Klausur im WS 1999/2000 Einführung in Operations Research

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Aufgabe 1: Lineare Optimierung (40 Punkte) a) Gegeben ist die folgende Instanz eines LP-Modells, die ein Produktionsplanungsproblem der Fa. Kleinmeier repräsentiert (mit als zu bestimmender Produktionsmenge von Produkt i=1,...,4): x i Maximiere F() x = 5x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 3x 4 – 15 Zielfunktion: Maximiere den Gesamtgewinn (1) unter den Nebenbedingungen 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 ≤50 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 3x 4 ≤100 3x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 3x 4 ≤90 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 Beschränkung der Maschinenkapazität (2) Budgetbeschränkung (3) Beschränkung der Personalkapazität (4) Nichtnegativitätsbedingungen (5) Lösen Sie die Modellinstanz mit dem Simplex-Algorithmus! Geben Sie die optimale Lösung und den optimalen Zielfunktionswert an! b) Die Fa. Kleinmeier hat derzeit weder Kenntnisse über die Lösung von LP-Modellen noch verfügt sie über entsprechende Standardsoftware. Die Planung wird von Herrn D. Isponent per gesundem Menschenverstand vorgenommen. Er ermittelt den Produktionsplan x = ( 0220 ,, , 0) . Sie werden als Unternehmensberater gebeten, diesen Plan zu beurteilen. Charakterisieren Sie die vorgegebene Lösung möglichst genau! Ist die Lösung zulässig, optimal und/oder eine Basislösung Verwenden Sie Ihre Ergebnisse aus a)! c) Die bei der Produktion verwendete Maschine ist nicht immer zuverlässig. Gelegentlich sind nur 90% ihrer Nennkapazität tatsächlich verfügbar. Können Sie mit Hilfe der Dualitätstheorie anhand Ihrer Ergebnisse aus a) eine einfache Abschätzung über den in einem solchen Fall entstehenden Gewinnrückgang angeben Diskutieren Sie die Güte dieser Abschätzung! Wie ließe sich überprüfen, ob die Abschätzung dem tatsächlichen Gewinnrückgang entspricht d) Aufgrund eines gewachsenen Kundenstamms fordert der Marketingleiter, daß von jedem Produkt eine Mindestmenge von 5 Stück herzustellen ist. Wie ist das Modell umzuformulieren, so daß die modifizierte Problemstellung mit derselben Anzahl an Variablen und Nebenbedingungen abgebildet werden kann Geben Sie die modifizierte Modellinstanz an! Ist diese Forderung sinnvoll Argumentieren Sie durch Analysieren der Modellinstanz! e) Nehmen Sie nun zusätzlich zu a) an, daß die folgende Nebenbedingung zu berücksichtigen ist: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 25 Mindest-Produktionsausstoß (6) Stellen Sie das Start-Tableau für die Anwendung der M-Methode auf! Zeigen Sie durch Aufstellen der modifizierten Zielfunktion und geeignetes Umformen, daß Ihre Eintragungen in der M-Zeile korrekt sind! - 2 -
Aufgabe 2: Modellierung und klassisches Transportproblem (40 Punkte) a) Die Firma Bö-Ing stellt Passagierflugzeuge her und vertreibt diese weltweit. Einen der letzten Arbeitsschritte bei der Flugzeugherstellung stellt die Produktion (und Montage) der Triebwerke dar. Zum aktuellen Zeitpunkt muß die Herstellung der in den nächsten 4 Monaten benötigten Triebwerke geplant werden. Die monatlichen Bedarfe b j (j=1,...,4) sowie die aufgrund von Kapazitätsrestriktionen in jedem der Monate höchstens produzierbaren Stückzahlen a i (i=1,...,4) seien vorgegeben. Die Produktionskosten (in GE) eines Triebwerkes variieren von Monat zu Monat; sie werden mit p i (i=1,...,4) bezeichnet. Aufgrund unterschiedlicher Produktionskosten kann es sinnvoll sein, eine größere Stückzahl als die in diesem Monat benötigte zu produzieren. Die Lagerung der nicht verwendeten Triebwerke verursacht konstante Kosten von q GE pro Stück und Monat. Es wird vorausgesetzt, daß die Lagerkosten am Ende eines Monats anfallen, und zwar für die bereits hergestellten Triebwerke, die in dem laufenden Monat noch nicht montiert wurden. Die Zielsetzung besteht darin, einen kostenminimalen Produktionsplan für die nächsten 4 Monate so zu erstellen, daß die für die Montage benötigte Anzahl Triebwerke bereitsteht. Die Problemstellung läßt sich als geringfügig modifiziertes klassisches Transportproblem modellieren. a1)Welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines zulässigen Produktionsplans für Triebwerke müssen bezüglich der Datenparameter und erfüllt sein a2)Welche Bedeutung haben die Variablen x ij des Transportproblems in bezug auf das geschilderte Produktionsplanungsproblem Unterscheiden Sie die Fälle i≤j und i> j ! a3)Wie ist die Kostenmatrix C= ( c ij ) im Transportproblem zu definieren, so daß der Zielfunktionswert eines ermittelten Transportplans den Kosten des zugehörigen Produktionsplans für Triebwerke entspricht Beachten Sie bei der Definition der Matrix die Fallunterscheidung aus a2). a4)Wie ergibt sich aus einer zulässigen Lösung des Transportproblems der entsprechende Produktionsplan für Triebwerke, d.h. Produktionsmengen y i mit i=1,...,4 Wie ergeben sich die Lagermengen l i am Ende der Perioden i=1,...,4 a i b j b) Gegeben sei nebenstehendes Transporttableau. Die Einträge M sind sehr große positive Zahlen, die als Kostenbewertungen nicht existenter Transportverbindungen fungieren. b1)Ermitteln Sie eine Startlösung des Problems mit Hilfe der Nordwesteckenregel. Ist diese Lösung zulässig (Begründung!) 1 2 3 4 5 a i 1 16 16 13 22 17 50 2 14 14 13 19 15 60 3 19 19 20 23 M 50 4 M 0 M 0 0 50 b j 30 20 70 30 60 b2)Gehen Sie von folgender zulässigen Basislösung aus: x 13 =30; x 15 =20; x 22 =20; x 23 =40; x 31 =30; x 34 =20; x 44 =10; x 45 =40 Ist sie optimal (Begründung!) Falls nicht, bestimmen Sie ausgehend von der gegebenen Lösung einen optimalen Transportplan und dessen Kosten. Was können Sie über die optimale Lösung aussagen b3)Geben Sie für die in b2) ermittelte optimale Lösung eine Baumdarstellung an. - 3 -
Seite 1: Prof. Dr. W. Domschke Fachgebiet Op

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