¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 2 - Fakultät für ...
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Universität Heidelberg / Institut <strong>für</strong> Informatik 25. Oktober 2010<br />
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies<br />
Dipl.-Math. Thorsten Kräling<br />
Übungen <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Mathematische</strong> <strong>Logik</strong><br />
<strong>Blatt</strong> 2<br />
Aufgabe 1 (4 Punkte)<br />
Zeigen Sie, dass folgende Äquivalenzen gelten:<br />
¬(A ∧ B) äq (¬A ∨ ¬B)<br />
(A → (B → C)) äq (A ∧ B → C)<br />
Aufgabe 2 (6 Punkte)<br />
Untersuchen Sie mit den Hilfsmitteln der Aussagenlogik folgende Fälle von Kommissar K.:<br />
1. Kommissar K. atmet auf, sein erster Fall ist vollständig geklärt. Er weiß, dass die Täter<br />
unter vier verdächtigen Personen zu suchen sind; als <strong>Logik</strong>er nennt er sie A,B,C und<br />
D. A spielt eine wichtige Rolle: Ist er unschuldig, dann ist auch B außer Verdacht, die<br />
Schuld von C wäre dagegen unzweifelhaft. D ist die Schlüsselfigur: Ist er unschuldig,<br />
dann war B bei den Tätern, ist er schuldig, dann ist auch C dran. Aber C hat ein<br />
todsicheres Alibi. Wer wird verhaftet<br />
2. Im zweiten Fall steht er knapp vor der Aufklärung. Wieder hat er vier Verdächtige<br />
A,B,C und D. Er weiß ferner, dass mindestens zwei am Komplott beteiligt waren.<br />
Könnte er die Schuld von B beweisen, dann wüsste er, dass auch A und D beteiligt<br />
waren. Aus der Beteiligung von C könnte er jedoch auf die Unschuld von D schließen.<br />
” Ok“, folgert er, der Fall ist noch nicht vollständig geklärt, aber Verhaftungen kann<br />
”<br />
ich trotzdem vornehmen.“<br />
3. Der dritte Fall hat es in sich. Nennen wir die Verdächtigen wieder A,B,C und D. A<br />
ist Einzelgänger und kommt nur als Alleintäter in Frage. C und D haben das Ding<br />
gemeinsam gedreht oder sind beide unschuldig. B kommt als Täter dann und nur dann<br />
in Frage, wenn auch C mit von der Partie war. Aus der Schuld von B folgt die von A<br />
und umgekehrt. Warum ist der Kommissar irritiert
Aufgabe 3 (4 Punkte)<br />
Die Ersetzungsregel besagt<br />
ϕ ↔ ψ<br />
χ ↔ χ(ψ/ϕ)<br />
wobei χ(ψ/ϕ) eine Formel ist, die aus der Formel χ durch Ersetzen beliebig vieler der<br />
Vorkommen der Teilformel ϕ in χ durch die Formel ψ entsteht.<br />
Zeigen Sie die Korrektheit der Regel durch Induktion nach dem Aufbau von χ. Charakterisieren<br />
Sie hierzu zunächst induktiv die möglichen Gestalten von χ(ψ/ϕ).<br />
Aufgabe 4 (6 Punkte)<br />
Eine Menge G von Wahrheitsfunktionen heißt (aussagenlogische) Basis, wenn sich jede<br />
Wahrheitsfunktion (beliebiger Stelligkeit) durch Ineinander-Einsetzen von Funktionen aus<br />
G darstellen lässt. Untersuchen Sie, ob folgende Mengen jeweils Basen sind:<br />
(i) G 1 = {∧, ¬}<br />
(ii) G 2 = {∧, ∨}<br />
(iii) G 3 = {↑} ( ”<br />
NAND“-Funktion, <strong>zur</strong> Definition siehe Abschnitt 1.2.1 im Skript).<br />
Hinweis: Sie dürfen die Tatsache verwenden, dass die Menge G = {∧, ∨, ¬} eine Basis ist.<br />
Aufgabe 5 (6 Punkte)<br />
Die Relation < i auf der Menge der aussagenlogischen Formeln sei definiert durch<br />
ϕ < i ψ genau dann, wenn ϕ impl ψ und nicht ψ impl ϕ.<br />
(i) Zeigen Sie: Falls ϕ < i ψ gilt und die Aussagenvariable A nicht in ϕ oder ψ vorkommt<br />
(∗), so gilt <strong>für</strong> die Formel χ ≡ (A → ϕ) ∧ ψ auch ϕ < i χ sowie χ < i ψ.<br />
(ii) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Bedingung (∗) an A notwendig ist.<br />
Abgabe: Bis Montag, den 8. November 2010(!) in den Briefkästen im Foyer im EG<br />
der Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 14 Uhr). Auf Grund des Feiertages gilt<br />
dieses Übungsblatt <strong>für</strong> zwei Wochen. Die aktuellen Übungsblätter sind als PDF-Dateien im<br />
Internet auf der Seite der <strong>Vorlesung</strong> abrufbar:<br />
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/WS10/mathlog WS10.html