Scheibe Scheibe 1 - hknoll.ch

Scheibe
Ein Rechteckelement soll einmal als ein Element und das andere Mal zerlegt in 2 finite Elemente gerechnet werden.
Die Materialdaten sind unten angegeben.
Organisieren Sie sich in 3-er-Gruppen und berechnen Sie die Verschiebungen un d die Spannungen. Insbesondere
von Interesse ist der Verlauf der Verschiebungs- bzw. Spannungswerte quer durch die Scheibe hindurch. Ganz
speziell sollen beim Übergang vom einen zum anderen Element (x = 0) diese Werte miteinander verglichen werden.
Die Ansätze sollen soweit möglich von Hand gemacht werden. Für die Rechenunterstützung steht das
Computeralgebrasystem Maple zur Verfrügung. Es ist in den Computerräumen der HTW Chur installiert.
Scheibe 1
Scheibe 1
Die Rechteckscheibe als 1 Element
Ansatz der Formfunktionen
Legen Sie die Formfunktionen N1 bis N4 für das Scheibenelement fest. Es soll dabei jede Funktion in einem
Knoten den Wert 1, in allen anderen aber den Wert 0 haben. Ausserdem sind die Randbedingungen für die
Verschiebungen aufzuschreiben.
Dehnungen und Scherwinkel
Zur Berechnung der Dehnungen und des Scherwinkels werden die Ableitungen der Formfunktionen benötigt.
Materialeigenschaften
Die Materialeigenschaften werden in der Matrix D erfasst. Zusammen mit dem Vektor für die Dehnungen und
den Scherwinkel erhält man den Spannungsvektor.
Elementsteifigkeitsmatrix
Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen besagt, dass die virtuelle innere Arbeit gleich der virtuellen
äusseren Arbeit sein muss. Daraus resultiert die Beziehung zwischen Knotenverschiebungen und
Knotenkräften. Der Zusammenhang wird durch die Elemetsteifigkeitsmatrix hergestellt. somit kann nun die
Elementsteifigkeitsmatrix berechnet werden. Für das Rechteckscheibenelement ist sie gleich dem Integral
von t•B'•D•B, wobei über den ganzen Rechtecksbereich integriert wird.

Das Gleichungssysgtem und seine Lösungen
Das Gleichungssystem für die Knotenverschiebungen und die knotenlasten wird gelöst. Es ergeben sich die
Werte für die freien Verschiebungen und die Kntenkräfte in den Auflagern.
Berechnung der Verschiebungen in allen Punkten der Scheibe
Mit den Knotenverschiebungen und den Formfunktionen können die Verschiebungsfunktionen für das ganze
Element berechnet werden (u_vector).
Verschiebungen an der Stelle (0,0)
Spannungen
Die Spannungsfunktionen lassen sich nun auch für das gesamte Element berechnen.
Scheibe 2
Scheibe aufgeteilt in zwei finite Elemente
Die gegebene Scheibe wird in zwei Rechtreckselemente (links x 0) zerlegt. Die beiden
Elemente sollen modelliert werden und das gesamte System dargestellt werden.