Übergangsmatrizen 3 abiturähnliche Aufgabe mit Lösung

a) Korrekte Zuordnung:Region / Gebiet: Matrix: Graph:A0,9 0,3L =⎜ ⎛ ⎜⎞ ⎜⎝0,1 0,7⎟⎠0,30,9 JS 0,70,1B0,9 0, 2K =⎜ ⎛ ⎜⎞ ⎜⎝0, 4 0,7⎟⎠0,20,9 JS 0,70,4Begründung:Das erste Matrixelement der ersten Zeile ergibt sich aus der Addition des Anteilsder Jungtiere, die im nächsten Zeitschritt (Jahr) in der Klasse der Jungtiere verbleiben,und des Anteils der Geburtenrate der Jungtiere.Wie man feststellt, bekommen nicht in jeder Region die Jungtiere Nachfahren.Das zweite Element der ersten Zeile gibt die Geburtenrate der Alttiere an.Das erste Matrixelement der zweiten Zeile enthält die Übertrittsrate von denJungtieren zu den Alttieren; das zweite Element gibt die Verbleiberate / Überlebensrateder Alttiere an.b) Berechnung der Populationsvektoren:pt+ 1= K ⋅ ptbzw. pt+ 1= L ⋅ptmit t ∈ .Für Gebiet A: ⎛0,9 0,3⎞ ⎛1000⎞ ⎛1500⎞p1= L⋅ p0= ⋅ =⎜⎝0,1 0,7 ⎟⎠ ⎝ ⎜2000⎠ ⎟ ⎝ ⎜1500⎠⎟ ⎛0,9 0,3⎞ ⎛1500⎞ ⎛1800⎞p2 = L⋅ p1= ⋅ =⎜⎝0,1 0,7 ⎟⎠ ⎝ ⎜1500⎠ ⎟ ⎝ ⎜1200⎠⎟Für Gebiet B ergibt die analoge Rechnung: ⎛1300⎞ p ⎜⎛1530⎞ 1=⎜ ⎜⎝1800und p⎟2=⎜ ⎜⎠ ⎜⎝1780.⎟⎠

Berechnung der Populationen nach 20 Jahren: 20 10 10 10p = K ⋅ p = K ⋅K ⋅ p = K ⋅ p( ) 220 0 0 0bzw. p L p .2020= ⋅0Für Gebiet A: ⎛100,752 0,745⎞ ⎛1000⎞ ⎛2242⎞p10 = L ⋅ p0= ⋅ =⎜⎝0,248 0,255⎠ ⎟ ⎝ ⎜2000⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 758⎟⎠ ⎛102251⎞ p20 = L ⋅ p ⎜10=⎜ ⎜⎝749⎟⎠ ⎛3457⎞ Für Gebiet B ergibt die analoge Rechnung p10=⎜ ⎜⎜⎝3459⎟⎠ und ⎛8966⎞ p20=⎜ ⎜⎜⎝8969⎟⎠ .c)Zeit inJahrenAnzahl der Geckosim Gebiet AAnzahl der Geckosim Gebiet BAnzahl der Geckosim Gebiet C0 3000 3000 60001 3000 3100 50002 3000 3310 422010 3000 6916 119920 3000 17935 254Die Gesamtzahl der Geckos im Gebiet der Region A bleibt konstant bei 3000.Die Gesamtzahl der Geckos im Gebiet der Region B scheint exponentiell zuwachsen.Die Gesamtzahl der Geckos im Gebiet der Region C scheint exponentiell zufallen. Die Geckos werden aussterben.Funktionsgleichungen:tGebiet A: f ( t ) = 3000⋅ 1 = 3000Gebiet B: f( t ) = 3000 ⋅ 1,0935 tGebiet C: f ( t ) = 6000⋅0,8538 tZur Ermittlung des Zeitpunktes gleicher Geckozahlen in B und C werden dieFunktionsterme gleichgesetzt:tt3000 ⋅ 1,0935 = 6000⋅0,8538log 2t =log1,0935 − log0,8538t = 2,801...Im Laufe des dritten Jahres nach Beobachtungsbeginn werden die Zahlen übereinstimmen.

d) Modifizierter Graph:Region ARegion B0,30,20,8 JS 0,7 0,9 J S 0,650,10,40,1 0,05Modifizierte Matrix:⎛0,8 0,3 0 0 ⎞ ⎛LmodK ⎞neu0,1 0,7 0 0,05P = =⎜ LneuKmod0,1 0 0,9 0, 2⎝ ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 0 0,4 0,65⎟⎠Die Matrix P besteht aus den modifizierten Matrizen Lmodund Kmodund denMatrizen Kneuund Lneu. Diese beiden modifizierten Matrizen unterscheidensich von L und K jeweils in genau einem Matrixelement.Die Matrix L neuenthält den Anteil der übersiedelnden Jungtiere; Kneuenthältden Anteil der auswandernden Alttiere.e) Bestätigung:1 ⎛−1 3⎞ ⎛0,6 0⎞ ⎛−0, 25 0,75⎞ ⎛0,9 0,3⎞L= T⋅D⋅ T − = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ 1 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0,25 0, 25⎠ ⎝0,1 0,7⎠Somit ist die Beziehung bestätigt worden.Potenzen der Matrix L:Potenzen der Matrix L lassen sich besonders leicht berechnen, da man lediglichnD bilden und dann die Multiplikation von links mit T und von rechts mit derInversen von T durchführen muss.Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente.Begründung:nn 1Es gilt: L = T ⋅D ⋅ T − . Etwas ausführlicher:n1n1 1 1L = T⋅D⋅ T − = T⋅D⋅T − ⋅T⋅D⋅T − ⋅…⋅T⋅D⋅ T− =( )= T⋅D⋅( T ⋅T) ⋅D⋅( T ⋅…⋅T)⋅D⋅ T = T⋅D⋅E⋅D⋅E⋅…⋅E⋅D⋅T−1 n −1= T⋅D⋅D⋅… ⋅D⋅ T = T ⋅D ⋅T.− 1 − 1 − 1 − 1