D01 Linsen

D01 Linsen und Linsensysteme D01
1. SIE LERNEN,
- wie man die Brennweiten von Linsen und Linsensystemen bestimmt
- wie ein Teleobjektiv funktioniert.
2. GRUNDLAGEN
2.1. Bei dünnen Linsen
Abb. 1
kann man die Brechung an den beiden Linsenoberflächen
durch eine einzige an der Linsenmitte ersetzen. Das Bild
eines Gegenstandes lässt sich stets mit den 3 ausgezeichneten
Strahlen:
Parallel-, Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl
konstruieren. Es gilt:
Abbildungsgleichung:
Abbildungsmaßstab:
1 1 1
= +
f g b
(1)
B b
γ = =
G g
(2)
2.2. Aufgaben (schriftlich, zuhause vor Versuchsdurchführung)
Literatur: Mittelstufenbücher; Walcher, Praktikum der Physik, Teubner
1. Beweisen Sie die Abbildungsgleichung mit den Strahlensätzen.
2. Bei welcher Gegenstandsweite einer Konvexlinse gilt: G < B, G = B, G > B?
Wie groß ist jeweils die Bildweite b? (Tabelle)
3. Konstruieren Sie maßstabsgetreu das Bild eines Gegenstandes mit: G = 1 cm
für eine Konvexlinse f = 3 cm und g1 = 4 cm und g2 = 2 cm
für eine Konkavlinse f = - 3 cm und g1 = 2 cm. Berechnen Sie Bildgrößen und Bildweiten.
4. Kann man virtuelle Bilder sehen? Kann man sie auch abbilden? Ja (Skizze anfertigen).
2.3. Bei dicken Linsen oder Linsensystemen
Abb. 2
reicht eine einzige Brechungsebene für die Konstruktion
nicht aus. Man kann aber in diesen Fällen die Brechung an
allen Linsenoberflächen durch die Brechung an lediglich 2
Brechungsebenen, den Hauptebenen (Hg und Hb in Abb.
2), ersetzen. Dies sind zwei Ebenen, die sich kongruent
ineinander abbilden (und die es bei jedem System gibt).
Der tatsächliche Verlauf der Strahlen durch das Linsensystem
wird ersetzt durch parallele Strahlen zwischen den
Hauptebenen und die Bildkonstruktion gelingt mit den
drei ausgezeichneten Strahlen wie bei dünnen Linsen.
Bezieht man g, b und f auf die zugehörige Hauptebene, so
gelten auch hier wieder Gln. (1,2).
30.05.2007 1 Physikalisches Anfängerpraktikum
Universität Hannover

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2.4. Die Konstruktion der Hauptebenen
So einfach wie die Bildkonstruktion mit diesen Hauptebenen ist, so aufwendig ist es, ihre Lage und die zugehörigen
Brennweiten zu bestimmen.
Abb. 3
Das Verfahren dazu lässt sich anhand Abb. 3 verfolgen, bei der ein System aus zwei Konvexlinsen im Abstand
s skizziert ist. Der Gegenstand G wird durch die Linse L1 in das Zwischenbild ZB abgebildet und dieses
mit L2 in das Bild B.
Verfolgen Sie den von links einfallenden Parallelstrahl 1 durch beide Linsen. Sie erhalten die Strahlen 1´ und
1´´.
• Der Schnittpunkt der Verlängerung des einfallenden Parallelstrahl 1 ( = 1´´´) mit 1´´ bestimmt die Lage
der bildseitigen Hauptebene Hb .
• Der Schnittpunkt von 1´´ mit der optischen Achse ist der bildseitige Brennpunkt F des Systems.
Hauptebene Hg und Brennpunkt F auf der Gegenstandsseite erhalten Sie analog, indem Sie den von rechts
einfallenden Parallelstrahl 2 verfolgen.
Aufgabe: Verschieben Sie den Gegenstand G in Abb. 3 in die Hauptebene Hg . Konstruieren Sie bitte sein
Bild (– oben in Abb. 3 mit einzeichnen). Bilden sich die beiden Hauptebenen kongruent ineinander ab?
Die Brennweiten des Systems sind in Abb. 3 negativ. Im Gegensatz zu einer Konkavlinse erhält man hier
aber ein reelles Bild.
2

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2.5. Die Berechnungen der Brennweite
eines solchen Systems gelingen am einfachsten, wenn man den Gegenstand in eine der Hauptebenen legt
(Abb. 4) und ihn abbildet:
Abb. 4 Lit.: Bergmann-Schäfer
Für Strahlen, die von P ausgehen, gilt:
mit Δ = s - f1 - f2
und für die, die von P1 ausgehen:
Aus (3) folgt
und damit aus (4):
f
f1
Δ s
= =
z s h
− f
z
3
s − f
=
s
z 2
z
2
2
f1s
s s
= und h = =
(5)
Δ
Δ s − f1
− f 2
ff 1 1 1 s
+
1 2 = bzw. = − −
Δ
f f1 f2 f1f2 Wie man der Abb. 3 und 4 entnimmt, hat man hier eine negative Brennweite –f bestimmt. Um der üblichen
Konvention zu folgen, muss man daher in der letzten Gl. f durch –f ersetzen und erhält damit als Ergebnis:
1 1 1 s
= + − (6)
f f f f f
1 2 1 2
2.6. Aufgaben:
1. Zeigen Sie, wie die Gl. (6) aus den Gln. (3, 4 und 5) folgt.
2. Berechnen Sie für das Linsensystem L1: f1 = 15 cm; L2: f2 = -10 cm; Abstand s = 10 cm
mit den Gln. (5 und 6) den Abstand der Hauptebenen h und die Brennweite f für dieses Linsensystem.
Wie weit liegt die Hauptebenen Hg und Hb vor der Linse L1?
3. Zeichnen Sie auch den Strahlengang für dieses System wie in Abb. 3 im Maßstab 1:5 (A4-quer). Diese
Konstruktion hilft Ihnen, das Teleobjektiv in 4. zu verstehen (Abb. 8).
(3)
(4)

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3. MESSUNG DER BRENNWEITE EINER KONVEXLINSE
Zu Anfang dieser Versuche wird es Sie irritieren, dass Sie nie genau wissen, wo das Bild scharf eingestellt
ist. Und selbst wenn Sie sich entschieden haben, können Sie g und b nicht genau messen. Das ist unbefriedigend,
aber typisch für die Physik: Keine Messung ist exakt. Hier hilft Ihnen nur die Fehlerrechnung weiter.
Vielleicht werden Sie erstaunt sein, wie genau man trotz aller Fehler und Näherungen hier im Versuch die
physikalischen Gesetze bestätigen kann.
3.1. Versuch: Der schnellste Weg, die Brennweite einer Konvexlinse zu bestimmen:
Man bildet einen sehr weit entfernten Gegenstand ab (Sonne) und misst dann direkt die Brennweite f = b.
Ermitteln Sie so zunächst die ungefähren Brennweiten der beiden Konvexlinsen am Arbeitsplatz.
Abb. 5
Abb. 6 Zum Besselverfahren: Gemessen wird nur
der feste Abstand e und die Verschiebung d der
Linse an einer beliebigen Kante des optischen
Reiters. Die tatsächliche Lage der Linse muss man
nicht bestimmen.
3.2. Versuch:
Genauer gelingt die Bestimmung der Brennweite in einer
Messreihe. Bilden Sie dazu einen Gegenstand (im Versuch
ist das ein 5 mm-Raster) mit einer der Konvexlinsen
auf den Schirm für 6 verschiedene Abstände g scharf ab
(Abb. 5). Messen Sie jeweils g und b.
Auswertung:
1. Berechnung der Brennweite f mit der Abbildungsgleichung
(1) als Mittelwert mit Fehlerangabe.
2. Grafische Darstellung, aus der man die Brennweite f
direkt ablesen kann (3 Varianten sind möglich).
3.3. Versuch:
Ein systematischer Fehler ist dadurch bedingt, dass man
die Linsenmitte auf der optischen Schiene nie genau feststellen
kann. Man kann diesen Fehler mit dem Besselverfahren
(Abb. 6) vermeiden: Gegenstand und Schirm bleiben
bei diesem Verfahren fest stehen (Abstand e) und man
erzeugt zunächst in
4
Position I ein vergrößertes ( BI ) und dann durch
Verschieben der Linse um d in der
Position II ein verkleinertes ( BII ) Bild.
Da nach der Abbildungsgleichung gI = bII und bI = gII gilt,
erhält man hier die Brennweite aus:
2 2
b+ g= e g= ( e−d)/2 bg e − d
} } f = =
b− g= d b= ( e+ d)/2 b+ g 4e
und man muss nur den festen Abstand e und die Verschiebung
d der Linse messen.
Benutzen Sie bitte dieselbe Konvexlinse wie in 3.2.
Der Versuch gelingt nur für einen festen Abstand e ≥ 4f.
Erzeugen Sie die beiden scharfen Bilder und messen Sie
die Verschiebung d, jeder von Ihnen dreimal.
Messen Sie den festen Abstand e, jeder einmal.
Auswertung:
Brennweite f nach Gl. 7 mit den Mittelwerten von d und e
mit Fehlerangabe.
(7)

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4. VERSUCHE MIT EINEM TELEOBJEKTIV
Ein Fotoapparat mit einem normalen Objektiv (f = 50 mm) erzeugt von einem weit entfernten Baum
(g = 1 km, G =10 m) nur ein sehr kleines Bild (Wie groß ist B50 = ?). Man könnte ein größeres Bild erhalten,
wenn man als Objektiv eine Linse größerer Brennweite (f = 200 mm) benutzt (BB200 = ?). Dies hätte aber einen
unhandlich langen Vorsatz zur Folge. Man umgeht das Problem mit einem Linsensystem (Teleobjektiv),
das folgende Eigenschaften besitzt:
• große Brennweite
• bildseitiger Brennpunkt kurz hinter der letzten Linse.
Als Modell eines solchen Teleobjektivs benutzen Sie im Versuch ein Linsensystem wie in Abb. 8 mit:
L1: f1 = 15 cm; L2: f2 = -10 cm; s > 10 cm
Abb. 8 Mit s = 10 cm hat dieses Linsensystem eine Brennweite von 30 cm (doppelt so groß wie f 1) und die beiden Hauptebenen
liegen weit vor der ersten Linse. Wie weit liegt der Brennpunkt des Systems hinter der Linse L 2?
Die Konstruktion der Hauptebenen gelingt Ihnen mit der Anleitung in 2.4.
4.1. Messung des Abstandes h der Hauptebenen
Sie wissen: Beide Hauptebenen bilden sich kongruent aufeinander ab. Nur wenn der Gegenstand genau in
der Hauptebene Hg liegt, sind Gegenstand und Bild gleich groß (Abb. 4).
Das ist die Idee für diese Messung: Für verschiedene Scharf-Stellungen des Bildes bestimmen Sie jeweils
den Abbildungsmaßstab γ = B/G durch Auszählen der Bildgröße B. Dort wo γ = 1 ist, muss der Gegenstand
in der Hauptebene Hg und das Bild in der Hauptebene Hb liegen.
Abb. 9 Da es in der Auswertung nur auf die Differenz a g - a b ankommt, können Sie zur Messung von a g von einer beliebigen Kante
des Teleobjektivs ausgehen. Auf die gleiche Kante müssen Sie dann auch die Messung von a beziehen.
Versuch:
Bei feststehendem Teleobjektiv mit den beiden Linsen aus Abb. 8 bestimmen Sie für verschiedene Stellungen
des Gegenstandes (Abb. 9):
• den Abstand ag Teleobjektiv zum Gegenstand (5 mm Raster)
• den Abstand aSchirm Teleobjektiv zum Schirm
• den Abbildungsmaßstab γ = B/G durch Auszählen der Bildgröße B auf dem Schirm (mm Papier)
5
b

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Das virtuelle Bild können Sie nicht direkt beobachten. Um dessen Lage, den Abstand ab , zu bestimmen, benutzen
Sie hier eine Hilfslinse der Brennweite fHL = 25 cm (Abb. 9). Diese Hilfslinse wird mit einer Stange
starr an den Schirm im Abstand 2fHL gekoppelt, beide lassen sich dann nur noch gemeinsam verschieben.
Damit können Sie das virtuelle Bild als ein größengleiches und reelles Bild auf dem Schirm abbilden und
aufsuchen. Der Abstand ab ergibt sich daher aus: ab = 4 fHL - aSchirm = 100 cm - aSchirm .
Durchführung: Der Versuch lässt sich leichter durchführen, wenn der Abstand s der beiden Linsen etwas
mehr als 10 cm beträgt. Beginnen Sie die 1. Messung mit ag ≈ 45 cm. Notieren Sie ag, aSchirm und γ . Nähern
Sie für die nächsten Messungen die Lampe (Gegenstand) etwas dem weiterhin feststehende Teleobjektiv und
suchen Sie durch Verschieben von Hilfslinse mit Schirm das virtuelle Bild auf.
Führen Sie je 3 Messungen für γ < 1 und γ > 1 durch.
Auswertung: Tragen Sie den gemessenen Abbildungsmaßstab γ jeweils über den Abständen ag und ab wie in
Abb. 10 auf. Verbinden Sie die Messpunkte durch Kurven. Die Schnittpunkte dieser Kurven mit der Geraden
γ= 1 liefern Ihnen die Lagen der Hauptebenen relativ zum Teleobjektiv. Vergleichen Sie den daraus ermittelten
Hauptebenenabstand h mit dem Wert, der sich aus Gl. 5 ergibt.
Abb. 10 Der gesuchte Hauptebenenabstand h ergibt sich für γ = 1 aus h = a - a .
g b
4.2. Messung der Brennweite des Systems
Die Brennweite des Teleobjektivs mit dem Besselverfahren ergibt sich wegen b + g = e - h
(s. Abb. 2) hier aus:
2 2
( e−h) −d
f =
4( e−h) Aufgabe: Leiten Sie diese Beziehung für die Brennweite her.
Versuch: Entfernen Sie bitte die Hilfslinse aus dem vorigen Versuch und stellen Sie den Gegenstand und
den Schirm jeweils am Ende der optischen Bank auf. Messen Sie mit dem Besselverfahren bei gleichem Abstand
e wieder 6-mal den Abstand d.
Auswertung: Bestimmen Sie die Brennweite nach Gl. 8 als Mittelwert mit Fehlerangabe und vergleichen Sie
sie mit Ihrer Berechnung nach Gl. 6.
6
(8)