K = C), (13.5)
wobei A † := (A) T die adjungierte Matrix zu A ist.
7. Man gebe zwei Matrizen A, B ∈ R (6,6) explizit an, die die folgenden Eigenschaften
haben:
(a) RangA = RangB = 3;
(b) A · B = 0.
( i −i
8. Ist die Matrix B = √ 1 2 i i
)
∈ C (2,2) unitär
9. Berechnen Sie die ⎛ Determinanten ⎞ der folgenden Matrizen:
( )
( ) ( 1 −1
0 −2 i 5 + i
, ⎠, ,
−1 1
1 0 −5 1
⎝ 1 0 2
0 1 0
1 1 1
)
.
10. Gegeben sind die Matrizen und Vektoren
⎛
( ) ( )
1 2 1 1
A = ; B = ; C = ⎝ 0 2 5
−3 1 2
3 4 2 2
1 1 −1
⎞
(
⎠ 1 1 2
; D =
3 2 2
⎛
)
;
⎞
v 1 = (4, −7); v 2 = (−2, −2, 1); v 3 =
Entscheiden Sie, welche der folgenden Produkte existieren, und berechnen
Sie diese gegebenenfalls:
A 2 , D 2 , B · A, A · B, A · C; A · D; D · A;
A · v 1 , B · v 2 , C · v 3 , v 2 · C, v 3 · D, v 2 · v 3 , v 3 · v 2 , v 3 · v 1 .
⎝ 1 0
3
⎠.

Kapitel 14
Quadratische Matrizen
1. Gegeben sei eine Matrix
S =
⎛
⎝ 1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
⎞
⎠ ∈ R (3,3) (14.1)
. welche Matrizen A ∈ R (3,3) sind bezüglich der Mjultiplikation mit S
vertauschbar, d.h. es gelte [A, S] = A · S − S · A = 0.
2. Weisen Sie nach, dass die Matrizen
A 1 =
A 3 =
( ) ( )
1 0
−1 0
; A
0 1 2 = ; (14.2)
0 −1
( ) ( )
0 −1
0 1
; A
1 0 4 =
∈ R (2,2) (14.3)
−1 0
. bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe G bilden. man gebe die
Verknüpfungstafel von G an. Ist G abelsch und/oder zyklisch
3. Es seien A und B symmetrische Matrizen gleicher Dimension. Beweisen
Sie: Es gilt A · B = B · A genau dann, wenn A · B symmetrisch ist.
4. Sind die Matrizen
( ) 1 + i 1 − i
A =
1 − i 1 + i
⎛
C = 1 3 · ⎝
1 2i −2i
1 + i 0 2
2i 1 i
; B = 1 ( 1 + i 1 − i
2 · 1 − i 1 + i
⎞
(anti-) selbstadjungiert und/oder (anti-) unitär.
49
)
∈ C (3,3) (14.4)
⎠ ∈ C (3,3) (14.5)

50 KAPITEL 14. QUADRATISCHE MATRIZEN
5. Sei A eine nichtsinguläre Matrix aus R (n,n) . Man zeige, dass
. gilt.
(A T ) −1 = (A −1 ) T (14.6)
6. Eine Matrix A ∈ R (n,n) bezeichnet man als schiefsymmetrisch (antisymmetrisch),
wenn A T = −A gilt. Man zeige:
(a) Ist A schiefsymmetrisch und invertierbar, dann ist auch A −1 schiefsymmetrisch;
(b) Mit A und B sind auch die Matrizen A T , A+ B, A − B und λA (mit
λ ∈ R) schiefsymmetrisch;
(c) Jede quadratische Matrix kann als Summe einer symmetrischen und
einer schiefsymmetrischen Matrix dargestellt werden.
7. Wieviele unterschiedliche Elemente kann eine symmetrische Matrix aus
R (n,n) höchstens haben

Kapitel 15
Spur und Determinante
1. Berechnen Sie jeweils die Determinante und die Spur der folgenden Matrizen:
⎛ ⎞
( ) 1 0 2 ( ) ( )
1 −1
, ⎝
0 −2 i 5 + i
0 1 0 ⎠, ,
.
−1 1
1 0 −5 1
1 1 1
2. Invertieren Sie mittels Gauß’schen Algorithmus die Matrizen aus Aufgabe
1).
3. Zeigen Sie, daß die Spurbildung und die Determinate der Matrix A ∈
K (n,n) bei der folgenden Transformation
für invertierbare T ∈ K (n,n) invariant bleibt.
A ′ = T · A · T −1 (15.1)
51

52 KAPITEL 15. SPUR UND DETERMINANTE

Kapitel 16
Matrizenfunktionen
1. Gegeben ist die Matrix A =
(
0 −1
1 0
)
. Ermitteln Sie die Exponentialfunktion
expA = 1 + A + A2
2!
+ A3
3!
+ ..., der Matrix A.
2. Zeigen Sie, daß für die Matrix-Exponentialfunktion expA gilt:
B · exp A · B −1 = exp (B · A · B −1 )
für A, B ∈ R (n,n) (C (n,n) ). Vorausgesetzt die Matrix B ist invertierbar.
3. Kann man mit Hilfe der Matrixfunktionen cosA = 1 − A2 + A4 − ...
2! 4!
und sinA = A − A3
3!
+ A5
5!
− ... die Exponentialfunktion expA generieren.
(Hinweis: Denken Sie dabei an die Eulerformel expiφ = cos φ + isin φ für
komplexe Zahlen.)
4. Gegeben ist die Matrix A =
( 0 −1
1 0
)
. Ermitteln Sie die Spur und die
Determinante von expA = 1 + A + A2
2!
+ A3
3!
+ ..., der Matrix A.
5. Weisen Sie nach, dass für A ∈ K (n,n) gilt
detA = exp (Spur lnA) (16.1)
53

54 KAPITEL 16. MATRIZENFUNKTIONEN

Teil V
Messvorschriften in
Vektorräumen
55

Kapitel 17
Metrik und Norm
1. Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen d : C n → R eine Metrik bzw.
Norm für den Vektorraum C n darstellen.
(a) d(x, y) = |x 1 − y 1 | + |x 2 − y 2 | für x, y ∈ C 2 ;
(b) d(x, y) = √ |x 1 − y 1 | 2 + |x 2 − y 2 | 2 für x, y ∈ C 2 ;
(c) d(x, y) = (|x 1 − y 1 | p + |x 2 − y 2 | p ) 1 p für x, y ∈ C 2 und p ∈ N;
(d) d(x, y) = max n i=1|x i − y i | für x, y ∈ C n ;
(e) d(x, y) = ∑ n
i=1 [(x i − y i )mod2] für x, y ∈ B n = {0, 1} n ;
2. Welche der Funktionen aus Aufgabe 1) induzieren auch ein Skalarprodukt
auf C n
3. Geben Sie Beispiele für Räume an, bei denen die Winkelsumme im Dreieck
α + β + γ ⋚ 0 ist.
57

58 KAPITEL 17. METRIK UND NORM

Kapitel 18
Skalarprodukte
1. Durch die folgenden Vorschriften seien zwei Skalarprodukte auf dem R 2
definiert:
(a) s 1 (x, y) = ∑ 2
i=1 x i · y i ;
(b) s 2 (x, x) = x 2 1 − 2x 1 x 2 + 2x 2 ;
Berechnen Sie für die Vektoren
( ) ( 3 2
a = , b =
1 4
)
, (18.1)
aus dem R 2 ihre Beträge und den eingeschlossenen Winkel, die durch s 1
und s 2 induziert werden.
2. Bestimmen Sie den Lotraum zum Unterraum
( )
U = {x ∈ R 2 1
| x = t , t ∈ R} ⊂ R
0
2 (18.2)
bezüglich den Skalarprodukte aus Aufgabe 1
3. Ein Dreieck habe die Seitenlängen 6, 8 und 2 cm. Wie groß sind jeweils
die Winkel α, β, γ
4. Welche Eigenschaften muß die Matrix A ∈ C (n,n) haben, damit
ein Skalarprodukt für alle x, y ∈ C n ist
5. Im E 3 sei ein Unterraum U gegeben durch
a(x, y) = x † · A · y (18.3)
U : 2x 1 − x 2 + 3x 3 = 0. (18.4)
Man gebe eine orthonormierte Basis von U mit Hilfe des Schmidt’schen
Verfahrens an.
59

60 KAPITEL 18. SKALARPRODUKTE

Kapitel 19
Vektorprodukt
1. Seien u = (3, 2, −1) T , v = (0, 2, −3) T und w = (2, 6, 7) T aus dem R 3 .
Berechnen Sie die folgenden Vektorprodukte:
(a) v × w;
(b) u × (v × w);
(c) (u × v) × w;
(d) (u × v) × (v × w);
(e) u × (v − 2w);
(f) (u × v) − 2w);
2. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von u, v ∈ R 3 jeweils aufgespannten
Parallelogramms
(a) u = (1, −1, 2) T , v = (0, 3, 1) T ;
(b) u = (2, 3, 0) T , v = (−1, 2, −2) T ;
(c) u = (3, −1, 4) T , v = (6, −2, 8) T ;
3. Zeigen Sie, dass wenn a, b, c und d in derselben Ebene liegen, dann gilt
(a × b) × (c × d) = 0. (19.1)
4. Man bestimme im R 3 eine Gleichung für die zu n = (4, 2, −5) T senkrechte
Ebene, die durch den Punkt (3, −1, 7) geht.
5. In welchen Fällen sind die drei Vektoren des R 3
a, (a × b), (a × b) × (a + b) (19.2)
linear unabhängig, in welchen linear abhängig Begründen Sie Ihre Anwort
6. Untersuchen Sie, ob die Punkte A = (1, 2, 4), B = (2, −1, 3) und C =
(6, 3, −5) aus R 3 auf einer Geraden liegen.
61

62 KAPITEL 19. VEKTORPRODUKT

Kapitel 20
Kombinationen aus Skalarund
Vektorprodukt
1. Seien u = (3, 2, −1) T , v = (0, 2, −3) T und w = (2, 6, 7) T aus dem R 3 .
Berechnen Sie die folgenden gemischten Produkte:
(a) u · (v × u);
(b) w · (u × (v × w));
(c) (u × v) · (v × w);
2. Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren aus Aufgabe 1) aufgespannten
Spates.
3. Zeigen Sie, dass für alle a, b, c, d ∈ R 3 gilt:
(a) (Entwicklungssatz): a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b);
(b) (Lagrange-Identität):(a × b) · (c × d) = (a · c)(b·) − (b · c)(a · d).
4. Welche Bedinungen müssen die Vektoren a, b, c ∈ R 3 und r ∈ R erfüllen,
damit die Gleichungen
Lösungen in R 3 besitzen.
a · x = r, b × x = c (20.1)
Bestimmen Sie die Lösungsvektoren in Abhängigkeit von r für
⎛
a = ⎝ 1 ⎞ ⎛
2 ⎠ , b = ⎝ −1 ⎞ ⎛
−3 ⎠, c = ⎝ 0 ⎞
−2 ⎠. (20.2)
1 1 1
63

64KAPITEL 20. KOMBINATIONEN AUS SKALAR- UND VEKTORPRODUKT

Kapitel 21
Anwendungen
1. Nach dem Bohrschen Atommodell bewegt sich ein Elektron des Wasserstoffatoms
auf einer Kreisbahn um den Kern (Proton) mit dem Bohrschen
radius 0.529a (1a = Angström = 10 −8 cm) im Grundzustand. Das Elektron
besitzt eine Masse von 9, 109 · 10 −31 kg und fliegt mit einem Betrag
der Bahngeschwindigkeit von |v| = 2.18 · 10 6 m s
. Den Bahndrehimpuls L
des Elektrons berechnet man aus dem Vektorprodukt des Abstandes r
zum Kern und dem Impuls p = m · v
Man lege die drei Vektoren r, p, L geschickt in ein kartesisches Koordinatensystem
und berechne die Richtung und den Betrag von L.
65

66 KAPITEL 21. ANWENDUNGEN

Teil VI
Lineare Gleichungssysteme
67

Kapitel 22
Grundbegriffe
1. Gegeben sei die Matrix
A =
⎛
⎝
t 3 1
2 −1 2t
1 4 t
⎞
⎠ ∈ R (3,3) (22.1)
(a) Für welche t ∈ R besitzt A eine Inverse Man berechne diese.
(b) Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems A · x = b mit
⎛ ⎞
5
b = ⎝ 3 ⎠ ∈ R 3 (22.2)
6
Man bestimme alle Lösungen auch in dem Falle, daß A keine Inverse
besitzt.
2. Finden ⎛ Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b, mit
A = ⎝ 1 2 ⎞ ⎛
2 4 ⎠ ∈ R (3,2) , b = ⎝ 5 ⎞
10 ⎠ ∈ R 3 .
−1 −2
−5
3. Für welche Werte von t ∈ R hat das lineare Gleichungssystem Ax = b,
mit ( ) ( )
−1 t − 1
1
A =
∈ R
t + 1 3
(2,2) , b = ∈ R
−3
2 genau eine Lösung
4. Weisen ⎛ Sie nach, dass das Gleichungssystem A · x = b mit mit
A = ⎝ 1 2
⎞
⎛
0 1 ⎠ ∈ R (3,2) , b = ⎝ 5 ⎞
2 ⎠ ∈ R 3 . genau eine Lösung x ∈ R 2
1 3
7
hat.
5. Es sei A ∈ R (m,n) . Man zeige: Das lineare Gleichungssystem A · x = b
besitzt
69

70 KAPITEL 22. GRUNDBEGRIFFE
(a) für jedes b ∈ R n genau dann eine Lösung, wenn Rang(A) = m gilt;
(b) höchstens eine Lösung, wenn Rang(A) = n gilt.

Kapitel 23
Anwendungen
1. Arithmagone: Jeder Ecke a, b, c (siehe Abbildung) eines Dreiecks werden
insgeheim eine natürliche Zahl zugeordnet. An jeder Seite wird die Summe
der an ihren beiden Ecken stehenden Zahlen geschrieben. Für die drei
Zahlen a = 10, b = 1, c = 17 erhält man beispielsweise S ab = 11, S ac =
11, S bc = 2.
Stellen Sie eine einfache Regel zur Bestimmung der Zahlen a, b, c in den
Ecken auf. Verallgemeinern Sie dieses Resultat auf beliebige Vielecke.
2. Das Becken eines Hallenbades kann durch zwei Zuflußleitungen in 3.6 Stunden
gefüllt werden, wenn beide Leitungen geöffnet sind. Läßt man die erste
Leitung 2.5 Stunden und die zweite 3 Stunden offen, so wird das Becken
zu 75% gefüllt.
In wieviel Stunden kann das Becken durch jede der beiden Leitungen allein
gefüllt werden
3. Stellen Sie nach folgender Tabelle einen Fruchtsalat zusammen, der insgesamt
9g Eiweiß, 5g Fett und 194g Kohlenhydrate enthält.
Anteil (g) in jeweils 100 g Fruechten
Eiweiss Fett Kohlenhydrate
Aepfel 0,3 0,6 15
Banane 1,1 0,2 22
Orange 1,0 0,2 12
4. In einem Land mit konstanter Anzahl von Wahlberechtigten und drei
Parteien A, B und C wechseln die A-Wähler regelmäßig zur B-Partei,
die B-Wähler zur C-Partei und die C-Wähler verteilen ihre Stimmen bei
der nächsten Wahl zu je einem Drittel auf alle drei Parteien. Mit welcher
langfristigen Stimmverteilung können die einzelnen Parteien rechnen
71

72 KAPITEL 23. ANWENDUNGEN
5. Die Ebene E sei durch die Gleichung x + y + 2z = 2 definiert. Sei g die
durch
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 3
⎝ −1 ⎠ + r ⎝ −1 ⎠ (23.1)
4 1
(r ∈ R) gegebene Gerade. Auf der Geraden
⎛ ⎞
2
t ⎝ −4 ⎠ (23.2)
3
befindet sich eine punktförmige Lichtquelle, wobei t ∈ R + als so groß
angenommen wird, daß die Lichtstrahlen aus der Richtung (2, −4, 3) kommend
parallel einfallen. Bestimmen Sie das Gebilde des Schattens, den die
Gerade g auf E wirft (beachten Sie, da natürlich nur diejenigen Punkte
von g einen Schatten auf E werfen, die auf derselben Seite von E wie die
Lichtquelle liegen). Welchen Winkel schließen g und ihr Schatten auf E
ein
6. Ein leeres Schwimmbecken mit dem Volumen V kann durch eine Zuleitung
in T IN Stunden gefüllt werden und durch einen Abfluß in T Out Stunden
entleert werden. Angenommen der Bademeister dreht die Zuleitung
auf und vergißt aber den Abfluß abzustellen. Wieviele Stunden T dauert
es bis das Schwimmbecken trotzdem gefüllt wird Diskutieren Sie T in
Abhängigkeit des Quotienten TIn
T Out
.
7. Ein Schwimmbecken wird aus zwei Hähnen mit Wasser gefüllt. Öffnet
man zunächst den ersten Hahn ein Drittel der Zeit, welche man benötigt,
das Becken mit dem zweiten Hahn zu füllen, und anschließend den zweiten
Hahn ein Drittel der Zeit, welche man benötigt, das Becken mit dem ersten
Hahn zu füllen, so hat man das Becken zu 13
18 gefüllt.
Man berechne, wie viel Zeit jeder Hahn für sich benötigt, das Becken zu
füllen, wenn bei Öffnung beider Hähne das Becken in 216 Minuten gefüllt
ist.

Teil VII
Bilinearformen
73

Teil VIII
Das Eigenwertproblem
75