7.5. Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse) - Springer Vieweg

110 7 Analyse linearer Netze
Die Widerstandsmatrix ist korrekt, da alle Elemente symmetrisch gegenüber
der Hauptdiagonalen angeordnet sind.
• Die abhängigen Ströme ergeben sich als:
I1 = I5 + I6 + I7
I2 = −I7 + I8 + I9
I3 = −I6 − I9 + I10
I4 = −I5 − I8 − I10
Bemerkung:
Die Lösungsstrategie über ” vollständige Bäume“ ist die einzige, die bei komplizierten
Netzwerken (wie das oben behandelte) die korrekte Auswahl der unabhängigen
Maschen gewährleistet.
7.5. Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse)
7.5.1. Abhängige und unabhängige Spannungen
Die Maschenanalyse hat als Ziel, die m = z − k +1 ” unabhängigen“ Ströme zu
bestimmen. Die übrigen (k − 1) abhängigen Ströme, die in den Baumzweigen
des vollständigen Baumes fließen, werden anschließend durch einfache Superposition
4 ermittelt.
Nun kann man davon ausgehen, dass man Spannungen in bestimmten Netzzweigen
bestimmen möchte. Dann hat man das nur für die unabhängigen
Spannungen zu tun, die übrigen lassen sich aus diesen mit Hilfe der 2. Kirchhoffschen
Gleichung ausdrücken.
Es soll die Schaltung der Wheatstone–Brücke (siehe Abbildung 7.16) betrachtet
werden.
Man wählt zunächst einen vollständigen Baum aus. Ein solcher Baum ist in
der Abbildung 7.16, rechts dargestellt. Man kann leicht sehen, dass die drei
Spannungen U1, U2 und U3 der drei Baumzweige unabhängig sind, d.h.: diese
Spannungen könnte man beliebig vorschreiben. Würde man noch irgendeinen
Zweig dazunehmen, so würde diese neue Spannung nicht mehr unabhängig
sein, denn es würde eine geschlossene Masche entstehen, in der die Umlaufgleichung
� U = 0 gelten muss. Es wäre auch unmöglich, die drei Spannungen U4,
U5 und U6 in den drei Verbindungszweigen vorzuschreiben, denn für sie gilt:
U4 + U5 + U6 =0,
also eine Spannung davon ist abhängig.
4 durch Anwendung der 1. Kirchhoffschen Gleichung
�

7.5 Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse) 111
A
R4
R1
R6
B
D
R2
R5
R3
Uq6
C
U1
4 5
Abbildung 7.16.: Wheatstone–Brücke mit Spannungsquelle und vollständiger
Baum
Merksatz Die Spannungen an den Baumzweigen5 bezeichnet man als unabhängige
Spannungen. Die übrigen Spannungen an den Verbindungszweigen
erhält man aus den Maschengleichungen.
Das Knotenpotentialverfahren bestimmt die (k−1) unabhängigen Spannungen.
Die restlichen m Spannungen kann man aus Maschengleichungen ermitteln.
7.5.2. Aufstellung der Knotengleichungen
Um Spannungen leicht zu bestimmen, ist es sinnvoll, das Ohmsche Gesetz in
der Form I = G · U anzuwenden, und dazu
• alle Spannungsquellen in Stromquellen umzuwandeln
• alle Widerstände R in Leitwerte G umzuwandeln.
A
U4
IG6
Iq6
B
D
U5
IG4 G4
IG2 G5 IG5
U2 G2
U1
U3
IG1 IG3
G1
U6
Abbildung 7.17.: Wheatstone–Brücke mit Leitwerten und Stromquelle
5 Es gibt (k − 1)Baumzweige
G6
G3
C
U2
6
U3

112 7 Analyse linearer Netze
Die zu untersuchende Schaltung ergibt sich dann so, wie in Abbildung 7.17
gezeigt. Man kann das Ohmsche Gesetz für alle sechs Leitwerte schreiben:
IG1 = U1 · G1
IG2 = U2 · G2
. =
IG6 =U6 · G6 .
Die 1. Kirchhoffsche Gleichung ergibt in den Knoten A, B und C:
IG1 + IG4 − IG6 − Iq6 = 0 Knoten (A)
IG2 + IG5 − IG4 = 0 Knoten (B)
IG3 + IG6 − IG5 + Iq6 = 0 Knoten (C)
Die drei unabhängigen Maschengleichungen sind:
U4 = U1 − U2
U5 = U2 − U3
U6 = U3 − U1
In den Knotengleichungen kann man die Ströme durch die zugehörigen Spannungen
ausdrücken:
⎧
Knoten (A) ⎨ G1 · U1 + G4 · U4 − G6 · U6= Iq6
Knoten (B) G2 · U2 − G4 · U4 + G5 · U5= 0
⎩
Knoten (C) G3 · U3 − G5 · U5 + G6 · U6=−Iq6
Jetzt kann man die abhängigen Spannungen U4, U5 und U6 mit Hilfe der drei
Maschengleichungen eliminieren:
⎧
Knoten (A) ⎨ G1 · U1 + G4 · (U1 − U2) − G6 · (U3 − U1)= Iq6
Knoten (B) G2 · U2 − G4 · (U1 − U2)+G5 · (U2 − U3)= 0
⎩
Knoten (C) G3 · U3 − G5 · (U2 − U3)+G6 · (U3 − U1)=−Iq6
Man kann dieses Gleichungssystem nach den drei unbekannten Spannungen U1,
U2 und U3 ordnen:
(A)
(B)
(C)
⎧
⎨
⎩
(G1 + G4 + G6) · U1 −G4 · U2 −G6 · U3 = Iq6
−G4 · U1 +(G2 + G4 + G5) · U2 −G5 · U3 = 0
−G6 · U1 −G5 · U2 +(G3 + G5 + G6) · U3 = −Iq6
Dieses Gleichungssystem kann folgendermaßen gedeutet werden:
• Jede Gleichung entsteht aus einer Knotengleichung.
• Was jede Gleichung enthält, kann man z.B. im Knoten (A) betrachten:

7.5 Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse) 113
U4
U1
U2
B
U5
A D C
0000 1111 U3
U6
Abbildung 7.18.: Vollständiger Baum mit dem Knoten D als Bezugsknoten
– Der einzige Baumzweig ist hier der Baumzweig 1. Seine unabhängige
Spannung U1 multipliziert die Summe aller drei im Knoten (A)
zusammengeführten Leitwerte G1 + G4 + G6. Man bezeichnet G1 +
G4 + G6 als Knotenleitwert.
– Als Koeffizienten für die anderen zwei Spannungen U2 und U3 treten
die Leitwerte G4 und G6 auf, die den Knoten (A) direkt mit
dem Knoten (B) 6bzw. mit dem Knoten (C) 7verbinden: G4 ist der
Kopplungsleitwert zwischen Knoten (A) und Knoten (B), G6 ist
der Kopplungsleitwert zwischen Knoten (A) und Knoten (C).
• Man bemerkt, dass alle Knotenleitwerte positiv, alle Kopplungsleitwerte
negativ sind.
• Auf der rechten Seite erscheint die Summe aller Quellenströme, die in
den betreffenden Knoten hineinfließen 8 (siehe Abbildung 7.18).
Eine kompakte Schreibform für das untersuchte Gleichungssystem sieht folgendermaßen
aus:
�
� � � � �
� G11 G12 �
... G � � � � �
1(k−1) � � � � �
� G21 G22 �
... G � � � � �
2(k−1) � � � � �
�
� · � � = � �
�
� � � � �
�
� � � � �
�
� � � � �
.
G (k−1) 1 G (k−1) 2 ... G (k−1) (k−1)
mit: Gii > 0 = Knotenleitwerte,
Gij < 0 = Kopplungsleitwerte,
U ′ i
I ′ qi
= unabhängige Spannungen,
U ′ 1
U ′ 2
.
U ′ k−1
= Summe aller Quellenströme in dem Knoten i
(mit Pluszeichen, wenn sie hineinfließen).
6 U2 ist die dem Knoten (B) zugeordnete unabhängige Spannung
7 U3 ist die dem Knoten (C) zugeordnete unabhängige Spannung
8 Fließen Ströme aus dem Knoten heraus, so erhalten sie ein Minuszeichen
I ′ q1
I ′ q2
.
I ′ qk−1

114 7 Analyse linearer Netze
Diskussion über die Struktur der Leitwertmatrix für die Knotenanalyse
Man muss besonders betonen, dass das sehr einfache Bildungsgesetz für das
Gleichungssystem (alle Knotenleitwerte positiv, alle Kopplungsleitwerte negativ)
nur dann gilt, wenn
• der Baum alle Knoten des Netzes strahlenförmig mit einem Bezugsknoten
verbindet,
• man den Bezugsknoten bei der Anwendung der Knotengleichungen
nicht benutzt,
• die Zählpfeile der unabhängigen Spannungen auf den Bezugsknoten
zuweisen.
Diese erhebliche Einschränkung bei der Auswahl des vollständigen Baumes wird
praktisch immer hingenommen.
Anmerkung : Man könnte auch mit einem anderen Baum zum Ziel kommen,
doch dann wäre das Gleichungssystem nicht mehr so einfach.
7.5.3. Regeln zur Anwendung der Knotenanalyse
1. Man formt die Schaltung um, indem man
• alle Widerstände in Leitwerte umrechnet,
• alle Spannungsquellen durch Stromquellen ersetzt,
• die nötigen Vereinfachungen durchführt (vor allem Parallelschaltungen
von Leitwerten).
Die Ströme erhalten Zählpfeile.
2. Man wählt einen beliebigen Bezugsknoten aus, dem man ein willkürlich
gewähltes Potential 9 zuweist. Die Spannungen zwischen diesem Knoten
und den übrigen Knoten, also die entsprechenden Potentialdifferenzen,
sind die unabhängigen Spannungen.
Das Ziel der Knotenanalyse ist, die unbekannten (k − 1) unabhängigen
Knotenspannungen zu bestimmen. Diese Zahl ist in den meisten Fällen
kleiner als m.
3. Mit dem Bezugsknoten ist der vollständige Baum festgelegt: er verbindet
sternförmig alle Knoten mit dem Bezugsknoten. Sind nicht alle
Knoten direkt mit dem Bezugsknoten verbunden, so fügt man Zweige mit
dem Leitwert G = 0 ein.
9 Als Potential kann z.B. Null gewählt werden, d.h. der Knoten wird gedanklich ” geerdet“.

7.5 Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse) 115
4. Alle unabhängigen Spannungen erhalten Zählpfeile, die auf den Bezugsknoten
zeigen.
5. Man schreibt das Gleichungssystem für die (k − 1) unbekannten unabhängigen
Spannungen, indem man nacheinander alle Knoten betrachtet.
Der Bezugsknoten erhält keine Gleichung !
• Der Koeffizient der unabhängigen Spannung des betreffenden Knotens
ist der immer positive Knotenleitwert. Er ist gleich der
Summe aller Leitwerte, die in dem Knoten zusammengeführt sind.
• Die Koeffizienten der anderen unabhängigen Spannungen sind die
immer negativen Kopplungsleitwerte.
• Auf der rechten Seite steht die Summe der Quellenströme in dem
betrachteten Knoten, mit Pluszeichen, wenn sie hineinfließen.
6. Man löst das Gleichungssystem für die (k − 1) unbekannten Spannungen.
7. Die abhängigen Spannungen ergeben sich aus den Maschengleichungen.
8. Die Ströme ergeben sich aus dem Ohmschen Gesetz
I = G · U
oder, in Zweigen mit Quellen, aus einer Kirchhoffschen Gleichung.
7.5.4. Beispiele zur Anwendung der Knotenanalyse
� Beispiel 7.9
Für die Wheatstone–Brücke aus Abbildung 7.19 (links) sollen alle Ströme mit
Hilfe der Knotenanalyse bestimmt werden. Für die Richtungen der Ströme siehe
Abb. 7.13.
R4
R1 R6
B
I6
R2
R5
Uq6
G4
A C A
D D
R3
G1
IG6
Iq6
B
G2
G6
G5
G3
Abbildung 7.19.: Wheatstone–Brücke zu Beispiel 7.9
Es gilt: Uq6 =10V , R1 =3Ω, R2 =1Ω, R3 =2Ω, R4 =1Ω, R5 =5Ω,
R6 =1Ω.
C

116 7 Analyse linearer Netze
1. Man formt die Schaltung um:
• Widerstände → Leitwerte:
G1 = 1 R1 = 1 3 S ; G2 = 1 R2 =1S ; G3 = 1 R3 = 1 2 S
G4 = 1 R4 =1S ; G5 = 1 R5 = 1 5 S ; G6 = 1 R1 =1S
2. • Man wandelt die Spannungsquelle in eine Stromquelle um:
A C A C
R6
Iq6
Uq6
= Uq6
R6
Iq6
= 10 V
1Ω =10A
3. Als Bezugsknoten wird der Knoten (D) gewählt.
4. Es ergibt sich der vollständige Baum aus der Abbildung 7.18.
5. Die unabhängigen Spannungen sind U1, U2 und U3. Das Gleichungssystem
lautet:
U1 U2 U3
G1 + G4 + G6
−G4
−G4
G2 + G4 + G5
−G6
−G5
Iq6
0
−G6 −G5 G3 + G5 + G6 −Iq6
bzw. mit Zahlenwerten:
U1 U2 U3
1
3
S +1S +1S −1 S −1 S 10 A
−1 S 1 S +1S + 1 5 S −1 5
S 0
−1 S −1 5 S 1
2
S + 1 5
S +1S −10 A
5. Es ergeben sich: U1 =3V U2 =1V U3 = −4 V
6. Aus den Maschengleichungen (siehe Graph) ergeben sich die abhängigen
Spannungen:
U4 = U1 − U2 =3V − 1 V =2V
U5 = U2 − U3 =1V − (−4 V )=5V
U6 = U3 − U1 = −4 V − 3 V = −7 V
R6

7.5 Knotenpotentialverfahren (Knotenanalyse) 117
7. Die sechs gesuchten Ströme sind:
I1 = U1 · G1 =3V · 1 3
S =1A
I2 = U2 · G2 =1V · 1 S =1A
I3 = U3 · G3 = −4 V · 1 2
S = −2 A
I4 = U4 · G4 =2V · 1 S =2A
I5 = U5 · G5 =5V · 1 5
S =1A
I6 = IG6 + Iq6 = U6 · G6 + Iq6
= −7 V · 1 S +10A =3A
Man ersieht, dass sich alle Ströme in den passiven Zweigen direkt aus dem
Ohmschen Gesetz ergeben. In Zweigen mit Quellen muss man zusätzlich die
Knotengleichung berücksichtigen.
�
� Beispiel 7.10
In der folgenden Schaltung (siehe nächste Abbildung, oben) soll der Strom IAB
mit der Knotenanalyse ermittelt werden. Es gilt: Uq1 =20V , Uq2 =10V ,
R1 =5Ω, R2 =10Ω, R3 =2Ω, R4 =5Ω.
Uq1
4A
I1
1
5 S
R1
A
C
1
2 S
A B
I3
R3
1
5 S
C
1
10
IAB
R4
R2
Uq2
A
1A
4A 1A
S 1S
C
0000 1111
Zuerst muss das Netzwerk umgewandelt werden (untere Abbildung, links). In
diesem Netzwerk fasst man die Leitwerte zusammen. Wählt man den unteren
Knoten C als Bezugsknoten, so muss man nur die Gleichung des oberen Knotens
(A–B) schreiben. Die einzige Gleichung lautet:
G · U =5A → U =
5 A
1 S =5V
Jetzt muss man in die ursprüngliche Schaltung zurückgehen, um den gesuchten
Strom zu ermitteln. Da die Spannung zwischen A und C bekannt ist, kann man