Integralrechnung - Uneigentliche Integrale - stuber.info

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A b t e i l u n g I n f o r m a t i k
Integralrechnung - Uneigentliche
Integrale
Prof. Dr. Josef F. Bürgler
Semesterwoche 14
Alle Aufgaben sind zusammen mit dem Lösungweg in möglichst einfacher Form darzustellen.
Numerische Resultate sind mit einer Genauigkeit von 4 Stellen anzugeben. Skizzen müssen qualitativ
und quantitativ richtig sein. Kontrollieren Sie also ihre Ergebnisse mit Hilfe von Maple und durch
gegenseitige Kontrolle.
Aufgabe 1: Uneigentliches Integral 1. Art
Berechne das uneigentliche Integral 1. Art (falls es existiert)
Lösung: Nach Definition gilt
∫ ∞
1
∫ ∞
1
1
x 2 dx =
1
x 2 dx.
= lim
R→∞
= 1.
∫ R
lim 1
R→∞
1 x dx, 2
[
= lim
] −x
−1 R
,
R→∞ 1
(
1 − 1 )
,
R
Mit Maple verwendet man int(1/x^2, x=1..infinity); und findet natürlich das selbe
Resultat.
1

Aufgabe 2: Uneigentliches Integral 1. Art
Berechne das uneigentliche Integral 1. Art (falls es existiert)
∫ ∞
0
exp(−x) dx.
Lösung: Versuchen sie diese Aufgabe analog zur vorigen zu lösen. Beachten sie dabei, dass ein
uneigentliches Integral (1. Art) in zwei Schritten berechnet wird: zuerst wird ein bestimmtes
Integral berechnet, danach lässt man eine Grenze gegen einen bestimmten Wert streben (d.h.
man muss einen Grenzwert berechnen!).
Aufgabe 3: Uneigentliches Integral 2. Art
Bestimmen sie das uneigentliche Integral 2. Art (falls es existiert)
∫ 1
Lösung: Nach Definition gilt
∫ 1
1
√ dx = x
0
0
1
√ x
dx.
∫ 1
lim
ε→0 + ε
1
√ x
dx,
= 2 lim
ε→0 + [
x
1/2 ] 1
ε ,
= 2 lim
ε→0 + (
1 −
√ ε
)
,
= 2.
Mit Maple verwendet man int(1/sqrt(x), x=0..1); und findet natürlich das selbe
Resultat.
Aufgabe 4
Bestimmen sie das uneigentliche Integral 2. Art (falls es existiert)
∫ 0
−1
1
√
|x|
dx.
Lösung: Versuchen sie diese Aufgabe analog zur vorigen zu lösen. Beachten sie dabei, dass ein
uneigentliches Integral (2. Art) in zwei Schritten berechnet wird: zuerst wird ein bestimmtes
Integral berechnet, danach lässt man eine Grenze gegen einen bestimmten Wert streben (d.h.
man muss einen Grenzwert berechnen!).
2

Aufgabe 5
Man berechne die Fluchtgeschwindigkeit 1 eines Körpers der Masse m auf der Erde mit der
Masse m E .
Lösung: Aus der Physik weiss man, dass sich zwei Körper mit Abstand r der Masse m und m E
mit folgender Kraft anziehen
F(r) = γ m Em
r 2 .
Wird der Abstand zwischen den beiden Körpern um dr verändert, muss die Arbeit
dW = F(r) dr = γ m Em
r 2
aufgewendet werden. Die total zu leistende Arbeit um den Körper von der Meereshöhe r E ins
Unendliche zu befördern erfordert also die Arbeit
W =
=
=
∫ ∞
r
∫ E
∞
r
∫ E
∞
r E
dW
F(r) dr
γ m Em
r 2
= γm E m lim
R→∞
= γm E m lim
R→∞
= γm E m lim
R→∞
= γm E m lim
R→∞
= γm Em
r E
.
dr
∫ R
r E
dr
r 2
[
−r
−1 ] R
[
r
−1 ] r E
R
r E
( 1
r E
− 1 R
Diese Arbeit wird dem Körper der Masse m zu Beginn der Reise als kinetische Energie
dr
)
E kin
= m 2 v2
mit auf die Reise gegeben. Aus E kin = W folgt also
m
2 v2 = γm Em
r E
1 Ein mit der Fluchtgeschwindigkeit auf der Erde senkrecht nach oben geschossener Körper kann das Gravitationsfeld
der Erde verlassen. Ist die Abschussgeschwindigkeit kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit, fällt der
Körper wieder auf die Erde zurück. Dabei vernachlässigen wir den Luftwiderstand sowie den Einfluss von
Gravitationsfeldern anderer Himmelskörper.
3

woraus man schliesslich die Fluchtgeschwindigkeit bestimmen kann
v F =
√
2γmE
r E
.
Im Fall der Erde mit der Masse m E = 5.9765 · 10 24 kg und dem Radius r E = 6.375 · 10 6 m und
der Gravitationskonstanten γ = 6.6739 · 10 −11 m 3 s −2 kg −1 hat man
v F =
√
2 · 6.6739 · 10
−11
m 3 s −2 kg −1 · 5.9765 · 10 24 kg
6.375 · 10 6 m
= 1.1 · 10 4 m/s.
Zum Vergleich: die Schallgeschwindigkeit beträgt ca. 330 m/s, die Mündungsgeschwindigkeit
eines Sturmgewehrs 57 beträgt 750 m/s und schliesslich fliegen die schnellsten Flügzeuge mit
etwa 3-facher Schallgeschwindigkeit. Sie sehen, dass auch diese Geschwindigkeit noch um den
Faktor 10 zu klein ist, um aus dem Gravitationsfeld zu entweichen.
Wir stellen uns nun auf einem schwarzen Loch ein Photon vor, welches die Oberfläche verlassen
möchte. Da es sich um ein schwarzes Loch handelt, können selbst Photonen mit der
Lichtgeschwindigkeit c nicht entweichen. In diesem sehr vereinfachten physikalischen Modell
(welches natürlich ohne die relativistische Mechanik auskommen muss) ist also der Radius der
Black-Hole (BH) gegeben durch
r BH ≤ 2γm BH
c 2 .
Nimmt man hier für die Masse der BH ca. das Zehnfache der Masse unserer Sonne, so findet
man
r BH ≤ 2 · 6.6739 · 10−11 m 3 s −2 kg −1 10 · 1.989 · 10 30 kg
(2.99792 · 10 8 ms −1 ) 2 = 2.95 · 10 4 m.
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