¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 2 - Fakultät für ...

Universität Heidelberg / Institut für Informatik 25. Oktober 2010
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Thorsten Kräling
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 2
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass folgende Äquivalenzen gelten:
¬(A ∧ B) äq (¬A ∨ ¬B)
(A → (B → C)) äq (A ∧ B → C)
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Untersuchen Sie mit den Hilfsmitteln der Aussagenlogik folgende Fälle von Kommissar K.:
1. Kommissar K. atmet auf, sein erster Fall ist vollständig geklärt. Er weiß, dass die Täter
unter vier verdächtigen Personen zu suchen sind; als Logiker nennt er sie A,B,C und
D. A spielt eine wichtige Rolle: Ist er unschuldig, dann ist auch B außer Verdacht, die
Schuld von C wäre dagegen unzweifelhaft. D ist die Schlüsselfigur: Ist er unschuldig,
dann war B bei den Tätern, ist er schuldig, dann ist auch C dran. Aber C hat ein
todsicheres Alibi. Wer wird verhaftet
2. Im zweiten Fall steht er knapp vor der Aufklärung. Wieder hat er vier Verdächtige
A,B,C und D. Er weiß ferner, dass mindestens zwei am Komplott beteiligt waren.
Könnte er die Schuld von B beweisen, dann wüsste er, dass auch A und D beteiligt
waren. Aus der Beteiligung von C könnte er jedoch auf die Unschuld von D schließen.
” Ok“, folgert er, der Fall ist noch nicht vollständig geklärt, aber Verhaftungen kann
”
ich trotzdem vornehmen.“
3. Der dritte Fall hat es in sich. Nennen wir die Verdächtigen wieder A,B,C und D. A
ist Einzelgänger und kommt nur als Alleintäter in Frage. C und D haben das Ding
gemeinsam gedreht oder sind beide unschuldig. B kommt als Täter dann und nur dann
in Frage, wenn auch C mit von der Partie war. Aus der Schuld von B folgt die von A
und umgekehrt. Warum ist der Kommissar irritiert

Aufgabe 3 (4 Punkte)
Die Ersetzungsregel besagt
ϕ ↔ ψ
χ ↔ χ(ψ/ϕ)
wobei χ(ψ/ϕ) eine Formel ist, die aus der Formel χ durch Ersetzen beliebig vieler der
Vorkommen der Teilformel ϕ in χ durch die Formel ψ entsteht.
Zeigen Sie die Korrektheit der Regel durch Induktion nach dem Aufbau von χ. Charakterisieren
Sie hierzu zunächst induktiv die möglichen Gestalten von χ(ψ/ϕ).
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Eine Menge G von Wahrheitsfunktionen heißt (aussagenlogische) Basis, wenn sich jede
Wahrheitsfunktion (beliebiger Stelligkeit) durch Ineinander-Einsetzen von Funktionen aus
G darstellen lässt. Untersuchen Sie, ob folgende Mengen jeweils Basen sind:
(i) G 1 = {∧, ¬}
(ii) G 2 = {∧, ∨}
(iii) G 3 = {↑} ( ”
NAND“-Funktion, zur Definition siehe Abschnitt 1.2.1 im Skript).
Hinweis: Sie dürfen die Tatsache verwenden, dass die Menge G = {∧, ∨, ¬} eine Basis ist.
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Die Relation < i auf der Menge der aussagenlogischen Formeln sei definiert durch
ϕ < i ψ genau dann, wenn ϕ impl ψ und nicht ψ impl ϕ.
(i) Zeigen Sie: Falls ϕ < i ψ gilt und die Aussagenvariable A nicht in ϕ oder ψ vorkommt
(∗), so gilt für die Formel χ ≡ (A → ϕ) ∧ ψ auch ϕ < i χ sowie χ < i ψ.
(ii) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Bedingung (∗) an A notwendig ist.
Abgabe: Bis Montag, den 8. November 2010(!) in den Briefkästen im Foyer im EG
der Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 14 Uhr). Auf Grund des Feiertages gilt
dieses Übungsblatt für zwei Wochen. Die aktuellen Übungsblätter sind als PDF-Dateien im
Internet auf der Seite der Vorlesung abrufbar:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/WS10/mathlog WS10.html