Numerische Simulation der Bildung fluider Strukturen auf ...

KAPITEL 2.
MATHEMATISCHE BESCHREIBUNG DÜNNER FILME
Dabei ist der Spannungstensor T definiert durch T = η(∇v + (∇v) T ) + p Id, κ ist die
mittlere Krümmung und ⃗n die Normale an der Flüssigkeits-Gas-Grenzfläche. Für Vektoren
⃗t tangential zur Flüssigkeit-Gas-Grenzfläche gilt T⃗n · ⃗t = 0. Außerdem soll keine Masse
zwischen flüssiger und gasförmiger Phase ausgetauscht werden, d.h an der Oberfläche des
Flüssigkeitsfilms gilt zusätzlich
ρ(v − v i )⃗n = 0, (2.5)
wobei v i die Geschwindigkeit der Grenzfläche bezeichnet.
Ziel der auf Reynolds [36] zurückgehenden Lubrikationsapproximation ist es nun, unter der
Annahme, dass erstens die Oberfläche des Films als eine Funktion u(x, y) darstellbar und
zweitens der Film dünn ist, also die horizontale Ausdehnung um einige Größenordnungen
größer ist als die Dicke des Films, eine vereinfachte Differentialgleichung für u herzuleiten.
Da dieser Ansatz in der Literatur ausführlich beschrieben ist (siehe z.B. [3, 34]), sollen
hier nur kurz die wesentlichen Ideen beschrieben werden. Zuerst werden die Ortsvariablen
durch dimensionslose Größen ˜x, ỹ, ˜z und die Zeit durch eine dimensionslose Größe ˜t ersetzt.
Dazu sei h 0 die mittlere Filmdicke, l 0 sei eine charakteristische Längenskala und v 0 eine
charakteristische Größe für die Geschwindigkeit. Nun setzen wir:
˜x = x l 0
, ỹ = y l 0
, ˜z = z h 0
, ˜t = v 0t
l 0
. (2.6)
Unter der Annahme, dass ε = h 0
l 0
≪ 1 ist, lassen sich nun die Gleichungen (2.1)-(2.5)
deutlich vereinfachen, indem man nur Terme nullter Ordnung in ε betrachtet. Man erkennt
dabei, dass v ‖ in z-Richtung ein parabolisches Profil aufweist (Poiseuille-Fluss). Integration
über z führt schließlich zu einer Gleichung, welche nur noch von der Höhe u(x, y) des Filmes
abhängig ist, nämlich
η∂ t u − div ‖
(
(
1
3 u3 + βu 2 )∇ ‖ (−ς∆ ‖ u + φ| z=u ) ) = 0. (2.7)
Dies ist die Dünne-Filme-Gleichung. Der Term −ς∆ ‖ u + φ| z=u wird auch reduzierter Druck
genannt. Hier bezeichnen die Operatoren ∇ ‖ , div ‖ , ∆ ‖ die auf die (x, y)-Koordinaten eingeschränkten
Differentialoperatoren: ∇ ‖ = (∂ x , ∂ y ) T , div ‖ = (∂ x , ∂ y ), ∆ ‖ = div ‖ ∇ ‖ .
Im Falle von Evaporation und Kondensation gilt die Annahme der Massenerhaltung an der
Flüssigkeits-Gas-Grenzfläche nicht mehr. Daher wird (2.5) ersetzt durch
ρ(v − v i )⃗n = j. (2.8)
Dieser Ansatz führt zu einer Dünne-Filme-Gleichung mit rechter Seite ungleich Null, nämlich
η∂ t u − div ‖
(
(
1
3 u3 + βu 2 )∇ ‖ (−ς∆ ‖ u + φ| z=u ) ) = ηj
ρ . (2.9)
Der Massefluß j normal zur Grenzfläche ist dabei nicht konstant, sondern abhängig von der
Höhe u. Man setzt als Energiebilanz für z = u an:
jL = −k th ∇θ⃗n, (2.10)
d.h. die gesamte zur Grenzfläche transportierte Wärme −k th ∇θ⃗n wird in latente Wärme
der Evaporation umgewandelt. Hier bezeichnet θ die Temperatur, die Konstante k th beschreibt
die Wärmeleitfähigkeit der Flüssigkeit, L ist die latente Wärme der Evaporation
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