Elektrotechnik für Elektroniker im 2. Lehrjahr

Elektrotechnik
für Elektroniker im
2. Lehrjahr
von
Alexander Wenk
© 2005, Alexander Wenk, 5079 Zeihen

Inhaltsverzeichnis
Ladung, elektrisches Feld und Kondensator____________________________________ 1
Die elektrische Ladung _______________________________________________________ 1
Das elektrische Feld __________________________________________________________ 1
Elektrische Feldlinien ______________________________________________________________ 2
Die elektrische Feldstärke ___________________________________________________________ 3
Influenz und dielektrische Polarisation _________________________________________________ 3
Formeln zum elektrischen Feld_________________________________________________ 4
Der Kondensator ____________________________________________________________ 5
Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren __________________________________ 6
Parallelschaltung von Kondensatoren __________________________________________________ 6
Serieschaltung von Kondensatoren ____________________________________________________ 6
Gespeicherte Energie im Kondensator___________________________________________ 7
Bauarten von Kondensatoren __________________________________________________ 8
Das RC-Glied im Gleichstromkreis _____________________________________________ 9
Laden des Kondensators ________________________________________________________ 11
Entladen des Kondensators ______________________________________________________ 11
Laborversuch RC-Glieder __________________________________________________________ 12
Allgemeine Formeln zur Berechnung von RC-Gliedern ___________________________ 13
Zusätzliche Übungsaufgaben zu RC Gliedern____________________________________ 14
Kondensator mit Isolationswiderstand _________________________________________ 14
Induktivität und Magnetismus ______________________________________________ 15
Grundgrössen des magnetischen Kreises________________________________________ 15
Durchflutung Θ __________________________________________________________________ 16
Feldstärke H ____________________________________________________________________ 16
Magnetische Induktion B (Flussdichte) _________________________________________ 16
Magnetischer Fluss Φ _____________________________________________________________ 17
Der Magnetwiderstand Rm _________________________________________________________ 18
Strom im Magnetfeld ________________________________________________________ 19
Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld_____________________________________________ 19
Stromdurchflossene Spule im Magnetfeld______________________________________________ 20
Das Hallelement _________________________________________________________________ 21
Spannungserzeugung durch Induktion _________________________________________ 22
Die Induktivität L einer Spule (Selbstinduktion)_________________________________________ 24
Der Transformator________________________________________________________________ 25
Die gespeicherte Energie in einer Spule _________________________________________ 26
Zusatzaufgaben ____________________________________________________________ 27
Das RL-Glied im Gleichstromkreis __________________________________________ 28
Formeln fürs RL-Glied ____________________________________________________________ 30
Einschalten der Spule___________________________________________________________ 30
Ausschalten der Spule __________________________________________________________ 30
Allgemeine Formeln zur Berechnung von RL Gliedern____________________________ 31
Zusätzliche Übungsaufgaben zu RC und RL Gliedern ____________________________ 32
Simulation des Verhaltens von RC/RL-Gliedern _________________________________ 33

Simulation RC-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform _______________________________ 33
Simulation RL-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform _______________________________ 34
Verbraucher im Wechselstromkreis__________________________________________ 38
Spannung, Strom und Phasenverschiebung an Impedanzen ________________________ 38
Ohmsche Verbraucher _____________________________________________________________ 38
Induktive Verbraucher_____________________________________________________________ 38
Kapazitive Verbraucher____________________________________________________________ 40
Gemischte Verbraucher ____________________________________________________________ 40
Serieschaltung von Wechselstromwiderständen __________________________________ 42
Serieschaltung von R und L_________________________________________________________ 42
Verluste in der Spule ______________________________________________________________ 43
Serieschaltung von R und C ________________________________________________________ 43
Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen________________________________ 44
Parallelschaltung von R und L_______________________________________________________ 44
Parallelschaltung von R und C ______________________________________________________ 45
Verluste im Kondensator___________________________________________________________ 45
Laborversuch Verhalten von L und C an Wechselspannung _______________________ 46
Laborversuch RC-Integrierer an Rechteckpulsen ________________________________ 47
Amplituden- und Phasengang passiver Filter__________________________________ 48
Der Hochpass ______________________________________________________________ 48
Der Tiefpass _______________________________________________________________ 50
Dezibel - Pegelangaben in der Elektrotechnik____________________________________ 51
Leistungspegel___________________________________________________________________ 51
Spannungspegel__________________________________________________________________ 52
Rechnen mit Pegelangaben _________________________________________________________ 52
Filtercharakteristik von Hoch- und Tiefpass_____________________________________ 54
Hochpass _______________________________________________________________________ 54
Tiefpass ________________________________________________________________________ 55
LRC Filter_________________________________________________________________ 57
Serieschaltung von LRC ___________________________________________________________ 57
Versuch Serieschwingkreis 1_____________________________________________________ 59
Versuch Serieschwingkreis 2: Die Bandsperre _______________________________________ 60
Allgemeine Charakteristik des Serieschwingkreises ___________________________________ 61
Versuch Serieschwingkreis 3: Der RLC-Tiefpass _____________________________________ 63
Parallelschaltung von LRC _________________________________________________________ 64
Versuch Parallelschwinkreis: Der reale Bandpass_____________________________________ 66
Verhalten vom Parallelschwingkreis bei Resonanz ____________________________________ 67
Ersatz-Serieschaltung und Ersatz-Parallelschaltung von RL/RC-Gliedern __________ 68
Die Parellel- Seriewandlung __________________________________________________ 68
Die Serie- Parallelwandlung __________________________________________________ 70
Laborversuch RL-Glied______________________________________________________ 75
Laborversuch Integrator (Fächerübergreifender Versuch zum Analog- Digitalkonverter)
__________________________________________________________________________ 76
Elektrisches Feld und Kondensator: Zusatzaufgaben _____________________________ 77

Ladung, elektrisches Feld und Kondensator
Die Ladung lernten wir bereits bei den Grundbegriffen kennen. Wir wollen
unser Kenntnisse in diesem Bereich nun ausbauen.
Die elektrische Ladung
Die elektrische Ladung ist ein räumlich begrenzter Überschuss oder Mangel
an Elektronen. Elektronenüberschuss ergibt eine negative, Elektronenmangel
eine positive Ladung. Elektrische Ladungen üben aufeinander Kraftwirkungen
aus:
Gleichartige Ladungen stossen sich ab, ungleichartige Ladungen ziehen sich
an.
Dieses Gesetz lässt sich sehr schön an einem Elektrischen Pendel zeigen:
Bild 1
Die Kugel in Bild 1wird zunächst an der
Platte 1 positiv geladen, dann von der
gleichnamigen Ladung abgestossen und
zugleich von der negativen Platte
angezogen. An dieser Platte wird die
Kugel umgeladen und erneut abgestossen.
Der Vorgang wiederholt sich, solange
Spannung anliegt.
Jede Ladung verursacht eine elektrische Spannung oder anders gesagt einen
elektrischen «Druck». Bewegte elektrische Ladung nennen wir Strom. Die
Masseinheit für die Ladung ist 1 Amperesekunde = 1 As = 1 Coulomb.
Das elektrische Feld
Ist eine Kugel geladen, stösst sie andere Ladungen ab,
oder sie zieht sie an, d.h. es wirken Kräfte.
Bild 2
Bild 3
Sind mehrere Körper vorhanden, lassen sich im Raum
zwischen ungleichartig geladenen Körpern
Kraftwirkungen nachweisen. Wir können Stärke und
Richtung dieser Kräfte im Raum herausfinden, wenn wir
mit einer Probeladung an die
gewünschte Stelle gehen und die Kraft
messen, die auf sie wirkt. Wenn wir
die Probeladung frei lassen, so fliegt
sie in Richtung dieser Kraftlinien. Nun
ist es uns in der Elektrotechnik aber
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 1

geläufiger von Spannungen und Strömen zu sprechen anstelle von Kräften.
Deshalb wurde das elektrische Feld als Ursache dieser Kräfte eingeführt.
Eine Probeladung fliegt also in Richtung der Feldlinien.
Geladene Körper bilden also ein elektrisches Feld. Zwischen zwei
unterschiedlich geladenen Körpern herrscht zudem eine Spannung. Ladung,
Spannung, Kraftwirkung und elektrisches Feld hängen also zusammen.
Elektrische Feldlinien
Jedes Feld lässt sich zeichnerisch durch Kraft- oder Feldlinien
veranschaulichen. Die elektrischen Feldlinien verlaufen in Richtung der
Kraftwirkung auf eine positive Ladung.
Die Feldlinien haben folgende Eigenschaften:
• Sie beginnen auf positiven und enden bei negativen Ladungen
• sie treten immer senkrecht aus der Leiteroberfläche aus
• sie kreuzen oder berühren sich nie.
Verlaufen die Feldlinien parallel und mit gleichmässigem
Abstand, spricht man von einem homogenen Feld.
Zwischen den parallelen, nahe beieinander liegenden
Platten eines Kondensators ist das el. Feld homogen, von
den Randeffekten einmal abgesehen. (Bild 4)
Häufig verlaufen die Feldlinien nicht parallel, das Feld ist
inhomogen. Aus den Feldlinienbildern kann man die
ungefähre Grösse und die Verteilung der elektrischen
Bild 4
Feldstärke erkennen:
Das Feld ist dort am stärksten, wo die Feldliniendichte am grössten ist.
Bild 5
Weisen die geladenen Körper (Bild 5) scharfe
Kanten oder Spitzen auf, liegen dort die
Feldlinien am nächsten beieinander, das heisst die
Feldstärke ist dort immer am grössten.
Grosse Flächen und runde Formen führen zu einer
gleichmässigen Verteilung der Feldlinien. So sind die
Feldlinien an der Kugeloberfläche in Bild 6 wesentlich
weniger dicht wie an einer Spitze im Bild 5.
Bild 6
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 2

Die elektrische Feldstärke
Je stärker ein elektrisches Feld ist, desto grösser ist die Kraft, die auf geladene
Körper oder auf die Elementarladungen der Atome wirkt.
Die Feldstärke ist ein Mass für die Kraft auf Ladungen im el. Feld.
Masseinheit für die Feldstärke ist V/m, in der Praxis auch V/mm oder
kV/mm.
In einem homogenen Feld ist die Feldstärke umso grösser, je höher die
Spannung und je kleiner der Abstand der Pole ist. Ist die Feldstärke für ein
bestimmtes Isoliermaterial zu gross, kommt es zu einem gewaltsamen
Ladungsausgleich zwischen den Polen, der Isolierstoff wird elektrisch
«durchschlagen» und dadurch meistens zerstört. Die Durchschlagsfestigkeit ist
eine wichtige Kenngrösse für ein Isoliermaterial.
Influenz und dielektrische Polarisation
Unter dem Einfluss eines elektrischen
Feldes kommt es in leitenden Materialien
zu einer Ladungstrennung (Influenz). Die
Oberfläche des leitenden Gebildes in Bild
7 oben wird dadurch aufgeladen.
Der Innenraum eines
leitenden Körpers ist feldfrei
Abschirmung
Auch in Nichtleitern kommen
Influenzwirkungen zustande, allerdings
gibt es kaum freie Elektronen, die
abfliessen können. Innerhalb der Atome
Bild 7
und Moleküle tritt jedoch eine
Ladungsverschiebung ein. Gewisse Moleküle werden verformt, sie bilden
Dipole mit einem positiven und einem negativen Ende (dielektrische
Polarisation, dargestellt in Bild 7 unten).
Die dielektrische Polarisation beeinflusst die Kapazität
von Kondensatoren und die dielektrischen Verluste.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 3

Formeln zum elektrischen Feld
Nachdem wir einige Eigenschaften der Elektrostatik kennen gelernt haben,
möchten wir nun einige mathematische Beziehungen zu diesem Thema
herleiten:
Das elektrische Feld ist wie folgt definiert:
U
l
E = U / l
E = elektrische Feldstärke [V/m]
U = Spannung [V]
l = Länge [m]
Elektrische Felder verursachen Kräfte auf eine Probeladung. Anders gesagt
sind die elektrischen Feldlinien die auf eine Probeladung wirkenden
Kraftlinien. Wir kennen zwei Beziehungen:
F = q⋅E
F = Kraft [N]
q = (elementar)Ladung [C = As]
E = elektrische Feldstärke [V/m]
s = Länge [m]
Weiter können wir aus dieser Beziehung auch die elektrische Energie
berechnen:
W = F⋅s = q⋅E⋅l = q⋅U
Übungen: Westermann S. 109 Nr. 1, 3 – 5
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 4

Der Kondensator
Der Kondensator besteht im Idealfall aus zwei parallelen Platten und dient zur
Speicherung elektrischer Ladung. Je mehr Ladung pro Spannungseinheit
gespeichert werden kann desto grösser ist die Kapazität des Kondensators.
Damit wir die Beziehungen herleiten können
benötigen wir noch den Begriff der elektrischen
Flussdichte:
Begriffe:
• D: elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte)
• E: Elektrische Feldstärke
• ε: Dielektrizitätskonstante
• C: Kapazität vom Kondensator
• d: Plattenabstand im Kondensator
• A: Fläche der Platten
Einer Grösse sind wir bis jetzt nicht begegnet: dem ε. Die
Dielektrizitätskonstante beschreibt, wie elektrisches Feld und
Ladungskonzentration zusammenhängen. Sie ist auch abhängig vom Material,
das vom elektrischen Feld durchdrungen wird. Diese Konstante ist ein extrem
kleiner Wert, und liegt für die verschiedenen Materialien relativ nahe
beieinander. Deshalb verwendet man die Dielektrizitätskonstante von
Vakuum, und sagt mit einer zweiten Konstante aus, wie viel besser das
Material ist wie Vakuum:
ε = ε 0 ⋅ε r
ε 0 : Elektrische Feldkonstante:
ε 0 = 8.854⋅10 -12 As/(Vm)
ε r : Dielektrizitätszahl (Faktor wie
viel besser als Vakuum)
Übungen: Westermann S. 110 Nr. 2 – 4;
S. 111/112 Nr. 1, 2, 4 (mit Excel), 6, 8, 10
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 5

Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren
Prinzipiell gelten dieselben Gesetze wie bei der Zusammenschaltung von
Widerständen (Maschensatz und Knotenpunktsatz)
Da wir aber erst später auf den Blindwiderstand von Kondensatoren eingehen
werden, lösen wir die Aufgabe mit der bereits bekannten Formel:
Q
C =
U
Parallelschaltung von Kondensatoren
Bei der Parallelschaltung ist die Spannung an allen Kondensatoren gleich. Wir
können deshalb die Gesamtladung bei einer bestimmten Spannung berechnen
und daraus die Ersatzkapazität bestimmen:
Serieschaltung von Kondensatoren
In einer Serieschaltung fliesst durch alle Elemente zu jeder Zeit derselbe
Strom. Wir können also auch sagen, dass die Ladung in allen Kondensatoren
der Serieschaltung die gleiche ist. Zudem ist die Gesamtspannung gleich der
Summe der Einzelspannungen. Damit berechnet sich die Ersatzkapazität wie
folgt:
Übungen zum Thema: Westermann S. 116 Nr. 1 – 6, 13, 17
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 6

Gespeicherte Energie im Kondensator
Mit dem Kondensator können wir bekanntlich Ladung speichern. Die
gespeicherte Ladung ist proportional zur Spannung am Kondensator, wie uns
diese Formel zeigte:
I ⋅ t = Q = C ⋅U
Zeichnen wir aus dieser Beziehung einmal die Spannung in Funktion der
gespeicherten Ladung auf. Diese Kurve können wir übrigens auf dem KO
abbilden, wenn wir einen Kondensator mit einem konstanten Strom aufladen.
Die Spannung verhält sich gemäss
der Beziehung
U
= 1 ⋅Q
C
Betrachten wir nun, wie wir aus dieser Darstellung auf die gespeicherte
Energie in einem Kondensator schliessen können.
Wir kennen die Beziehung für die elektrische Arbeit resp. Energie:
W = P⋅t = U⋅I⋅t = U⋅Q
Das Problem ist für den Kondensator aber, dass die Spannung beim Entladen
immer niedriger wird, d.h. die entnommene Energie pro Ladungseinheit wird
immer kleiner, je mehr er entladen wird. Deshalb stimmt diese Formel nur für
ein ganz kleiner Ladungs- resp. Energiebezug:
∆W = U⋅∆Q
Anders ausgedrückt entspricht die gespeicherte Energie im Kondensator der
Fläche unter der Ladungskurve, also
W = 1/2⋅U⋅Q
Durch Einsetzen von Q = C⋅U erhalten wir:
W = 1/2⋅C⋅U 2
Beispiel: Wir haben einen 4.7 µF Kondensator auf 300 V aufgeladen. Wie
gross ist die im Kondensator gespeicherte Energie?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 7

Bauarten von Kondensatoren
Wir wollen die verschiedenen Kondensatortypen in einer Gruppenarbeit näher
kennenlernen. Ziel dieser Gruppenarbeit ist eine Kurzpräsentation, in der jeder
seinen Kondensatortyp vorstellt. Folgende Fragen sollten dabei beantwortet
werden:
• Wie und aus was wird der Kondensator hergestellt?
• Welche speziellen Eigenschaften hat er?
• Wo werden sie eingesetzt?
Für das Vorbereiten des Vortrages stehen ca. 20 Minuten zur Verfügung. Als
Informationsquelle dient das Internet oder Kopien vom Vogel Fachbuch Band
2: Bauelemente.
Folgende Kondensatortypen stehen für die Gruppenarbeit zur Auswahl:
Papier- und Kunststoffkondensatoren (S.52)
Metall-Papier und Metall-
Kunststoffkondensatoren (S. 53)
Keramikkondensatoren (S. 54)
Elektrolyt-Kondensatoren (S. 55)
Tantal-Elektrolytkondensatoren (S. 56)
Einstellbare Kondensatoren (S. 57)
1 P Yannick Andy
Florian, Selina
1 P Thomas, Samuel
Cedric, Benjamin
Keno, Peter
1 P David, Pascal
Viel Spass beim Erarbeiten des Vortrages!
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 8

Das RC-Glied im Gleichstromkreis
Bis jetzt sind wir davon ausgegangen, ein Kondensator werde mit einem
konstanten Strom geladen. Doch was geschieht, wenn der Kondensator über
einen Widerstand an eine Spannungsquelle gehängt wird? Bei dieser
Beschaltung verändert sich der Strom laufend, weil die Spannung über dem
Widerstand den Stromfluss bestimmt.
Lasst uns im Detail betrachten, was mit dieser Einleitung anzustellen ist, um
auf die Ladekurve eines RC-Glieds zu kommen.
Zunächst betrachten wir uns die Kurve
für einen rein ohmschen Verbraucher.
In ihm ist der Strom jederzeit
proportional zur Spannung, so wie es
das Ohmsche Gesetz beschreibt.
Dabei kann sowohl U als auch I
sprunghaft ändern.
Beim Kondensator verhält sich dies ein wenig anders. Die Formel, die den
Kondensator im elektrischen Kreis beschreibt lautet:
I⋅t = Q = C⋅U
Wir sehen bereits: wenn die Spannung am Kondensator sprunghaft ändern
sollte müsste sich die Ladung ebenfalls sprunghaft ändern. Dafür müsste aber
der Strom unendlich gross werden, was natürlich nicht möglich ist. Daraus
ergibt sich der Satz:
Die Spannung an einem Kondensator kann nie
sprunghaft ändern.
In der Praxis ist der Strom an einem
Kondensator durch einen Widerstand
begrenzt. Aus dem gegebenen Schema
ergibt sich die Lade- und Entladekurve
des Kondensators. Der Anfangsstrom
ist relativ einfach zu bestimmen. Ist der
Kondensator ungeladen, beträgt er
I 0 = U/R
Würde er immer weiter fliessen, wäre der Kondensator, der ja der Formel
Q = I⋅t = C⋅U folgt, nach folgender Zeit geladen:
t = C⋅U/I = C⋅U/(U/R) = R⋅C
Wir nennen diese Zeit die Zeitkonstante τ.
τ = R⋅C
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 9

Nun ist die Behauptung, dass der Kondensator tatsächlich nach dieser Zeit
geladen sei, sehr theoretisch. Natürlich wissen wir, dass der Kondensator
schon nach kurzer Zeit eine Eigenspannung U C aufgebaut hat, und damit nicht
mehr die volle Spannung U am Widerstand R abfällt. Damit wird aber auch
der Ladestrom I kleiner, die Ladekurve flacht also ab. Aus der Praxis können
wir sagen:
Ein Kondensator ist nach fünf Zeitkonstanten (5τ)
nahezu vollständig geladen oder entladen.
Aus diesem Exkurs in die Vorgänge des Ladens vom Kondensator lässt sich
die Lade- und Entladekurve vom Kondensator skizzieren:
Bevor wir uns den theoretischen Grundlagen widmen werden, möchte ich
Euch die Wirkung des RC-Gliedes bei Schaltvorgängen in einer Excel-
Simulation erleben lassen.
Wir nehmen uns dazu folgendes Beispiel: Ein Kondensator C = 10 µF wird
über einen Widerstand R = 10 kΩ auf 10 V geladen. Wie wir bereits wissen,
können wir den aktuellen Strom in den Kondensator hinein berechnen, wenn
wir wissen wie gross die Kondensatorspannung ist. Wenn wir den Strom
kennen, können wir auch die Ladungszunahme im Kondensator und damit den
Spannungsanstieg berechnen. So können wir eine Excel-Tabelle erzeugen, die
uns die Spannungsveränderung am Kondensator darstellt. Wir müssen einzig
darauf achten, dass wir die Zeitabschnitte klein genug wählen, d.h. ∆t < 0.05 τ.
Vorgehen:
• Bestimme ∆t für unser Beispiel und erstelle ein entsprechendes Zeitraster
in Excel.
• Setze die Anfangsspannung vom Kondensator auf 0.
• Berechne für die jeweilige Zeile den Strom in den Kondensator
• Berechne für die nächste Zeile die Anfangsspannung des Kondensators.
• Stelle das Ergebnis grafisch dar.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 10

Laden des Kondensators
Der Kondensator ist zu Beginn des Vorganges entladen (U C = 0) und wird
gemäss Schema an eine Spannungsquelle gehängt. Es ergeben sich folgende
Zusammenhänge:
Entladen des Kondensators
Der Kondensator ist zu Beginn des Vorganges auf die Spannung U C = U 0
aufgeladen und beginnt sich über den Widerstand R zu entladen. Es ergeben
sich folgende Zusammenhänge:
Merke: Da der Kondensator beim Entladen wie eine Quelle Strom abgibt, ist
der Strom I C negativ!
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 11

Nützliche Anwendungen von RC-Schaltungen im Gleichspannungsbetrieb:
• Glätten von Spannungen und Strömen
• Kurzzeit-Energiespeicher
• Zeitverzögerungsschaltungen
• Schaltfunken-Entstörung
Übung: Westermann S. 114 Nr. 1 – 5, 7, 8
Laborversuch RC-Glieder
Die Versuchsresultate sollen in einem zweiten Schritt mit der Theorie
verglichen werden, deshalb ist es unabdingbar, die Messresultate in einem
Versuchsbericht festzuhalten.
Aufgabe: Messe die Lade- und Entladekurve (Spannung u(t) wie auch Strom
I(t)) eines RC Gliedes. Verwende dazu eine (ungeerdete) Spannungsquelle
sowie einen Digitalspeicher-KO, um die Spannungen/Ströme zu bestimmten
Zeitpunkten herauslesen zu können.
• Wie sieht die Beschaltung aus, damit wir gleichzeitig den Ladestrom wie
auch die Ladespannung am Kondensator messen können?
• Stelle die Spannungsquelle auf U = 10V und nehme die Ladekurven
eines RC-Gliedes mit R=10kΩ und C=100 µF auf. Stelle sicher, dass C
vor dem Messvorgang auch wirklich entladen ist!
• Schreibe den Anfangsstrom sowie die Ladeströme/Spannungen bei t =
0.5s, 1s, 1.5s, 2s, 3s, 4s und 5s auf. Nutze dafür die Cursorfunktionen des
Oszilloskops.
• Zeichne die Ladefunktion mit der Exponentialfunktion in Excel auf und
stelle in der Grafik Deine Messpunkte als Punkte dar. Begründe
eventuelle Abweichungen zwischen Theorie und Messung.
• Wie sieht die Entladekurve dieses RC-Gliedes aus? (U C vor Versuch auf
10V)
Zusatzaufgaben:
• Mache denselben Versuch mit R=10kΩ und C=10 µF. Was können wir
im Vergleich zum vorherigen Experiment feststellen?
• Nehme die Ladekurve eines RC Gliedes mit R=1kΩ und C=100 µF auf.
• Berechne zu diesen Beispielen die Ladespannung nach t = τ und
vergleiche mit der Messung. Wie viel Prozent beträgt dann der
Ladestrom und die Ladespannung im Vergleich der Startwerte?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 12

Allgemeine Formeln zur Berechnung von RC-Gliedern
Bis jetzt haben wir vom Laden und Entladen von RC Gliedern gesprochen. Es
ist aber auch denkbar, dass ein bereits teilweise geladener Kondensator an eine
Spannungsquelle gehängt wird.
Mit unseren Erkenntnissen ist es ein kleiner Schritt, allgemein gültige Formeln
für diese Problematik herzuleiten: Wir berechnen die Anfangsgrösse, die beim
Kondensator sprunghaft ändern kann und setzen das Ergebnis in unsere bereits
bekannte e-Funktion ein:
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 13

Zusätzliche Übungsaufgaben zu RC Gliedern
1. Ein RC-Integrierglied mit C = 10µF und R = 10 kΩ wird mit einem
Spannungspuls von U = 10V und der Dauer t = 50 ms gespiesen. Danach
liegt wieder U = 0V am Eingang. Der Kondensator sei zum Zeitpunkt t=0
ungeladen.
a) Wie gross ist die Spannung U C am Kondensator nach 50 ms?
b) Wie gross ist die Spannung am Kondensator nach 150 ms (vom Beginn
des Spannungspulses an gemessen)?
2. Skizziere den Zeitbereich 0 .. 250 ms, wenn wir annehmen das obige
Integrierglied erhalte eine gepulste Rechteckspannung mit Û = 10 V und
Tastgrad g = 0.5 und einer Frequenz f = 10 Hz. (Aus diesen Angaben ergibt
sich eine Rechteckspannung, die 50 ms auf 10 V ist und die nächsten 50 ms
auf 0 V usw.)
Kondensator mit Isolationswiderstand
Ein Glimmerkondensator (ε r = 8) hat folgende Kenngrössen:
Wirksame Oberfläche A = 500 cm 2 , Plattenabstand d = 0.1 mm. a) Wie gross
ist die Kapazität C dieses Kondensators? b) Wie gross ist der
Isolationswiderstand der Glimmerschicht dieses Kondensators (ρ Glimmer =
5⋅10 14 Ωm)
Wie gross ist die Zeitkonstante τ der Selbstentladung dieses Kondensators?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 14

Induktivität und Magnetismus
In diesem Kapitel wollen wir uns dem Wesen und den Zusammenhängen des
Magnetismus mit mathematischen Formeln nähern. Lasst uns zunächst einmal
den magnetischen Kreis berechnen:
Grundgrössen des magnetischen Kreises
Der magnetische Kreis hat ähnliches Verhalten wie ein elektrischer Kreis. Wir
brauchen nur die magnetischen den elektrischen Grundgrössen zuzuordnen.
Danach können wir eigentlich ein Schema vom magnetischen Kreis zeichnen,
so wie wir ein Elektro-Schema für eine Schaltung zeichnen. Mithilfe der
mathematischen Beziehungen können wir schlussendlich die fehlenden
Grössen berechnen. Betrachten wir diesen Sachverhalt in einer einfachen
Gegenüberstellung:
Wir können folgende Grössen gegenüberstellen:
elektrischer Kreis
magnetischer Kreis
Quelle Batterie / Generator Spule, Dauermagnet
Durchflutung Θ [A]
Verbraucher Widerstand R [Ω] magn. Widerstand Rm
[A/Vs]
Fluss Strom I [A] magn. Fluss Φ [Vs]
Feldstärke el. Feldstärke E [V/m] magn. Feldstärke H
[A/m]
Flussdichte Sromdichte J [A/mm 2 ] Induktion B [Vs/m 2 = T]
Permeabilität µ [Vs/Am]
Leiter Kupferdraht Eisenkern
Strömungsursache
elektrische Spannung U
[V]
Materialkonstante
spez. Widerstand ρ
[Ωmm 2 /m oder Ωm]
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 15

Wir können also mit unserem bereits eingeprägten Modell "elektrischer
Stromkreis" auch den magnetischen Kreis angehen und in den Griff kriegen!
Lasst es uns gleich versuchen:
Durchflutung Θ
Die magnetische Durchflutung ist treibende Kraft in einem Magnetkreis.
Üblicherweise wird sie durch eine Spule erzeugt es kann aber auch ein
Permanentmagnet die treibende Kraft sein (z.B. in einem Dynamo).
Wir berechnen sie mit folgender Beziehung:
Θ: magnetische Durchflutung [A]
Θ= I⋅N
I: elektrischer Strom [A]
N: Anzahl Windungen der Spule [einheitenlos]
Feldstärke H
Die magnetische Feldstärke können wir nach der Substitution der elektrischen
Formelzeichen durch die magnetischen direkt berechnen:
Θ
H= ⎯⎯
l
H: magnetische Feldstärke [A/m]
Θ: magnetische Durchflutung [A]
l: Feldlinienlänge [m]
Magnetische Induktion B (Flussdichte)
Wir betrachten hier zuerst die magnetische Flussdichte, weil eine einfache
Beziehung existiert, wie man sie aus den bisher bekannten Grössen berechnen
kann:
B = µ⋅H wobei
µ = µ 0 ⋅µ r
B: magnetische Induktion
[Vs/m 2 = T = Tesla]
µ: magnetische Leitfähigkeit [Vs/Am]
H: magnetische Feldstärke [A/m]
Die Beziehung µ = µ 0 ⋅µ r zeigt uns denselben Sachverhalt wie das mit ε bei den
Kondensatoren der Fall war: µ 0 ist eine Naturkonstante und beschreibt die
Verhältnisse in Vakuum oder Luft. Sie beträgt µ 0 = 1.257⋅10 -6 Vs/Am.
µ r hingegen sagt aus, wieviel mal besser der verwendete Werkstoff die
Feldlinien leitet wie das in Luft der Fall ist. Da Magnetwerkstoffe praktisch
immer nichtlineares Verhalten zeigen. gibt es für den Zusammenhang B =
f(H) meistens Diagramme anstelle fixer Zahlen.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 16

Magnetischer Fluss Φ
Der magnetische Fluss hängt mit der Flussdichte genau gleich zusammen wie
die Stromdichte mit dem Strom:
Φ: magnetischer Fluss [Vs oder Wb (Weber)]
Φ = B⋅A B: magnetische Flussdichte [T = Vs/m 2 ]
A: Querschnitt des Kerns [m 2 ]
In der Regel wird der magnetische Fluss durch einen Eisenkern geleitet. Der
magnetische Fluss beschreibt also die Gesamtzahl aller Feldlinien einer
stromdurchflossenen Spule oder eines Dauermagneten (Analog zum Strom I
im Stromkreis).
Lasst uns zu diesem Sachverhalt zwei Beispiele lösen:
1. In einer Spule fliesst ein Strom I = 8 A. a) Wie viele Windungen muss sie
haben, um in einem 5 mm breiten Luftspalt eine magnetische Induktion von
0.4 T zu erzeugen? b) Wie gross ist der magnetische Fluss, wenn der Kern
einen Querschnitt von 1 cm 2 aufweist?
2. Gegeben ist ein einzelner stromdurchflossener Leiter. Wie verhält sich die
Feldstärke H und die magnetische Induktion B in Funktion vom Abstand zum
Leiter?
Zahlenbeispiel: Der Strom ist I = 10 A, der Abstand r = 10 cm. H = ?, B = ?
Zur Übung: Westermann S. 120 Nr. 1-8, 10-12
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 17

Der Magnetwiderstand Rm
Als einzige noch unbehandelte Grösse ist uns der Magnetwiderstand Rm
geblieben. Wenn wir diesen definiert haben, können wir den magnetischen
Kreis genau gleich wie den elektrischen betrachten:
Das „ohmsche Gesetz“ für den Magnetkreis lautet:
Θ = Φ⋅Rm ⇒ Rm = Θ / Φ
Wenn es uns gelingt, rechnerisch von Θ auf Φ zu kommen, sollten wir Rm aus
rein geometrischen Grössen berechnen können:
H = Θ / l
B = µ⋅H = µ⋅Θ / l
Φ = B⋅A = µ⋅Θ⋅A / l
Wenn wir nun das Ergebnis für Φ in unsere Formel für Rm einsetzen, erhalten
wir:
Rm = Θ / Φ = Θ / (µ⋅Θ⋅A / l)
Rm = l / (µ⋅A)
Aufgabe: Berechne den Magnetwiderstand vom Luftspalt mit folgenden
Dimensionen (aus Aufg. 1, vom letzten Blatt):
Breite = 5 mm, Querschnitt = 1 cm 2
Berechne die magn. Durchflutung, wenn Φ = 40 µVs beträgt.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 18

Strom im Magnetfeld
Wir haben gesehen, dass einzelne Magnete sich je nach Lage zueinander
anziehen/abstossen können. Besonders beim Hufeisenmagnet stellten wir fest,
dass diese Kräfte ganz beachtlich sein können. Wenn wir nun
stromdurchflossene Leiter haben, werden diese ebenfalls zum Magneten. Wir
werden in den folgenden Abschnitten sehen, wie genau dies zu erklären und
zu berechnen ist.
Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld
Lasst uns zuerst nur ein Leiter in einem Magnetfeld betrachten, indem wir die
Feldlinien dieser Anordnung aufzeichnen:
N
S
Die Kraft wirkt unserer Skizze folgend quer zum Magnetfeld und auch quer
zur Stromrichtung.
Nachdem wir nun die Kraftrichtung kennen, interessiert uns natürlich auch die
Stärke dieser Kraft. Sie hängt ab von:
F = I⋅B⋅l
Wenn wie bei einer Spule mehr als ein vom
Strom durchflossener Leiter im Magnetfeld ist,
beträgt die Kraft natürlich für jeden Leiter
separat obigen Wert. Wir können dann die
Gesamtkraft mit der erweiterten Formel
berechnen:
Lasst uns nun noch die Einheiten kontrollieren:
F = I⋅B⋅l = [A⋅Vs/m 2 ⋅m = VAs/m = Nm/m = N]
Übung: Westermann S. 121 Nr. 1 - 5
F: Kraft in [N]
I: Strom in [A]
B: Flussdichte [T]
l: Länge des Leiters im
Magnetfeld [m]
N: Anzahl Leiter im
Magnetfeld
F = I⋅B⋅l⋅N
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 19

Stromdurchflossene Spule im Magnetfeld
Wir haben uns noch gar keine Gedanken über den technischen Nutzen dieser
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter gemacht. Wir können mit diesem
Effekt nämlich Motoren mit einem hohen Wirkungsgrad (ca. 75 - 95 %)
bauen. Allerdings verwendet man dort anstelle von einzelnen Leitern ganze
Leiterpakete oder eben Spulen. Lasst uns einige dieser Feldlinienbilder
betrachten:
In nebenstehender Skizze stellen wir fest, wie
auf die Spule ein Drehmoment entsteht. Sie hat N
das Bestreben, siech um die eigene Achse zu
drehen, bis die beiden Felder gleich ausgerichtet
sind. Bei einem Elektromotor muss die
Stromrichtung dann jeweils umgepolt werden,
um den Drehvorgang fortzusetzen. Dies
geschieht mit dem Kollektor oder Kommutator.
Wir können dieses Drehmoment auch
berechnen:
M Max = 2⋅F⋅r = 2⋅r⋅I⋅B⋅l⋅N = d⋅I⋅B⋅l⋅N
Lasst uns noch einige weitere Feldlinienbilder betrachten, um festzustellen, ob
wir die Gesetzmässigkeit verstanden haben.
S
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 20

Das Hallelement
Hallelemente können wir zur Messung von der magnetischen Flussdichte B
verwenden. Es sind dünne Halbleiterplättchen mit folgender Form:
Schicken wir nun einen Strom I durch dieses Plättchen, würde dieses im
Magnetfeld genauso eine Kraft erfahren, wie dies bei einem normalen Leiter
der Fall wäre. Wir erahnen es schon: Die Kraft wirkt natürlich auf die
einzelnen Ladungsträger, d.h. die bewegten Ladungen werden im Magnetfeld
abgelenkt. Das heisst wiederum, dass sich an der einen Plattenseite positive
Ladungsträger konzentrieren, auf der anderen die Negativen.
Es entsteht eine Ladungstrennung, was wiederum auf eine Spannung
schliessen lässt. Wie gross ist nun diese Spannung? Dazu müssen wir die Kraft
auf einen Ladungsträger im elektrischen Feld heranziehen und dafür schauen,
dass die magnetische und die elektrische Kraft im Gleichgewicht sind:
F = 0 = F Mag + F el = I⋅B⋅l + Q⋅E E = -I⋅B⋅l/Q
Bleibt nur noch herauszufinden, wie gross dass Q ist. Die Ladungsmenge im
Plättchen entspricht dem Produkt der Ladungsträgerdichte und dem
Plattenvolumen:
Q = ρ El ⋅l⋅b⋅d⋅q
E = -I⋅B⋅l/(ρ El ⋅l⋅b⋅d⋅q)
E = -I⋅B/(ρ El ⋅b⋅d⋅q)
Uns interessiert anstelle der Feldstärke die Hallspannung U H .
U H = E⋅b = -I⋅B⋅b/(ρ El ⋅b⋅d⋅q)
U H = -I⋅B/(ρ El ⋅d⋅q) R H = 1/(ρ El ⋅q)
Wenn wir nur den Betrag der Hallspannung wissen wollen und die
Hallkonstante einsetzen, erhalten wir die Formel:
U H = I⋅B⋅R H /d
I: Stromstärke im Hallelement
B: magnetische Flussdichte
R H : Hallkonstante
d: Dicke des Hallplättchens
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 21

Spannungserzeugung durch Induktion
Wir wissen bereits, dass wir mit Generatoren elektrische Energie erzeugen
können. Wir erzeugen Spannung durch Induktion. Wie dies genau vor sich
geht, wollen wir in diesem Kapitel betrachten.
Ein Magnetfeld bewirkt Kräfte auf
bewegte Ladungen. Dies haben wir im
vorigen Kapitel herausgefunden, als wir
stromdurchflossene Leiter im
Magnetfeld betrachteten. Nun versuchen
wir einmal, den Leiter selber durch das
Magnetfeld zu bewegen und zu
betrachten, was mit den Ladungsträgern
im Leiter passiert:
Ein bewegter Leiter im Magnetfeld
bewirkt Magnetkräfte auf dessen
Ladungsträger, die senkrecht zum
Magnetfeld und senkrecht zur
Bewegungsrichtung des Leiters wirken.
Wie gross ist nun diese magnetische
Kraft?
Wir kennen bereits die Beziehung F = I⋅s⋅B Wenn wir für I = Q/t einsetzen
erhalten wir:
F M = Q⋅B⋅s/t F M = Q⋅B⋅v
Durch diese Kraft wandern die Ladungsträger ans eine Leiterende, es gibt eine
Ladungskonzentration. Dadurch baut sich im Leiter ein elektrisches Feld auf,
die Gegenkraft zur Magnetkraft. Es ergibt sich:
F M + F El = 0
F El = -F M
Q⋅E = - Q⋅B⋅v E = - B⋅v
Wenn wir nun die Induktionsspannung suchen setzen wir ein:
U ind = E⋅l = - B⋅v⋅l
Das Minuszeichen sagt aus, dass die
Induktionsspannung der magnetischen
Kraft entgegengerichtet ist. Die
Induktionsspannung entsteht in jeder Windung
einer Spule, also entsteht die Hauptformel:
Zur Übung: Westermann S. 122 Nr. 4
B: magnetische Flussdichte
v: Geschwindigkeit des Leiters
l: Länge des Leiters im Magnetfeld
N: Windungszahl der Spule
U ind = - B⋅v⋅l⋅N
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 22

Mir selbst ist das aus der Herleitung hervorgegangene Minuszeichen auch
immer etwas suspekt. Vielleicht ist es einfacher es wegzulassen und uns die
Richtung der Spannung jeweils im Diagramm herauszulesen. Ein Merksatz,
die Lenzsche Regel, sagt zudem:
Der durch die induzierte Spannung verursachte Strom
ist stets so gerichtet, dass sein Feld der Flussänderung
entgegenwirkt.
Ist ein Leiter im Magnetfeld in Bewegung, wird in ihm eine Spannung
induziert. Hänge ich einen
Lastwiderstand an diesen
Leiter so beginnt ein Strom
zu fliessen. Dieser ist so
gerichtet, dass er wiederum
eine Kraft im Magnetfeld
bewirkt, die ihn in seiner
Bewegung abbremsen.
Folgende Bilder sollen diesen
Sachverhalt unterstreichen:
Wir können aber nicht nur in einem bewegten Leiter mit einem Magnetfeld
eine Spannung induzieren. In einem Trafo z.B. haben wir keine beweglichen
Teile. Folgende Formelumstellung soll uns zeigen, wie dies zu interpretieren
ist. Wir nehmen zuerst die Formel für nur eine Windung:
U ind = - B⋅v⋅l = -B⋅(∆s/∆t)⋅l
U ind = -∆B⋅l⋅s/∆t⋅ = -∆B⋅A/∆t
U ind = -∆Φ/∆t
Für eine Spule mit N Windungen ergibt sich:
Was für Anwendungen der Spannungserzeugung durch Induktion kennen wir?
• Generatoren
• Induktionsmotoren
(Drehstrom-
Asynchronmaschine)
• Transformatoren
Zur Übung: Westermann S. 122 Nr. 1-3
∆Φ/∆t: magnetische Flussänderung
pro Zeiteinheit.
N: Windungszahl der Spule
U ind = -N⋅∆Φ/∆t
• magnetische
Tonabnehmer
• Drosselspulen
(Selbstinduktion)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 23

Die Induktivität L einer Spule (Selbstinduktion)
Wir stellten fest, dass eine Flussänderung eine Induktionsspannung in einer
Spule bewirkt. Was geschieht nun, wenn wir dieselbe Spule als Erzeuger des
Magnetfeldes und als Induktionsspule betrachten? Wir beobachten die
sogenannte Selbstinduktion. Sie beträgt
∆Φ
U ind
= - N ⋅
∆t
Wir wollen nun versuchen, diese Formel so umzubiegen, dass nur noch
elektrische Grössen als Veränderliche vorkommen. Bekanntlich wird der
magnetische Fluss letztendlich vom Spulenstrom erzeugt:
Θ = I⋅N
Φ = Θ / Rm = I⋅N/Rm
Daraus ergibt sich für die Selbstinduktionsspannung:
U ind = -N⋅∆Φ/∆t = -N⋅∆I⋅N/(∆t⋅Rm)
U ind = -(N 2 / Rm) ⋅ ∆I / ∆t
Die Selbstinduktionsspannung hemmt die den Strom verursachende
Spulenspannung U L . Bei der idealen Spule können wir sagen: U L + U ind = 0.
Daraus ergibt sich U L = -U ind , oder anders gesagt, wir werden nun endlich das
negative Vorzeichen wieder los…
U L = (N 2 / Rm) ⋅ ∆I/∆t
Nun, der Formelteil N 2 /Rm wird auch die
Induktivität L der Spule genannt:
N: Windungszahl der Spule
Rm: Widerstand des Magnetkreises
(Siehe auch Seite 18)
∆I/∆t: Stromänderung in der Spule
pro Zeiteinheit.
L: Induktivität der Spule in
Henry [H = Vs/A]
A L : Spulenkonstante
L = N 2 / Rm = N 2 ⋅A L
In Bestellkatalogen wird häufig anstelle vom Rm
die Spulenkonstante A L angegeben. Wir wissen ja
nun: A L = 1/Rm Durch Einfügen von L ergibt sich
die Grundformel für die Spulenspannung:
U L = L ⋅∆I/∆t
Zur Übung: Westermann S. 123 Nr. 1 - 5
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 24

Der Transformator
Der Transformator ermöglicht es Spannungen und Ströme zu wandeln. Wir
stellen fest, dass beim abgebildeten Tranformator zwei getrennte Wicklungen
auf dem Kern angebracht sind.
Wir nennen sie
Primärwicklung
(Windungszahl N 1 ) und
Sekundärwicklung (N 2 ).
Die Primärseite wird mit
Spannung versorgt,
währenddem auf der
Sekundärseite die gewandelte
Spannung abgegriffen wird.
Damit auf der Sekundärseite
überhaupt eine Spannung
induziert wird. benötigen wir
ein Wechselfeld.
Transformatoren
können nur
Wechselspannungen
konvertieren.
Nach welcher Gesetzmässigkeit werden die Spannungen und die Ströme
konvertiert? Dazu zeichnen wir den magnetischen Kreis des Transformators
auf und suchen die Beziehungen zwischen den Grössen:
Wenn wir annehmen, dass der
Magnetwiderstand Rm vernachlässigbar klein
ist, können wir das Stromverhältnis I 2 :I 1 recht
einfach bestimmen:
I 2 :I 1 = N 1 :N 2
Wie können wir die Spannungsverhältnisse berechnen?
U 1 :U 2 = N 1 :N 2
Zur Übung: Westermann S. 160 Nr. 1 – 3, 6 - 9
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 25

Die gespeicherte Energie in einer Spule
Offensichtlich kann mit einer Spannung an der Spule eine
Stromstärkenänderung in dieser bewirkt werden. Umgekehrt bekommen wir
beim Ausschalten einer Spule hohe Induktionsspannungen. Damit dies
überhaupt möglich ist, muss in der stromdurchflossenen Spule ähnlich wie im
Kondensator Energie gespeichert sein. Die Beziehung der Induktivität zu
Spannung und Strom bringt uns auf die richtige Fährte:
∆I
U = L ⋅
∆t
Bei gleichbleibender Spannung an einer idealen Induktivität ist die
Stromstärkenzuname konstant:
Zeichnen wir zunächst einmal den Strom der Spule in Funktion der
Einschaltzeit auf.
Der Strom verhält sich gemäss der
Beziehung
I =
U
L
⋅t
wenn die Spannung an der idealen
Spule konstant gehalten wird.
Betrachten wir nun, wie wir aus dieser Darstellung auf die in der Spule
gespeicherte Energie schliessen können.
Wir kennen die Beziehung für die elektrische Arbeit resp. Energie:
W = P⋅t = U⋅I⋅t
Die Spannung haben wir beim Einschalten der Spule konstant gehalten, wir
müssen also noch einen Wert für das Produkt I⋅t haben.
Dieses Produkt entspricht der Fläche des Dreiecks unter der Kurve, ähnlich
wie bei der Energieberechnung beim Kondensator. Der Grund liegt darin, dass
sich der Strom ja kontinuierlich verändert, also nicht konstant bleibt:
W = 1/2⋅U⋅I⋅t t = I⋅L/U
W = 1/2⋅L⋅I 2
Übungen zum Thema: Rechenbuch für Elektroniker S. 84 Nr. 3 - 5
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 26

Zusatzaufgaben
1. Eine Ringspule hat folgende Kennwerte: N = 400, r i = 25 mm, r a = 45 mm,
h = 20 mm Wie gross ist die Induktivität L dieser Spule a) als Luftspule b) mit
einem Ferritkern mit µ r = 500 ausgeführt
2. Eine Spule mit N = 300 Windungen ist auf einen Eisenkern (Querschnitt 16
x 16 mm) mit unendlich hoher Permeabilität gewickelt Wie gross ist die
Induktivität L, wenn die beiden Teilkerne durch einen Luftspalt s = 0.15 mm
getrennt sind.
3. Nehmen wir an, eine ideale Spule mit L=0.15 H werde an eine Spannung
U = 1V angeschlossen. a) Wie gross ist ∆I/∆t? b) Wie gross ist der Strom I
nach t=0.5s? c) Zeichne ein Diagramm der Stromzunahme in Funktion der
Zeit.
d) Wie gross ist die in der Spule gespeicherte Energie bei einem Endstrom von
I = 5A?
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 27

Das RL-Glied im Gleichstromkreis
Nachdem wir nun den
Kondensator am
Gleichstromkreis untersucht
haben, betrachten wir uns die
Induktivität an Gleichspannung.
Schauen wir uns zunächst das
Schema an, mit dem wir das
Verhalten eines LR-Kreises
beobachten können.
Wir kennen noch die Formel,
welche die Induktivität L im elektrischen Kreis beschreibt: U L = L ∆I/∆t
Wenn die Stromstärke in einer Spule eine abrupte Änderung erfahren sollte,
müsste die Stromänderung pro Zeiteinheit ∆I/∆t sehr gross sein. Dies
wiederum ergibt eine sehr grosse Spulenspannung U L . Könnte der Strom in
der Spule sprunghaft ändern, müsste die Spulenspannung unendlich gross
werden. Dies heisst für uns:
Der Strom in einer Induktivität kann nie sprunghaft
ändern!
Wir können nun wieder eine ähnliche Betrachtung wie beim Kondensator
machen: Schalten wir die noch stromlose Spule an die Spannung U, haben wir
zu Beginn die volle Spannung an der Induktivität: U L = U
Zur Begründung: Die Spule ist im Einschaltmoment noch stromlos, folglich
fliesst auch durch den Widerstand noch kein Strom, er verursacht also noch
keinen Spannungsabfall.
Die Stromzuname in der Spule beträgt im ersten Moment:
∆I/∆t = U L / L
Der Maximalstrom, der irgendwann nach dem Einschalten einmal erreicht
wird, nur durch den Widerstand R begrenzt. Sobald der Strom konstant ist
wird ∆I/∆t = 0, folglich ist auch U L = L⋅0 = 0
Es ergibt sich der maximale Strom I LMax = U/R
Wenn wir annehmen, dass die Spulenspannung konstant bleiben würde finden
wir die Zeitkonstante heraus (= die Zeit, bis der Maximalstrom bei konstantem
U L = U fliessen würde):
I LMax /τ = U / L
τ = I LMax ⋅L / U = U⋅L/(R⋅U)
τ = L/R
Auch hier gilt aber wieder die Einschränkung, dass die Spulenspannung U L ja
gar nicht konstant bleibt.
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 28

Durch den
zunehmenden Strom
in der Spule ergibt
sich über dem
Widerstand ein
Spannungsabfall, der
die Spulenspannung
U L verringert.
Dadurch verkleinert
sich aber auch die
Stromzunahme, es
ergibt sich wieder
eine gekrümmte
"Ladekurve":
Was können wir gegen die Überspannungsspitzen tun?
Wir schalten Widerstände, Kondensatoren oder
Freilaufdioden parallel zur Induktivität, damit die
Spulenenergie unterbruchslos abfliessen kann.
Wir können die Selbstinduktionsspannung aber auch nutzbringend einsetzen:
• Zündspannungserzeuger zum Zünden von
Gasentladungslampen oder von Benzinmotoren.
• DC-DC Konverter mit Zerhacker
• Viehütapparat
Beispiele für induktive Verbraucher (Bei all diesen Bauteilen können also
Überspannungspitzen beobachtet werden, die ohne Vorkehrungen durchaus
zerstörerisch wirken können):
• Drosselspulen
• Motoren und
Generatoren
• Transformatoren
• Relaisspulen
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 29

Formeln fürs RL-Glied
Ganz ähnlich wie ein RC Glied verhält sich auch das RL-Glied. Beim RL-
Glied kann aber der Strom nicht sprunghaft ändern (beim RC-Glied war es die
Spannung) Auf diesem Blatt wollen wir die notwendigen Berechnungsformeln
zusammenstellen.
Einschalten der Spule
In der Spule fliesst zu Beginn des Vorganges kein Strom (I L = 0). Es ergeben
sich folgende Zusammenhänge:
Ausschalten der Spule
Durch die Spule fliesst zu Beginn des Vorganges der Strom I L = I 0 . Es ergeben
sich folgende Zusammenhänge:
Merke: Da die Spule beim Ausschalten den Strom halten möchte, wird die
Spulenspannung U L negativ!
Übung: Westermann S.125 Nr. 1, 2, 4, 5, (10)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 30

Allgemeine Formeln zur Berechnung von RL Gliedern
Bis jetzt haben wir vom Ein- und Ausschalten von RL Gleidern gesprochen.
Es ist aber auch denkbar, dass eine Spule eingeschaltet wird, deren Strom I L
(noch) nicht 0 ist.
Mit unseren Erkenntnissen ist es aber ein kleiner Schritt, allgemein gültige
Formeln für diese Problematik herzuleiten: Wir berechnen die Anfangsgrösse,
die beim jeweiligen Element sprunghaft ändern kann und setzen das Ergebnis
in unsere bereits bekannte e-Funktion ein:
Übung: Rechenbuch für Elektroniker S. 78 Nr. 21, 23
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 31

Zusätzliche Übungsaufgaben zu RL Gliedern
Ein RL-Integrierglied wird zum Dämpfen des Wechselstromanteiles einer
Rechteckspannung verwendet. L = 1.5H und R=50Ω. Sie wird mit einer
Rechteckspannung mit U=5V und f=50Hz gespiesen (Tastgrad G=0.5)
a) Zeichne den Spannungsverlauf am Widerstand R für die ersten 3 Perioden
(I L (t=0)=0) vom Eingangssignal auf.
b) Wie würde der Spannungsverlauf am Widerstand R aussehen, wenn zum
Zeitpunkt t=0 eine Gleichspannung U=2.5 V angelegt würde. (Vergleiche die
Kurven aus a) und b))
(Lösung siehe RL-Glied Aufgabe2.xls)
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 32

Simulation des Verhaltens von RC/RL-Gliedern
Wir haben es nun im Griff, das Ein- und Ausschaltverhalten von Spulen und
Kondensatoren zu berechnen. Ja wir können noch mehr: Wir wissen bereits
wie wir die Spannung oder den Strom an diesen Elementen nach einer
bestimmten Zeitdauer berechnen können, auch wenn der Kondensator nicht
ungeladen oder die Spule nicht stromlos war.
Mit diesen allgemeinen Formeln für RL/RC Glieder können wir zum
Abschluss dieses Kapitels noch etwas hochinteressantes ausprobieren:
Wir versuchen, die Spannung/den Strom an diesen Bauteilen jeweils nach
fixen Zeitabständen neu zu berechnen. Wir werden jeweils von den Werten zu
Beginn der Zeitperiode ausgehen und so die Werte am Ende der Zeitperiode
bestimmen. Wenn wir nun noch zulassen, dass sich die Eingangsspannung im
Verlaufe der Zeit ändert, können wir mit Hilfe von Excel einen kleinen
Simulator bauen, der das Verhalten unserer RC/RL Glieder an beliebigen
Spannungsformen darstellt. Auf ganz ähnliche Weise funktioniert z.B.
Electronics Workbench. Lasst uns also die Grundlagen für dieses Thema
erarbeiten und uns das Ganze schlussendlich auf Excel ausprobieren.
Simulation RC-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform
Zunächst scheint uns obiger Text wohl noch etwas hypothetisch. Lasst uns
also zunächst im Diagramm betrachten, was wir überhaupt genau berechnen
wollen:
Wir 'hangeln' uns quasi von
Zeitperiode zu Zeitperiode, wobei die
Spannung des Kondensators zu
Beginn einer Berechnungsperiode
dieselbe ist wie am Ende der
vorherigen Periode. Die Spannung am
Kondensator kann ja nicht sprunghaft
ändern.
Wenn wir nun unsere allgemeine Formel fürs RC Glied noch so umschreiben,
dass wir nur noch eine zeitabhängige e-Funktion drinhaben, können wir diese
später in EXCEL verwenden, um aus den Anfangswerten jeweils die neuen
Endwerte zu berechnen:
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 33

Lasst uns nun das Ganze einmal so vorbereiten, dass wir im Excel das
Verhalten des RC-Gliedes an einer Sinusspannung simulieren können. Dazu
dient folgendes Beispiel:
Ein RC-Glied mit C = 10 µF und R = 3.3 kΩ liegt an einer Wechselspannung
mit einer Periodendauer von 200 ms und Û = 10 V. Berechne die Spannungen
U C und U R jeweils im Abstand von 1 ms (∆t = 1 ms).
Wir erstellen uns dazu eine Tabelle mit folgenden Kolonnen und tragen unten
ein, wie wir die entsprechenden Werte berechnen können:
t UEingang UC UR IC
[ms] [V] [V] [V] [mA]
0 0 0.000 0 0
1 0.314108 0.000 0.314 9.52E-05
2 0.627905 0.009 0.619 0.000187
3 0.941083 0.028 0.913 0.000277
4 1.253332 0.055 1.198 0.000363
5
Simulation RL-Glied an beliebiger Eingangsspannungsform
Genau gleich können wir vorgehen, wenn wir ein RL-Glied simulieren
möchten. Hier kann sich allerdings der Strom nicht sprunghaft ändern, d.h. wir
müssen sicher nach jeder Zeitperiode den Spulenstrom bestimmen: Der
Endwert der vorigen Periode wird der Startwert der folgenden.
Auch hier hilft zur Simulation die umgestellte allgemeine Formel für RL
Glied:
Beispiel: Ein RL-Glied mit L = 1.5 H und R = 50 Ω liegt an einer
Sinusspannung mit Û = 10 V und Periodendauer T = 200 ms.
Berechne in 1 ms Schritten U L und U R .
Elektrotechnik Alexander Wenk Seite 34