Theorie Integralrechnung - hknoll.ch

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Differentialrechnung Mathematik 98 Differentiale Eine Funktion f(x) ist differenzierbar und hat die Ableitung f '(x). Geometrisch bedeutet die 1. Ableitung bekanntlich die Steigung der Tangente. Der Zweck des Differenzierens ist es ja immer gewesen, für ein sehr kleines Stück die Kurve durch ihre Tangente zu ersetzen. Mit der 1. Ableitung kann die Tangentengleichung gebildet werden. Für einen sehr kleinen Fortschritt von x - wir nennen ihn hier dx oder Δx - wird sich das y nicht sehr viel anders verändern, wenn wir die ursprüngliche Funktion oder ihre Tangente im Startpunkt verfolgen. Mit Δy bezeichnen wir die effektive Veränderung des Funktionswertes bei einem Fortschritt um dx, dy soll die Veränderung des y- Wertes an der Tangente messen. x 1 Δx = dx dy x 2 Δy t y = f(x) y' = f '(x) Δy = y 2 - y 1 = f(x 2 ) - f(x 1 ) = f(x 1 + Δx) - f(x 1 ) Δy Δx = f(x 1 + Δx) - f(x 1 ) Δx dy dx = f '(x) dy = f '(x)•dx Beispiel 1: y = x 2 , x 1 = 2, Δx = dx = 0,01 y' = 2x y'(2) = 4 Δy = (2.01) 2 - 2 2 = 4,0401 - 4 = 0,0401 dy = f '(2)•dx = 4•0,01 = 0,04 Beispiel 2: y = ln x, x 1 = 0,1, Δx = dx = 0,01 y' = 1 x y'(0,1) = 1 0,1 = 10 Δy = ln 0,11 - ln 0,1 = 0,095310 dy = f '(0,1)•0,01 = 10•0,01 = 0,1 Bei genügend kleinem Wert von dx = Δx ist der Unterschied zwischen Δy und dy sehr klein. Für praktische Probleme liegt dieser Unterschied meist unterhalb der Genauigkeitsschwelle der Messwerte. © 1990- 2003 by Hermann Knoll ver. 4.0 / 06.10.2003
Integralrechnung Mathematik 99 Bestimmtes Integral Einführung 1. Weg-Zeit-Funktion: Bei der gleichförmigen Bewegung aber auch bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung kann man den in einer Zeitspanne Δt zurückgelegten Weg noch recht einfach berechnen. Bei einer nichtlinearen Geschwindigkeits- Zeit-Funktion gibt es aber Probleme. Die Geschwindigkeit ist ja die Änderung des Weges Δs während einer kleinen Zeitspanne Δt: v = Δs Δt . Für Δs gilt: Δs = v•Δt Am besten wird das gesamte Zeitintervall in kleine Spannen Δt zerlegt. Die jeweils in diesen Zeitspannen Δt zurückgelegten Strecken Δs werden summiert. Für eine sehr feine Einteilung erhält man auch sehr viele Summanden und das Ergebnis wird dem genauen Wert für den Weg sehr nahe kommen. v s ≈ ∑ i=1 n vi Δt i Δs = v•Δt v Δt t 2. Arbeit im Gravitationsfeld: Bei der Brechnung der Hubarbeit im Gravitationsfeld bei grösserer Hubhöhe kann man die Änderung der Gravitationskraft mit dem Abstand r nicht mehr vernachlässigen: F(r) = γ mM r 2 F Auch hier kann die Gesamtarbeit W als Summe der einzelnen Arbeitsportionen ΔW berechnet werden. ΔW = F(r)Δr W ≈ ∑ i=1 n ΔWi = ∑ i=1 n n Fi (r)Δr i = ∑i=1 γ mM r i 2 Δr i Geometrisch bedeuten diese Summierungen eine Berchnung der Fläche zwischen einer Kurve und der Abszisse im entsprechenden Abszissenabschnitt. r 1 r 2 r Flächenberechnung und bestimmtes Integral Gegeben ist eine in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion f(x). Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Intervall [a, b]. Zunächst sei zudem vorausgesetzt, dass f(x) streng monoton steigend sei und für alle x aus dem Intervall [a, b] f(x) ≥ 0 gelte. y y f(x ) n-1 f(x ) n-1 f(x ) 0 f(x ) 1 f(x ) i f(x ) 0 f(x ) 1 f(x ) i x 0 x 1 x i-1 x i x n-1 x n x x 0 x 1 x i-1 x i x n-1 x n x Δx 1 Δx i Δx n Δx 1 Δx i Δx n © 1990- 2003 by Hermann Knoll ver. 4.0 / 06.10.2003
Seite 1: Differentialrechnung Mathematik 97
Seite 5 und 6: Integralrechnung Mathematik 101 Int
Seite 7: Integralrechnung Mathematik 103 Sta

Theorie Integralrechnung - hknoll.ch

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?