Elektrotechnik 2. Lehrjahr, Version neuer Lehrplan (ab 2010)

Elektrotechnik
für Elektroniker im
2. Lehrjahr
von
Alexander Wenk
2005, Alexander Wenk, 5079 Zeihen

Inhaltsverzeichnis
Zeigerdarstellung von Wechselgrössen __________________________________________ 1
Addition von zwei Signalen ____________________________________________________ 2
Ladung, elektrisches Feld und Kondensator ____________________________________ 3
Die elektrische Ladung _______________________________________________________ 3
Das elektrische Feld __________________________________________________________ 3
Elektrische Feldlinien ______________________________________________________________ 4
Die elektrische Feldstärke ___________________________________________________________ 5
Influenz und dielektrische Polarisation _________________________________________________ 5
Formeln zum elektrischen Feld _________________________________________________ 6
Der Kondensator ____________________________________________________________ 7
Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren __________________________________ 8
Parallelschaltung von Kondensatoren __________________________________________________ 8
Serieschaltung von Kondensatoren ____________________________________________________ 8
Gespeicherte Energie im Kondensator ___________________________________________ 9
Bauarten von Kondensatoren _________________________________________________ 10
Das RC-Glied im Gleichstromkreis ____________________________________________ 11
Laden des Kondensators ________________________________________________________ 13
Entladen des Kondensators ______________________________________________________ 13
Laborversuch RC-Glieder __________________________________________________________ 14
Allgemeine Formeln zur Berechnung von RC-Gliedern ___________________________ 15
Zusätzliche Übungsaufgaben zu RC Gliedern ____________________________________ 16
Kondensator mit Isolationswiderstand _________________________________________ 16
Induktivität und Magnetismus ______________________________________________ 17
Grundgrössen des magnetischen Kreises ________________________________________ 17
Durchflutung (Theta) ____________________________________________________________ 18
Feldstärke H ____________________________________________________________________ 18
Magnetische Induktion B (Flussdichte) _________________________________________ 18
Magnetischer Fluss (Phi) _________________________________________________________ 19
Der Magnetwiderstand Rm _________________________________________________________ 20
Strom im Magnetfeld ________________________________________________________ 21
Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld _____________________________________________ 21
Stromdurchflossene Spule im Magnetfeld ______________________________________________ 22
Das Hallelement _________________________________________________________________ 23
Spannungserzeugung durch Induktion _________________________________________ 24
Die Induktivität L einer Spule (Selbstinduktion) _________________________________________ 26
Die gespeicherte Energie in einer Spule _________________________________________ 27
Zusatzaufgaben ____________________________________________________________ 28
Das RL-Glied im Gleichstromkreis __________________________________________ 29
Formeln fürs RL-Glied ____________________________________________________________ 31
Einschalten der Spule ___________________________________________________________ 31
Ausschalten der Spule __________________________________________________________ 31
Allgemeine Formeln zur Berechnung von RL Gliedern ____________________________ 32

Zusätzliche Übungsaufgaben zu RL Gliedern ____________________________________ 33
Simulation des Verhaltens von RC/RL-Gliedern _________________________________ 34
Simulation RC-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform _______________________________ 34
Simulation RL-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform _______________________________ 35

Zeigerdarstellung von Wechselgrössen
In der Einleitung zur Wechselstromlehre sahen wir bereits, dass die Sinusform
aus der Rotation von einem Zeiger mit der Länge Û abgeleitet werden kann.
Nehmen wir an, zwei verschiedene Wechselgrössen seien zeitlich verschoben
15
15
10
10
5
5
0
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
u [V]
0
0 45 90 135 180 225 270 315 360
-5
-10
-10
-15
-15
φ [°]
Beim angegebenen Drehsinn der Zeiger eilt die Grösse 2 dem Ablauf von
Grösse 1 mit einer zeitlichen Verschiebung nach.
Dies wird Phasenverschiebung genannt
Merkpunkte zur Phasenverschiebung:
Die Zeitverschiebung t bedeutet, dass die Grösse 2 z.B. ihren positiven
Maximalwert um diese Zeit später erreicht als Grösse 1
Diese tatsächliche Zeitverschiebung t wird meist auf die Periodendauer T
oder den vollen Winkel (360° resp 2) bezogen und als Bruchteil von T
oder als Phasenverschiebungswinkel angegeben
= t / T 360°
Die Zeigerdarstellung erlaubt eine einfache Angabe der Beziehung von
Grösse 2 zu Grösse 1 zu. Dabei ist der Umlaufsinn zu beachten!
Die Phasenverschiebung kann nur gegenüber einer anderen Grösse
(=Referenzgrösse) angegeben werden. Wir müssen also jeweils ein Zeiger
als Referenz- oder Bezugsgrösse definieren.
Wenn wir das Zeigerdiagramm fürs Erstellen eines Zeitdiagramms
verwenden, ist es nahe liegend, als Zeigerlänge Û zu verwenden. Wenn wir
jedoch nur das Zeigerdiagramm zeichnen, ist es häufig einfacher, den
Effektivwert für die Zeigerlänge zu verwenden.
Übung: Zeichne ein Zeigerdiagramm für U 1 = 10 V und U 2 = 15V, wobei U 2
der Spannung U 1 um 60 ° vorauseilt.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 1

Addition von zwei Signalen
Wir werden die Summe von zwei Wechselstromsignalen bei den
Berechnungen von Schaltungen mit Spulen und Kondensatoren noch häufig
praktisch anwenden. Deshalb möchten wir hier keine grosse Übung
durchführen, sondern vor allem den Zusammenhang zwischen Vektor- und
Signaladdition im Liniendiagramm kennen lernen.
Betrachten wir hierzu das Vektor- und Liniendiagramm von der Addition
zweier Signale:
40
40
30
20
10
0
-40 -20 0 20 40
-10
-20
-30
u [V]
30
20
10
0
0 45 90 135 180 225 270 315 360
-10
-20
-30
-40
-40
φ [°]
Wenn wir im Liniendiagramm aus den zwei Signalen die Summenkurve
bilden, müssten wir Punkt für Punkt die zwei Signale zusammenzählen und so
die neue Sinuskurve konstruieren.
Einfacher geht dies im Vektordiagramm. Wir reihen die Vektoren einfach
aneinander, so wie ihr dies schon in der Physik geübt habt. So können wir wie
dargestellt den Summenvektor bilden, und mit diesem direkt eine Aussage
über Signalamplitude und Phasenverschiebung des neuen Signals machen.
U 2
U ges
U 1
Fürs Zeichnen des summierten Sinussignales lassen wir nun den Vektor U ges
im Kreis drehen, und konstruieren so die Sinuslinie.
Zur Übung können wir mit der Excel Simulation einige Situationen
ausprobieren und auf Plausibilität hin kontrollieren.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 2

Ladung, elektrisches Feld und Kondensator
Die Ladung lernten wir bereits bei den Grundbegriffen kennen. Wir wollen
unser Kenntnisse in diesem Bereich nun ausbauen.
Die elektrische Ladung
Die elektrische Ladung ist ein räumlich begrenzter Überschuss oder Mangel
an Elektronen. Elektronenüberschuss ergibt eine negative, Elektronenmangel
eine positive Ladung. Elektrische Ladungen üben aufeinander Kraftwirkungen
aus:
Gleichartige Ladungen stossen sich ab, ungleichartige Ladungen ziehen sich
an.
Dieses Gesetz lässt sich sehr schön an einem Elektrischen Pendel zeigen:
Bild 1
Die Kugel in Bild 1wird zunächst an der
Platte 1 positiv geladen, dann von der
gleichnamigen Ladung abgestossen und
zugleich von der negativen Platte
angezogen. An dieser Platte wird die
Kugel umgeladen und erneut abgestossen.
Der Vorgang wiederholt sich, solange
Spannung anliegt.
Jede Ladung verursacht eine elektrische Spannung oder anders gesagt einen
elektrischen «Druck». Bewegte elektrische Ladung nennen wir Strom. Die
Masseinheit für die Ladung ist 1 Amperesekunde = 1 As = 1 Coulomb.
Das elektrische Feld
Ist eine Kugel geladen, stösst sie andere Ladungen ab,
oder sie zieht sie an, d.h. es wirken Kräfte.
Bild 2
Bild 3
Sind mehrere Körper vorhanden, lassen sich im Raum
zwischen ungleichartig geladenen Körpern
Kraftwirkungen nachweisen. Wir können Stärke und
Richtung dieser Kräfte im Raum herausfinden, wenn wir
mit einer Probeladung an die
gewünschte Stelle gehen und die Kraft
messen, die auf sie wirkt. Wenn wir
die Probeladung frei lassen, so fliegt
sie in Richtung dieser Kraftlinien. Nun
ist es uns in der Elektrotechnik aber
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 3

geläufiger von Spannungen und Strömen zu sprechen anstelle von Kräften.
Deshalb wurde das elektrische Feld als Ursache dieser Kräfte eingeführt.
Eine Probeladung fliegt also in Richtung der Feldlinien.
Geladene Körper bilden also ein elektrisches Feld. Zwischen zwei
unterschiedlich geladenen Körpern herrscht zudem eine Spannung. Ladung,
Spannung, Kraftwirkung und elektrisches Feld hängen also zusammen.
Elektrische Feldlinien
Jedes Feld lässt sich zeichnerisch durch Kraft- oder Feldlinien
veranschaulichen. Die elektrischen Feldlinien verlaufen in Richtung der
Kraftwirkung auf eine positive Ladung.
Die Feldlinien haben folgende Eigenschaften:
Sie beginnen auf positiven und enden bei negativen Ladungen
sie treten immer senkrecht aus der Leiteroberfläche aus
sie kreuzen oder berühren sich nie.
Verlaufen die Feldlinien parallel und mit gleichmässigem
Abstand, spricht man von einem homogenen Feld.
Zwischen den parallelen, nahe beieinander liegenden
Platten eines Kondensators ist das el. Feld homogen, von
den Randeffekten einmal abgesehen. (Bild 4)
Häufig verlaufen die Feldlinien nicht parallel, das Feld ist
inhomogen. Aus den Feldlinienbildern kann man die
ungefähre Grösse und die Verteilung der elektrischen
Bild 4
Feldstärke erkennen:
Das Feld ist dort am stärksten, wo die Feldliniendichte am grössten ist.
Bild 5
Weisen die geladenen Körper (Bild 5) scharfe
Kanten oder Spitzen auf, liegen dort die
Feldlinien am nächsten beieinander, das heisst die
Feldstärke ist dort immer am grössten.
Grosse Flächen und runde Formen führen zu einer
gleichmässigen Verteilung der Feldlinien. So sind die
Feldlinien an der Kugeloberfläche in Bild 6 wesentlich
weniger dicht wie an einer Spitze im Bild 5.
Bild 6
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 4

Die elektrische Feldstärke
Je stärker ein elektrisches Feld ist, desto grösser ist die Kraft, die auf geladene
Körper oder auf die Elementarladungen der Atome wirkt.
Die Feldstärke ist ein Mass für die Kraft auf Ladungen im el. Feld.
Masseinheit für die Feldstärke ist V/m, in der Praxis auch V/mm oder
kV/mm.
In einem homogenen Feld ist die Feldstärke umso grösser, je höher die
Spannung und je kleiner der Abstand der Pole ist. Ist die Feldstärke für ein
bestimmtes Isoliermaterial zu gross, kommt es zu einem gewaltsamen
Ladungsausgleich zwischen den Polen, der Isolierstoff wird elektrisch
«durchschlagen» und dadurch meistens zerstört. Die Durchschlagsfestigkeit ist
eine wichtige Kenngrösse für ein Isoliermaterial.
Influenz und dielektrische Polarisation
Unter dem Einfluss eines elektrischen
Feldes kommt es in leitenden Materialien
zu einer Ladungstrennung (Influenz). Die
Oberfläche des leitenden Gebildes in Bild
7 oben wird dadurch aufgeladen.
Der Innenraum eines
leitenden Körpers ist feldfrei
Abschirmung
Auch in Nichtleitern kommen
Influenzwirkungen zustande, allerdings
gibt es kaum freie Elektronen, die
abfliessen können. Innerhalb der Atome
Bild 7
und Moleküle tritt jedoch eine
Ladungsverschiebung ein. Gewisse Moleküle werden verformt, sie bilden
Dipole mit einem positiven und einem negativen Ende (dielektrische
Polarisation, dargestellt in Bild 7 unten).
Die dielektrische Polarisation beeinflusst die Kapazität
von Kondensatoren und die dielektrischen Verluste.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 5

Formeln zum elektrischen Feld
Nachdem wir einige Eigenschaften der Elektrostatik kennen gelernt haben,
möchten wir nun einige mathematische Beziehungen zu diesem Thema
herleiten:
Das elektrische Feld ist wie folgt definiert:
U
l
E = U / l
E = elektrische Feldstärke [V/m]
U = Spannung [V]
l = Länge [m]
Elektrische Felder verursachen Kräfte auf eine Probeladung. Anders gesagt
sind die elektrischen Feldlinien die auf eine Probeladung wirkenden
Kraftlinien. Wir kennen zwei Beziehungen:
F = qE
F = Kraft [N]
q = (elementar)Ladung [C = As]
E = elektrische Feldstärke [V/m]
s = Länge, Distanz [m]
Weiter können wir aus dieser Beziehung auch die elektrische Energie
berechnen:
W = Fs = qEl = qU
Übungen: Westermann S. 109 Nr. 1, 3 – 5
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 6

Der Kondensator
Der Kondensator besteht im Idealfall aus zwei parallelen Platten und dient zur
Speicherung elektrischer Ladung. Je mehr Ladung pro Spannungseinheit
gespeichert werden kann desto grösser ist die Kapazität des Kondensators.
C = Q / U
Damit wir die Beziehungen herleiten können
benötigen wir noch den Begriff der elektrischen
Flussdichte:
Begriffe:
D: elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte)
E: Elektrische Feldstärke
: Dielektrizitätskonstante
C: Kapazität vom Kondensator
d: Plattenabstand im Kondensator
A: Fläche der Platten
Einer Grösse sind wir bis jetzt nicht begegnet: dem . Die
Dielektrizitätskonstante beschreibt, wie elektrisches Feld und
Ladungskonzentration zusammenhängen. Sie ist auch abhängig vom Material,
das vom elektrischen Feld durchdrungen wird. Diese Konstante ist ein extrem
kleiner Wert, und liegt für die verschiedenen Materialien relativ nahe
beieinander. Deshalb verwendet man die Dielektrizitätskonstante von
Vakuum, und sagt mit einer zweiten Konstante aus, wie viel besser das
Material ist wie Vakuum:
= 0 r
0 : Elektrische Feldkonstante:
0 = 8.85410 -12 As/(Vm)
r : Dielektrizitätszahl (Faktor wie
viel besser als Vakuum)
Übungen: Westermann S. 110 Nr. 2 – 4;
S. 111/112 Nr. 1, 2, 4 (mit Excel), 6, 8, 10
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 7

Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren
Prinzipiell gelten dieselben Gesetze wie bei der Zusammenschaltung von
Widerständen (Maschensatz und Knotenpunktsatz)
Da wir aber erst später auf den Blindwiderstand von Kondensatoren eingehen
werden, lösen wir die Aufgabe mit der bereits bekannten Formel:
Q
C
U
Parallelschaltung von Kondensatoren
Bei der Parallelschaltung ist die Spannung an allen Kondensatoren gleich. Wir
können deshalb die Gesamtladung bei einer bestimmten Spannung berechnen
und daraus die Ersatzkapazität bestimmen:
Serieschaltung von Kondensatoren
In einer Serieschaltung fliesst durch alle Elemente zu jeder Zeit derselbe
Strom. Wir können also auch sagen, dass die Ladung in allen Kondensatoren
der Serieschaltung die gleiche ist. Zudem ist die Gesamtspannung gleich der
Summe der Einzelspannungen. Damit berechnet sich die Ersatzkapazität wie
folgt:
Übungen zum Thema: Westermann S. 116 Nr. 1 – 6, 13, 17
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 8

Gespeicherte Energie im Kondensator
Mit dem Kondensator können wir bekanntlich Ladung speichern. Die
gespeicherte Ladung ist proportional zur Spannung am Kondensator, wie uns
diese Formel zeigte:
I t
Q C U
Zeichnen wir aus dieser Beziehung einmal die Spannung in Funktion der
gespeicherten Ladung auf. Diese Kurve können wir übrigens auf dem KO
abbilden, wenn wir einen Kondensator mit einem konstanten Strom aufladen.
Die Spannung verhält sich gemäss
der Beziehung
U
1 Q
C
Betrachten wir nun, wie wir aus dieser Darstellung auf die gespeicherte
Energie in einem Kondensator schliessen können.
Wir kennen die Beziehung für die elektrische Arbeit resp. Energie:
W = Pt = UIt = UQ
Das Problem ist für den Kondensator aber, dass die Spannung beim Entladen
immer niedriger wird, d.h. die entnommene Energie pro Ladungseinheit wird
immer kleiner, je mehr er entladen wird. Deshalb stimmt diese Formel nur für
ein ganz kleiner Ladungs- resp. Energiebezug:
W = UQ
Anders ausgedrückt entspricht die gespeicherte Energie im Kondensator der
Fläche unter der Ladungskurve, also
W = 1/2UQ
Durch Einsetzen von Q = CU erhalten wir:
W = 1/2CU 2
Beispiel: Wir haben einen 4.7 F Kondensator auf 300 V aufgeladen. Wie
gross ist die im Kondensator gespeicherte Energie?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 9

Bauarten von Kondensatoren
Wir wollen die verschiedenen Kondensatortypen in einer Gruppenarbeit näher
kennenlernen. Ziel dieser Gruppenarbeit ist eine Kurzpräsentation, in der jeder
seinen Kondensatortyp vorstellt. Folgende Fragen sollten dabei beantwortet
werden:
Wie und aus was wird der Kondensator hergestellt?
Welche speziellen Eigenschaften hat er?
Wo werden sie eingesetzt?
Für das Vorbereiten des Vortrages stehen ca. 45 Minuten zur Verfügung. Als
Informationsquelle dient das Internet oder Kopien vom Vogel Fachbuch Band
2: Bauelemente.
Folgende Kondensatortypen stehen für die Gruppenarbeit zur Auswahl:
Papier- und Kunststoffkondensatoren (S.52)
Metall-Papier und Metall-
Kunststoffkondensatoren (S. 53)
Keramikkondensatoren (S. 54)
Elektrolyt-Kondensatoren (S. 55)
Tantal-Elektrolytkondensatoren (S. 56)
Einstellbare Kondensatoren (S. 57)
Jonas
Patrick
Josua & Reto
Sven & Sandro
Thomas & Jan
Alex & Marcel
Viel Spass beim Erarbeiten des Vortrages!
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 10

Das RC-Glied im Gleichstromkreis
Bis jetzt sind wir davon ausgegangen, ein Kondensator werde mit einem
konstanten Strom geladen. Doch was geschieht, wenn der Kondensator über
einen Widerstand an eine Spannungsquelle gehängt wird? Bei dieser
Beschaltung verändert sich der Strom laufend, weil die Spannung über dem
Widerstand den Stromfluss bestimmt.
Lasst uns im Detail betrachten, was mit dieser Einleitung anzustellen ist, um
auf die Ladekurve eines RC-Glieds zu kommen.
Zunächst betrachten wir uns die
Kurve für einen rein ohmschen
Verbraucher. In ihm ist der Strom
jederzeit proportional zur Spannung,
so wie es das Ohmsche Gesetz
beschreibt. Dabei kann sowohl U als
auch I sprunghaft ändern.
Beim Kondensator verhält sich dies ein wenig anders. Die Formel, die den
Kondensator im elektrischen Kreis beschreibt lautet:
It = Q = CU
Wir sehen bereits: wenn die Spannung am Kondensator sprunghaft ändern
sollte müsste sich die Ladung ebenfalls sprunghaft ändern. Dafür müsste aber
der Strom unendlich gross werden, was natürlich nicht möglich ist. Daraus
ergibt sich der Satz:
Die Spannung an einem Kondensator kann nie
sprunghaft ändern.
In der Praxis ist der Strom an einem
Kondensator durch einen Widerstand
begrenzt. Aus dem gegebenen Schema
ergibt sich die Lade- und Entladekurve
des Kondensators. Der Anfangsstrom
ist relativ einfach zu bestimmen. Ist der
Kondensator ungeladen, beträgt er
I 0 = U/R
Würde er immer weiter fliessen, wäre der Kondensator, der ja der Formel
Q = It = CU folgt, nach folgender Zeit geladen:
t = CU/I = CU/(U/R) = RC
Wir nennen diese Zeit die Zeitkonstante .
= RC
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 11

Nun ist die Behauptung, dass der Kondensator tatsächlich nach dieser Zeit
geladen sei, sehr theoretisch. Natürlich wissen wir, dass der Kondensator
schon nach kurzer Zeit eine Eigenspannung U C aufgebaut hat, und damit nicht
mehr die volle Spannung U am Widerstand R abfällt. Damit wird aber auch
der Ladestrom I kleiner, die Ladekurve flacht also ab. Aus der Praxis können
wir sagen:
Ein Kondensator ist nach fünf Zeitkonstanten (5)
nahezu vollständig geladen oder entladen.
Aus diesem Exkurs in die Vorgänge des Ladens vom Kondensator lässt sich
die Lade- und Entladekurve vom Kondensator skizzieren:
Bevor wir uns den theoretischen Grundlagen widmen werden, möchte ich
Euch die Wirkung des RC-Gliedes bei Schaltvorgängen in einer Excel-
Simulation erleben lassen.
Wir nehmen uns dazu folgendes Beispiel: Ein Kondensator C = 10 F wird
über einen Widerstand R = 10 k auf 10 V geladen. Wie wir bereits wissen,
können wir den aktuellen Strom in den Kondensator hinein berechnen, wenn
wir wissen wie gross die Kondensatorspannung ist. Wenn wir den Strom
kennen, können wir auch die Ladungszunahme im Kondensator und damit den
Spannungsanstieg berechnen. So können wir eine Excel-Tabelle erzeugen, die
uns die Spannungsveränderung am Kondensator darstellt. Wir müssen einzig
darauf achten, dass wir die Zeitabschnitte klein genug wählen, d.h. t < 0.05 .
Vorgehen:
Bestimme t für unser Beispiel und erstelle ein entsprechendes Zeitraster
in Excel.
Setze die Anfangsspannung vom Kondensator auf 0.
Berechne für die jeweilige Zeile den Strom in den Kondensator
Berechne für die nächste Zeile die Anfangsspannung des Kondensators.
Stelle das Ergebnis grafisch dar.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 12

Laden des Kondensators
Der Kondensator ist zu Beginn des Vorganges entladen (U C = 0) und wird
gemäss Schema an eine Spannungsquelle gehängt. Es ergeben sich folgende
Zusammenhänge:
Entladen des Kondensators
Der Kondensator ist zu Beginn des Vorganges auf die Spannung U C = U 0
aufgeladen und beginnt sich über den Widerstand R zu entladen. Es ergeben
sich folgende Zusammenhänge:
Merke: Da der Kondensator beim Entladen wie eine Quelle Strom abgibt, ist
der Strom I C negativ!
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 13

Nützliche Anwendungen von RC-Schaltungen im Gleichspannungsbetrieb:
Glätten von Spannungen und Strömen
Kurzzeit-Energiespeicher (z.B. Stützkondensator)
Zeitverzögerungsschaltungen
Schaltfunken-Entstörung
Übung: Westermann S. 114 Nr. 1 – 5, 7, 8
Laborversuch RC-Glieder
Die Versuchsresultate sollen in einem zweiten Schritt mit der Theorie
verglichen werden, deshalb ist es unabdingbar, die Messresultate in einem
Versuchsbericht festzuhalten.
Aufgabe: Messe die Lade- und Entladekurve (Spannung u(t) wie auch Strom
I(t)) eines RC Gliedes. Verwende dazu eine (ungeerdete) Spannungsquelle
sowie einen Digitalspeicher-KO, um die Spannungen/Ströme zu bestimmten
Zeitpunkten herauslesen zu können.
Wie sieht die Beschaltung aus, damit wir gleichzeitig den Ladestrom wie
auch die Ladespannung am Kondensator messen können?
Stelle die Spannungsquelle auf U = 10V und nehme die Ladekurven
eines RC-Gliedes mit R=10k und C=100 F auf. Stelle sicher, dass C
vor dem Messvorgang auch wirklich entladen ist!
Schreibe den Anfangsstrom sowie die Ladeströme/Spannungen bei t =
0.5s, 1s, 1.5s, 2s, 3s, 4s und 5s auf. Nutze dafür die Cursorfunktionen des
Oszilloskops.
Zeichne die Ladefunktion mit der Exponentialfunktion in Excel auf und
stelle in der Grafik Deine Messpunkte als Punkte dar. Begründe
eventuelle Abweichungen zwischen Theorie und Messung.
Wie sieht die Entladekurve dieses RC-Gliedes aus? (U C vor Versuch auf
10V)
Zusatzaufgaben:
Mache denselben Versuch mit R=10k und C=10 F. Was können wir
im Vergleich zum vorherigen Experiment feststellen?
Nehme die Ladekurve eines RC Gliedes mit R=1k und C=100 F auf.
Berechne zu diesen Beispielen die Ladespannung nach t = und
vergleiche mit der Messung. Wie viel Prozent beträgt dann der
Ladestrom und die Ladespannung im Vergleich der Startwerte?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 14

Allgemeine Formeln zur Berechnung von RC-Gliedern
Bis jetzt haben wir vom Laden und Entladen von RC Gliedern gesprochen. Es
ist aber auch denkbar, dass ein bereits teilweise geladener Kondensator an eine
Spannungsquelle gehängt wird.
Mit unseren Erkenntnissen ist es ein kleiner Schritt, allgemein gültige Formeln
für diese Problematik herzuleiten: Wir berechnen die Anfangsgrösse, die beim
Kondensator sprunghaft ändern kann und setzen das Ergebnis in unsere bereits
bekannte e-Funktion ein:
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 15

Zusätzliche Übungsaufgaben zu RC Gliedern
1. Ein RC-Integrierglied mit C = 10F und R = 10 k wird mit einem
Spannungspuls von U = 10V und der Dauer t = 50 ms gespiesen. Danach
liegt wieder U = 0V am Eingang. Der Kondensator sei zum Zeitpunkt t=0
ungeladen.
a) Wie gross ist die Spannung U C am Kondensator nach 50 ms?
b) Wie gross ist die Spannung am Kondensator nach 150 ms (vom Beginn
des Spannungspulses an gemessen)?
2. Skizziere den Zeitbereich 0 .. 250 ms, wenn wir annehmen das obige
Integrierglied erhalte eine gepulste Rechteckspannung mit Û = 10 V und
Tastgrad g = 0.5 und einer Frequenz f = 10 Hz. (Aus diesen Angaben ergibt
sich eine Rechteckspannung, die 50 ms auf 10 V ist und die nächsten 50 ms
auf 0 V usw.)
Kondensator mit Isolationswiderstand
Ein Glimmerkondensator ( r = 8) hat folgende Kenngrössen:
Wirksame Oberfläche A = 500 cm 2 , Plattenabstand d = 0.1 mm. a) Wie gross
ist die Kapazität C dieses Kondensators? b) Wie gross ist der
Isolationswiderstand der Glimmerschicht dieses Kondensators ( Glimmer =
510 14 m)
Wie gross ist die Zeitkonstante der Selbstentladung dieses Kondensators?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 16

Induktivität und Magnetismus
In diesem Kapitel wollen wir uns dem Wesen und den Zusammenhängen des
Magnetismus mit mathematischen Formeln nähern. Lasst uns zunächst einmal
den magnetischen Kreis berechnen:
Grundgrössen des magnetischen Kreises
Der magnetische Kreis hat ähnliches Verhalten wie ein elektrischer Kreis. Wir
brauchen nur die magnetischen den elektrischen Grundgrössen zuzuordnen.
Danach können wir eigentlich ein Schema vom magnetischen Kreis zeichnen,
so wie wir ein Elektro-Schema für eine Schaltung zeichnen. Mithilfe der
mathematischen Beziehungen können wir schlussendlich die fehlenden
Grössen berechnen. Betrachten wir diesen Sachverhalt in einer einfachen
Gegenüberstellung:
Wir können folgende Grössen gegenüberstellen:
elektrischer Kreis
magnetischer Kreis
Quelle Batterie / Generator Spule, Dauermagnet
Durchflutung [A]
Verbraucher Widerstand R [] magn. Widerstand Rm
[A/Vs], Luftspalt
Fluss Strom I [A] magn. Fluss [Vs]
Feldstärke el. Feldstärke E [V/m] magn. Feldstärke H
[A/m]
Flussdichte Sromdichte J [A/mm 2 ] Induktion B [Vs/m 2 = T]
Permeabilität [Vs/Am]
Leiter Kupferdraht Eisenkern
Strömungsursache
elektrische Spannung U
[V]
Materialkonstante
spez. Widerstand
[mm 2 /m oder m]
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 17

Wir können also mit unserem bereits eingeprägten Modell "elektrischer
Stromkreis" auch den magnetischen Kreis angehen und in den Griff kriegen!
Lasst es uns gleich versuchen:
Durchflutung (Theta)
Die magnetische Durchflutung ist treibende Kraft in einem Magnetkreis.
Üblicherweise wird sie durch eine Spule erzeugt es kann aber auch ein
Permanentmagnet die treibende Kraft sein (z.B. in einem Dynamo).
Wir berechnen sie mit folgender Beziehung:
: magnetische Durchflutung [A]
= IN
I: elektrischer Strom [A]
N: Anzahl Windungen der Spule [einheitenlos]
Feldstärke H
Die magnetische Feldstärke können wir nach der Substitution der elektrischen
Formelzeichen durch die magnetischen direkt berechnen:
H=
l
H: magnetische Feldstärke [A/m]
: magnetische Durchflutung [A]
l: Feldlinienlänge [m]
Magnetische Induktion B (Flussdichte)
Wir betrachten hier zuerst die magnetische Flussdichte, weil eine einfache
Beziehung existiert, wie man sie aus den bisher bekannten Grössen berechnen
kann:
B = H wobei
= 0 r
B: magnetische Induktion
[Vs/m 2 = T = Tesla]
: magnetische Leitfähigkeit [Vs/Am]
H: magnetische Feldstärke [A/m]
Die Beziehung = 0 r zeigt uns denselben Sachverhalt wie das mit bei den
Kondensatoren der Fall war: 0 ist eine Naturkonstante und beschreibt die
Verhältnisse in Vakuum oder Luft. Sie beträgt 0 = 1.25710 -6 Vs/Am.
r hingegen sagt aus, wieviel mal besser der verwendete Werkstoff die
Feldlinien leitet wie das in Luft der Fall ist. Da Magnetwerkstoffe praktisch
immer nichtlineares Verhalten zeigen. gibt es für den Zusammenhang B =
f(H) meistens Diagramme anstelle fixer Zahlen.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 18

Magnetischer Fluss (Phi)
Der magnetische Fluss hängt mit der Flussdichte genau gleich zusammen wie
die Stromdichte mit dem Strom:
: magnetischer Fluss [Vs oder Wb (Weber)]
= BA B: magnetische Flussdichte [T = Vs/m 2 ]
A: Querschnitt des Kerns [m 2 ]
In der Regel wird der magnetische Fluss durch einen Eisenkern geleitet. Der
magnetische Fluss beschreibt also die Gesamtzahl aller Feldlinien einer
stromdurchflossenen Spule oder eines Dauermagneten (Analog zum Strom I
im Stromkreis).
Lasst uns zu diesem Sachverhalt zwei Beispiele lösen:
1. In einer Spule fliesst ein Strom I = 8 A. a) Wie viele Windungen muss sie
haben, um in einem 5 mm breiten Luftspalt eine magnetische Induktion von
0.4 T zu erzeugen? b) Wie gross ist der magnetische Fluss, wenn der Kern
einen Querschnitt von 1 cm 2 aufweist?
2. Gegeben ist ein einzelner stromdurchflossener Leiter. Wie verhält sich die
Feldstärke H und die magnetische Induktion B in Funktion vom Abstand zum
Leiter?
Zahlenbeispiel: Der Strom ist I = 10 A, der Abstand r = 10 cm. H = ?, B = ?
Zur Übung: Westermann S. 120 Nr. 1-8, 10-12 (Achtung Lösungen z.T falsch)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 19

Der Magnetwiderstand Rm
Als einzige noch unbehandelte Grösse ist uns der Magnetwiderstand Rm
geblieben. Wenn wir diesen definiert haben, können wir den magnetischen
Kreis genau gleich wie den elektrischen betrachten:
Das „ohmsche Gesetz“ für den Magnetkreis lautet:
= Rm Rm = /
Wenn es uns gelingt, rechnerisch von auf zu kommen, sollten wir Rm aus
rein geometrischen Grössen berechnen können:
H = / l
B = H = / l
= BA = A / l
Wenn wir nun das Ergebnis für in unsere Formel für Rm einsetzen, erhalten
wir:
Rm = / = / (A / l)
Rm = l / (A)
Aufgabe: Berechne den Magnetwiderstand vom Luftspalt mit folgenden
Dimensionen (aus Aufg. 1, vom letzten Blatt):
Breite = 5 mm, Querschnitt = 1 cm 2
Berechne die magn. Durchflutung, wenn = 40 Vs beträgt.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 20

Strom im Magnetfeld
Wir haben gesehen, dass einzelne Magnete sich je nach Lage zueinander
anziehen/abstossen können. Besonders beim Hufeisenmagnet stellten wir fest,
dass diese Kräfte ganz beachtlich sein können. Wenn wir nun
stromdurchflossene Leiter haben, werden diese ebenfalls zum Magneten. Wir
werden in den folgenden Abschnitten sehen, wie genau dies zu erklären und
zu berechnen ist.
Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld
Lasst uns zuerst nur ein Leiter in einem Magnetfeld betrachten, indem wir die
Feldlinien dieser Anordnung aufzeichnen:
N
S
Die Kraft wirkt unserer Skizze folgend quer zum Magnetfeld und auch quer
zur Stromrichtung.
Nachdem wir nun die Kraftrichtung kennen, interessiert uns natürlich auch die
Stärke dieser Kraft. Sie hängt ab von:
F = IBl
Wenn wie bei einer Spule mehr als ein vom
Strom durchflossener Leiter im Magnetfeld ist,
beträgt die Kraft natürlich für jeden Leiter
separat obigen Wert. Wir können dann die
Gesamtkraft mit der erweiterten Formel
berechnen:
Lasst uns nun noch die Einheiten kontrollieren:
F = IBl = [AVs/m 2 m = VAs/m = Nm/m = N]
Übung: Westermann S. 121 Nr. 1 - 5
F: Kraft in [N]
I: Strom in [A]
B: Flussdichte [T]
l: Länge des Leiters im
Magnetfeld [m]
N: Anzahl Leiter im
Magnetfeld
F = IBlN
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 21

Stromdurchflossene Spule im Magnetfeld
Wir haben uns noch gar keine Gedanken über den technischen Nutzen dieser
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter gemacht. Wir können mit diesem
Effekt nämlich Motoren mit einem hohen Wirkungsgrad (ca. 75 - 95 %)
bauen. Allerdings verwendet man dort anstelle von einzelnen Leitern ganze
Leiterpakete oder eben Spulen. Lasst uns einige dieser Feldlinienbilder
betrachten:
In nebenstehender Skizze stellen wir fest, wie
auf die Spule ein Drehmoment entsteht. Sie hat N
das Bestreben, siech um die eigene Achse zu
drehen, bis die beiden Felder gleich ausgerichtet
sind. Bei einem Elektromotor muss die
Stromrichtung dann jeweils umgepolt werden,
um den Drehvorgang fortzusetzen. Dies
geschieht mit dem Kollektor oder Kommutator.
Wir können dieses Drehmoment auch
berechnen:
M Max = 2Fr = 2rIBlN = dIBlN
Lasst uns noch einige weitere Feldlinienbilder betrachten, um festzustellen, ob
wir die Gesetzmässigkeit verstanden haben.
S
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 22

Das Hallelement
Hallelemente können wir zur Messung von der magnetischen Flussdichte B
verwenden. Es sind dünne Halbleiterplättchen mit folgender Form:
Schicken wir nun einen Strom I durch dieses Plättchen, würde dieses im
Magnetfeld genauso eine Kraft erfahren, wie dies bei einem normalen Leiter
der Fall wäre. Wir erahnen es schon: Die Kraft wirkt natürlich auf die
einzelnen Ladungsträger, d.h. die bewegten Ladungen werden im Magnetfeld
abgelenkt. Das heisst wiederum, dass sich an der einen Plattenseite positive
Ladungsträger konzentrieren, auf der anderen die Negativen.
Es entsteht eine Ladungstrennung, was wiederum auf eine Spannung
schliessen lässt. Wie gross ist nun diese Spannung? Dazu müssen wir die Kraft
auf einen Ladungsträger im elektrischen Feld heranziehen und dafür schauen,
dass die magnetische und die elektrische Kraft im Gleichgewicht sind:
F = 0 = F Mag + F el = IBl + QE E = -IBl/Q
Bleibt nur noch herauszufinden, wie gross dass Q ist. Die Ladungsmenge im
Plättchen entspricht dem Produkt der Ladungsträgerdichte und dem
Plattenvolumen:
Q = El lbdq
E = -IBl/( El lbdq)
E = -IB/( El bdq)
Uns interessiert anstelle der Feldstärke die Hallspannung U H .
U H = Eb = -IBb/( El bdq)
U H = -IB/( El dq) R H = 1/( El q)
Wenn wir nur den Betrag der Hallspannung wissen wollen und die
Hallkonstante einsetzen, erhalten wir die Formel:
U H = IBR H /d
I: Stromstärke im Hallelement
B: magnetische Flussdichte
R H : Hallkonstante
d: Dicke des Hallplättchens
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 23

Spannungserzeugung durch Induktion
Wir wissen bereits, dass wir mit Generatoren elektrische Energie erzeugen
können. Wir erzeugen Spannung durch Induktion. Wie dies genau vor sich
geht, wollen wir in diesem Kapitel betrachten.
Ein Magnetfeld bewirkt Kräfte auf
bewegte Ladungen. Dies haben wir im
vorigen Kapitel herausgefunden, als wir
stromdurchflossene Leiter im
Magnetfeld betrachteten. Nun versuchen
wir einmal, den Leiter selber durch das
Magnetfeld zu bewegen und zu
betrachten, was mit den Ladungsträgern
im Leiter passiert:
Ein bewegter Leiter im Magnetfeld
bewirkt Magnetkräfte auf dessen
Ladungsträger, die senkrecht zum
Magnetfeld und senkrecht zur
Bewegungsrichtung des Leiters wirken.
Wie gross ist nun diese magnetische
Kraft?
Wir kennen bereits die Beziehung F = IsB Wenn wir für I = Q/t einsetzen
erhalten wir:
F M = QBs/t F M = QBv
Durch diese Kraft wandern die Ladungsträger ans eine Leiterende, es gibt eine
Ladungskonzentration. Dadurch baut sich im Leiter ein elektrisches Feld auf,
die Gegenkraft zur Magnetkraft. Es ergibt sich:
F M + F El = 0
F El = -F M
QE = - QBv E = - Bv
Wenn wir nun die Induktionsspannung suchen setzen wir ein:
U ind = El = - Bvl
Das Minuszeichen sagt aus, dass die
Induktionsspannung der magnetischen
Kraft entgegengerichtet ist. Die
Induktionsspannung entsteht in jeder Windung
einer Spule, also entsteht die Hauptformel:
Zur Übung: Westermann S. 122 Nr. 4
B: magnetische Flussdichte
v: Geschwindigkeit des Leiters
l: Länge des Leiters im Magnetfeld
N: Windungszahl der Spule
U ind = - BvlN
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 24

Mir selbst ist das aus der Herleitung hervorgegangene Minuszeichen auch
immer etwas suspekt. Vielleicht ist es einfacher es wegzulassen und uns die
Richtung der Spannung jeweils im Diagramm herauszulesen. Ein Merksatz,
die Lenzsche Regel, sagt zudem:
Der durch die induzierte Spannung verursachte Strom
ist stets so gerichtet, dass sein Feld der Flussänderung
entgegenwirkt.
Ist ein Leiter im Magnetfeld in Bewegung, wird in ihm eine Spannung
induziert. Hänge ich einen
Lastwiderstand an diesen
Leiter so beginnt ein Strom
zu fliessen. Dieser ist so
gerichtet, dass er wiederum
eine Kraft im Magnetfeld
bewirkt, die ihn in seiner
Bewegung abbremsen.
Folgende Bilder sollen diesen
Sachverhalt unterstreichen:
Wir können aber nicht nur in einem bewegten Leiter mit einem Magnetfeld
eine Spannung induzieren. In einem Trafo z.B. haben wir keine beweglichen
Teile. Folgende Formelumstellung soll uns zeigen, wie dies zu interpretieren
ist. Wir nehmen zuerst die Formel für nur eine Windung:
U ind = - Bvl = -B(s/t)l
U ind = -Bls/t = -BA/t
U ind = -/t
Für eine Spule mit N Windungen ergibt sich:
Was für Anwendungen der Spannungserzeugung durch Induktion kennen wir?
Generatoren
Induktionsmotoren
(Drehstrom-
Asynchronmaschine)
Transformatoren
Zur Übung: Westermann S. 122 Nr. 1-3
/t: magnetische Flussänderung
pro Zeiteinheit.
N: Windungszahl der Spule
U ind = -N/t
magnetische
Tonabnehmer
Drosselspulen
(Selbstinduktion)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 25

Die Induktivität L einer Spule (Selbstinduktion)
Wir stellten fest, dass eine Flussänderung eine Induktionsspannung in einer
Spule bewirkt. Was geschieht nun, wenn wir dieselbe Spule als Erzeuger des
Magnetfeldes und als Induktionsspule betrachten? Wir beobachten die
sogenannte Selbstinduktion. Sie beträgt
U ind
- N
t
Wir wollen nun versuchen, diese Formel so umzubiegen, dass nur noch
elektrische Grössen als Veränderliche vorkommen. Bekanntlich wird der
magnetische Fluss letztendlich vom Spulenstrom erzeugt:
= IN
= / Rm = IN/Rm
Daraus ergibt sich für die Selbstinduktionsspannung:
U ind = -N/t = -NIN/(tRm)
U ind = -(N 2 / Rm) I / t
Die Selbstinduktionsspannung hemmt die den Strom verursachende
Spulenspannung U L . Bei der idealen Spule können wir sagen: U L + U ind = 0.
Daraus ergibt sich U L = -U ind , oder anders gesagt, wir werden nun endlich das
negative Vorzeichen wieder los…
U L = (N 2 / Rm) I/t
Nun, der Formelteil N 2 /Rm wird auch die
Induktivität L der Spule genannt:
N: Windungszahl der Spule
Rm: Widerstand des Magnetkreises
(Siehe auch Seite 20)
I/t: Stromänderung in der Spule
pro Zeiteinheit.
L: Induktivität der Spule in
Henry [H = Vs/A]
A L : Spulenkonstante
L = N 2 / Rm = N 2 A L
In Bestellkatalogen wird häufig anstelle vom Rm
die Spulenkonstante A L angegeben. Wir wissen ja
nun: A L = 1/Rm Durch Einfügen von L ergibt sich
die Grundformel für die Spulenspannung:
U L = L I/t
Zur Übung: Westermann S. 123 Nr. 1 - 5
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 26

Die gespeicherte Energie in einer Spule
Offensichtlich kann mit einer Spannung an der Spule eine
Stromstärkenänderung in dieser bewirkt werden. Umgekehrt bekommen wir
beim Ausschalten einer Spule hohe Induktionsspannungen. Damit dies
überhaupt möglich ist, muss in der stromdurchflossenen Spule ähnlich wie im
Kondensator Energie gespeichert sein. Die Beziehung der Induktivität zu
Spannung und Strom bringt uns auf die richtige Fährte:
I
U L
t
Bei gleichbleibender Spannung an einer idealen Induktivität ist die
Stromstärkenzuname konstant:
Zeichnen wir zunächst einmal den Strom der Spule in Funktion der
Einschaltzeit auf.
Der Strom verhält sich gemäss der
Beziehung
U
I t
L
wenn die Spannung an der idealen
Spule konstant gehalten wird.
Betrachten wir nun, wie wir aus dieser Darstellung auf die in der Spule
gespeicherte Energie schliessen können.
Wir kennen die Beziehung für die elektrische Arbeit resp. Energie:
W = Pt = UIt
Die Spannung haben wir beim Einschalten der Spule konstant gehalten, wir
müssen also noch einen Wert für das Produkt It haben.
Dieses Produkt entspricht der Fläche des Dreiecks unter der Kurve, ähnlich
wie bei der Energieberechnung beim Kondensator. Der Grund liegt darin, dass
sich der Strom ja kontinuierlich verändert, also nicht konstant bleibt:
W = 1/2UIt t = IL/U
W = 1/2LI 2
Übungen zum Thema: Rechenbuch für Elektroniker S. 84 Nr. 3 - 5
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 27

Zusatzaufgaben
1. Eine Ringspule hat folgende Kennwerte: N = 400, r i = 25 mm, r a = 45 mm,
h = 20 mm Wie gross ist die Induktivität L dieser Spule a) als Luftspule b) mit
einem Ferritkern mit r = 500 ausgeführt
2. Eine Spule mit N = 300 Windungen ist auf einen Eisenkern (Querschnitt 16
x 16 mm) mit unendlich hoher Permeabilität gewickelt Wie gross ist die
Induktivität L, wenn die beiden Teilkerne durch einen Luftspalt s = 0.15 mm
getrennt sind.
3. Nehmen wir an, eine ideale Spule mit L=0.15 H werde an eine Spannung
U = 1V angeschlossen. a) Wie gross ist I/t? b) Wie gross ist der Strom I
nach t=0.5s? c) Zeichne ein Diagramm der Stromzunahme in Funktion der
Zeit.
d) Wie gross ist die in der Spule gespeicherte Energie bei einem Endstrom von
I = 5A?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 28

Das RL-Glied im Gleichstromkreis
Nachdem wir nun den
Kondensator am
Gleichstromkreis untersucht
haben, betrachten wir uns die
Induktivität an Gleichspannung.
Schauen wir uns zunächst das
Schema an, mit dem wir das
Verhalten eines LR-Kreises
beobachten können.
Wir kennen noch die Formel,
welche die Induktivität L im elektrischen Kreis beschreibt: U L = L I/t
Wenn die Stromstärke in einer Spule eine abrupte Änderung erfahren sollte,
müsste die Stromänderung pro Zeiteinheit I/t sehr gross sein. Dies
wiederum ergibt eine sehr grosse Spulenspannung U L . Könnte der Strom in
der Spule sprunghaft ändern, müsste die Spulenspannung unendlich gross
werden. Dies heisst für uns:
Der Strom in einer Induktivität kann nie sprunghaft
ändern!
Wir können nun wieder eine ähnliche Betrachtung wie beim Kondensator
machen: Schalten wir die noch stromlose Spule an die Spannung U, haben wir
zu Beginn die volle Spannung an der Induktivität: U L = U
Zur Begründung: Die Spule ist im Einschaltmoment noch stromlos, folglich
fliesst auch durch den Widerstand noch kein Strom, er verursacht also noch
keinen Spannungsabfall.
Die Stromzuname in der Spule beträgt im ersten Moment:
I/t = U L / L
Der Maximalstrom, der irgendwann nach dem Einschalten einmal erreicht
wird, nur durch den Widerstand R begrenzt. Sobald der Strom konstant ist
wird I/t = 0, folglich ist auch U L = L0 = 0
Es ergibt sich der maximale Strom I LMax = U/R
Wenn wir annehmen, dass die Spulenspannung konstant bleiben würde finden
wir die Zeitkonstante heraus (= die Zeit, bis der Maximalstrom bei konstantem
U L = U fliessen würde):
I LMax / = U / L
= I LMax L / U = UL/(RU)
= L/R
Auch hier gilt aber wieder die Einschränkung, dass die Spulenspannung U L ja
gar nicht konstant bleibt.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 29

Durch den
zunehmenden Strom
in der Spule ergibt
sich über dem
Widerstand ein
Spannungsabfall, der
die Spulenspannung
U L verringert.
Dadurch verkleinert
sich aber auch die
Stromzunahme, es
ergibt sich wieder eine
gekrümmte
"Ladekurve":
Was können wir gegen die Überspannungsspitzen tun?
Wir schalten Widerstände, Kondensatoren oder
Freilaufdioden parallel zur Induktivität, damit die
Spulenenergie unterbruchslos abfliessen kann.
Wir können die Selbstinduktionsspannung aber auch nutzbringend einsetzen:
Zündspannungserzeuger zum Zünden von
Gasentladungslampen oder von Benzinmotoren.
DC-DC Konverter mit Zerhacker
Viehütapparat
Beispiele für induktive Verbraucher (Bei all diesen Bauteilen können also
Überspannungspitzen beobachtet werden, die ohne Vorkehrungen durchaus
zerstörerisch wirken können):
Drosselspulen
Motoren und
Generatoren
Transformatoren
Relaisspulen
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 30

Formeln fürs RL-Glied
Ganz ähnlich wie ein RC Glied verhält sich auch das RL-Glied. Beim RL-
Glied kann aber der Strom nicht sprunghaft ändern (beim RC-Glied war es die
Spannung) Auf diesem Blatt wollen wir die notwendigen Berechnungsformeln
zusammenstellen.
Einschalten der Spule
In der Spule fliesst zu Beginn des Vorganges kein Strom (I L = 0). Es ergeben
sich folgende Zusammenhänge:
Ausschalten der Spule
Durch die Spule fliesst zu Beginn des Vorganges der Strom I L = I 0 . Es ergeben
sich folgende Zusammenhänge:
Merke: Da die Spule beim Ausschalten den Strom halten möchte, wird die
Spulenspannung U L negativ!
Übung: Westermann S.125 Nr. 1, 2, 4, 5, (10)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 31

Allgemeine Formeln zur Berechnung von RL Gliedern
Bis jetzt haben wir vom Ein- und Ausschalten von RL Gliedern gesprochen.
Es ist aber auch denkbar, dass eine Spule eingeschaltet wird, deren Strom I L
(noch) nicht 0 ist.
Mit unseren Erkenntnissen ist es aber ein kleiner Schritt, allgemein gültige
Formeln für diese Problematik herzuleiten: Wir berechnen die Anfangsgrösse,
die beim jeweiligen Element sprunghaft ändern kann und setzen das Ergebnis
in unsere bereits bekannte e-Funktion ein:
Übung: Rechenbuch für Elektroniker S. 78 Nr. 21, 23
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 32

Zusätzliche Übungsaufgaben zu RL Gliedern
Ein RL-Integrierglied wird zum Dämpfen des Wechselstromanteiles einer
Rechteckspannung verwendet. L = 1.5H und R=50. Sie wird mit einer
Rechteckspannung mit U=5V und f=50Hz gespiesen (Tastgrad G=0.5)
a) Zeichne den Spannungsverlauf am Widerstand R für die ersten 3 Perioden
(I L (t=0)=0) vom Eingangssignal auf.
b) Wie würde der Spannungsverlauf am Widerstand R aussehen, wenn zum
Zeitpunkt t=0 eine Gleichspannung U=2.5 V angelegt würde. (Vergleiche die
Kurven aus a) und b))
(Lösung siehe RL-Glied Aufgabe2.xls)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 33

Simulation des Verhaltens von RC/RL-Gliedern
Wir haben es nun im Griff, das Ein- und Ausschaltverhalten von Spulen und
Kondensatoren zu berechnen. Ja wir können noch mehr: Wir wissen bereits
wie wir die Spannung oder den Strom an diesen Elementen nach einer
bestimmten Zeitdauer berechnen können, auch wenn der Kondensator nicht
ungeladen oder die Spule nicht stromlos war.
Mit diesen allgemeinen Formeln für RL/RC Glieder können wir zum
Abschluss dieses Kapitels noch etwas hochinteressantes ausprobieren:
Wir versuchen, die Spannung/den Strom an diesen Bauteilen jeweils nach
fixen Zeitabständen neu zu berechnen. Wir werden jeweils von den Werten zu
Beginn der Zeitperiode ausgehen und so die Werte am Ende der Zeitperiode
bestimmen. Wenn wir nun noch zulassen, dass sich die Eingangsspannung im
Verlaufe der Zeit ändert, können wir mit Hilfe von Excel einen kleinen
Simulator bauen, der das Verhalten unserer RC/RL Glieder an beliebigen
Spannungsformen darstellt. Auf ganz ähnliche Weise funktioniert z.B.
Electronics Workbench. Lasst uns also die Grundlagen für dieses Thema
erarbeiten und uns das Ganze schlussendlich auf Excel ausprobieren.
Simulation RC-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform
Zunächst scheint uns obiger Text wohl noch etwas hypothetisch. Lasst uns
also zunächst im Diagramm betrachten, was wir überhaupt genau berechnen
wollen:
Wir 'hangeln' uns quasi von
Zeitperiode zu Zeitperiode, wobei die
Spannung des Kondensators zu
Beginn einer Berechnungsperiode
dieselbe ist wie am Ende der
vorherigen Periode. Die Spannung am
Kondensator kann ja nicht sprunghaft
ändern.
Wenn wir nun unsere allgemeine Formel fürs RC Glied noch so umschreiben,
dass wir nur noch eine zeitabhängige e-Funktion drinhaben, können wir diese
später in EXCEL verwenden, um aus den Anfangswerten jeweils die neuen
Endwerte zu berechnen:
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 34

Lasst uns nun das Ganze einmal so vorbereiten, dass wir im Excel das
Verhalten des RC-Gliedes an einer Sinusspannung simulieren können. Dazu
dient folgendes Beispiel:
Ein RC-Glied mit C = 10 F und R = 3.3 k liegt an einer Wechselspannung
mit einer Periodendauer von 200 ms und Û = 10 V. Berechne die Spannungen
U C und U R jeweils im Abstand von 1 ms (t = 1 ms).
Wir erstellen uns dazu eine Tabelle mit folgenden Kolonnen und tragen unten
ein, wie wir die entsprechenden Werte berechnen können:
t UEingang UC UR IC
[ms] [V] [V] [V] [mA]
0 0 0.000 0 0
1 0.314108 0.000 0.314 9.52E-05
2 0.627905 0.009 0.619 0.000187
3 0.941083 0.028 0.913 0.000277
4 1.253332 0.055 1.198 0.000363
5
Simulation RL-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform
Genau gleich können wir vorgehen, wenn wir ein RL-Glied simulieren
möchten. Hier kann sich allerdings der Strom nicht sprunghaft ändern, d.h. wir
müssen sicher nach jeder Zeitperiode den Spulenstrom bestimmen: Der
Endwert der vorigen Periode wird der Startwert der folgenden.
Auch hier hilft zur Simulation die umgestellte allgemeine Formel für RL
Glied:
Beispiel: Ein RL-Glied mit L = 1.5 H und R = 50 liegt an einer
Sinusspannung mit Û = 10 V und Periodendauer T = 200 ms.
Berechne in 1 ms Schritten U L und U R .
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 35

Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 36