Einkommens- und Substitutionseffekt

Setzt man nun die kompensierten Nachfragemengen in die Zielfunktion des obigen Minimierungsproblems
ein, erhält man die Ausgabenfunktion E, die von den Preisen und dem
Nutzenniveau abhängt:
E(p 1 ,p 2 ,u):=p 1 x 1 (p 1 ,p 2 ,u)+p 2 x 2 (p 1 ,p 2 ,u)
Die Ausgabenfunktion gibt die minimalen Ausgaben an, die bei gegebenen Preisen zur
Realisierung eines vorgegebenen Nutzenniveaus erforderlich sind.
Von den Eigenschaften der Ausgabenfunktion sind wichtig:
a) Shepard’s Lemma
∂E(·)
∂p i
= x i (p 1 ,p 2 ,u) i =1, 2
Die Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem i-ten Preis ergibt die kompensierte
Nachfrage nach Gut i.
Beweis:
∂E(·)
∂p 1
= x 1 (p 1 ,p 2 ,u)+p 1
∂x 1
∂p 1
+ p 2
∂x 2
∂p 1
Berücksichtige aus (a): p i = λ ∂u
∂x i
Dann ist
∂E(·)
∂p 1
[ ∂u ∂x 1
= x 1 (p 1 ,p 2 ,u)+λ + ∂u ]
∂x 2
∂x 1 ∂p 1 ∂x 2 ∂p 1
Setzt man die (kompensierten) Nachfragefunktionen in die Nebenbedingung (c) ein,
wird diese zur Identität.
u ∗ ≡ u(x 1 (p 1 ,p 2 ,u),x 2 (p 1 ,p 2 ,u))
(≡ ist Identität)
Ableitung nach p 1 liefert dann:
Damit folgt die Behauptung.
0= ∂u
∂x 1
∂x 1
∂p 1
+ ∂u
∂x 2
∂x 2
∂p 1
Ferner gilt:
b)
∂ 2 E
∂p j ∂p i
= ∂x 1
∂p j
(p 1 ,p 2 ,u)
i ≠ j
(Die zweite Ableitung der Ausgabenfunktion gibt gerade die Substitutionseffekte
der Slutzky-Gleichung - nach Hicks - an.)
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