Grundlagen und Graphen
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<strong>Graphen</strong>theoretische <strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong><br />
Aufgabe 1<br />
Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, A) mit Knoten V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} <strong>und</strong><br />
Kanten A = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2), (4, 3), (4, 5),(4, 6), (5, 3), (5,7), (6,8), (7, 4),(7, 6),(7, 8)}.<br />
a) Zeichnen Sie G <strong>und</strong> bestimmen Sie die Vorgängermengen V i <strong>und</strong> Nachfolgermengen<br />
N i für i = 1, . . ., 8. Ist G ein Baum, ist G ein Digraph (= ein endlicher, gerichteter<br />
Graph ohne parallele Kanten <strong>und</strong> Schlingen) Enthält G Zyklen Wenn ja, nennen Sie<br />
ein Beispiel.<br />
b) Nehmen Sie nun an, dass die Kanten in G ungerichtet sind <strong>und</strong> mit den folgenden<br />
Kosten bewertet werden:<br />
c 12 = 2, c 13 = 3, c 24 = 3, c 32 = 2, c 43 = 1, c 45 = 3, c 46 = 6,<br />
c 53 = 6, c 57 = 7, c 68 = 2, c 74 = 4, c 76 = 5, c 78 = 3.<br />
Bestimmen Sie den minimal spannenden Baum mit Hilfe des Verfahrens von Kruskal.<br />
Aufgabe 2<br />
2<br />
6<br />
8<br />
11<br />
10<br />
8<br />
4<br />
5<br />
1<br />
5<br />
1<br />
10<br />
3<br />
6<br />
7<br />
10<br />
9<br />
7<br />
1<br />
9<br />
7<br />
1<br />
5<br />
7<br />
4 5 6<br />
a) Bestimmen Sie den kürzesten Weg von 1 nach 10 mit Hilfe des Verfahrens von Bellman.<br />
b) Bestimmen Sie den kürzesten Weg von 1 nach 10 mit Hilfe des Verfahrens von Dijkstra.<br />
Aufgabe 3<br />
Ein Laden für Tauchzubehör verkauft Schwimmflossen, wobei deren Bedarf für die nächsten<br />
4 Wochen mit b 1 = 40, b 2 = 30, b 3 = 80, b 4 = 50 geschätzt wird. Für die Lagerung<br />
nicht verkaufter Schwimmflossen entstehen Lagerhaltungskosten c t (GE pro Stück <strong>und</strong><br />
1
Woche) wobei davon ausgegangen wird, dass die gesamte Nachfrage einer Woche am Anfang<br />
der Woche anfällt. Bei einer Bestellung in Woche t entstehen Fixkosten von f t <strong>und</strong><br />
die Ware wird am Anfang der Woche geliefert. Wie viele Paare von Schwimmflossen sollen<br />
zu Beginn jeder Woche bestellt werden, wenn der Preis der Flossen konstant bleibt <strong>und</strong><br />
die Lagerhaltungs- <strong>und</strong> Fixkosten wie folgt lauten:<br />
Woche t 1 2 3 4<br />
f t 50 20 60 30<br />
c t 0.5 0.3 0.4 0.2<br />
a) Bilden Sie für das angegebene Problem einen gerichteten <strong>Graphen</strong>, indem Sie für<br />
jede Periode einen Knoten <strong>und</strong> für jede mögliche Bestellung einen Pfeil einführen. Geben<br />
Sie sinnvolle Pfeilbewertungen an.<br />
b) Lösen sie das Problem, indem Sie mit Hilfe des Verfahrens von Dijkstra einen<br />
kürzesten Weg in Ihrem <strong>Graphen</strong> suchen.<br />
Aufgabe 4<br />
Ein bewerteter gerichteter Graph mit den Knoten V = {1, 2, 3, 4, 5} sei durch die folgende<br />
Entfernungsmatrix gegeben (eine Entfernung ∞ zwischen zwei Knoten zeigt an, dass<br />
dieser Pfeil nicht existiert).<br />
c ij 1 2 3 4 5<br />
1 0 ∞ 6 ∞ ∞<br />
2 3 0 5 9 10<br />
3 ∞ 4 0 7 2<br />
4 ∞ ∞ 6 0 9<br />
5 ∞ ∞ ∞ 8 0<br />
Zeichnen Sie den <strong>Graphen</strong> <strong>und</strong> benutzen Sie den Tripel Algorithmus, um die kürzesten<br />
Wege zwischen allen Knoten i <strong>und</strong> j in V zu ermitteln.<br />
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