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Schließen, Beweisen und Folgern
Dr. Uwe Scheffler
[Technische Universität Dresden]
Dezember 2010

Beweisen
Der Beweis einer Formel A ist die Ableitung dieser Formel
aus einer leeren Annahmenmenge:
⊢ A = dfn ∅ ⊢ A
oder in A 1 , . . . , A n ⊢ A ist n = 0
Ein Theorem ist eine bewiesene Formel.
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Beispiel
Gezeigt werden soll: ⊢ ∼P(a) ⊃ ∼(P(a) ∧ Q(a))
1. {1} ∼P(a) HypE ⊃
2. {2} P(a) ∧ Q(a) HypE ∼
3. {2} P(a) B ∧ 2
4. {1} ∼(P(a) ∧ Q(a)) E ∼1, 2, 3
5. ∅ ∼P(a) ⊃ ∼(P(a) ∧ Q(a)) E ⊃ 1, 4
Gezeigt werden soll: ⊢ ∼Q(a) ⊃ ∼(P(a) ∧ Q(a))
1. {1} ∼Q(a) HypE ⊃
2. {2} P(a) ∧ Q(a) HypE ∼
3. {2} Q(a) B ∧ 2
4. {1} ∼(P(a) ∧ Q(a)) E ∼1, 2, 3
5. ∅ ∼Q(a) ⊃ ∼(P(a) ∧ Q(a)) E ⊃ 1, 4
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Theoreme
Theoreme können zu jeder Zeit als Zeilen zum Beweis
hinzugefügt werden.
Beispiel, gezeigt werden soll:
∀x(P(x) ∧ Q(x)) ⊃ ∼∃x(∼P(x) ∨ ∼Q(x))
1. {1} ∀x(P(x) ∧ Q(x)) HypE ⊃
2. {2} ∃x(∼P(x) ∨ ∼Q(x)) HypE ∼
3. {3} ∼P(a) ∨ ∼Q(a) HypB ∃
4. {1} P(a) ∧ Q(a) B ∀1
5. ∅ ∼P(a) ⊃ ∼(P(a) ∧ Q(a)) Theo
6. ∅ ∼Q(a) ⊃ ∼(P(a) ∧ Q(a)) Theo
7. {3} ∼(P(a) ∧ Q(a)) B ∨ 3, 5, 6
8. ∅ ∼(P(a) ∧ Q(a)) ⊃ ∼∀x(P(x) ∧ Q(x)) Theo
9. {3} ∼∀x(P(x) ∧ Q(x)) B ⊃ 7, 8
10. {2} ∼∀x(P(x) ∧ Q(x)) B ∃2, 3, 9
11. {1} ∼∃x(∼P(x) ∨ ∼Q(x)) E ∼1, 2, 10
12. ∅ ∀x(P(x) ∧ Q(x)) ⊃ ∼∃x(∼P(x) ∨ ∼Q(x)) E ⊃ 1, 11
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Indirekte Beweise
Satz: A 1 , . . . , A n ⊢ B genau dann, wenn
A 1 , . . . , A n , ∼B ⊢ C, ∼C für irgendein C.
Beweis: =⇒ – B ist das C.
⇐= – Setze in der rechten Ableitung als
Hypothese E ∼, mit E ∼, B ∼ erhält man die
linke Ableitung.
Anwendung: Wenn gezeigt werden soll
◮ A 1 , . . . , A n ⊢ B, oder
◮ ⊢ A 1 ⊃ (A 2 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .))
so führe A 1 , . . . , A n , ∼B zum Widerspruch.
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Beispiel indirekter Beweis
1. {1} ∼A ∨ ∼B Ann
2. {2} ∼∼(A ∧ B) AiB
3. {2} A ∧ B B ∼2
4. {2} A B ∧
5. {2} B B ∧
6. {6} ∼A HypE ⊃
7. ∅ ∼A ⊃ (A ⊃ C) Theo
8. {2, 6} C B ⊃
9. {2} ∼A ⊃ C E ⊃
10. {10} ∼B HypE ⊃
13. {2} ∼B ⊃ C E ⊃
14. {1, 2} C B ∨ 1, 10, 13
24. {1, 2} ∼C B ∨
Also gilt: ∼A ∨ ∼B ⊢ ∼(A ∧ B).
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Das Deduktionstheorem
Satz: ⊢ A 1 ⊃ (A 2 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .)) genau dann,
wenn A 1 , . . . , A n ⊢ B.
Beispiel: Anstelle von ⊢ A ⊃ B ⊃ (B ⊃ C ⊃ (A ⊃ C))
zeige A ⊃ B, B ⊃ C, A ⊢ C.
Bedeutung: Wenn ⊢ A 1 ⊃ (A 2 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .)), dann
lassen sich damit n neue abgeleitete
Schlußregeln rechtfertigen:
Γ A 1
Γ A 2 ⊃ (A 3 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .))
,
Γ A 1
∆ A 2
Γ ∪ ∆ A 3 ⊃ (A 4 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .))
. . .
Ξ
Γ ∪ ∆ ∪ . . . ∪ Ξ
Γ A 1
∆ A 2
.
A n
B
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Deduktionstheorem Beweis I
Angenommen, ⊢ A 1 ⊃ (A 2 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .)). Dann
sieht die gesuchte Ableitung so aus:
1. {1} A 1 Ann.
.
n. {n} A n Ann.
n + 1. ∅ A 1 ⊃ (A 2 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .)) Theo
n + 2. {1} (A 2 ⊃ (. . . ⊃ (A n ⊃ B) . . .) B ⊃ 1, n + 1
.
n + n {1, . . . , n} B B ⊃ n, n + n − 1
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Deduktionstheorem Beweis II
Angenommen, es gibt eine Ableitung A 1 , . . . , A n ⊢ B:
∗
1. {1} A 1 Ann. HypE ⊃
.
n. {n} A n Ann. HypE ⊃
.
k. {1, . . . , n} B
Dann wird wie unter ∗ „um-analysiert“. Die Zeile
k + n. ∅ B
ist Resultat von n Anwendungen von E ⊃.
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Weitere Regeln ableiten
1. {1} (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A) Voraussetzung
2. {1} A ⊃ B B ∧ 1
3. {1} B ⊃ A B ∧ 1
4. {4} A Hypothese
5. {1, 4} B B ⊃ 2, 4
6. {6} B Hypothese
7. {1, 6} A B ⊃ 3, 6
Γ A ≡ B
∆ A
Γ, ∆ B
A ≡ B = dfn (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)
Γ A ≡ B
∆ B
Γ, ∆ A
Γ
Γ
A ≡ B
A ⊃ B
Γ
Γ
A ≡ B
B ⊃ A
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Beispiele für interessante Regeln
Γ
∆
Γ ∪ ∆
A ∨ B
∼A
B
Γ
∆
Γ ∪ ∆
A ∨ B
∼B
A
Γ
Γ
∀iA
∃jA(i/j)
Γ
Γ
∼A(i/j)
∼∀iA
Γ
Γ
∼∃iA
∼A(i/j)
Γ
∆
Γ ∪ ∆
A ⊃ B
B ⊃ C
A ⊃ C
Γ
Γ
A ⊃ B
∼B ⊃ ∼A
Γ
∆
Γ ∪ ∆
A ⊃ B
A ⊃ C
A ⊃ B ∧ C
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Das Begründungsproblem
◮ Lewis Carroll: Alice in Wonderland
◮ Douglas Hofstadter: Godel, Escher, Bach: An Eternal
Golden Braid
◮ Warum stimmen die Regeln und nicht andere?
◮ Warum genau diese Regeln unter all denen, die
stimmen?
◮ Logiken, oder Logik?
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Achilles und die Schildkröte
Anna: Du akzeptierst, daß es regnet, und auch daß wenn
es regnet, die Straße naß ist. Also mußt Du auch
akzeptieren, daß die Straße naß wird.
Ben: Warum sollte ich das?
Anna: Nach der Regel, daß wenn A und A ⊃ B, dann
auch B gilt. (γ)
Ben: Du akzeptierst also, Wenn es regnet und wenn falls es
regnet die Straße naß wird und wenn die Regel γ gilt,
dann die Straße naß wird.
Anna: Ja klar.
Ben: Und wieso?
Anna: Das ist ein Fall von: Wenn A und A ⊃ B und
A, A ⊃ B ⊢ B, dann gilt auch B. (γ ∗ )
Ben: Du akzeptierst also, Wenn es regnet und wenn falls es
regnet die Straße naß wird und wenn die Regel γ gilt, und
γ ∗ auch, dann die Straße naß wird.
.
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Das Münchhausen-Trilemma
Unendlicher Regress Regeln werden von Regeln
begründet, die von anderen Regeln
begründet werden, die selbst von anderen
begründet werden . . .
Der Teufelskreis Regeln werden durch Regeln begründet,
deren Gültigkeit letztlich von ersteren
abhängt.
Der Erstbeweger Bestimmte Regeln werden nicht
begründet, sondern akzeptiert.
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Warum gelten Regeln?
1. Die ontologische Begründung: Jede (deklarative)
Aussage beschreibt einen Sachverhalt. Die Welt ist so,
daß immer wenn ein A und ein A ⊃ B entsprechender
Sachverhalt vorliegen, liegt auch ein B
entsprechender vor. Logik beschreibt Gesetze des
Seins.
2. Die Begründung aus dem Denken: Ob aus
physiologischen oder psychologischen Gründen:
Wenn wir A und A ⊃ B entsprechende Gedanken
denken und für wahr halten, werden wir auch zur
Akzeptanz des Gedankens B motiviert.
3. Die Begründung aus der Sprache: Unsere Sprache hat
sich historisch so entwickelt, daß „wenn-dann“ und
„und“ so verwendet werden, daß unter der
Voraussetzung A und A ⊃ B auch B akzeptiert wird.
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Die systematische Antwort
◮ (Klassische Prädikaten-) Logik beschäftigt sich mit den
Eigenschaften der Operatoren und Quantoren.
◮ Logik ist beschreibend und vorschreibend.
◮ Gleichstarke Logiken sind die gleiche Logik:
Deduktiv äquivalent heißen zwei Systeme, deren
Theoremmengen (oder
Ableitungsmengen) übereinstimmen.
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Die systematische Antwort II
◮ Die Prädikatenlogik hat gute Eigenschaften:
Korrekt ist die Prädikatenlogik, weil jede ableitbare
Formel auch eine folgerbare ist: Wenn
A 1 , . . . , A n ⊢ B, so A 1 , . . . , A n |= B.
Semantisch widerspruchsfrei ist sie, weil es
kein A gibt, so daß ⊢ A und ⊢ ∼A.
Absolut widerspruchsfrei ist sei, weil nicht alle
Formeln Theoreme sind.
Vollständig ist die Prädikatenlogik, weil jede folgerbare
Formel auch eine ableitbare ist: Wenn
A 1 , . . . , A n |= B, so A 1 , . . . , A n ⊢ B.
◮
◮
Jede konsistente Menge hat ein Modell.
Jede Menge mit Modell hat auch ein
abzählbares Modell.
Kompakt ist die Folgebeziehung der Prädikatenlogik,
weil jede Folgerung aus einer unendlichen
Menge auch aus einer endlichen
Untermenge realisiert werden kann: Wenn
Γ |= B, so ∆ |= B für ein endliches ∆ ⊂ Γ.
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