Übergangsmatrizen 1 abiturähnliche Aufgabe mit Lösung

Die Unternehmung Global Electronics benötigt zur Fertigung ihrer Mikroprozessoren M 1 , M 2 , M 3 und
M 4 die Rohstoffe R 1 , R 2 und R 3 . Die pro Mikroprozessor erforderlichen Mengeneinheiten an Rohstoffen
ergeben sich aus der untenstehenden Tabelle:
R
→ M M 1 M 2 M 3 M 4
R 1 2 2 3 0
R 2 4 2 0 2
R 3 2 4 5 0
Das Unternehmen stellt aus den Mikroprozessoren die Steuergeräte S 1 , S 2 und S 3 her. Die Anzahl der
pro Steuergerät benötigten Mikroprozessoren entnimmt man der untenstehenden Tabelle:
M → S S 1 S 2 S 3
M 1 2 2 1
M 2 3 1 2
M 3 4 0 2
M 4 3 3 0
Die Kosten für jeweils 1 ME der Rohstoffe betragen für R 1 4,5 GE, für R 2 2,4 GE und für R 3 8,5 GE.
a) Berechnen Sie, wie viele Mengeneinheiten der verschiedenen Rohstoffe für die Herstellung von
jeweils einem Steuergerätetyp erforderlich sind und geben Sie die Rohstoffkosten für jeden Steuergerätetyp
an.
Berechnen Sie die Gesamtrohstoffkosten für einen Auftrag über 350 Steuergeräte S 1 , 600 Geräte
S 2 und 200 Geräte S 3 .
b) Bestimmen Sie, wie viele Steuergeräte der einzelnen Typen aus 9300 ME von R 1 , 11800 ME von
R 2 und 14600 ME von R 3 hergestellt werden können.
c) Von dem Rohstoff R 3 , der nur in begrenzter Menge vorhanden ist, stehen 288 000 ME zur Verfügung.
Im Hauptlager befinden sich vom Rohstoff R 2 38 000 ME mehr als von R 1 .
Aus produktionstechnischen Gründen ist es sinnvoller, von dem Steuergerät S 3 immer nur die
Hälfte der Stückzahl von S 2 zu produzieren.
Bestimmen Sie, wie viele Steuergeräte unter den dargestellten Bedingungen maximal produziert
werden können und welche Rohstoffmengen R 1 und R 2 dazu erforderlich sind.

d) Das Unternehmen hat für die drei Steuergeräte S 1 , S 2 und S 3 folgende Kosten- und Preiszusammenhänge
ermittelt. Dabei stehen
k für die variablen Stückkosten (Produktionskosten pro Stück ohne Berücksichtigung der Fixkosten)
in GE/ME,
p für die Preis-/Absatzfunktion in GE/ME
jeweils in Abhängigkeit von der produzierten und abgesetzten Stückzahl x:
S 1 S 2 S 3
k x = x − x + k 2
( x ) = 0,002 x − 0,6 x + 2
90 k ( x ) = 0,0004 x − 0,08 x + 20
2
1
( ) 0,001 0,3 30
2
p 1
( x ) = − 0,2 x + 80
p 2
( x ) = − 0,5 x + 150
p 3
( x ) = − 0,2 x + 96
3
Für eine Produktionsserie sind Fixkosten von 8000 GE veranschlagt. Nach einer Marktanalyse
ergeben sich die Absatzzahlen für die drei Steuergeräte S 1 , S 2 und S 3 im Verhältnis 4:1:3.
Bestimmen Sie die Gleichungen der Gesamtkosten-, der Gesamterlös- und der Gesamtgewinnfunktion.
Ermitteln Sie anschließend, für welche Produktionsmengen von S 1 , S 2 und S 3 (auf ganze ME gerundet)
der Gesamtgewinn maximal wird, und berechnen Sie diesen.

Lösungsskizze
a) ME an Rohstoffen für die einzelnen Gerätetypen
⎛ 2 2 1⎞
⎛ 2 2 3 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 22 6 12 ⎞
⎜ ⎟ 3 1 2 ⎜ ⎟
ARS = ARM ⋅ AMS
= 4 2 0 2 ⎜ ⎟
⋅ = 20 16 8
4 0 2
⎜ 2 4 5 0⎟ ⎜ ⎟
⎜ 36 8 20⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ 3 3 0⎠
Das bedeutet folgenden Verbrauch von Rohstoffen:
R
→ S S 1 S 2 S 3
R 1 22 6 12
R 2 20 16 8
R 3 36 8 20
Rohstoffkosten für jedes Gerät: S 1 : (4,5|2,4|8,5) (22|20|36) = 453
S 2 : (4,5|2,4|8,5) (6|16|8) = 133,4
S 3 : (4,5|2,4|8,5) (12|8|20) = 243,2.
Gesamtrohstoffkosten für den Auftrag:
453⋅ 350 + 133,4 ⋅ 600 + 243,2 ⋅ 200 = 287230 .
Die Gesamtrohstoffkosten betragen 287 230 GE.
b) x R
sei der Rohstoffvektor (9300|11800|14600), gesucht ist der damit produzierbare
Steuergerätevektor x S
, der sich als Lösung des folgenden linearen
Gleichungssystems ergibt:
⎛ 22 6 12 9300 ⎞ ⎛11 3 6 4650⎞
⎜ ⎟ I:2 ⎜ ⎟ 3⋅III −2⋅I
⎜ 20 16 8 11800⎟ ⎯⎯⎯⎯→ 5 4 2 2950 ⎯⎯⎯⎯→
II:4und III:4 ⎜ ⎟ 2⋅III −II
⎜36 8 20 14600⎟ ⎜ 9 2 5 3650⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛11 3 6 4650⎞ ⎛11 3 6 4650 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 5 0 3 1650 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ 5 0 3 1650
3⋅III
−8⋅II
⎜ ⎟
⎜13 0 8 4350⎟ ⎜ 1 0 0 150⎟
⎝ ⎠ ⎝ − − ⎠⇒ x S
= 150 .
1
Eingesetzt in II folgt 3⋅ x = 900, also x = 300.
S3 S3
Beide Lösungen in I: 1650 + 3x + 1800 = 4650 ⇒ 3x = 1200, also x = 400.
S2 S2 S2
Es können 150 Stück S 1 , 400 Stück S 2 und 300 Stück S 3 hergestellt werden.

c) Grundlage dieser Teilaufgabe ist das lineare Gleichungssystem von b):
1
Festlegung der Bedingungen: r 2
= r 1
+ 38000 , r 3
= 288000 und s 3
= s 2
.
2
Eingesetzt in x = A ⋅ x folgt:
r
R RS S
22 6 12
⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
r1 s2
+ 38000 = 20 16 8 ⋅ . Umgeformt ergibt sich:
⎜ 288000 ⎟ ⎜ 36 8 20⎟ ⎜ s ⎟
1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
22s + 6s + 6s = r 22s + 12s − r = 0
1 2 2 1 1 2 1
20s + 16s + 4s = r + 38000 ⇒ 20s + 20s − r = 38000
1 2 2 1 1 2 1
36s + 8s + 10s = 288000 36s + 18s
= 288000
1 2 2 1 2
⎛
⎛ 22 12 −1 0 ⎞ ⎛ 22 12 −1 0 ⎞
⎜ ⎟ II −I
⎜ ⎟
⎜ 20 20 −1 38000 ⎟ ⎯⎯⎯→ ⎜ −2 8 0 38000 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→
III + 18⋅II
⎜36 18 0 288000⎟ ⎜ 36 18 0 288000⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
s
⎞
⎛ 22 12 −1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ −2 8 0 38000 ⎟
eingesetzt in II folgt s 1 = 5000.
⎜ 0 162 0 972000⎟ ⎝ ⎠ ⇒ s2
= 6000
Mit I ergibt sich 110 000 + 72 000 –r 1 = 0, also r 1 = 182 000.
Es können daher maximal 5 000 Steuergeräte S 1 , 6 000 Steuergeräte S 2 und
3 000 Steuergeräte S 3 produziert werden.
Dazu sind 182 000 ME des Rohstoffes R 1 und 220 000 ME des Rohstoffes R 2
erforderlich.
d) Sei t die Absatzzahl für S 2 , so erhält man den Absatzvektor (4t | t | 3t).
Die Gesamtkostenfunktion K erhält man aus:
K(t) = (4t | t | 3t) · (k 1 (4t) | k 2 (t) | k 3 (3t)) + 8000,
3 2
zusammengefasst K( t) = 0,0768⋅t − 6,12⋅ t + 270⋅ t + 8000 .
Analog erhält man für den Gesamterlös E(t):
E( t) = 4t t 3 t ⋅ p (4 t) p ( t) p (3 t) = −5,5 ⋅ t + 758⋅t .
( ) ( )
2
1 2 3
(beides kann auch ohne Vektor-Schreibweise gelöst werden)
3 2
⇒ Gesamtgewinn G: G( t) = E( t) − K( t) = − 0,0768t + 0,62t + 488t
− 8000 .
2
Maximaler Gewinn: G′ ( t) = 0 ⇔ − 0,2304t + 1,24t
+ 488 = 0
⇒ t1 = 48,79... ≈ 49 und G′′
( t1 ) = − 0,4608t 1
+ 1,24 < 0 , damit ist der Gewinn
bei t 1 maximal, denn bei einem Polynom 3. Grades gibt es nur höchstens ein
Maximum.
Der Gewinn ist maximal bei folgendem Absatz:
196 Steuergeräte S 1 , 49 Steuergeräte S 2 , 147 Steuergeräte S 3 .
Der maximale Gewinn beträgt etwa 8365,18 GE.