Der quantenmechanische Oszillator - Sandphysik.de

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Benjamin Gennermann quantenmechanischer Oszillator 2.3.1. Die Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung für den Fall eines eindimensionalen harmonischen Oszillators Setzt man nun das Potential (1) in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (2) ein, so erhält man: 2 2 d ψ ( x) 1 2 2 − h 2 d ψ ( x) 2m 1 2 2 ⋅ + mω x ⋅ψ ( x) = E ⋅ψ ( x) 2 bzw. = − ( E − mω x ) ⋅ψ ( x) 2 2 2m dx 2 dx h 2 (7) Diese Gleichung lässt sich nun mit Hilfe des Ansatzes (6) lösen. Demzufolge probiert man den Lösungsansatz: 2 ⋅x −α ψ ( x) = A⋅e . (8) Nach zweimaligen differenzieren, erhält man die 2. Ableitung von der ψ-Funktion: '' ψ ( x) = 2 d ψ ( x) 2 dx = A( −2α ⋅ e 2 −α ⋅x 2 + 4α x 2 ⋅ e 2 −α⋅x ) Nach dem Einsetzen dieses Terms in Gleichung (7), erhält man: ( −2α + 4α 2m h 1 2 2 2 2 2 2 −α⋅x 2 2 −α ⋅x x ) ⋅ e = − ( E − mω x ) ⋅ e 2 2 2 2 2 2m m ω − 2α + 4α x = − E + x 2 2 h h Werden die Koeffizienten von x² gleichgesetzt, dann erhält man: 2 2 4α 2 2 m ω = bzw. 2 h mω α = (9) 2h Das Gleichsetzten der konstanten Glieder hingegen ergibt: mE α = (10) 2 h Das Einsetzen von α aus (10) in die Gleichung (9) ergibt: E = 1 hω = E 0 2 Somit war der Ansatz (8) mit α aus (10) eine Lösung der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für den Fall eines harmonischen Oszillators. Die Wellenfunktion dieses Energiezustandes wird also mit der Gleichung beschrieben. ψ 0 ( x) = A⋅e mω 2 −( ) x 2h
Benjamin Gennermann quantenmechanischer Oszillator 2.3.2. Die Energieniveaus des quantenmechanischen Oszillators Die entsprechende Grundzustandsenergie beträgt somit E 0 = 2 1 h ω. Die Funktionen 2 −( mω / 2h) x ψ 1 ( x) = Bx ⋅e sowie 2mω 2 −( mω / 2 ψ 2 ( x) = C ⋅(1 − x ) ⋅e h 2 h) x sind Lösungen der Schrödinger-Gleichung und liefern die Energiewerte: E 1 = 2 3 h ω bzw. E 2 = 2 5 h ω. Für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator sind also nur bestimmte Energiewerte erlaubt, die auf quadratintegrable und somit normierbare Wellenfunktionen führen. Die erlaubten Lösungen der Schrödinger-Gleichung lassen sich somit in der Form ψ ( x) = C n n ⋅e 2 −( mω / 2h) x ⋅ f ( x) darstellen, wobei C die Normierungskonstante und f n (x) die sog. Hermite-Polynome sind. Demzufolge sind die Energieniveaus des quantenmechanischen Oszillators äquidistant mit h ω: n E n = (n + 2 1 ) h ω , (n = 0,1,2,3...) Die Energiequantisierung, die die Folge der Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen, das harmonische Schwingungen um seine Ruhelage ausführt, war, benutze Planck um seine Strahlungsformel zu erklären.
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