¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 2 - Fakultät für ...

Aufgabe 3 (4 Punkte)
Die Ersetzungsregel besagt
ϕ ↔ ψ
χ ↔ χ(ψ/ϕ)
wobei χ(ψ/ϕ) eine Formel ist, die aus der Formel χ durch Ersetzen beliebig vieler der
Vorkommen der Teilformel ϕ in χ durch die Formel ψ entsteht.
Zeigen Sie die Korrektheit der Regel durch Induktion nach dem Aufbau von χ. Charakterisieren
Sie hierzu zunächst induktiv die möglichen Gestalten von χ(ψ/ϕ).
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Eine Menge G von Wahrheitsfunktionen heißt (aussagenlogische) Basis, wenn sich jede
Wahrheitsfunktion (beliebiger Stelligkeit) durch Ineinander-Einsetzen von Funktionen aus
G darstellen lässt. Untersuchen Sie, ob folgende Mengen jeweils Basen sind:
(i) G 1 = {∧, ¬}
(ii) G 2 = {∧, ∨}
(iii) G 3 = {↑} ( ”
NAND“-Funktion, zur Definition siehe Abschnitt 1.2.1 im Skript).
Hinweis: Sie dürfen die Tatsache verwenden, dass die Menge G = {∧, ∨, ¬} eine Basis ist.
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Die Relation < i auf der Menge der aussagenlogischen Formeln sei definiert durch
ϕ < i ψ genau dann, wenn ϕ impl ψ und nicht ψ impl ϕ.
(i) Zeigen Sie: Falls ϕ < i ψ gilt und die Aussagenvariable A nicht in ϕ oder ψ vorkommt
(∗), so gilt für die Formel χ ≡ (A → ϕ) ∧ ψ auch ϕ < i χ sowie χ < i ψ.
(ii) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Bedingung (∗) an A notwendig ist.
Abgabe: Bis Montag, den 8. November 2010(!) in den Briefkästen im Foyer im EG
der Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 14 Uhr). Auf Grund des Feiertages gilt
dieses Übungsblatt für zwei Wochen. Die aktuellen Übungsblätter sind als PDF-Dateien im
Internet auf der Seite der Vorlesung abrufbar:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/WS10/mathlog WS10.html