Klausur im WS 1999/2000 Einführung in Operations Research

Aufgabe 3: Ganzzahlige Optimierung (40 Punkte)
Ein Wanderer kann in seinem Rucksack unterschiedlich nützliche
Gegenstände i = 1 ,…,
5 (Nutzen des Gegenstandes i sei c i
) unterschiedlichen
i 1 2 3 4 5
Gewichts mitnehmen (vgl. Tabelle). Dabei möchte er von c i 3 6 6 8 1
jedem Gegenstand höchstens zwei Exemplare bei sich tragen. Er muß
nun entscheiden, wieviel Exemplare der einzelnen Gegenstände er mitführen
g i 5 4 2 2 2
soll, so daß bei vorgegebenem Gesamtgewicht G = 15, das nicht überschritten werden darf, der Nut-
zen maximiert wird. Helfen Sie ihm bei der Lösung seines Problems!
a) Bei der zu lösenden Aufgabenstellung handelt es sich um eine Verallgemeinerung eines aus Vorlesung
und Übung bekannten Optimierungsproblems. Welches Problem ist gemeint Wie läßt sich die obige
Aufgabenstellung in dieses Problem überführen
b) Formulieren Sie das zu lösende Problem als ganzzahliges lineares Optimierungsmodell unter Verwendung
der oben gegebenen Daten. Definieren Sie dazu zuerst geeignete Entscheidungsvariablen für die
Anzahl mitzunehmender Exemplare eines Gegenstandes.
c) Wie lassen sich die untenstehenden Bedingungen in Ihrem Modell berücksichtigen Führen Sie zusätzliche
Entscheidungsvariablen nur dann ein, wenn dies nicht vermeidbar ist.
1. Der Wanderer soll mindestens soviele Exemplare von Gegenstand 3 wie von Gegenstand 2 bei sich
tragen.
2. Es dürfen insgesamt höchstens zwei Exemplare der Gegenstände 2 und 5 mitgenommen werden.
3. Wenn ein oder mehrere Exemplare von Gegenstand 3 mitgeführt werden, so ist auch mindestens ein
Exemplar von Gegenstand 4 unterzubringen.
4. Die Gegenstände 1 und 5 dürfen nicht gemeinsam eingepackt werden.
d) Lösen Sie das Problem inklusive der Nebenbedingungen aus Teilaufgabe c) mit Hilfe eines geeigneten
B&B-Verfahrens:
- Starten Sie mit einer unteren Schranke F = 0 .
- Bestimmen Sie obere Schranken, indem Sie zunächst die Ganzzahligkeitsbedingungen sowie die
zusätzlichen Nebenbedingungen aus Teilaufgabe c) relaxieren. Lösen Sie die entstehenden relaxierten
Teilprobleme ohne Anwendung des Simplexverfahrens. Nutzen Sie dazu die Verwandtschaft der
Aufgabenstellung zu dem in Teilaufgabe a) angesprochenen Optimierungsproblem aus!
- Verzweigen Sie nach einer Variablen mit nichtganzzahligem Wert x i
= f . Bilden Sie dazu zwei Teilprobleme,
wobei im ersten Teilproblem die Nebenbedingung x i
≤ f und im zweiten Teilproblem
die Nebenbedingung ≥ f einzuführen ist.
x i
- Verwenden Sie zur Auswahl des nächsten zu verzweigenden Teilproblems die LIFO-Regel (reine
Tiefensuche).
- Begründen Sie jeweils, warum Sie ein Teilproblem ausloten (Fall a, b, c).
- Hinweis: Wenn Sie richtig vorgehen, so ergeben sich höchstens 11 Knoten im B&B-Baum!
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