Vorschlag 2 - OSZ Farbtechnik und Raumgestaltung

Vorschlag 2 Abschlussprüfung 2007 Aufgabenblatt 1
Aufgabe 1:
Gegeben sei die Funktion f durch
1 3 2
( )
f x =
2
x −x − 2x+ 4 mit x ∈ R .
a) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte im Unendlichen und geben Sie den Wertebereich
der Funktion f an.
b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf mögliche Symmetrie.
c) Ermitteln Sie die Schnitt- und Berührungspunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.
d) Untersuchen Sie, ob der Funktionsgraph von f Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkte besitzt und
bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten.
e) Skizzieren Sie den Graphen von f unter Nutzung aller ermittelten Ergebnisse für ∈ [ − 2,5; 3]
x .
f) Im Folgenden betrachten Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ sowie eine beliebige Gerade g,
deren Anstieg m =− 2 beträgt, also gx ( ) = − 2x+ n mit n∈R .
• Skizzieren Sie unter Einbeziehung seiner Extrem- und Nullpunkte den Graphen der
x ∈− 1, 5; 2, 5 .
Ableitungsfunktion f ′ in ein Koordinatensystem für [ ]
• Skizzieren Sie ebenfalls für x ∈− [ 1, 5; 2, 5]
zwei Geraden, deren Anstieg m =− 2 beträgt.
- Gerade g 1 sei Sekante bezüglich des Graphen von f ′
- Gerade g 2 sei Passante bezüglich des Graphen von f ′
und geben Sie die jeweilige Größe von n an.
• Ermitteln Sie rechnerisch, wie das absolute Glied n im Funktionsterm von g gewählt werden
muss, damit g eine Tangente des Graphen der Ableitungsfunktion f ′ wird.
Aufgabe 2:
Bewertungseinheiten /40
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die Abszissenachse in N (4 | 0) und
besitzt dort eine Tangente, die senkrecht zur Geraden g verläuft. Außerdem sei W (1| 0) ein
Wendepunkt dieses Graphen.
1 2
Es gilt: gx ( ) =
6
x−
3
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph diese
Bedingungen erfüllt.
b) Erläutern Sie, warum der Graph nicht punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems
sein kann.
Sollten Sie das zur Bestimmung der Koeffizienten des Funktionsterms benötigte Gleichungssystem nicht oder
nicht vollständig aufgestellt haben, lösen Sie das folgende Gleichungssystem:
2⋅a3 + 2⋅a2 + 2⋅a1+ 2⋅a0=
0
128⋅a3+ 32⋅a2+ 8⋅a1+ 2⋅a0=
0
48⋅a3 + 8a2 + 1⋅
a1
+ 0⋅a0=−6
3⋅a
+ 1⋅a
+ 0⋅a
+ 0⋅a
= 0
3 2 1 0
Bewertungseinheiten /15
OF-Prüfung Mathematik 2007 Vorschlag2 - 2 -