10.06.11 Seite 1 von 13 Dr. Nadine Baumann Schriftliche Planung ...

Dr. Nadine Baumann
Schriftliche Planung für die unterrichtspraktische Prüfung
im Fach Mathematik gemäß § 34 OVP
Schule: Gesamtschule Paderborn-Elsen
Klasse: 9 e (Erweiterungskurs)
Datum: Mittwoch, 29. September 2010
Thema der Unterrichtsreihe:
Zuordnungen und Modelle: Lösungsverfahren zu linearen Gleichungssystemen
Thema der Unterrichtsstunde:
Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck? – Lösen einer sachbezogenen Anwendungsaufgabe
zu linearen Gleichungssystemen
Stundenziel:
Die SuS können eine sachbezogene Anwendungsaufgabe mit einer linearen und einer
abschnittsweise linearen Funktion durch verschiedene Strategien, mit einem Schwerpunkt
auf dem graphischen Verfahren, lösen.
Teilziele:
Die SuS
- können nach einem ersten Überblick begründet entscheiden, welche Angebote
ungünstig sind und welche zum Weiterrechnen lohnen.
- können grundlegende Daten aus einer sachbezogenen Situation in einen funktionalen
Zusammenhang übertragen und die unabhängige bzw. abhängige Variable
benennen.
- erweitern ihre kommunikative Kompetenz, indem sie in Kleingruppen überlegen,
wie sie – ausgehend von den bereits im Plenum erarbeiteten Informationen – das
Angebot BLUE und insbesondere das Angebot YELLOW mit „Flaterate“ im mathematischen
Modell weiter bearbeiten können.
- können konkrete Wertepaare der beiden Funktionen berechnen und sie graphisch
darstellen.
- können den Schnittpunkt der beiden Graphen ablesen und ihn zum Aussprechen
einer Empfehlung in der realen Ausgangssituation interpretieren.
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Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
Mögliche weitere Teilziele in Abhängigkeit vom Stundenende:
Die SuS
- können Gleichungen für die beiden Tarife angeben bzw. die auftretenden Schwierigkeiten
beim Aufstellen der Gleichung benennen.
- können beide Funktionsgleichungen aufstellen – die Gleichung zum „Flaterate“-
Angebot zunächst durch graphische Extrapolation – und im Gleichsetzungsverfahren
eine rechnerische Lösung ermitteln.
Zum inhaltlichen Aufbau der Unterrichtssequenz, zur Einbettung der Unterrichtsstunde
und zum Lehrplanbezug:
Einheit Thematischer Schwerpunkt
Tabellarische und graphische Lösung linearer Gleichungssysteme am Bei-
1.
spiel einer Druckkostenkalkulation und von Treffpunkten von Zügen
Wiederholung des Zusammenhangs zwischen Graph und Gleichung bei li-
2.
nearen Funktionen auf innermathematischer und formaler Ebene
Graphisches Lösen linearer Gleichungssysteme auf innermathematischer
3.
Ebene
Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme durch das Gleichsetzungsverfahren
4.
(innermathematische Ebene, ein Beispiel im außermathematischen Kontext)
5.
6.
7.
Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck? – Lösen einer
sachbezogenen Anwendungsaufgabe zu linearen Gleichungssystemen
Fortführung der Bearbeitung von sachbezogenen Anwendungsaufgaben,
die sich nur durch die Entwicklung von zusätzlichen Lösungsstrategien bearbeiten
lassen
Einsetzungs- und Additionsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Anwendung der Verfahren auf vermischte innermathematische Übungen,
Anwendung auf Zahlenrätsel, Geometrieaufgaben etc.
Die vorliegende Unterrichtseinheit wurde mit anwendungsbezogenen Aufgaben motiviert
und die SuS wurden für die folgenden mathematischen Konkretisierungen und
Lösungsstrategien sensibilisiert. Beim Übergang zum formalen Darstellen linearer
Funktion zeigten sich deutliche Schwierigkeiten, und es bedurfte einer ausführlichen
Wiederholungsphase, um den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Funktionsgleichung
bei linearen Funktionen und die mathematisch korrekte Schreibweise
der Darstellungsformen zu üben. Im Zusammenhang mit der Einführung des Gleichsetzungsverfahrens
wurden auch Äquivalenzumformungen erneut problematisiert und
geübt.
Aufgrund dieser Bedingungen arbeiten die SuS nun seit mehreren Stunden im rein
innermathematischen Kontext und werden in der hier vorgestellten Stunde ihre erworbenen
Fähigkeiten auf eine anwendungsbezogene Sachaufgabe übertragen. In Abgrenzung
zu den anwendungsbezogenen Sachaufgaben zu Beginn nähern sie sich
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hier einem komplexeren Sachkontext, notieren ihre Überlegungen in strukturierterer
Form und werden durch das „Flaterate“-Angebot mit einer neuen Situation konfrontiert.
Die abschnittsweise lineare Funktion kann weder beim Anlegen der Wertetabelle,
noch beim Zeichnen des Funktionsgraphen oder dem Erstellen der Funktionsgleichung
mit dem gewöhnlichen Schema erfolgen, sondern es bedarf weiterführender
Überlegungen.
Fortgeführt wird die Reihe durch die Bearbeitung weiterer komplexer und sich nicht
sofort erschließender anwendungsbezogener Sachaufgaben. Im Anschluss folgt die
Erarbeitung des Einsetzungs- und Additionsverfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme
und die (geschickte) Anwendung und Übung der Lösungsverfahren im
innermathematischen und anwendungsbezogenen Kontext.
Das schulinterne Curriculum der Gesamtschule Paderborn-Elsen sieht die Einheit zum
Lösen linearer Gleichungssysteme zu Beginn der 9. Jahrgangsstufe vor. Die hier vorgeschlagenen
Konkretisierungen entsprechen den Kompetenzerwartungen am Ende
der Jahrgangsstufe 10 gemäß dem Kernlehrplan für die Gesamtschule-
Sekundarstufe I in NRW. 1
Anmerkungen zur Lerngruppe:
Den Erweiterungskurs Mathematik 9 e unterrichte ich im Rahmen des Ausbildungsunterrichts
nach einer kurzen Hospitationsphase seit der zweiten Schulwoche nach den
Sommerferien 2010. Der Kurs besteht aus 16 SuS (9 Mädchen, 7 Jungen). Bereits im
vergangenen Schuljahr habe ich den Kurs im Mai/Juni zu einer Einheit Mit dem Zufall
rechnen: Grundelemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung unterrichtet. Bis auf eine
Veränderung ist die Zusammensetzung des Kurses gleich geblieben.
Das Arbeitstempo und Leistungsniveau der SuS ist mitunter recht heterogen: Während
einige SuS bereits mit der Erarbeitung der Aufgabenstellung begonnen haben, müssen
andere zunächst noch dazu aufgefordert werden, diese zu erfassen. Eine ähnliche
Bandbreite zeigt sich häufig bei inhaltlichen Erschließungen und fachlichen Diskussionen.
Die kleine Kursgröße ermöglicht es, auf diese verschiedenen Bedingungen im
Unterrichtsprozess in vielen Fällen individuell zu reagieren. Darüber hinaus sollte bei
neuen Fragestellungen und Arbeitsaufträgen besonders darauf geachtet werden, dass
die Gesamtgruppe beteiligt ist und durch möglichst konkrete Arbeitsaufträge involviert
wird.
Bei der mündlichen Mitarbeit zeigt sich ebenfalls eine große Vielfalt – sowohl in der
Häufigkeit der Mitarbeit als auch in den qualitativen Ausführungen: [...]
Unter Berücksichtigung der curricularen Vorgaben und besonders der Voraussetzungen
des Lernstandes des Kurses sowie der individuellen Voraussetzungen der Lerngruppe
wurden folgende Unterrichtsentscheidungen getroffen:
Didaktisch-methodische Entscheidungen:
Die vorliegende Unterrichtsstunde findet nach einer längeren innermathematischen
Arbeitsphase statt. Die erworbenen Fähigkeiten sollen von den SuS zum einen im
Sachkontext angewendet und geübt werden, zum anderen soll auch eine neue Pro-
1 Vgl. Schulinterne Curricula Gesamtschule Paderborn-Elsen des Fachbereichs Mathematik; vgl. MINI-
STERIUM FÜR SCHULE, JUGEND UND KINDER DES LANDES NRW (Hg.). Kernlehrplan für die Gesamtschule
– Sekundarstufe I in NRW. Mathematik. Frechen 2004, 27-29, 32f.
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Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
blemstellung (abschnittweise lineare Funktion) in den Fokus rücken. Durch die hier
ausgewählte sachbezogene Anwendungsaufgabe sollen die SuS, wie es auch im
Kernlehrplan für die Gesamtschule Sekundarstufe I in NRW heißt, befähigt werden,
„die Rolle zu erkennen, die Mathematik in der Welt spielt,“ und lernen „mathematisches
Wissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener
Probleme einzusetzen und begründete mathematische Urteile abzugeben.“
2 Diesen Aspekt betonen auch Barzel, Büchter und Leuders in ihrem einschlägigen
Handbuch zur Mathematik Methodik (Handbuch für die Sekundarstufe I
und II): Im Mathematikunterricht sollen SuS „lernen, ihr mathematisches Handwerkszeug
in immer wieder neuen Situationen flexibel und angemessen einzusetzen“ sowie
„die Rolle, die Mathematik in der Welt spielt, erleben“. 3 Durch die Arbeit mit möglichst
anwendungsbezogenen Aufgaben und besonders durch den Aspekt des Modellierens
soll diese aus Schülersicht als zumeist schwer zu überwindend wahrgenommene Diskrepanz
zwischen mathematischer Welt und der Realität aufgebrochen werden.
Die grundlegende Anregung zur Aufgabe in dieser Stunde habe ich dem Serviceband
9, Schnittpunkt Mathematik für NRW entnommen. Dort wird in Form eines Schülerarbeitsblattes
eine eng geführte Aufgabe gestellt. Aus verschiedenen Gründen habe
ich die dort vorgeschlagene Aufgabenstellung und Vorgehensweise jedoch durch Ergänzungen
und einer Öffnung der Aufgabe weitgehend verändert, sodass nunmehr
vor allem die grundlegende Idee des Vergleichens von Angeboten beim Fotodruck
erhalten blieb. 4 Der modifizierten Aufgabenstellung liegen folgende Ideen zugrunde:
Bei der Lösung der Aufgabe ist zunächst zwischen der realen und der mathematischen
Ebene zu unterscheiden. Zur Verdeutlichung der folgenden Ausführungen soll
folgende schematische Darstellung dienen:
Abbildung: Schematische Darstellung des Modellierungskreislaufes 5
Die Auswahl der Fotodruckangebote ist der realen Welt entnommen. Viele (Internet)Anbieter
verlangen in der Tat Grund- und Versandgebühren zwischen 2 bis 5 Euro
und die Druckkosten pro Bild beginnen beim 9er Format bereits bei 5 Cent. Ebenso
gibt es Anbieter, die damit „locken“, dass die ersten Bilder gratis sind und „nur“ die
Versandgebühr bezahlt werden muss oder die Druckkosten ab einer bestimmten Anzahl
von Bestellungen günstiger werden. Auch wenn die dargestellten Angebote einen
2
MINISTERIUM FÜR SCHULE, JUGEND UND KINDER DES LANDES NRW (Hg.). Kernlehrplan für die Gesamtschule
– Sekundarstufe I in NRW. Mathematik. Frechen 2004, 11.
3
BARZEL, Bärbel/BÜCHTER, Andreas/LEUDERS, Timo. Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe
I und II. Berlin 2007, 70.
4
SCHNITTPUNKT 9. Mathematik (NRW). Serviceband. Stuttgart 2009, S 6 (siehe Seite 13).
5
LEUDERS, Timo/MAAß, Katja. Modellieren – Brücke zwischen Welt und Mathematik. In: Praxis der
Mathematik in der Schule 3 (2005), 5.
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Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
realistischen Hintergrund haben, handelt es sich bei den in der Aufgabe ausgewählten
Werten bereits um ein Realmodell:
Statt 2,95 Euro oder 3,99 Euro wurde ein aufgerundeter Wert verwendet. Das Vereinfachen
der Realsituation wurde bewusst nicht den SuS überlassen, da sie mit dieser
Form der Modifizierung von Ausgangswerten wenig vertraut sind und es den Schwerpunkt
der Aufgabestellung verschoben hätte. Ferner ist ihr funktionales Denken noch
nicht so sicher ausgeprägt, dass sie bei einer anschließenden Validierung des mathematischen
Modells die Auswirkungen auf die Realsituation hätten problemlos überblicken
können.
In der Aufgabe werden den SuS solche Angebote präsentiert, die dazu „reizen“, sich
zunächst präformal mit ihnen auseinanderzusetzen. Damit wird die Fähigkeit der SuS
zum Argumentieren und Kommunizieren gefördert, indem sie individuelle Arten des
Begründens und der Plausibilitätsprüfung anwenden. Da die Lerngruppe recht heterogen
ist, sind sowohl Argumentationen mit der „Alltagsbrille“ zu vermuten als auch
Überlegungen, denen bereits funktionales Denken zugrunde liegt. Von den vier vorgegebenen
Angeboten erübrigen sich zwei, da der Grundwert mit einem weiteren Angebot
gleich ist, aber die Druckkosten pro Bild höher sind bzw. die Grundwerte in der
Höhe voneinander abweichen, aber die Druckkosten pro Bild dafür identisch sind.
Auf dieser präformalen Ebene im Realmodell können die SuS zudem argumentieren,
dass die Auswahl des Angebots von der Anzahl der bestellten Bilder abhängig ist und
das günstigste Angebot erst in Abhängigkeit davon gesucht werden kann. Da die Aufgabenstellung
hier bewusst keine Vorgaben zu der Anzahl macht, ist zunächst nach
einer allgemeinen Lösung gefragt. 6
Ausgehend von den o. g. Überlegungen bleiben also zwei Angebote übrig, deren Kosten
zueinander in Beziehung gesetzt und die in ein mathematisches Modell übertragen
werden müssen. Bei diesem Übergang ist von den SuS eine wichtige Standpunktverlagerung
zu vollziehen. Um diesen Übergang zu erleichtern und davon ausgehend
das selbstgesteuerte Lernen der SuS zu stärken, wurden folgende inhaltlichmethodischen
Überlegungen angestellt:
Im Unterrichtsgespräch werden zunächst grundlegende Voraussetzungen für die
Übertragung in das mathematische Modell geklärt, sodass alle SuS in der Kleingruppenarbeit
direkt mit der Bearbeitung einer mathematischen Lösung beginnen können,
ohne sich in einer Vorphase zu lange mit dem Erstellen von grundlegenden Annahmen
aufhalten zu müssen – es handelt sich also um eine Art gemeinsamer Zwischensicherung.
Bisher haben die SuS nur mit durchgängig linearen Funktionen gearbeitet, die also
nicht abschnittsweise unterschiedlich definiert waren. Das hier vorliegende Angebot
mit der „Flatrate“ bei den ersten 20 Bildern der Bestellung erfordert, dass eine konstante
Funktion mit einer linear steigenden Funktion fortgesetzt wird. Dieser „Stolperstein“
wird ebenfalls bereits vor der Umsetzung in ein mathematisches Modell kurz
thematisiert, ohne ihn schon aufzulösen. Als Tipp zur Lösung erfolgt jedoch lediglich
der Hinweis, dass sich die SuS an den bekannten Verfahren (tabellarische, graphische
und dann erst rechnerische Lösung – und zwar auch in dieser Reihenfolge) orientieren
sollen. Bei weiterführenden Überlegungen hierzu tritt der Aspekt des Problemlösens in
den Vordergrund, zu dem es laut Kernlehrplan heißt: SuS „lösen […] Problemsituatio-
6 Hier wäre es aber durchaus möglich, dass SuS überlegen, wie viele Bilder zur Erstellung eines Fotoalbums
als Weihnachtsgeschenk gebraucht werden könnten.
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Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
nen, in denen ein Lösungsweg nicht unmittelbar erkennbar ist bzw. bei denen nicht
unmittelbar auf erlernte Verfahren zurückgegriffen werden kann.“ 7
Die Arbeit am mathematischen Modell soll bewusst nicht in Einzelarbeit, sondern in
Kleingruppen erfolgen, damit sich die SuS wechselseitig durch den Austausch von
Überlegungen im Problemlöseprozess weiterbringen. Der „geschützte“ Rahmen in einer
Kleingruppe lässt hier zudem lernschwachen SuS eher Raum zur Mitarbeit. 8 Zum
Abschluss der Gruppenarbeitsphase sollen die SuS ihre Ergebnisse in einer konkreten
Empfehlung verschriftlichen. Dadurch wird gewährleistet, dass sie eine Interpretation
des Ergebnisses mit Blick auf das reale Modell vornehmen. Der im Graphen abzulesende
Schnittpunkt ist selbst bei genauem Zeichnen nur schwer zu bestimmen, ist
also bei der „Aufgabenkonstruktion“ bewusst nicht einer vielfachen Anzahl von 10 zugeordnet
worden. Eine konkrete Empfehlung zum günstigsten Angebot muss also zumindest
noch kurz reflektiert werden. Bei einer reinen Wiedergabe des graphisch abgelesenen
Schnittpunktes käme diese Validierung möglicherweise zu kurz.
Zum einen kann die Stunde also durch eine im Plenum versprachlichte Rückbindung
an die Ausgangssituation und damit der Schließung des Modellierungskreislaufes geschlossen
werden.
Zum anderen könnte es, sofern die verbleibende Zeit es noch zulässt, zu weiterführenden
Überlegungen kommen, wie das noch ausstehende rechnerische Verfahren
durchgeführt werden kann. Hierbei wäre zunächst zu klären, dass beim Tarif YELLOW
nur der zweite Abschnitt von Interesse ist, indem sich der Schnittpunkt mit dem anderen
Graphen befindet.
- Ein bekanntes und geübtes Verfahren ist das Ablesen von Steigung und y-
Achsenabschnitt einer Geraden zur Bestimmung der Gleichung. Hier aber fehlt der
y-Achsenabschnitt. Somit wäre es naheliegend, den betreffenden Abschnitt durch
graphisches Extrapolieren zu bestimmen. Ein „Schönheitsfehler“ dieses Vorgehens
liegt darin, dass der y-Achsenabschnitt durch Ungenauigkeiten beim Zeichnen und
Ablesen fehlerbehaftet ist.
- Alternativ könnten die SuS die Rechenwege beim Erstellen der Wertetabelle
zugrunde legen und daraus eine Funktionsgleichung bestimmen:
Kosten = Druckpreis pro Bild x (Anzahl der Bilder – Anzahl der 20 Gratisbilder) +
Versandkosten.
7 Vgl. MINISTERIUM FÜR SCHULE, JUGEND UND KINDER DES LANDES NRW (Hg.). Kernlehrplan für die Gesamt-schule
– Sekundarstufe I in NRW. Mathematik. Frechen 2004, 14.
8 „Gruppenarbeit fördert und fordert soziale und kommunikative Kompetenzen: Die Gruppenmitglieder
müssen die Problembearbeitung effizient und kooperativ gestalten [… . SuS] nehmen Gruppenarbeit
meist als motivierend wahr, weil sie Erklärungen durch Mitschüler als hilfreich empfinden und weil
Gruppenarbeit den Lernenden einen Rahmen für informelle Kommunikation, die frei ist vom direkten
Kontrollieren und Bewerten der Lehrperson, gewährt.“ Vgl. BARZEL, Bärbel/BÜCHTER, Andreas/LEUDERS,
Timo. Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin 2007, 84.
Durch die Gestaltung dieser Aufgabenstellung wird im Sinne des Kernlehrplans die Mathematische
Grundbildung gefördert: „Sie beinhaltet insbesondere die Kompetenz des problemlösenden Arbeitens
in inner- und außermathematischen Kontexten. Grundlegend dafür ist die Fähigkeit, komplexe Probleme
zu strukturieren sowie reale Probleme in geeigneter Weise mathematisch zu beschreiben, also
Modelle zu bilden und zu nutzen. Ebenso gehört zur mathematischen GRUNDBILDUNG die Fähigkeit,
mit anderen über mathematische Fragestellungen zu kommunizieren, d. h. eigene Ideen zu präsentieren
und zu begründen sowie die Argumente anderer aufzunehmen.“ MINISTERIUM FÜR SCHULE, JU-
GEND UND KINDER DES LANDES NRW (Hg.). Kernlehrplan für die Gesamtschule – Sekundarstufe I in
NRW. Mathematik. Frechen 2004, 11; vgl. auch: BARZEL, Bärbel/BÜCHTER, Andreas/LEUDERS, Timo.
Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin 2007, 9.
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Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
- Das Berechnen der Funktionsgleichung über eine Punkt-Steigungsform ist den
SuS wenig geläufig.
Da es an der Gesamtschule keine Hausaufgaben von Stunde zu Stunde gibt, sondern
längerfristig angelegte Wochenpläne, können die in dieser Phase angestoßenen Überlegungen
nicht – wie in Halbtagsschulen üblich – von den SuS in einer Hausaufgabe
fortgeführt werden. Stattdessen müssen die Ideen in dieser Stunde gesichert werden,
damit sie später wieder aufgegriffen werden können.
Mit ziemlicher Sicherheit kann in dieser Stunde keine rechnerische Lösung erarbeitet
werden. Die Stunde selbst ist jedoch trotzdem eine geschlossene Einheit, da zum einen
die Problemfrage auch ohne Gleichungen gelöst werden kann und zum anderen
der Modellierungskreislauf geschlossen wird.
Literatur:
BARZEL, Bärbel/BÜCHTER, Andreas/LEUDERS, Timo. Mathematik Methodik. Handbuch
für die Sekundarstufe I und II. Berlin 2007.
BÜCHTER, Andreas/LEUDERS, Timo. Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen
fördern – Leistung überprüfen. Berlin 2005.
LEUDERS, Timo/MAAß, Katja. Modellieren – Brücke zwischen Welt und Mathematik. In:
Praxis der Mathematik in der Schule 3 (2005) 1-7.
MATHEMATIK 9. Erweiterungskurs. Braunschweig (Westermann) 2007, bes. Kap. 1: Zuordnungen
und Modelle: Lineare Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme.
MINISTERIUM FÜR SCHULE, JUGEND UND KINDER DES LANDES NORDRHEIN-
WESTFALEN (Hg.). Kernlehrplan für die Gesamtschule – Sekundarstufe I in Nordrhein-
Westfalen. Mathematik. Frechen 2004.
SCHNITTPUNKT 9. Mathematik (NRW). Serviceband. Stuttgart 2009.
SCHULINTERNES CURRICULUM Gesamtschule Paderborn-Elsen des Fachbereichs Mathematik.
In: http://www.ge-pb-elsen.de/user/partitur.php, eingesehen am 17. September
2010.
Grundlegende Anregung zur Aufgabe in dieser Stunde
SCHNITTPUNKT 9. Mathematik (NRW). Serviceband. Stuttgart 2009, S 6.
Im Rahmen dieses Entwurfs, insbesondere des folgenden Verlaufsplans,
verwendete Abkürzungen:
SuS = Schülerinnen und Schüler
S’in = Schülerin
L’in = Lehrerin
UG = Unterrichtsgespräch
GA = Gruppenarbeit
EA = Einzelarbeit
OHP = Overheadprojektor
AB = Arbeitsblatt
HA = Hausaufgabe
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Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
NAME: Nadine Baumann
LERNGRUPPE: 9 e (E-Kurs)
DATUM: Mittwoch, 29. September
2010
ZEIT: 8.55 h - 9.40 h
FACHLEHRER:
STUNDENTHEMA: Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck? –
Lösen einer sachbezogenen Anwendungsaufgabe zu
linearen Gleichungssystemen
STUNDENZIEL: Die SuS können eine sachbezogene Anwendungsaufgabe mit einer linearen und einer abschnittsweise linearen Funktion durch verschiedene Strategien,
mit einem Schwerpunkt auf dem graphischen Verfahren, lösen.
PHASEN INHALTLICHE SCHWERPUNKTE / OPERATIONEN
Einstieg
Motivation
+
Problemstellung
- Begrüßung
- Vorstellen der sachbezogenen Anwendungssituation
und Präsentation der vier Angebote zum Fotodruck
- Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck? –
Bewertung der Angebotspalette
- Auswertungsphase und Aussortieren von zwei Angeboten
- kurze Analyse der zwei verbleibenden Angebote
(Sofern die SuS – trotz unterlassener Aufforderung – bereits
die Preise für eine bestimmte Anzahl von Photos
berechnet haben sollten, wird an dieser Stelle die Ver-
mutung als Arbeitshypothese notiert.)
Erarbeitung - Sammlung von verschiedenen Lösungsstrategien
- Zuordnung der unabhängigen Größe x und davon abhängigen
Größe y im Kontext der Sachsituation
- Kleingruppenarbeit zur Lösung der Leitfrage
Auswertung +
Sicherung
mögliches
Stundenende
- einen Graphen zur Orientierung und Bündelung auf
OHP auflegen – Besonderheiten klären
- Schnittpunkte der Graphen aus verschiedenen Gruppen
und konkrete Empfehlungen sammeln
- Bewertung der Ergebnisse im Plenum (Unterschiede,
Gründe)
- ggf. Ausblick auf noch ausstehenden rechnerischen
Lösungsweg
SOZIAL-/ AKTI-
ONSFORMEN
L-Info
Murmelphase
Plenum
UG
GA
UG
MEDIEN ANMERKUNGEN ZUM LERNPROZESS
4 Plakate
(befestigt an
Tafel, später
Flipchartständer)
Tafel
AB
Folien
OHP/Folie
Tafel
Durch das Erzählen der Sachsituation und die Präsentation
der vier Angebotsplakate soll die Aufmerksamkeit
der SuS gebündelt und alle sollen mit in das Geschehen
einbezogen werden. In einer kurzen Murmelphase
sollen sich die SuS über erste Vermutungen zum günstigsten
Angebot austauschen und auf einer präformalen
Ebene bereits einige Angebote ausschließen. Dadurch
werden alle SuS aufgefordert, sich mit der Leitfrage
der Stunde auseinanderzusetzen, und es wird ihnen
ein Sprechanlass geboten. Im Plenum werden die
Ergebnisse zusammengetragen und „überflüssige“ Angebote
aus der Angebotspalette herausgenommen, um
die Aufmerksamkeit neu zu bündeln.
Im Vorfeld der Gruppenarbeit werden einige Voraussetzungen
geklärt – eine Art Zwischensicherung –, damit
alle SuS auf gleichem Niveau mit der Erarbeitung beginnen
können und sich nicht an allgemein zu erwartenden
Fragen aufhalten. Die SuS arbeiten in GA und
formulieren abschließend eine Empfehlung.
Da die SuS aufgrund der konkreten Fragestellung „produktorientiert“
gearbeitet haben, wird es ihnen ein Anliegen
sein, zunächst ihren „Schnittpunkt“ und die Angebotsempfehlung
mitzuteilen. Zur Würdigung aller Ergebnisse
werden alle Schnittpunkte und Empfehlungen
an der Tafel notiert.
Inwiefern eine Thematisierung des Lösungsprozesses
(zu Beginn dieser Phase) möglich ist, hängt von der
Zeit ab. Die SuS sollten dann kurz versprachlichen, wo
die Besonderheit bei diesen Tarifen im Vergleich zu den
bisher im Unterricht bearbeiteten linearen Funktionen
liegt.
8

Nadine Baumann Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
Vertiefung
(Didaktische
Reserve)
- Ideen entwickeln zum Aufstellen einer Funktionsgleichung
für den stückweise linearen Tarif
- Aufstellen der Gleichung durch graphisches Extrapolieren
und Ablesen von Steigung und y-Achsenabschnitt
oder durch Rückbezug zur Wertetabelle
UG
OHP/Folie Durch die Betrachtung der beiden Graphen im Koordinatensystem
sollen die SuS erste Überlegungen anstellen,
wie sie auch die dritte zu Beginn der Stunde vorgeschlagene
Lösungsstrategie (mittels Gleichung) verfolgen
könnten.
HAUSAUFGABE ZUR STUNDE/ZUR NÄCHSTEN STUNDE: Aufgaben werden in Form von Wochenplänen bearbeitet und in diesem Kurs dienstags gestellt.
9

Angebotspalette zur Fotoentwicklung:
Angebot BLUE
Für das Versenden
Ihrer Fotos nehmen
wir nur 2 Euro,
und für jedes
gedruckte Bild zahlen
Sie nur 8 Cent!
Angebot RED
Unbedingt zugreifen!
Wir versenden Ihre Fotos
schon für 2 Euro pro Auftrag,
und für jeden Bilddruck
zahlen Sie nur 9 Cent!
Angebot YELLOW
Wir schenken Ihnen
die ersten 20 Fotos!
Sie zahlen dafür nur die
Versandgebühr in Höhe von
5 Euro.
Jedes weitere Bild erhalten
Sie dann für nur 5 Cent!
Angebot GREEN
Wir versenden Ihre Fotos gegen
eine Gebühr von 3,50 Euro.
Für jede Bildbestellung zahlen
Sie nur 8 Cent!
10

Mathematik E-Kurs 9e/KUHL+BAUM 29. September 2010
Arbeitsaufträge:
Wer hat das günstigste Angebot zum Fotodruck?
1) Füllt mit geeigneten Werten die Wertetabelle für beide Angebote aus.
Anzahl
bestellter
Drucke
Kosten
BLUE
(in EUR)
Kosten
YELLOW
(in EUR)
2) Tragt diese Werte in ein gemeinsames Koordinatensystem ein! (Bitte im Heft erstellen.)
3) Formuliert eine schriftliche Empfehlung zur Frage „Wer hat das günstigste Angebot zum
Fotodruck?“
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Zum Weiterdenken:
Angebot BLUE
Für das Versenden
Ihrer Fotos nehmen
wir nur 2 Euro,
und für jedes
gedruckte Bild zahlen
Sie nur 8 Cent!
Überlegt, wie ihr die Aufgabe rechnerisch lösen könnt!
Wenn ihr nicht weiterkommt, schreibt auf, worin euer Problem liegt!
Angebot YELLOW
Wir schenken Ihnen
die ersten 20 Fotos!
Sie zahlen dafür nur die
Versandgebühr in Höhe von
5 Euro.
Jedes weitere Bild erhalten
Sie dann für nur 5 Cent!
11

Antizipierte Lösung (der SuS):
Anzahl
bestellter
Drucke
Kosten
BLUE
(in EUR)
Kosten
YELLOW
(in EUR)
!"#$%&'(&')*+'
$!"!!#
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+"!!#
*"!!#
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("!!#
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&"!!#
%"!!#
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y blue = 0,08 x + 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
2,00 2,80 3,60 4,40 5,20 6,00 6,80 7,60 8,40 9,20 10,00
5,00 5,00 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00
7"$"82456%'
!# %!# '!# )!# +!# $!!#
,&-./0'1%#$%00$%2'32456%'
y yellow = 0,05 (x-20) + 5 für den Definitionsbereich [20; ![
Schnittpunkt von Angebot BLUE und YELLOW: ( )
Übertragen in das Realmodell müsste bei einer Bestellung ab 67 Bilder das Angebot YELLOW
gewählt
werden.
-./0#
10..23#
12

Geplantes Tafelbild:
(Die linke Tafelseite muss wegen der Projektionsfläche für den Overheadprojektor während der Stunde geschlossen bleiben.)
Tafelbild 1:
Wer hat das günstigste 29.9.2010
Angebot zum Fotodruck?
BLUE: ?
YELLOW: ?
GREEN: fällt weg
RED: fällt weg
Außenseite des linken Tafelflügels Innenseite des mittleren und rechten Tafelflügels
Tafelbild 2:
Wer hat das günstigste 29.9.2010
Angebot zum Fotodruck?
BLUE: ?
YELLOW: ?
GREEN: fällt weg
RED: fällt weg
Außenseite des linken Tafelflügels
Angebot GREEN
unabhängige Größe x =
Anzahl der Fotodrucke
Angebot RED
zugeordnete Größe y =
Kosten in !
(Grundgebühr + Anzahl der Fotos)
Innenseite des linken Tafelflügels
Empfehlungen zum
günstigsten Fotodruck:
- Empfehlung Gruppe 1
…
- Empfehlung Gruppe 5
Angebot BLUE
Angebot YELLOW
Außenseite des rechten Tafelflügels
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