Textgleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Das Lösen von Gleichungen
Ihr habt Euch im 1. Lehrjahr schon ausführlich mit dem Lösen von
Gleichungen beschäftigt. Lösen wir doch hier als Einstieg einige Beispiele,
um aufs nächste Thema einzustimmen: Die Textgleichungen.
1. 2x + 4 = 10 x = 3
2. 2x + 5 = 4x + 1 x = 2
3. 26 – 5x = 17 – 9x + 23 + 2x x = 7
4. 4 – (2x – 3) = -x x = 7
5. 7x = 4⋅(1 + 2x) x = -4
6.
3 x − 8 5x
+ 2
− 3 =
x = - 68/11
7.
8.
4
3 2
=
x −1
x − 2
x + 2 x + 4
=
x x + 3
3
x = 4
x = -6
9. bx – b = 5 x = (5 + b)/b
Textgleichungen
Aufgaben mit textlich formulierten Zusammenhängen lassen sich mit
Gleichungen lösen. Einen allgemein gültigen Lösungsweg in Form einer
Regel gibt es für diese Art von Aufgaben im allgemeinen nicht. Die Kunst
besteht darin, den Text in die Gleichung überzuführen.
Vom vorgesehenen Sachverhalt her lassen sich jedoch bestimmte Gruppen
von Aufgaben (Mischaufgaben, Bewegungsaufgaben, Behälteraufgaben etc.)
zusammenstellen, für die gemeinsame Gesichtspunkte für das Aufstellen von
Bestimmungsgleichungen gelten.
Die Lösung solcher Aufgaben erfolgt in der Regel in folgenden Schritten:
1. Feststellung, nach welcher Grösse in der Aufgabe gefragt ist.
2. Einführung einer Variablen x für die gesuchte Grösse
3. Aufstellung einer Bestimmungsgleichung entsprechend der Vorgaben.
Dabei darf nur Gleiches gleichgesetzt werden.
Mathematik Alexander Wenk Seite 1

Beispiel
Ein Bauer verkauft dem ersten Kunden die Hälfte seiner Melonen und schenkt
ihm noch eine halbe. Dem zweiten Kunden verkauft er die Hälfte der
restlichen Melonen und schenkt ihm ebenfalls eine halbe. Die verbliebene
Melone isst er selbst.
Wieviele Melonen hatte der Bauer ursprünglich?
Lösung:
Weitere Aufgaben
1. Ein 60 m langer Güterzug fährt mit 72 km/h an einem 120 m langen in
gleicher Richtung fahrenden Personenzug vorbei. Die Begegnung dauert 18
Sekunden.
Welche Geschwindigkeit hat der Personenzug?
Mathematik Alexander Wenk Seite 2

2. Zwei Zahlen, deren Differenz 16 beträgt, ergeben zusammen 92. Welches
sind die Zahlen?
3. Ein Dreieck hat zwei Winkel 36° und 48°. Berechne den dritten Winkel.
4. Wenn man zur Länge einer Strecke 15.4 m addiert so erhält man 73.8 m.
Wie lang ist die Strecke?
5. Der Weg von A über B nach C beträgt 72 km. B liegt von C fünfmal so weit
entfernt wie B von A. D liegt von C dreimal soweit entfernt wie B von A. Wie
weit ist es von A nach D?
6. Zwei Radfahrer A und B fahren von zwei Orten, deren Entfernung 132 km
beträgt, gleichzeitig einander entgegen. A legt in der Stunde 18 km zurück, B
21 km. Nach wie viel Stunden begegnen sie einander? Wie weit sind sie dann
vom Startort des Radfahrers A entfernt?
Mathematik Alexander Wenk Seite 3

7. Addiert man zur Hälfte eines Kapitals 45 Fr., so erhält man das Dreifache
des Kapitals, vermindert um 510 Fr. Wie gross ist das Kapital?
8. Zwei Wanderer marschieren von A nach B. Der erste legt 80 m/min, der
zweite 72 m/min zurück. Der zweite Wanderer startet 10 min früher. Wie viele
Minuten nach Aufbruch des ersten Wanderers werden sie sich treffen?
9. Ein Vater ist 40 Jahre, sein Sohn 15 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren ist der
Vater doppelt so alt wie sein Sohn?
Mathematik Alexander Wenk Seite 4

Gleichungen mit 2 Unbekannten
Wir sind mittlerweile schon öfters auf Gleichungssysteme gestossen, wo mehr
als eine Variable unbekannt waren. Lasst uns also in diesem Kapitel
betrachten, was für Bedingungen solche Systeme erfüllen müssen und wie wir
systematisch zu einer Lösung kommen.
Welche Regeln gelten beim Lösen solcher Gleichungssysteme?
• Es müssen gleich viele Gleichungen wie Unbekannte
vorhanden sein
• Diese Gleichungen dürfen nicht voneinander abhängig
sein.
Folgendes Gleichungssystem erfüllt diese Bedingungen und wird uns zur
Erklärung der drei Lösungsvarianten dienen:
2x - 11y = -95
x - 3y = 0
Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode)
Bei dieser Methode soll eine Unbekannte durch einen Gleichungsausdruck
ersetzt werden. Eine der Gleichungen wird nach der zu ersetzenden
Unbekannten umgeformt und in die zweite Gleichung eingesetzt. Daraus
erhalten wir die Gleichung für eine Unbekannte:
2x - 11y = -95
x - 3y = 0 x = 3y
2⋅3y - 11y = -95
-5y = -95 y = 19
Die andere Unbekannte erhalten wir, indem wir die Lösung für die eine
Unbekannte in die umgeformte Gleichung einsetzen.
x = 3y = 3⋅19 x = 57
Additions- und Subtraktionsmethode
Da Gleichungen, wie das Wort selbst schon verrät, auf beiden Seiten des
Gleichheitszeichens gleich sind, dürfen wir auch ganze Gleichungen addieren
oder subtrahieren. Machen wir dies auf geschickte Art, so fällt im Ergebnis
eine Unbekannte heraus:
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2x - 11y = -95
x - 3y = 0 | ⋅(-2)
2x - 11y = -95
-2x + 6y = 0
-5y = -95 y = 19
Die 2. Unbekannte erhalten wir durch Wiederholung dieses Verfahrens, indem
wir die Gleichung so umstellen, dass die andere Unbekannte herausfällt, oder
wir setzen das Ergebnis in eine der beiden Grundgleichungen ein:
x - 3⋅19 = 0 x = 3⋅19 = 57
Gleichsetzungsmethode
Diese Methode ähnelt der Substitutionsmethode. Hier wird aber auch die
zweite Gleichung nach der zu ersetzenden Unbekannten aufgelöst.
Anschliessend werden die beiden Gleichungen einander gleichgesetzt:
2x - 11y = -95 x = (-95 + 11y)/2
x - 3y = 0 x = 3y
3y = (-95 + 11y)/2 | ⋅2
6y = (-95 + 11y) | +95 -6y
95 = 5y y = 19
Die 2. Unbekannte erhalten wir durch Einsetzen in eine der beiden
Gleichungen: x = 3⋅19 = 57
Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Nicht jedes Gleichungssystem gibt eine Lösung für die Unbekannten. Zwei
Beispiele sollen dies verdeutlichen:
x + y = 3 x = 3 - y
2x + 2y = 6 2x = 6 - 2y x = 3 - y
3 - y = 3 - y 0 = 0 Gleichungen sind voneinander
abhängig und machen dieselbe Aussage! Es gibt deshalb
unendlich viele Lösungen.
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x + y = 3 y = 3 - x
x + y = 5 y = 5 - x 3 - x = 5 - x | +x
3 = 5 Ungleichung bedeutet: Keine Lösung resp. kein
Schnittpunkt der beiden Geraden (Parallelität)
y - x = 1 y = 1 + x
y + x = 3 y = 3 - x
1 + x = 3 – x
2x = 2 x = 1
y = 1 + x y = 2
Wir konnten eine eindeutige Lösung finden! Dieses System
ist folglich lösbar.
Übungen: Mathematik leicht gemacht S. 287 Nr. 4.28 a, f, i; 4.29 a, d;
4.30 b, i; 4.31 a, f; S. 288 Nr. 4.32 a, b, d
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