Zufallsgrößen – Übungen Lektion 08 1. Bei einer Lotterie enthält die ...

Zufallsgrößen – Übungen Lektion 081. Bei einer Lotterie enthält die Lostrommel 100 Lose; darunter sind der Hauptgewinn von 20€, 15 Gewinne von 2 € und 25 Gewinne von 1 € die restlichen 59 Lose sind Nieten.Wie groß ist der "mittlere Gewinn" für eine Los, d.h. mit welchem Gewinn kann man beidieser Lotterie durchschnittlich rechnen ?2. Zwei Spieler vereinbaren das folgende Spiel: Spieler A wirft dreimal eine Münze; für jedenWurf mit dem Ergebnis w erhält er 1 €; fällt dagegen dreimal z, so muß er 8 € an denSpieler B zahlen.Kann der Spieler A auf lange Sicht mit einem Gewinn rechnen ?Wieviel € müsste der Spieler A an den Spieler B bei dreimal z zahlen, damit das Spiel fairist ?3. Für Geldspielautomaten schreibt der Gesetzgeber vor, dass bei einer Spieldauer vonhöchstens 30 Sekunden der Erwartungswert des Spielgewinnes mindestens 60 % desEinsatzes betragen muss.Der Einsatz pro Spiel betrage 20 Ct. Zahlreiche Beobachtungen über jeweils höchstens 30Sekunden ergaben folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:Gewinn in € 0,2 0,5 1 2 0Wahrscheinlichkeit 0,1 0,05 0,03 0,01 0,81Sind die Vorschriften erfüllt ?4. Ein Glücksmünze wird mit den Zahlen 2 und z überklebt.Welche Zahl muss man für z einsetzen, wenn die Summe der Zahlen aus 3 Würfen denErwartungswert 12 haben soll ?Berechne in diesem Fall die Varianz und die Standardabweichung.5. Ein Glücksrad erzeugt die Zahlen 2 und 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 bzw. 0,3.a) Ein Zufallsexperiment besteht darin, das Glücksrad dreimal zu drehen und die Summeder Zahlen festzustellen. Die Zufallsgröße Y beschreibe diese Summe.Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von Y.b) Das Glücksrad wird nun so oft gedreht, bis die Summe der Zahlen mindestens 8 beträgt.Erstelle ein Baumdiagramm mit Angabe aller Wahrscheinlichkeiten.Wie oft muss im Mittel gedreht werden ?c) Ein Glücksrad mit der Wahrscheinlichkeit p für die Zahl 2 und der Wahrscheinlichkeit 1-pfür die Zahl 5 wird bei einem Glücksspiel verwendet.Der Einsatz beträgt 1 €. Das Rad wird zweimal gedreht. Erscheint zweimal die Zahl 5,so erhält der Spieler 2 € ausbezahlt, erscheint zweimal die Zahl 2, so erhält der Spieler1 € ausbezahlt. In den anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.Wie groß muss p gewählt werden, damit das Spiel fair ist ?

Lösungen1. X: Gewinn bei diesem Spielk 20 2 1 0P (X=k) 11525591001001001001 15 25 59EX= ( ) 200⋅ + 2⋅ + 1⋅ + 0⋅ = 0,75(€)100 100 100 1002. X: Gewinn des Spielers Ak -8 1 2 3P (X=k) 133188881 3 3 1EX=− ( ) 8⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅ = 0,375(€)8 8 8 81 3 3 1EX ( ) =−z⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅ = 0 liefert z = 128 8 8 83. X: GewinnE (X) = 0,2 ⋅ 0,1 + 0,5 ⋅ 0,05 + 1 ⋅ 0,03 + 2 ⋅ 0,01 + 0 ⋅ 0,81 = 0,095 (= 9,5 Ct.) = 46,5 % von20 Ct., d.h. Vorschrift nicht erfüllt.4. X: Summek 6 2+2z 4+z 3zP (X=k) 1331888812z+ 26EX ( ) =8EX ( ) = 12liefert z = 6 V (X) = ... σ (X) = ...5. a)y i 6 9 12 15P (Y=y i )30,7230,7 ⋅ ⋅ 0,3230,70,3 ⋅ ⋅0,3E (Y) = 8,7 V (Y) = 5,673

) X: Anzahl Drehungen bis Summe=8Baum zeichnenk 2 3 4P (X=k)30,32 22⋅0,7 ⋅ 0,3 + 0,3⋅0,70,7E (X) = 3,253c) Z: Gewinnk 1 0 -1P (Z=k)2(1 − p)2p 2 p ⋅(1 − p)E(Z)= 3p 2 –4p +1E(Z) = 0 liefert p 1 = 1 (kein Glücksspiel) und p 2 = 1/33