Mechanik 1

Physik für Pharmazeuten
und Biologen
MECHANIK I
Kinematik
Dynamik

MECHANIK
Bewegungslehre (Kinematik)
Gleichförmige Bewegung
Beschleunigte Bewegung
Kräfte

Mechanik I 1.1 Kinematik
• Kinematik beschreibt Ablauf einer Bewegung
Bewegung definiert relativ zu
Bezugssystem Koordinatensystem
Ursprung O
r ( t
)
Ortsvektor zu Massepunkt
zum Zeitpunkt t
Einschub Vektorrechnung:
Addition Subtraktion skalare und vektorielle
Multiplikation

Mechanik I
Geschwindigkeit
• Differenz der Ortsvektoren zu t 1 und t 2
r r r
∆ =
( t ) −
( t )
2 1
• mittlere Geschwindigkeit: Ortsdifferenz / Zeitdifferenz
r
∆r
( t2 ) −
( t1
)
v = r r
∆t =
t2 −
t1
• momentane Geschwindigkeit:
Grenzfall t 2 t 1
r
( 2 ) ( 1)
( ) lim lim r
∆
v t
t −
= =
r
t
1
∆t t −t
t →t t →t
2 1 2 1
2 1
[ l]
• Einheit
m
[ v ] =
[ t]
=
s
• geradlinige Bewegung: Richtung von v r ist konstant
• gleichförmige Bewegung: Größe von v r ist konstant

Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe
Ein Vektor hat einen Betrag (Länge des Pfeils) und eine Richtung.
y
⎛
v = ⎜ 2⎞
⎟ m ⎝ 3⎠
s
v
y
= 3
m
s
v v
vx = 2
m
s
x
v = v 2 x
+ v 2 y
= 9 m2
2 2
Die x- und y-Komponenten erhält man
durch Projektion auf die Achsen
s 2
+ 4 m2
s 2 = 13 m s

Mechanik I
Beschleuningung
• Differenz der Geschwindigkeitsvektoren zu t 1 und t 2
r r r
∆ v = v( t ) −v( t )
2 1
• mittlere Beschleunigung: Geschwindigkeitsdiff./ Zeitdifferenz
r
∆v
v ( t2 ) −v ( t1)
a = = r r
∆t t −t
2 1
• momentane Beschleunigung:
Grenzfall t 2 t 1
r
( ) lim lim v r
∆v
a t
t −
= =
v r
t
• Einheit
1
( 2 ) ( 1)
∆t t2−t
t
1
2→t1 t2→t1
[ l]
m
[ t][ t]
2
s
[ a ] = =
• Tangentialbeschleunigung: Richtung der Geschwindigkeit wird geändert
• Normalbeschleunigung: nur ändert sich v
r a
r
v r ( )

Vektor-Charakter der Beschleunigung
v[m/s]
Auch die Beschleunigung ist ein
Vektor.
r ∆v
r
a = lim
t →0
= dr v ⎡ m⎤
∆t
dt ⎣
⎢
s
2 ⎦
⎥
a
dv
dt
= und
2
ds d s
v = ⇒ a =
2
dt dt
t[s]

Mechanik I
einfache Bewegungen
• gleichförmig geradlinige Bewegung
(Tropfenwagen, nur eine Richtung
nur skalar): r( t)
= r + vt
0
• gleichmässig beschleunigte Bewegung
- konstante Kraft bewirkt
konstante Beschleunigung: a = F m
- v ändert sich linear mit der Zeit: v( t)
= v0
+ at
1
- r ändert sich quadratisch mit der Zeit: r( t)
= r + v t + at
- bei einfachen Anfangswerten (r 0 =0, v 0 =0):
0
1 2
0 2
2
• freier Fall: Spezialfall der beschleunigten Bewegung (Fallschnüre)
Entsprechend Gravitationsgesetz (siehe später) erfährt jeder
Körper eine Beschleunigung von (Galileis Fallexperimente)
2
a = g = 9,81 m/ s Erdbeschleunigung
Dartpfeil
v = at, r = at , v = 2ar
2

Wichtige Formeln: die gleichförmig beschleunigte Bewegung
a
[ m ]
2
s
a
a ( t ) = a
v
[ m
s ]
t [ s ]
v ( t )
=
t
∫
0
a
⋅
dt
v ( t ) = a ⋅ t + v
0
s
v 0
[ m ]
s 0
t
t
[ s ]
[ s ]
t
( a ⋅ t )
s ( t ) = ∫ + v
0
dt
a
s +
2
2
( t ) = ⋅ t + v
0
⋅ t s
0
0

Experiment:
Fallender Körper im Schwerefeld (Fallschnur)
a
s +
2
mit v = 0, s = 0, a
2
( t)
= ⋅t
+ v0
⋅t
s0
s(
t)
=
0
a
2
⋅t
2
0
=
g
gilt

Mechanik I
Addition von Geschwindigkeiten
• alle vektorielle Größen können addiert werden !
Ort bekannt aus Mathematik. Aber auch Geschwindigkeit,
Beschleunigung, ......
• Experiment: Kanonenwagen
Geschwindigkeit von Wagen
und Kugeln addieren sich
• Bezugssystem:
Laborsystem: Wagen bewegt sich, zusätzlich Kugel
Wagen: Kugel bewegt sich
Inertialsystem: nichtbeschleunigtes Bezugssystem

Mechanik I
Experiment
Kanonenwagen

Gleichzeitig verlaufende Bewegungen überlagern sich
ungestört und addieren sich geometrisch
Beispiel: Bewegung eines Boots
v
v Fluß
v Boot
v
v Fluß
v ges
v Boot
v ges
= v Fluß
+ v Boot

Mechanik I
2 Versuche
Dartpfeil
Fallschnur

Mechanik I
Experiment:
g
Dartpfeil auf fallende Scheibe
g

Paradebeispiel: Der waagrechte Wurf
y
a=g
v 0
h 0
x
Wie weit entfernt landet der Ball
Welches ist der Aufschlagwinkel
Galileo Galilei
(1564-1642)

In der Natur vorkommende Geschwindigkeiten
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) :
3⋅10
8
m /
s
Schallgeschwindigkeit :
3⋅10
2
m /
s
Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :
2
⋅
10
3
m /
s
Elektronen in der Fernsehröhre :
1⋅10
6
m /
s
Schuss aus einer Gaspistole :

Experiment:
Mechanik I
Messung der Geschossgeschwindigkeit
[Tafel]

Anwendungsbeispiel: Neutronen-Flugzeit-Spektrometer
Auswahl Mechanik / Analyse I der Neutronen-Geschwindigkeit mit rotierenden
Schlitzen (chopper)
Bei 20 °C (= 293 K) ist v Neutron = 2200 m/s
am wahrscheinlichsten (Bolzmannverteilung)
Wassermoderator
(D2O)

Anwendung beschleunigte Bewegung: Massenspektrometer
(time of flight) TOF Analysator
F
m
Beschleunigung : ( )
el 10 14 2
a = ≈ 10 −10
[ m / s ]
freier Flug
Beschleunigung
s(t)
s 1
s 2
Weg-Zeit Diagramm
t 0 t 1
t 2 [µs]

Matrix-assisted laser desorption/ionization (MALDI)
Quelle : Lottspeich

Winkelmessungen
b
Das Bogenmaß
ϕ = b r
Obwohl das Winkelmaß einheitenfrei ist,
verwendet man die “Einheit” rad
ϕ
r
Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß:
Für 360 ° (Vollkreis) gilt :
b 2π
r
b = 2 π r ⇒ ϕ = = = 2π
r r
(Kreis-Umfang)
ϕ =
ϕ°
2π
360°
z.B. 45° = 0.785 rad = 2 π / 8 rad

y
Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
s
y = r ⋅sinϕ
ϕ
x = r ⋅ cosϕ
x
v ⎛
s = ⎜
r ⋅ cos(ϕ) ⎞
⎝ r ⋅sin(ϕ ) ⎠
Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.
ϕ (t) = ω ⋅t ω :
Winkelgeschwindigkeit
ω = 2 π f =
2π
T
f: Frequenz, Drehzahl (Einheit: 1/s oder Hz)
T: Umlaufszeit, Periodendauer

Die Newtonschen Grundgesetze
1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)
Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der
Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.
2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)
Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als
F = m⋅
a
(für m=konstant)
F = d ( m ⋅ v)
/ dt
(allgemein gültig)
3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)
Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern
wechselwirken, ist die Kraft F 12 auf den einen Körper entgegengesetzt
gleich der Kraft F 21 auf den anderen Körper.
F
=
−
12
F 21
[N=kg·m/s 2 = 1 Newton]
m : „träge Masse“
(actio=reactio)

Mechanik I
Experiment actio = reactio

Schwere und träge Masse
Die Materie besitzt neben der Trägheit auch noch
die Eigenschaft der Schwere.
Aber : schwere und träge Masse sind identisch!
F Gewicht = m s ⋅ g
F Beschl
= m t
⋅ a
=1
a = m s
m t
g = g
„Äquivalenzprinzip“
Fundamentaler Zusammenhang zwischen Trägheit und Gravitation

Experimentelle Grundlage des Dynamischen Grundgesetzes
v
F = m ⋅ a
v
Masse [kg]
Beschleunigung[m/s 2 ]
Newton (N) =[kg·m/s 2 ]

Mechanik I 1.2 Dynamik
• Dynamik erklärt Ursache der Bewegung(sänderungen)
• Trägheit:
Galilei: geradlinig gleichförmige Bewegung (ggB) bedarf
keiner Ursache Galileisches Trägheitsprinzip
• Aktionsprinzip:
Newton: Kraft ist notwendig, um Körper aus ggB zu bringen,
verursacht Beschleunigung, verschiedene Körper werden
durch gleiche Kraft unterschiedlich beschleunigt.
r r r &&
( )
F = ma = mr
• Einheit der Kraft:
2
[ F] = [ m][ a] = kg m/ s = N Newton

Mechanik I
Newtons Axiome
• Newton baute gesamte Mechanik auf drei Sätzen auf:
1) Trägheitsprinzip:
Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich
geradlinig gleichförmig. (Ruhe ist Spezialfall mit r
v = 0
r )
2) Aktionsprinzip:
Wenn eine Kraft auf einen Körper mit der Masse m
wirkt, beschleunigt F r
sie ihn mit r r
3) Reaktionsprinzip:
a = && r = F
m
Wenn die Kraft , die auf einen Körper wirkt, von
einem anderen FKörper r
ausgeht, so wirkt auf diesen
die entgegengesetzt gleiche Kraft
−F
r

Mechanik I
Kräfte
• Gravitationskraft: Kraft zwischen Massen
Gravitationsgesetz:
( ) ( )
F = F r − r = −F r − r = −F
1 2 1 1 2 2
Gravitationskonstante
r
m m 1 2
F = G r
2 r
• Gewichtskraft (Schwerkraft):
r
G
≈
−11
Nm
6,6710
kg
m 1 =M=5.98 10 24 kg Erdmasse
r=R=6 378 388 m Erdradius
2
FG
= m g mit g = GM
2 = 9,81 m/
s
R
g hängt von h (Meereshöhe), bzw. geographischer Breite ab.
• Gravitationskraft verantwortlich für Bewegung der Planeten etc.
(Kepler), Gezeiten
2
2

Mechanik I
Kräfte
• Federkraft
aus Beobachtung: rücktreibende Kraft
F el ist Auslenkung proportional
r r r
F = k x = −F el
k....Federkonstante
später:
Reibungskraft, Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft,
Auftrieb(skraft), innere Reibungskraft in Flüssigkeiten,
Stömungswiderstand, Adhäsions- und Kohäsionskraft,
Kräfte zwischen Ladungen und Strömen, ............

Mechanik I
Zusammenfassung
• Kinematik
Beschreibung der Bewegung
Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
• Dynamik
Ursache der Bewegung
Newtons Axiome
Kräfte: Gravitationskraft, Federkraft
einfache Bewegungen