1. Kenngrößen von Meßgeräten

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
1. Kenngrößen von Meßgeräten
Im folgenden sollen die wichtigsten Begriffe für die Beschreibung und Charakterisierung von Meßgeräten
und Meßvorgängen dargelegt und erläutert werden. Prinzipiell werden die meßtechnischen Eigenschaften
eines Meßgerätes 1 durch seine statischen und dynamischen Eigenschaften bestimmt. Im allgemeinen wird
der Meßwert heute in digitaler Form angezeigt, (z.B. 3½ bis 8 stellige Anzeige) und oftmals durch eine
Bargraph- oder simulierte Analoganzeige 2 ergänzt.
Die am Eingang eines Meßgerätes vorhandene physikalische Meßgröße soll im folgenden als die
Eingangsgröße X E des Meßprozesses verstanden werden. Hierbei sei es unerheblich, in welcher
physikalischen Form die Eingangsgröße X E vorliegt (z.B.: Strom, Spannung, Temperatur, Druck). Das
Meßgerät stellt funktional eine „Umwandlungseinrichtung“ dar, es formt die Eingangsgröße X E nach einem
funktionalen Zusammenhang in die Ergebnis- oder Ausgangsgröße X A um.
In welcher Form die Ausgangsgröße X A vom Meßgerät zur Verfügung gestellt wird, ist in erster Linie von
der Anwendung abhängig. Soll X A direkt von einem Beobachter oder Bediener interpretierbar sein, so ist die
klassische Form des Zeigerausschlages oder die Darstellung durch einen numerischen Zahlenwert
gebräuchlich. Soll die Ausgangsgröße X A einen Prozeß steuerten, so wird X A in einer für Maschinen einfach
zu verarbeitbaren Form, z.B. als Spannung oder binärer Zahlencode vorliegen.
X = f ( X ) E
A
Für einen linearen Zusammenhang gilt:
X
A
= k 0
⋅ X mit k 0 als Meßkoeffizient.
E
Abb. 1. Blockschema eines Meßprozeß mit inneren und äußeren Störeinflüssen
Der funktionale Zusammenhang zwischen Eingangs- X E und Ausgangsgröße X A kann einem beliebigen
mathematischen Zusammenhang folgen, wobei für Meßgeräte im allgemeinen ein linearer Zusammenhang
angestrebt wird.
In Zusammenhang mit der Meßwertaufnahme stellt sich auch oft die Frage nach der Repräsentativität des
Meßergebnisses. Klassisches Beispiel ist die Messung der Raumtemperatur - wieviele Sensoren sind nötig
1 Der Begriff Meßgerät bezieht sich hierbei nicht ausschließlich auf die „vom Beobachter abzulesende Anzeigeeinheit“,
sondern soll hier als die gesamte Meßkette vom Meßwertaufnehmer, Meßverstärker bis hin zu einem PC als
Meßwertverarbeitungseinheit und vorgeschaltenem Analog Digital Wandler (ADC) verstanden werden.
2 Soll der Trend eines Eingangssignals X E verfolgt werden, so ist dies nur über eine Analoganzeige in Form eines
Balkens oder manchmal auch eines simulierten Zeigers möglich.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 1/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
um diese repräsentativ zu erfassen. Wo und wie werden diese angeordnet. Die Frage nach der
Repräsentativität ist vor allem bei der Messung von Feldgrößen von Interesse (z.B.
Strömungsgeschwindigkeit, Konzentration, Feldstärke, o.ä.).
Der funktionale Zusammenhang X A /X E wird durch die Meßcharakteristik dargestellt. Diese kann durch ein
Polynom n-ten Grades beschrieben werden. In der Meßtechnik ist man aber bestrebt einen linearen X A /X E
Zusammenhang zu erreichen.
Abb. 2. Idealisierter Meßprozeß mit Kennlinie, rechts: verschiedene lineare Übertragungsverhalten
Obige Kennlinien stellen den stationären Zusammenhang (d.h. alle Einschwing- oder Ausgleichsvorgänge
sind bereits abgeklungen) zwischen Eingangs- X E und Ausgangsgröße X A für ein beliebiges Meßgerät dar.
Links: Nicht lineare Kennlinie – der funktionale Verlauf kann durch beliebig komplizierte mathematische
Funktionen beschrieben werden, Rechts: Lineare Kennlinien mit natürlichem Nullpunkt (A), unterdrücktem
Nullpunkt 3 (B) und verschobenem oder lebendem 4 (C) Nullpunkt. Aus den Kennlinien kann direkt die
Empfindlichkeit ε des Meßgerätes bestimmt werden. Diese ist durch die erste Ableitung der Ausgangsgröße
X A nach der Eingangsgröße X E gegeben.
Empfindlichkeit ε :
ε =
dX
dX
A
E
Für den Fall einer linearen Kennlinie ist die Empfindlichkeit ε somit eine Konstante, anderenfalls kann die
Empfindlichkeit im jeweiligen Arbeitspunkt durch die Tangente an die Kennlinie genähert werden.
1.1. Meßcharakteristik
Für die folgenden Ausführungen soll ein linearer Zusammenhang zwischen X E und X A vorausgesetzt
werden. Die verschiedenen Einflußgrößen, die eine Verzerrung der linearen Kennlinie bewirken, sollen
3 Als Beispiel für einen unterdrückten Nullpunkt kann die Temperaturmessung über die °C Skala gesehen werden, alle
absoluten Temperaturen unter 273,15 °K resultieren in einer Ausgangsgröße X A = 00°C. Ein anderer Anwendungsfall
wäre die Luftdruckmessung. Eine Messbereich von 000 ... 1100 mbar ist nicht sinnvoll, da im allgemeinen
Luftdruckwerte unter 900mbar für Meeresniveau nie erreicht werden.
4 Ein lebender Nullpunkt bietet in all jenen Anwendungsfällen Vorteile, bei denen auch bei einer Eingangsgröße X E =
00 eine Ausgangsgröße X A ≠ 00 vorhanden sein sollte, um die korrekte Funktion des Meßgerätes überprüfen zu können
(z.B. ein klassisches Beispiel hierfür ist das 4 .. 20mA Stromschleifen Interface für remote Meßstellen. Der
Meßwertgeber arbeitet über einen eingeprägten Strom von 4 ... 20mA. Ein Wert von 00mA würde sinngemäß einer
Stromschleifenunterbrechung gleichkommen).
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 2/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
vorgestellt werden. Die unverzerrte lineare X A /X E Kennlinie wird als Sollcharakteristik C soll , die durch die
realen Eigenschaften des Meßgerätes und andere Einflüsse (Temperaturkoeffizient, Offset und Drift)
verzerrte X A /X E Kennlinie wird als Istcharakteristik C ist bezeichnet.
Hat das Meßgerät einen natürlichen Nullpunkt, C soll geht durch den Koordinatennullpunkt, so kann die
Sollcharakteristik C soll durch den Meßkoeffizient MK ersetzt werden.
1. Analoge Meßwertverarbeitung
Eine lineare Meßcharakteristik ist bei analogen Meßgeräten durch eine Gerade darstellbar. Aus der Differenz
zwischen C soll und C ist ergibt sich der Fehler der Messung oder die Abweichung.
Abb. 3. Beispiel einer analogen Meßcharakteristik, Soll C SOLL - und Istverläufe C IST mit Fehlerkurve F
Bei bekannter Istcharakteristik C IST des Meßgerätes kann somit die Ausgangsgröße X A um den Fehler F
korrigiert werden 5 . Für den Fehler F gilt somit:
F X ) = C ( X ) − C ( X )
(
E IST E SOLL E
Entsprechend stellt der Begriff des Meßfehlers F die Differenz der tatsächlich erzeugten Meßgröße X A_real
und der idealen Ausgangsgröße X A_ideal eines Meßgerätes (oder Prozesses) dar.
2. Digitale Meßwertverarbeitung
Die analoge Meßwertverarbeitung ist durch eine „subjektive Meßwertquantifizierung“ durch den Beobachter
gekennzeichnet. Dieser ordnet dem Zeigerausschlag α über einer Skala einen Zahlenwert zu und führt somit
die Digitalisierung des Meßwertes durch. Im Gegensatz hierzu ist die digitale Meßwertverarbeitung durch
eine objektive Quantifizierung der analogen Information durch das Meßgerät selbst gekennzeichnet 6 .
5 Es sei hier angemerkt, daß diese Korrektur natürlich nur die systematisch erfaßbaren Fehlerquellen beinhalten kann.
Statistische Fehler und Umwelteinflüsse sind natürlich keiner Korrektur zugänglich. Der obige Meßfehler F wird
deshalb auch als systematischer Meßfehler bezeichnet. Siehe auch Kapitel 1.3. Meßfehler.
6 Es liegt in der Natur der Sache, daß beim Ablesen von digitalen Meßgeräten keinerlei Ablesefehler mehr auftreten
können, da das Ergebnis bereits in Form eines digitalen Zahlenwertes vorliegt.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 3/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Wie bei jeder Digitalisierung wird durch das Quantisieren der analogen Meßwerte ein Informationsverlust
bedingt, der eine verlustfreie Umkehrung des Digitalisierungsprozesses unmöglich macht. Bei der
Digitalisierung wird ein Bereich analoger Information, das so genannte Quantisierungsintervall IB, auf
einen digitalen Zahlenwert 7 abgebildet. Dies führt zu einem stufenförmigen Verlauf der X A /X E Kennlinie.
Abb. 4. Beispiel einer unstetigen Meßcharakteristik, Soll C SOLL - und Istverläufe C IST mit Fehlerkurve
Die Quantisierungsintervalle IB 8 werden im allgemeinen so gelegt, daß für den Intervallmittenwert der
auftretende Quantisierungsfehler F zu Null wird. Dies hat den Vorteil, daß der Quantisierungsfehler F
symmetrisch zur Nullinie liegt und die maximale Größe +/⎯ ½ LSB 9 (Least Significant Bit) nicht
übersteigt (ideale Stufencharakteristik vorausgesetzt). Es sind aber auch Realisierungen mit einseitigem
Quantisierungsfehler F gebräuchlich, dieser läuft von 0 ... 1 LSB.
7 Die Abbildung auf einen binären Zahlenwert wird wieder durch den Anwendungsfall bestimmt. Im einfachsten Fall
können aufeinanderfolgende Quantisierungsintervalle durch eine binäre Zahlenfolge codiert werden, die Gewichtung
ist durch das binäre Zahlensystem vorgegeben und als 8–4–2–1 Code bekannt. Andere Codeformen mit
unterschiedlicher Gewichtung wären z.B. 6–3–1–1, 2 out of 5, Gray- oder Huffmancode.
Eine weitere sehr weit verbreitete Kodeform ist der Binary Coded Decimal – BCD Code. Hierbei werden die einzelnen
Digits der dezimalen Zahl binär kodiert, es werden also für jede Stelle im Dezimalsystem 4 bits verwendet. Die
Codierung der Zahl „987“ würde somit 12 bits benötigen. Im Binärsystem wären hingegen 10 bits ausreichend.
8 Zusätzlich wird durch die Quantisierung dem ursprünglich amplitudenkontinuierlichen Signal ein Rauschanteil
hinzugefügt. Dieses Quantisierungsrauschen entsteht durch die Zuordnung der abgetastet Werte zu einem bestimmten
Quantisierungsintervall IB N . Die Rauschleistung N Q ist gleich verteilt und läßt sich folgendermaßen berechnen:
2
IB
N Q
=
12
Das Quantifizierungsrauschen N Q steigt somit quadratisch mit dem Quantisierungsintervall IB an.
9 Die Bezeichnung LSB resultiert aus der Zahlendarstellung allgemein. Beim dualen Zahlensystem gibt es zusätzlich
nur zwei mögliche Ziffern 0 oder 1, und die einzelnen Ziffern werden als bit bezeichnet. Die letzte Stelle (am
weitesten rechts stehende Ziffer) leistet den geringsten Beitrag für die Wertigkeit der Zahl und wird deshalb als least
significant bit bezeichnet. Im Gegensatz hierzu, wird die am weitesten links stehende Ziffer als MSB oder most
significant bit bezeichnet.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 4/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Über die Skalierung des Quantisierungsfehlers F hinausgehend wird der Ausdruck LSB ebenfalls für die
Charakterisierung der Auflösung des Meßgerätes (kleinste nachweisbare Änderung des Meßwertes)
verwendet. Wird z.B. für die Darstellung des Meßwertes eine 8-bit Zahl verwendet, so lassen sich mit dieser
Zahl 2 8 = 256 verschiedene Stufen codieren. Dies bedeutet für einen Eingangssignalbereich X E von 0 – 10V
eine notwendige minimale Spannungsänderung von 10V / 256 = 39mV, um eine Änderung der
Ausgangsgröße X A zu erreichen 10 .
Der Quantisierungsfehlers F ist im eigentlichen Sinne des Wortes kein Fehler, da er eine notwendige
Konsequenz der Quantisierung der Ausgangsgröße X A darstellt. Er sollte deshalb besser als
Quantifizierungsunsicherheit bezeichnet werde. Der Ausdruck Quantisierungsfehler ist jedoch in der
Literatur so weit verbreitet, daß er auch hier verwendet werden soll.
Ein weiterer, durch die Unstetigkeit der Stufencharakteristik bedingter, Effekt ist das Springen der letzten
Stelle bei digitalen Anzeigen. Diese sogenannte Bewertungsunsicherheit ergibt sich bei einem ideal
arbeitenden Gerät aus den Unstetigkeitsstellen der X A /X E Kennlinie, die eine eindeutige Zuordnung für den
Fall, daß X E an einer Intervallgrenze 11 liegt, unmöglich macht.
1.2. Meßbereiche und Definitionen
Reale Meßgeräte werden immer für einen bestimmten Meßbereich MB spezifiziert, wobei vielfach durch ein
vorhandenes auto-ranging dieser Meßbereich automatisch umgeschalten und auch ausgewählt wird.
Meßbereiche können je nach Anwendung symmetrisch zum Nullpunkt (z.B. Spannungsmessung) oder auch
asymmetrisch (z.B. Temperaturmessung in Kelvin K oder absoluter Druck in Pascal P oder mbar - Negative
Werte wären physikalisch sinnlos ) liegen.
Oftmals wird der Nullpunkt auch unterdrückt um eine größere Auflösung im interessierenden Bereich zu
erreichen. Eine Anwendung hierfür wäre die Luftdruckmessung in mbar. Die Skalierung des Gerätes wird
hier nicht bei Null beginnen, sondern einen gewissen Bereich um 1000mbar umfassen. Hierdurch kann im
relevanten Bereich eine wesentlich größere Auflösung erreicht werden. Ein ähnlicher Anwendungsfall wäre
die Raumtemperaturmessung in °K für techn. – wissenschaftliche Zwecke.
Abb. 5. Asymmetrischer MB (links), symmetrischer MB 12 (Mitte) und unterdrückter Nullpunkt (rechts)
10 Abschließend sei noch einmal darauf hingewiesen, daß die Quantisierung der Eingangsgröße X E eine nicht
umkehrbare Transformation ist. Es ist nicht möglich von der Ausgangsgröße X A auf den ursprünglichen Wert von X E
zurück zuschließen. Die Lage von X E innerhalb des Quantisierungsintervalls geht durch die Digitalisierung
unwiederbringlich verloren. Dies ist nicht auf eine nicht-ideale Funktionsweise von Baugruppen, Umgebungseinflüsse
oder statistische Fehler zurückzuführen, sondern ist eine notwendige Eigenschaft der Quantisierung.
11 Liegt X E exakt an einer Intervallgrenze so fällt der digitalisierte Wert X A , bedingt durch das stets vorhanden
Rauschen, statistisch in das rechte oder linke Quantisierungsintervall IB + oder IB ⎯ . Hierdurch ist das statistische
Schwanken des LSBs bedingt.
12 Ein typischer Anwendungsbereich für einen symmetrischen MB stellen die Nullpunktsindikatoren dar. Dies sind
Meßgeräte die nicht für das Messen absoluter Werte ausgelegtt sind, sondern lediglich für die Detektion eines
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 5/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Die Fehlerangaben von Meßgeräten werden im allgemeinen auf den Meßbereichsendwert (Full Scale Range
/ Reading FSR) bezogen (in %). Für hochauflösende digitale Multimeter wird der Meßfehler getrennt für
den Meßwert MW und den Meßbereich MB spezifiziert, z.B. für die Effektivwertmessung bei
Wechselspannung im Frequenzbereich 10 Hz ... 20kHz: ∆F = 0,06 + 0,04. Der Gesamtfehler ergibt sich
somit aus 0,06% vom MW plus 0,04% vom MB.
Für MG Spezifikationen siehe auch http://www.tm.agilent.com (früher HP)
http://www.fluke.com
Auflösung Analog: Für analoge Meßgeräte definiert sich die Auflösung aus der Bedingung einer
reproduzierbaren oder nachweisbaren Änderung der Ausgangsgröße X A (z.B. des
Zeigerausschlages bei klassischen Geräten ) für eine gegebene Skalierung. Das
bedeutet im Gegenzug, daß all jene Änderungen der Eingangsgröße X E nicht mehr
aufgelöst werden können, die keine detektierbare Änderung der Ausgangsgröße X A
bewirken.
Auflösung Digital: Für digitale Meßgeräte und im speziellen für Digital to Analog Converter DAC ist
die erreichbare Auflösung nur von der Breite des verwendet binären Datenwortes
abhängig, wobei gilt, daß bei Verwendung von n bits der Meßbereich in 2 n
Intervalle 13 unterteilt werden kann und somit einer Auflösung von FSR / 2 n erreicht
wird. Die Auflösung entspricht somit dem LSB.
Die Definition der Auflösung basiert für analoge als auch digitale MG auf dem identen Prinzip einer
detektierbaren Änderung der Ausgangsgröße X A .
Genauigkeit: Im Zusammenhang mit der Genauigkeit von Meßgeräten sind keinerlei quantitative
oder absolut bewertbare Maße definiert. Die Genauigkeits-angaben können lediglich
für vergleichende Zwecke herangezogen werden 14 .
Empfindlichkeit: Die Empfindlichkeit ε ist im allgemeinen über die notwendige Änderung der
Eingangsgröße X E für das Erreichen einer gewissen Änderung der Ausgangsgröße
X A definiert. Dies entspricht dem Differentialquotienten.
ε =
lim
∆X
E →0
∆X
∆X
A
E
dX
=
dX
A
E
Für die unstetige Stufencharakteristik ist die Kennlinie natürlich nicht mehr
differenzierbar. Die Empfindlichkeit ε muß über den Differenzenquotienten
angegeben werden 15 :
stromlosen oder leistungslosen Zustands verwendet werden. Dies zeigen somit um den Nullpunkt die maximale
Empfindlichkeit.
13 In der Meßtechnik wird in den allermeisten Fällen das MSB des ADC für die Darstellung des Vorzeichens
verwendet. Die Auflösung im MB reduziert sich hiermit auf n–1 bit. Die Auflösung des Wandlers bleibt natürlich
unverändert, da sich durch das Vorzeichenbit der Eingangsbereich des Wandlers ja verdoppelt (symmetrisch zu Null).
14 Oft werden die Begriffe Genauigkeit und Auflösung im gleichen Sinne verwendet, dies ist jedoch grundsätzlich nicht
richtig. Vor allem im Bereich hochauflösender ADCs (24-bit) ist die absolute Genauigkeit des Wandlungsergebnisses
wesentlich schlechter als die Auflösung (LSB). Der Einsatz dieser hochauflösenden Wandler für Messungen von
relativen Änderungen ist aber durchaus sinnvoll.
15 Hierbei wird vorausgesetzt, daß die Intervallbreite IB und die Stufenhöhe X a (n+1) – X a (n) für die gesamte
Stufencharakteristik konstant ist.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 6/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
ε =
∆X
∆X
X
( n + 1) − X
IB
( n
A A
A
)
E
=
Größte Bedeutung hat die Empfindlichkeit in Zusammenhang mit Meßbrücken bei Nulldetektoren. Diese
Meßgeräte zeigen einen symmetrischen MB, die Genauigkeit hat keine Bedeutung und die Empfindlichkeit
im Nullpunkt wird maximiert.
Eichung:
Unter dem Begriff Eichung wird die von einer zuständigen Eichbehörde
durchgeführte Prüfung verstanden. Zweck der Prüfung ist die Bestimmung, ob ein
Gerät innerhalb der spezifizierten Eichfehlergrenzen liegt.
Kalibrierung: Als Kalibrierung wird die Vergleichsmessung mit einem Eichmeßgerät (oder
geeichtem MG) verstanden. Sie dient zur Bestimmung der Istcharakteristik C IST aus
der ebenfalls der systematische Meßfehler F bestimmt werden kann.
1.3. Meßfehler
Das theoretischer Ziel jeder Messung ist natürlich die exakte Bestimmung des wahren Wertes X w einer
Meßgröße. Dies ist jedoch praktisch unmöglich, da die zu bestimmende Meßgröße oder der Prozeß durch das
Einbringen des Meßgerätes, durch den Beobachter oder auch durch Umwelteinflüsse gestört wird. Die
hierdurch bewirkte Abweichung oder der Meßfehler F kann durch den absoluten Fehler F ABS oder relativen
Fehler f REL charakterisiert werden. Mit X A als Ausgangsgröße oder angezeigter Wert gilt:
F
ABS
= X − X
oder
A
W
X
− X
A W
f
REL
= =
XW
Eine weitere typische Fehlerquelle ist der Betrieb der Meßgeräte in einem nicht spezifizierten Temperaturoder
Frequenzbereich 16 , somit eine unsachgemäße Anwendung der Geräte.
Die durch Störungen bewirkten Meßabweichungen lassen sich in systematische Abweichungen und
statistische Abweichungen einteilen. Erstere sind ihrer Natur nach bekannt und folgedessen einer Korrektur
zugänglich. So bewirkt z.B. das Einschalten eines realen Strommeßgerätes in einen Stromkreis durch die
Erhöhung des Kreiswiderstandes immer eine Verminderung des zu bestimmenden Stromes. Diese
Beeinflussung des Kreises ist aber im allgemeinen berechenbar und somit auch korrigierbar. Es treten aber
auch systematische Abweichungen auf, die ihrer Natur nach kausal, aber in ihrer exakten Größe nicht
bestimmbar sind (z.B. Alterung der Meßgeräte, Temperaturdrifts). Diese Abweichungen sind nicht exakt
korrigierbar. Die Korrekturwerte können hier nur geschätzt werden.
Die statistischen Abweichungen sind, wie bereits der Namen andeutet, in ihrer Größe nicht erfaßbar, nicht
gerichtet und rein zufälliger Natur. Eine Beschreibung dieser Fehler ist aber mit Mitteln der Statistik
möglich. Im Rahmen einer Meßreihe werden für eine Meßgröße mehrere Einzelmessung durchgeführt. Aus
dieser Meßreihe lassen sich dann für die Meßgröße sogenannte Schätzwerte für den Mittelwert µ und
Standardabweichung σ bestimmen (Siehe Kapitel 1.4 Grundlagen der Statistik).
F
X
ABS
W
16 Ein klassisches Beispiel für die unsachgemäße Verwendung von Meßgeräten ist die Bestimmung von Effektivwerten
von nicht sinusförmigen Wechselsignale oder außerhalb des spezifizierten Frequenzbereiches. Einfache Meßgeräte
leiten den Effektivwert aus dem Gleichrichtwert über eine Berechnung auf der Grundlage des Formfaktors für
sinusförmige Signale ab. Werden diese Geräte für Messungen bei nicht sinusförmigen Größen eingesetzt, so beinhaltet
der angezeigte Wert natürliche einen systematischen Fehler.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 7/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
1. Systematische Abweichungen bei analogen Meßgeräten
Die systematischen Abweichungen sind einerseits in der Beeinflussung des Prozesses durch das Einbringen
eines nicht idealen Meßgerätes begründet. Durch die konstruktiven Mängel des Meßgerätes werden sich
andererseits auch Abweichungen in der X A /X E Kennlinie des Meßgerätes ergeben. Die ideale
Sollcharakteristik C soll wird hierdurch zur realen Istcharakteristik C ist verzerrt. Die wichtigsten Fehlerarten
sollen im folgenden kurz erläutert werden.
Abb. 6. Systematische Fehler eines Meßgerätes, Nullpunktsfehler (A), Verstärkungsfehler (B), integraler
Linearitätsfehler (C), differentieller Linearitätsfehler (D)
Nullpunktsfehler: Der Nullpunktsfehler (A) ergibt sich durch eine Verschiebung der idealen Kennlinie
C soll . Er ist in erster Linie durch Offsetdrifts innerhalb des Meßgerätes bedingt und
kann im allgemeinen einfach kompensiert werden 17 .
Verstärkungsfehler: Der Verstärkungs- oder Steigungsfehler (B) ergibt sich durch eine Drehung der
idealen Kennlinie C soll . Er kann im allgemeinen durch einfaches Ändern der
Verstärkung oder des Meßkoeffizienten MK kompensiert werden 18 .
Integraler Linearitätsfehler: Als integraler Linearitätsfehler (C) wird üblicherweise die
maximale Abweichung der Istcharakteristik C ist von der
Sollcharakteristik C soll bezeichnet.
Wird der Abgleich des Meßgerätes nicht auf Fehlerfreiheit im Nullpunkt und Meßbereichsendwert, sondern
auf minimale Fehlerquadrate durchgeführt, so ergibt sich im allgemeinen ein wesentlich kleinerer integraler
Linearitätsfehler.
Differentieller Linearitätsfehler:
Der differentielle Linearitätsfehler (D) stellt den maximalen
Unterschied der 1. Ableitung von Istcharakteristik C ist und
Sollcharakteristik C soll dar. Er beschreibt somit den Linearitätsfehler
der Meßcharakteristik im jeweiligen Arbeitspunkt.
17 Typische Ursache für das Auftreten von Nullpunktsfehlern bei klassischen Zeigerinstrumenten ist eine falsche
Betriebslage oder fehlender Nullabgleich der Zeigerposition. Bei modernen elektronischen MG kann der Nullpunktsfehler
durch Offsetspannungen der Meßverstärker bedingt sein.
18 Durch Änderung der Federkonstante zufolge der Alterung bei klassischen Zeigerinstrumenten. Durch Alterung von
Bauelementen im Signalfluß der Meßverstärker (z.B. Widerstände des Gegenkopplungsnetzwerkes) oder durch den
Drift von Referenzspannungen der ADCs im MG.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 8/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Neben den oben erläuterten Fehlergrößen können auch noch Hysteresefehler auftreten, z.B. durch Meßgerät
mit magnetischen Wandlern oder bei klassischen Zeigerinstrumenten durch Lagerreibungskräfte.
2. Systematische Abweichungen bei digitalen Meßgeräten
Neben den bei analogen Meßgeräten erläuterten Fehlergrößen können bei digitaler Meßwertverarbeitung
noch zusätzliche, durch die Quantisierung der analogen Information bedingte, Fehler auftreten.
Abb. 7. Systematische Fehler bei der Quantisierung, variierende Intervallbreite (A), missing code (B), nicht monotone,
nicht eindeutige Wandlung (C)
Differentieller Linearitätsfehler: Eine veränderliche Größe der Intervallbreite IB führt auf einen
differentiellen Linearitätsfehler (A). Dieser kann bei unstetigen
Charakteristiken nicht mehr aus dem Unterschied der 1. Ableitungen
von Istcharakteristik C ist und Sollcharakteristik C soll berechnet
werden, sondern muß über den Differenzenquotienten bestimmt
werden.
Missing code: Werden die Verschiebungen der Intervallgrenzen so groß, daß diese über ein
benachbartes Intervall hinausgeschoben werden, so tritt der Digitalcode für das
entsprechende Intervall überhaupt nicht mehr auf (B). In diesem Fall zeigt die
Wandlung einen missing code Fehler. Dieser Fehler ist vor allem bei sehr
hochauflösenden Wandlern verbreitet.
Monotonie: Wird die Eingangsgröße X E monoton vergrößert und steigt die Wertigkeit der
entsprechenden Digitalwerte von X A nicht ebenfalls stetig an, so spricht man von
einem nicht monotonen Wandler (C). Zusätzlich kann in diesem Fall das
Wandlungsergebnis auch mehrdeutig sein, da X E Werte aus verschiedenen
Quantisierungsintervallen auf den gleichen X A Wert abgebildet werden.
3. Fehlerklassen
Die Fehlerklassen wurden im Zusammenhang mit den klassischen elektromagnetischen / mechanischen
Zeigerinstrumenten definiert. Die Fehlerklasse wurde auf den Meßbereich MB spezifiziert und gibt den
maximalen Fehler für den Meßbereichsendwert MBE an. Da der Klassenfehler in % vom MBE angegeben
ist, wird der Meßfehler für Messungen im unteren Bereich des Meßbereiches MB dementsprechend größer.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 9/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Klassische Fehlerklassen: 1,5 / 1,0 / 0,5 / 0,2 / 0,1
Für die heute üblichen elektronischen Meßgeräte wird der Meßfehler meist als Summe eines
Nullpunktsfehlers (ist über den gesamten MB konstant) und eines Steigungsfehlers angegeben. Für
Präzisionsmeßgeräte ist es auch üblich die Einflußgrößen getrennt zu spezifizieren, so z.B. Temperaturdrift,
Alterung, Netzspannungseinfluß, etc..
Heutige digitale Spannungsmeßgeräte zeigen Fehler im Bereich von 0,1% bis 1ppm 19 . Der relative Fehler ist
in einem Bereich von 10% bis 100% des MB annähernd konstant, sodaß nahezu für den gesamten MB
gleiche Fehlerbedingungen gelten.
Für eine genaue Spezifizierung der Meßfehler bei verschiedene Herstellern siehe auch:
http://www.fluke.com/products/sections.aspAGID=6&SID=9
http://www.tm.agilent.com/classes/MasterServletview=ProductandSolution&pgr-ItemID=1000000684&language=eng&locale=US
4. Dynamische Meßfehler
Im allgemeinen kann die Ausgangsgröße X A eines Meßgerätes der Eingangsgrößenänderung dX E nicht
beliebig schnell folgen. Für die vorangegangenen Betrachtungen wurde aber davon ausgegangen, daß die
zeitlichen Änderungen der Meßgröße wesentlich langsamer sind als die inneren Einschwing- oder
Ausgleichsvorgänge. Ist diese Annahme nicht mehr gerechtfertigt, so muß zusätzlich zu dem bereits
vorhandenen statischen Meßfehler, ein dynamischer Meßfehler ∆x(t) berücksichtigt werden.
∆ x( t)
= X ( t)
− kX ( t)
mit k als Meßkoeffizient
A
E
Bei der Messung zeitlich veränderlicher Meßgrößen oder bei zeitlich diskontinuierlichen Messungen wird
die Beziehung zwischen Ausgangs- X A und Eingangsgröße X E durch eine Differentialgleichung n-ter
Ordnung beschrieben. In den meisten Fällen läßt sich das dynamische Verhalten des Meßgerätes aber einer
der folgenden Kategorien zuordnen:
Verzögerungsglied 1. Ordnung – enthält einen Energiespeicher, z.B. Temperaturfühler, Hall
Generatoren oder Bandbegrenzung im allgemeinen. Tiefpässe sind in nahezu jeder
Übertragungskette enthalten, z.B. Quelle wird über ein Kabel an die nächste Eingangsstufe
angekoppelt 20 .
Verzögerungsglied 2. Ordnung – enthält zwei gekoppelte Energiespeicher, z.B. Drehspulmeßgerät,
Operationsverstärker und harmonische Oszillatoren.
Totzeitglieder – Das Ausgangssignal folgt dem Eingangssignal unverändert, aber mit einer
gewissen zeitliche Verzögerung T D der Totzeit, z.B. Verzögerungsleitung oder Signallaufzeiten im
Gerät im allgemeinen.
Xa( t)
= Xe(
t − TD
)
19 Parts per million oder ppm
20 Durch den Ausgangswiderstand der Quelle und Kapazität des Kabels wird ein Tiefpaß erster Ordnung gebildet. Die
Kapazität eines Kabels wird vom Hersteller durch den Kapazitätsbelag spezifiziert, z.B. 100pF/m.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 10/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Abb. 8. Zeitlicher Zusammenhang zwischen Eingangs- X e (σ(t)) und Ausgangsgröße X a , Sprungantwort des
Meßgerätes
Für die oben angeführten Systeme kann die Identifizierung des Übertragungsverhaltens des Meßgerätes mit
einfachsten Mitteln erfolgen. Als Eingangsgröße X e (t) wird hierbei eine Sprungfunktion σ(t) verwendet. Aus
der sogenannten Sprungantwort X a (t) des Systems lassen sich die Koeffizienten der Übertragungsfunktion
bestimmen.
5. Fehlerfortpflanzung
Als Ausgangspunkt für die Überlegungen zur Fehlerfortpflanzung soll die Ausgangsgröße X A dienen. Diese
ist im folgenden nicht nur von einer Eingangsgröße X E abhängig, sondern zeigt eine Abhängigkeit von n
Variablen. Es gilt also
X = y = f x , x , x ,... x ) = f ( x , x , x ,... x )
A
(
E1 E 2 E3
En
1 2 3 n
wobei die einzelnen Eingangsvariablen X i wieder mit den Einzelfehlern ∆x i behaftet sind. Die Abhängigkeit
von fehlerbehafteten Eingangsvariablen X i führt natürlich auch bei der Ausgangsgröße X A zu einem
gewissen Fehler. Die Berechnung dieses Fehlers soll im folgenden versucht werden. Für die wahren Werte
der Eingangsgrößen X iW gilt:
x
iW
= x − ∆x
i
i
Mit x i als Meßgröße und ∆x i als Meßfehler ist die Ausgangsgröße X A folgendermaßen darstellbar:
X = y = f x + ∆x
, x + ∆x
, x + ∆x
,... x + ∆x
)
A
(
1 1 2 2 3 3 n n
Für die Ausgangsgröße X A gilt analog zur Eingangsgröße X E :
y W
=
y − ∆y
∆ y =
y − y
W
=
f ( x1 + ∆x1,
x2
+ ∆x2,
x3
+ ∆x3,...
xn
+ ∆xn)
− f ( x1,
x2,
x3,...
xn)
Unter der Annahme ∆x

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Voraussetzung für die Reihenentwicklung ist, daß die Funktion in x analytisch ist, und somit im betrachteten
Entwicklungspunkt x beliebig oft differenzierbar ist. Hierbei stellt x den Entwicklungs-punkt der Reihe dar
und ∆x die Abweichungen vom Entwicklungspunkt 21 . Wird die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied
abgebrochen 22 und die partiellen Ableitungen nach den n Variablen berücksichtigt (X A hat n Dimensionen),
so ergibt sich für ∆y:
∆ y =
∆y
=
f
n
∑
∂f
( x1..
xn)
x , x2,
x3,...
xn)
+ ∆x
∂x1
∂f
( x1..
xn)
+ ∆x
∂x2
∂f
( x1..
xn)
+ ... + ∆x
∂xn
( 1 1
2
n
3 n
i=
1
∂f
( x .. x
∂xn
1 n)
∆x
n
für ∆x i

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
n
1
∆y
= ∑
i=
1
y = a x1
+ a2x2
+ ... + a n
x n
a i
⋅ ∆x i
Läßt sich die Ausgangsgröße X A als Produkt der Eingangsgrößen X Ei darstellen, so addieren sich die
relativen Fehler ∆x i /x i .
n
1
x1
⋅ a2x2
⋅ ⋅ a n
x n
n
= ∑
y i=
1
y = a ...
∆y
∆xi
x
i
6. Statistische Abweichungen
Kennzeichnend für die statistischen Abweichungen ist, daß für wiederholende Messungen ein und derselben
Meßgröße X E unterschiedlich streuende Meßwerte X A auftreten. Für die Berechnung der statistischen
Kenngrößen wird von einer Zufallsgröße X ausgegangen. Diese Zufallsgröße X kann durch mehrere
Realisierungen x i dargestellt werden, die die aktuellen Einzelmessungen der Meßserie repräsentieren. Die
Verteilung der Realisierungen x i kann durch zwei Parameter, den Erwartungswert µ und die
Standardabweichung σ, vollständig beschrieben werden. Dieser Ansatz geht davon aus, daß für die
Realisierung der Zufallsgröße X beliebig viele Realisierungen x i vorhanden sind, somit die Anzahl N der
Realisierungen von x i gegen ∞ geht (N→∞).
Dies ist bei einer reale Meßserie natürlich nicht gegeben. Es können daher für den Erwartungswert µ und
die Standardabweichung σ nur Schätzwerte angegeben werden, die für eine steigende Anzahl N der
Realisierungen beliebig nahe an die wahren Werte kommen können. Der Schätzwert für µ errechnet sich aus
dem arithmetischen Mittelwert x der Realisierungen x i . Unter Zugrundelegung eines bestimmten
Verteilungstyps 23 der Realisierungen kann ein Intervall um den Mittelwert x definiert werden, welches mit
einer gewissen Wahrscheinlichkeit, dem so genannten Vertrauensniveau 24 (1-α), den Erwartungswert µ
einschließt. Dieses Intervall wird auch als Konfidenzintervall bezeichnet.
1.4. Grundlagen der Statistik
Ausgangspunkt für die statistischen Betrachtungen sei eine Zufallsvariable X, deren Realisierungen x i durch
die Einzelmessungen X Ai dargestellt werden können. Die einzelnen Realisierungen x i werden zufällige
Abweichungen ∆x vom wahren Wert der Meßgröße X W zeigen, sie werden um den wahren Wert X W streuen.
x = X + ∆x
mit ∆x als Streuung der Meßwerte um den wahren Wert X W
i
W
Aufgrund der Unsicherheit oder Streuung der Meßergebnisses und damit der Realisierungen x i ergibt sich
eine Häufigkeitsverteilung der Meßergebnisse. Unter der Annahme, daß genügend (theoretisch unendlich
viele) Einzelmessungen oder Realisierungen x i vorliegen, kann die Wahrscheinlichkeit p(x) für das Auftreten
eines bestimmten Wertes von x i über X aufgetragen werden. Wirken viele voneinander unabhängige, gleich
verteilte (rein zufällige) Einflußgrößen auf die Messung ein, so liegt eine Normalverteilung 25 oder
Gaußverteilung vor.
23 In den meisten praktische Fällen kann immer mit der Gauß’schen Normalverteilung gerechnet werden. Neben der
Normalverteilung sind auch noch Binominal- und Poissonverteilung gebräuchlich.
24 Im allgemeinen wird mit einem Vertrauensniveau von 95% gearbeitet.
25 Die große praktische Relevanz der Gaußverteilung wird durch den zentralen Grenzwertsatz erklärt. Wird eine
physikalische Größe als Resultierende mehrere Einflußgrößen betrachtet und kann diese somit als Linearkombination
mehrerer Zufallsvariablen geschrieben werden so gilt:
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 13/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Abb. 9. Gaußsche Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable x
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x) für die Normalverteilung kann folgendermaßen beschrieben
werden:
2
1 ⎞
⎜
⎛ x−µ
− ⋅ ⎟
2 ⎝ σ ⎠
1
p ( x)
= ⋅e
mit µ als Erwartungswert und σ als Standardabweichung.
σ 2π
Wie aus der Verteilung ersichtlich ist, treten negative und positive Abweichungen gleich häufig oder
wahrscheinlich auf, und die Wahrscheinlichkeit für deren Auftreten geht mit steigenden Abstand vom
Erwartungswert µ rasch gegen Null. Als wichtige Kenngrößen in Zusammenhang mit der
Standardabweichung σ gilt, daß 68% aller Werte innerhalb einer Intervalles von +/- σ um den
Erwartungswert µ liegen (99,7% innerhalb +/- 3σ).
Soll die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Wertes x i innerhalb eines Intervalls x 1 < x i < x 2 berechnet
werden, so erfolgt dies über die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x).
P =
x 2
∫
x1
p(
x)
dx =
1
σ 2π
x 2
∫
x1
⋅e
x ⎞
⎜
⎛ 2
1 −µ
− ⋅ ⎟
2 ⎝ σ ⎠
dx =
1
σ 2π
x 2
∫
0
⋅e
x ⎞
⎜
⎛ 2
1 −µ
− ⋅ ⎟
2 ⎝ σ ⎠
1
dx −
σ 2π
x1
∫
0
⋅e
x ⎞
⎜
⎛ 2
1 −µ
− ⋅ ⎟
2 ⎝ σ ⎠
dx
Da das Integral einer analytischen Lösung nicht zugänglich ist, kann die Lösung nur über die tabellierte
error function erf(x) erfolgen. Diese kann im entsprechenden Tabellenwerk nachgeschlagen werden.
Die Normalverteilung wird durch die beiden Größen Erwartungswertes µ und Standard-abweichung σ
vollständig beschrieben. Der Erwartungswert µ berechnet sich hierbei zum arithmetischen Mittelwert aller
Einzelwerte x i und ist auch mit dem gesuchten wahren Wert der Meßgröße x w identisch.
Z
n
=
N
∑
n=
1
an
⋅ Xn
Der zentrale Grenzwertsatz besagt jetzt, daß für N → ∞ die Zufallsvariable Z n Gausverteilt wird. Voraussetzung hierfür
ist lediglich, daß keiner der Prozesse vorherrschend ist, die statistische Unabhängigkeit der einzelnen Zufallsvariablen
gewährleistet ist und die Endlichkeit ihrer Varianz.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 14/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
x
w
=
µ = lim ∑ xi
für praktische Anwendungen gilt: xˆ
= ∑
N →∞
1
N
N
i=
1
Für den Erwartungswert µ gilt, daß die Summe aller linearen Abweichungen (x i - µ) Null ergibt und die
Summe aller quadratischen Abweichungen (x i - µ) 2 ein Minimum ist.
N
∑
i=
1
2
( x i − µ ) = 0
( xi − µ ) = Min
N
∑
i=1
1
N
N
i=
1
xi
Für praktische Anwendungen stehen natürlich nur endliche viele Meßwerte zur Verfügung es kann der
Erwartungswert µ daher nur geschätzt werden, dieser Schätzwert wird mit xˆ bezeichnet. Als Maß für die
Abweichungen der Einzelwerte x i vom Erwartungswert µ wird die Standard-abweichung σ oder deren
Quadrat σ 2 , die Varianz 26 , verwendet.
1
N
2
σ = lim ∑(
xi
− µ ) für praktische Anwendungen gilt:
N→∞
N i=
1
s =
1 N
∑(
N −1
i=
1
− ˆ)
xi x
2
Stehen nur endlich viele Messungen zur Verfügung, so können für Standardabweichung σ und Varianz σ 2
wieder nur Schätzwerte angegeben werden. Diese werden als Schwankung s oder mittlerer quadratischer
Fehler und Streuung s 2 bezeichnet. Bei wiederholenden Messungen ist darauf zu achten, daß diese unter
möglichst unveränderten Randbedingungen und natürlich mit denselben Mitteln durchgeführt werden.
Ähnlich der Fehlerfortpflanzung bei systematischen Fehlern tritt auch bei statistischen Größen eine
Fehlerfortpflanzung auf. Der resultierende Gesamtfehler wird durch das Gauß’sche
Fehlerfortpflanzungsgesetz beschrieben, auf dessen Ableitung hier verzichtet werden soll. Die resultierende
Standardabweichung σ y wird ähnlich, dem bereits bekannten Fehlerfort-pflanzungsgesetz bei systematischen
Fehlern, aus der geometrischen Summe der Standardabweichungen der Einzelgrößen σ i bestimmt:
N
2
2 ⎛ ∂f
( x1 , x2,...
xn)
⎞ 2
σy
= ∑⎜
⎟ ⋅σi
i=
1 dxi
⎝
⎠
oder
s
2
y
N
⎛ ∂f
( x x
= ∑⎜
i=
1 ⎝ dxi
1 , 2,...
n)
x
2
⎞
⎟
⎠
⋅ s
2
i
Ein einfaches Beispiel soll dies illustrieren. Es soll der mittlere quadratische Fehler s der
Serienschaltung zweier Widerstände bestimmt werden. Aus dem Fertigungsprozeß ist bekannt, daß
die Widerstände Toleranzen von 5% aufweisen.
R 1 = 220E 5% s 1 = 11 R 2 = 470E 5% s 2 = 23,5
R ges = R 1 + R 2
26 Werden die Größen Erwartungswert und Varianz auf stochastische Signale angewandt, so entspricht die Größe des
Erwartungswertes µ x dem Gleichanteil des Signals x(t). Die Standardabweichung σ x stellt den Effektivwert des
Wechselanteils dar. Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung der Signalamplituden läßt sich somit eine
Aussage über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x) des Signals treffen. Der Effektivwert ρ x des Signales läßt
sich somit folgendermaßen berechnen:
2
2
ρ x = µ x +
σ
2
x
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 15/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Die Schwankung s ist hier durch den relativen Fehler des Produktionsprozesses gegeben und
errechnet sich aus dem relativen Fehler bezogen auf den Wert des Widerstandes.
2
2
2
N
2 ⎛ ∂Rges
⎞ 2
∂Rges
2 ∂Rges
2 2 2 2 2
sges = ∑⎜
⎟ ⋅ si
= ⋅ s1
+ ⋅ s2
= 1 ⋅11
+ 1 ⋅ 23,5 = 673,25 s = 25,947
i=
1 ⎝ dxi
⎠ ∂R1
∂R2
Der Gesamtwiderstand R = 690 +/- 25,9 Ω oder 690 Ω +/- 3,76%
Wie zu erwarten war ist der mittlere quadratische Fehler der Serienschaltung geringer als der
systematische Fehler der Serienschaltung (dieser wäre wieder 5%).
***
Aus der laufenden Fertigung eines Widerstandes mit dem Normwert 100E werden 20 Stichproben
genommen. Es sollen die Schätzwerte für den Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ berechnet
werden. Weiters soll die Häufigkeitsverteilung angegeben werden.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 16/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Stichproben dX sqr(dX) Klassifizierung Klasse Häufigkeit
99,48 -0,49 0,237 99,5 99,3 2
100,06 0,09 0,009 100,1 99,4 0
100,27 0,30 0,092 100,3 99,5 1
100,09 0,12 0,015 100,1 99,6 0
100,10 0,13 0,018 100,1 99,7 0
99,87 -0,10 0,009 99,9 99,8 2
99,34 -0,63 0,393 99,3 99,9 1
100,30 0,33 0,111 100,3 100 8
100,40 0,43 0,187 100,4 100,1 6
100,02 0,05 0,003 100,0 100,2 0
99,91 -0,06 0,003 100,0 100,3 2
99,77 -0,20 0,039 99,8 100,4 1
100,01 0,04 0,002 100,0 100,5 1
99,80 -0,17 0,028 99,8 100,6 1
100,13 0,16 0,027 100,1 100,7 0
99,64 -0,33 0,107 100,0
99,82 -0,15 0,022 100,0 25
100,01 0,04 0,002 100,0
100,07 0,10 0,011 100,1
Häufigkeitsverteilung H
99,58 -0,39 0,150 100,0
100,48 0,51 0,263 100,5
10
99,33 -0,64 0,406 99,3
9
100,63 0,66 0,439 100,6
8
100,13 0,16 0,027 100,1
99,94 -0,03 0,001 100,0
7
6
2499,18 2,599
99,97 0,108
5
4
Schätzwert für Erwartungswert x: 99,967
3
Schätzwert für Varianz s2: 0,108
Schätzwert für Standardabweichung s: 0,329
2
Absolute Häufigkeit / Klasse
1
Häufigkeit
0
99,3 99,5 99,7 99,9 100,1 100,3 100,5 100,7
Klasse
***
2. Meßbrücken
Allen Ausschlagsverfahren gemeinsam ist die notwendige Belastung der Meßgröße (oder des zu
beobachtenden Prozesses) durch die Bürde 27 des Meßgerätes. Moderne elektronische Meßgeräte mit
Innenwiderständen R i >> 1MΩ kommen dem Ideal eines unbelasteten Meßobjekts schon sehr nahe, doch
wird stets eine nicht verschwindende Belastung und somit auch Rückwirkung auf den Meßprozeß vorhanden
sein.
Ein vom Ansatzpunkt gänzlich verschiedenes Meßprinzip verfolgen die im nächsten Abschnitt vorgestellten
Meßbrücken. Bei diesem Meßprinzip wird die Beeinflussung des Meßprozesses zufolge der endlichen
27 Als Bürde wird allgemein die Rückwirkung des Meßvorganges auf den zu messenden Prozeß verstanden. Der für die
Erfassung der Meßgröße dienende Fühler beeinflußt in mehr oder weniger starker Weise den Prozeß. Die resultierende
Fehlanzeige ist somit von der gegebenen äußeren Belastung durch das Meßgerät, der Bürde, abhängig.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 17/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Innenimpedanz Z i des Meßgerätes vollständig eliminiert. Dies wird dadurch erreicht, daß der zu messenden
physikalischen Größe eine gleichartige und ihrem Betrag nach gleiche Größe gegenübergestellt wird.
Hieraus leitet sich auch der Name Kompensationsmeßmethode 28 ab. Der „Zustand der Gleichheit“ der
beiden gegenübergestellten Größen wird mit sogenannten Nulldetektoren bestimmt. Wie der Name
Nulldetektor bereits nahelegt, wird die Detektion des „Zustand der Gleichheit“ leistungslos, also ohne
jeglichen Energiefluß vom Meßobjekt oder Prozeß zum Meßgerät realisiert.
Die Kompensationsmeßmethoden sind prinzipiell mit mehr oder weniger großem Aufwand für alle
physikalischen Größen anwendbar. Im weiteren sollen aber ausschließlich Methoden zur Strom- und
Spannungskompensation vorgestellt werden.
Abb. 1. Spannungs- und Stromkompensation mittels Spannungs- und Stromquellen
Entsprechend dem Kompensationsprinzip werden den unbekannten Größen U x und I x , bekannte Größen U h
und I h gegenübergestellt und deren absolute Größe solange variiert, bis der Ausschlag am Galvanometer Null
erreicht. Als Anzeigeinstrumente wurden klassischerweise Zeigerinstrumente verwendet, deren Nullposition
in Skalenmitte ist und deren Empfindlichkeit im Nullpunkt ein Maximum erreicht. Es werden keinerlei
Forderungen an die Linearität und Genauigkeit des Nullinstruments gestellt. Im abgeglichenen Zustand
werden durch den Innenwiderstand R i der Spannungsquelle, bzw. den Innenleitwert G i der Stromquelle
keinerlei Fehler verursacht, da U h stromlos und I h spannungslos ist – die Quellen sind somit leistungslos.
Die Kompensationsschaltungen werden allgemein als Vorstufe zu den, im zweiten Teil diese Kapitels
besprochenen, Brückenschaltungen betrachtet und sollen deshalb kurz vorgestellt werden.
2.1. Gleichgrößenkompensation
Die vollständige Kompensation wird im allgemeinen nicht durch Variation der Hilfsenergiequelle U h oder I h
erreicht, sondern durch Teilung oder Anpassung der konstanten Hilfsenergie an die unbekannte Größe ( z.B.
über Widerstandsteiler). Aus dem Teilungsverhältnis im abgeglichenen Zustand läßt sich auf die unbekannte
Größe rückschließen.
1. Gleichspannungskompensation
Nachfolgende Abbildung zeigt des Kompensationsprinzip für Gleichspannung. Es wird der
Widerstandsabgriff R an R 0 so lange variiert bis U h = U x gilt und das Galvanometer hiermit stromlos wird.
28 Neben der vollständigen Kompensation der Meßgrößen findet im Zusammenhang mit Meßbrücken auch noch die
Teilkompensation Anwendung. Hier wird die unbekannte Größe nur teilweise durch Gegenüberstellung einer
konstanten Größe kompensiert, der verbleibende Differenzbetrag kann aber mit größerer Auflösung bestimmt werden.
Überdies werden Drift und andere Störeinflüsse ebenfalls teilweise kompensiert. Die Teilkompensation ist natürlich
nicht mehr leistungslos.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 18/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Abb. 2. Spannungskompensation mittels Spannungsquelle und verstellbarem Widerstandsteiler
Sind die Größen U h der Spannungsquelle und das Widerstandsteilerverhältnis R/R 0 bekannt, so kann die
unbekannte Größe U x ohne Fehler berechnet werden, das Galvanometer ist ja stromloß und zeigt daher auch
bei endlichem Innenwiderstand R m keinen Spannungsabfall.
R
Ux
= Uk
= Uh
⋅
R +
= U ⋅
R
h
( R0 − R)
R0
Die vollständige Gleichspannungskompensation wird vor allem bei Präzisionmessungen mit
Spannungsnormalen angewandt. Obige Schaltung ist nur für U x < U h geeignet, für U x > U h wird der
Widerstandsteiler auf der Seite der unbekannten Größe U x eingeschalten, die Messung erfolgt dann aber
nicht mehr leistungslos.
Praktisch ist die Gleichspannungskompensation durch den Einsatz von hochohmigen Meßverstärkern (R i >>
1MΩ) weitgehend verdrängt worden.
2. Gleichstromkompensation
Nachfolgende Schaltung führt die Stromkompensation wieder auf eine Spannungskompensation zurück. Der
durch I x an R 1 erzeugte Spannungsabfall wird durch einen gleich großen entgegengesetzten Spannungsabfall
an R kompensiert. Hierdurch wird der Spannungsabfall am Galvanometer für die Masche R m -R-R 1 zu Null.
Der abgeglichen Zustand wird wieder durch Variation des Widerstandsteilerverhältnisses R/R 0 erreicht.
Abb. 3. Stromkompensation mittels Spannungsquelle und verstellbarem Widerstandsteiler
Mit positivem Umlaufsinn in der Masche R m -R-R 1 gilt:
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 19/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
−Ug − ( Ih
− Ix)
R + IxR1 = 0 oder mit U g = 0
I
I
h = x ⋅
R + R
R
1
Gl.1
Für die äußere Masche mit der Hilfsspannungsquelle gilt:
( I h − Ix)
R + Ih(
R0 − R)
−Uh
= 0
oder Ih R0
= Uh
+ IxR
Gl.2
Nach Einsetzten von Gl.1 in Gl.2 kann I x direkt bestimmt werden:
R
Ix
= Uh
⋅
2
R0 ⋅( R1
+ R)
− R
Als Nulldetektoren werden in der Praxis hochempfindliche Galvanometer (bis 100nV) oder
Spannungsverstärker mit sehr geringer Offsetspannung verwendet.
2.2. Widerstandsmeßbrücken
Beim Betrieb von Meßbrücken unterscheidet man je nach Systematik der Anwendung zwischen
Ausschlagsverfahren, bei denen die Brückendiagonalspannung mit hochohmigen Meßverstärkern gemessen
wird, und Abgleich- oder Nullverfahren. Bei letzteren wird die Brückendiagonal-spannung durch Variation
eines Brückenzweiges zu Null abgeglichen, und diese entsprechen somit den obigen
Kompensationsverfahren. Durch Parallelschaltung zweier Widerstandsteiler an einer gemeinsamen
Speisespannung U o entsteht die einfachste aller Brückenschaltung.
Diese erstmals von Wheatstone 1834 zur Messung von Widerstandswerten eingesetzte Brückenschaltung
wird dem entsprechend auch Wheatstone Brücke genannt. Sie wird zur Bestimmung von ohmschen
Widerständen eingesetzt. Für das Folgende sei R x = R 2 der zu bestimmende Widerstand.
Abb. 4. Widerstandsmeßbrücke nach Wheatsstone
Die Diagonalspannung der Brücke berechnet sich aus der Differenz der Teilspannungen U R2 und U R4 der
beiden Spannungsteiler R 1 -R 2 und R 3 -R 4 .
und damit zu
R
R + R
2
UR 2 = U 0 ⋅
und
1 2
UR 4
= U
0
R4
⋅
R3
+ R
4
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 20/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Ud
⎛ R2
= U 0 ⋅⎜
⎝ R1
+ R2
R4
⎞
− ⎟ = U ⋅
R3
+ R4
⎠
R2R3
− R1R4
R + R2)
⋅(
R3
+ R )
0
( 1
4
Daraus ergibt sich für die Abgleichbedingung U d = 0 der Brücke zu
0 R R R R
Ud = = 2 3 − 1 4 und somit
Rx
= R
2
R
= R1⋅
R
4
3
Eine wichtige Größe für die Abgleichbarkeit von Meßbrücken ist die Empfindlichkeit ε im Abgleichspunkt.
Als Empfindlichkeit ε soll die Änderung der Brückendiagonalspannung U d bei Veränderung des
unbekannten Widerstandes R x verstanden werden.
∆Ud
∆Rx
ε = mit δ Rx
= als relative Widerstandsänderung.
δRx
Rx
Die Empfindlichkeit ε erreicht ein Maximum 29 , wenn die Brücke so dimensioniert wird, daß im Abgleich gilt
R x = R 2 = R 1 . Die Spannung U o sollte sich also auf den oberen und unteren Brückenwiderstand gleich
aufteilen.
Als einfaches Anwendungsbeispiel für den Einsatz einer Widerstandsmeßbrücke bietet sich die
Temperaturmessung über PT 1000 Temperaturfühler an.
Abb. 5. Widerstandsmeßbrücke mit PT 1000 und Differenzverstärker für die Temperaturmessung
Als Betriebsspannung der Brücke sollen 5V dc angenommen werden. Aus dem Ansatz für die
Brückendiagonalspannung ergibt sich für den Fall R 1 = R 2 = R 3 = 1kΩ.
⎛ 1 RPT
1000 ⎞
U d = U 0 ⋅⎜
− ⎟ mit R PT1000 in kΩ
⎝ 2 1+
RPT
1000 ⎠
29 Neben der Spannungsempfindlichkeit ε ist für die Genauigkeit des Abgleichs natürlich noch die Empfindlichkeit des
Nullinstruments von Bedeutung.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 21/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Temp Res PT 1000 U PT1000 Ud Ua
-40 842,7 2,287 0,21 -2,13
-30 882,2 2,344 0,16 -1,56
-20 921,6 2,398 0,10 -1,02
-10 960,9 2,450 0,05 -0,50
0 1000,0 2,500 0,00 0,00
10 1039,0 2,548 -0,05 0,48
20 1077,9 2,594 -0,09 0,94
30 1116,7 2,638 -0,14 1,38
40 1155,4 2,680 -0,18 1,80
50 1194,0 2,721 -0,22 2,21
60 1232,4 2,760 -0,26 2,60
70 1270,7 2,798 -0,30 2,98
80 1308,9 2,834 -0,33 3,34
90 1347,0 2,870 -0,37 3,70
100 1385,0 2,904 -0,40 4,04
110 1422,9 2,936 -0,44 4,36
120 1460,6 2,968 -0,47 4,68
130 1498,2 2,999 -0,50 4,99
140 1535,8 3,028 -0,53 5,28
Ausgang [V]
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00
-2,00
Ausgangsspannung Ua
Ua
-3,00
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140
Temperatur [C]
Für den temperaturabhängigen Widerstandswert des PT 1000 Elementes gilt:
−3
−6
2
R = R0 ⋅(1
+ 3,908⋅10
⋅ϑ
− 0,5802⋅10
⋅ϑ
−....)
mit R o = 1kΩ und ϑ in °C
ϑ
Wie aus der U a /T Kennlinie ersichtlich ist, würden bei der Temperaturmessung über die PT 1000 Meßbrücke
starke Nicht-Linearitäten auftreten. Diese Nicht-Linearitäten sind jedoch nicht durch das PT 1000 Element
bedingt sondern resultieren aus der Änderung des Brückenquerstromes im Zweig des PT 1000 Elementes.
Ändert sich die Temperatur ändert sich auch der Widerstand des PT 1000 Elementes und somit auch der
Längswiderstand des linken Brückenzweiges. Mit der Änderung des Längswiderstandes ändert sich auch der
Querstrom und bedingt hierdurch die Nicht- Linearität. Diese müssen für eine praktische Realisierung
kompensiert werden.
Eine einfache Möglichkeit die Nicht- Linearitäten zu umgehen besteht darin die Brückenzweige mit
Konstantstrom zu betreiben. Hierfür werden die beiden oberen Brückenelemente durch
Konstantstromquellen ersetzt.
Durch den Einbau des PT 1000 in eine Brückenanordnung wird die Meßanordnung unabhängig von
Versorgungsspannungsschwankungen, da diese beide Brückenzweige betrifft und sich die Drifts gegenseitig
kompensieren.
Weiters sollte die Eigenerwärmung des Pt 1000 Elements zufolge des Querstromes der Meßbrücke
berücksichtigt werden (P v ~ 6mW).
Die PT 1000 Brücke wird durch den nachfolgenden Differenzverstärker belastet. Für Präzision- messungen
empfiehlt es sich den Differenzverstärker durch einen Instrumentation-Verstärker zu ersetzten (siehe Kapitel
Operationsverstärker).
***
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 22/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Neben Platinelementen (PT 100 , PT 1000 ) können auch noch Heißleiter NTC 30 oder Kaltleiter PTC zur
Temperaturmessung eingesetzt werden. Diese zeigen wesentlich stärkere Nicht-Linearitäten, sind aber
preisgünstiger.
Ein anderer wichtiger Anwendungsfall von Gleichstrommeßbrücken ist die Messung von Kraft oder
Beschleunigung über Dehnungsmesstreifen. Hier werden in die vier Brückenzweige Dehnungsmess-streifen
geschalten und am Meßobjekt physikalisch im Quadrat angeordnet. Hierdurch kann der Temperatureinfluß
weitestgehend kompensiert werden.
Für die Messung sehr kleiner Widerstandswerte (R x

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Die Abgleichbedingung kann von der schon bekannten Abgleichbedingung für Gleichstrommeß-brücken
einfach hergeleitet werden, die Beziehung muß nur auf Impedanzen umgeschrieben werden. Für
Gleichstrommeßbrücken gilt:
R
2 R3
= R1⋅
R4
⋅ und somit: Z 2 ⋅ Z 3 = Z1⋅
Z 4
Die Abgleichbedingung muß sowohl für den Betrag als auch die Phasenlage erfüllt sein. Das bedeutet aber
auch, daß sie für Real- und Imaginärteil erfüllt sein muß. Wird Z als R + jX angesetzt, so ergeben sich
folgende Bedingungen für den Abgleich der Brücke:
aus dem Realteil: R2 ⋅ R3
− X 2 ⋅ X 3 = R1⋅
R4
− X 1⋅
X 4
aus dem Imaginärteil: R3⋅
X 2 + R2
⋅ X 3 = R4
⋅ X 1 + R1⋅
X 4
Da für den Brückenabgleich zwei Bedingungen zu erfüllen sind, müssen auch zwei unabhängig voneinander
verstellbare Abgleichelemente vorhanden sein. Diese werden meistens als variable Kapazitäten oder
Widerstände ausgeführt. Als Beispiele sollen im weiteren je eine Meßbrücke für die Kapazitäts- und
Induktivitätsmessung vorgestellt werden.
1. Wien Brücke
Die Meßbrücke nach Wien wird für die Kapazitätsbestimmung eingesetzt. Über die Wien Brücke kann
nicht nur die Kapazität, sondern auch der Serien- oder Parallelersatzwiderstand der unbekannten Kapazität
bestimmt werden. Die Brücke kann in zwei Modifikationen aufgebaut werden, je nachdem, ob der Serienoder
Parallelersatzwiderstand der Kapazität ermittelt werden soll. Da im allgemeinen für Kapazitäten das
Parallelersatzschaltbild Verwendung findet, soll diese Modifikation im folgenden besprochen werden.
Abb. 7. Wien Brücke zur Messung von Kapazität und Parallelersatzwiderstand
Aus der Abgleichbedingung für die Brückenimpedanzen Z 1 ... Z 4 ergibt sich:
R2
⋅ R3
Rx
⋅ R
=
1+
jω C 2R2
1+
jω
4
CxRx
Nach dem getrennten Gleichsetzten von Real- und Imaginärteil ergibt sich für den Parallelwiderstand R p und
die verlustlose Kapazität C x :
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 24/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Rxp
R3
= R2
⋅
R4
Cx
R4
= C 2 ⋅
R3
Der Verlustwinkel des Kondensators errechnet sich hiermit zu:
tan δ =
1
ωRxpCx
Über die Bestimmung von Kapazitäten hinausgehend wird die Wienbrücke in Zusammenhang mit
kapazitiven Sensoren eingesetzt. Hier wird die Sensorkapazität jedoch nicht kompensiert sondert die Brücke
wird als Ausschlagsbrücke betrieben (z.B. Messung der Luftfeuchte 33 , Gassensoren).
2. Maxwell-Wien Brücke
Die klassische Meßbrücke zur Bestimmung von Induktivitäten nach Maxwell verwendet ein
Induktivitätsnormal als Vergleichselement. Da dieses im allgemeinen schwer herzustellen ist wird oft die
Brücke nach Maxwell-Wien eingesetzt. Diese Brückenanordnung arbeitet mit einer variablen Kapazität
analog zur Wien Brücke.
Abb. 8. Maxwell-Wien Brücke zur Messung von Induktivität und Serienersatzwiderstand
Aus der Abgleichbedingung für die Brückenimpedanzen Z 1 ... Z 4 ergibt sich:
R4
R2
⋅ R3
= ( Rxs + jωLxs)
⋅
1+
jωC
4R4
Nach dem getrennten Gleichsetzten von Real- und Imaginärteil ergibt sich für den Serienersatz-widerstand
R s und die verlustlose Induktivität L x :
Rxs
R
R
3
= R2
⋅
Lx = C 4 ⋅ R2
⋅ R3
4
Der Verlustwinkel der Induktivität errechnet sich hiermit zu:
tan δ =
Rxs
ωL
x
33 Die Luftfeuchte wird über die Veränderung der Dielektrizitätskonstante und damit der Kapazität, bei Eintritt von
Wasser in das Dielektrikum eines Plattenkondensators bestimmt. Die Sensorkapazität ist mit einer porösen Elektrode
aufgebaut, sodaß die in der Umgebungsluft enthaltenen Luftfeuchte ins Dielektrikum eindringen kann. Die
Dielektrizitätskonstante von Wasser ist mit ε r = 81, viel größer als die der meisten anderen Stoffe.
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 25/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
Die immer steigende Leistungsfähigkeit elektronischer Meßgeräte (R i >> 1MΩ) und die Fortschritte der
digitalen Meßtechnik haben Brückenschaltungen mit vollständiger Kompensation immer mehr in den
Hintergrund gedrängt. Meßverfahren mit Teilkompensation (Ausschlagsbrücken) haben hingegen an
Bedeutung gewonnen, da hier Störeinflüsse und Drifterscheinungen vom Prinzip her schon teilweise
kompensiert werden können (z.B. Temperaturmessung in Wheatstone Brücke mit PT 100 Element oder Kraft
und Beschleunigungsmessung mit Dehnungsmeßstreifen).
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 26/27

Kenngrößen, Statistik und Meßbrücken Kapitel 5/8
http://www.pegasus-sys.net/FheServices.htm
3. Literatur:
/1/ H. Weinrichter, F. Hlawatsch, Stochastische Grundlagen nachrichtentechnischer Signale, Springer
Verlag, Wien 1991
/2/ I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, Verlag Nauka Moskau, Teubner
Leipzig 1985
/3/ H. Hofmann, Das elektromagnetische Feld – Theorie und grundlegende Anwendungen, Verlag
Springer, Wien New York1982
/4/ G. Heyne, Elektronische Meßtechnik – Eine Einführung für angehende Wissenschaftler, Verlag R.
Oldenbourg, München Wien 1999
/5/ E. Herter, W. Röcker, Nachrichtentechnik, Übertragung und Verarbeitung, Verlag C. Hanser,
München Wien 1982
/6/ M. Stöckl, K. H. Winterling, Elektrische Meßtechnik, B. G. Teubner, Stuttgart Wien 1978
/7/ R. P. Patzelt, H. Schweinzer, Elektrische Meßtechnik, Zweite Auflage, Verlag Springer, Wien New
York1996
/8/ R. Lerch, Elektrische Meßtechnik - analog und digitale Verfahren, Verlag Springer, Wien New
York1996
/9/ R. Parthier, Messtechnik – Grundlagen für technische Fachrichtungen, Vieweg Verlag, Wiesbaden
2001, ISBN 3-528-03941-8
C.Brunner - Elektrische Messtechnik Seite 27/27