Numerische Simulation der Bildung fluider Strukturen auf ...

KAPITEL 4.
A PRIORI ABSCHÄTZUNGEN
Im Fall (Q2) sei o.B.d.A. δ q > A. Nun gilt für alle Stützstellen x i , dass entweder Q(U k+1 (x i )) =
0 ist oder aber g σ (U k+1 (x i )) > 0 und Q(U k+1 (x i )) ≤ 0 ist, woraus unmittelbar
∫
Ω
I h Q(U k+1 )I h G ′ σ(U k+1 ) ≤ 0
folgt. Dies ergibt, kombiniert mit dem Beweis von Satz 4.2.1, die Behauptung.
✷
Die Nichtnegativität der diskreten Lösung läßt sich nun wie in [21] zeigen, falls ∫ Ω G σ(U(T ))
gleichmäßig beschränkt ist. Dazu müssen die Terme auf der rechten Seite von (4.11) bzw.
(4.16) unabhängig von h, τ, σ beschränkt sein. Dies gilt, falls W eine der stärkeren Bedingungen
(W0’), (W1’) oder (W2) erfüllt. Außerdem muss ∫ Ω G σ(U 0 ) unabhängig von σ
beschränkt sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn u 0 ≥ 0 und 0 < n < 2, oder aber
u 0 ≥ c 0 > 0 und n > 2. Es gilt der folgende Satz:
Satz 4.2.3 (Nichtnegativität der diskreten Lösung)
In jeder der vier Situationen
i) Q ≡ 0 und das Potential W erfüllt die Bedingung (W0’),
ii) Q ≡ 0 und das Potential W erfüllt die Bedingung (W1’),
iii) Q erfüllt (Q1), es gilt n > 1 und das Potential W erfüllt die Bedingung (W2),
iv) Q erfüllt (Q2), es gilt T < 1
C q
∫Ω U 0 und das Potential W erfüllt die Bedingung (W2),
gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, welches von n, ε, h und den Anfangswerten u 0 ∈
L 2 (Ω) abhängig ist, so dass für alle 0 < σ < δ die zu dem Entropie-Mobilitäts-Paar M σ , G σ
gehörige diskrete Lösung U σ des Finite-Elemente-Verfahrens 3.2.2 die folgende Eigenschaft
hat:
⎧
⎪⎨ −ε falls u 0 ≥ 0 und 0 < n < 2,
U σ > −ε falls u 0 ≥ δ und n = 2,
(4.17)
⎪⎩ σ
2
falls u 0 ≥ δ und n > 2.
Beweis : Wir definieren
∫
C e := I h G σ (Uσ 0 ) + |Ω T | sup |W ,u + (U σ(t, x), x)| 2 + |Ω T | sup |W,u − (U σ(t, x), x)| 2 + R.
Ω
(t,x)∈Ω T (t,x)∈Ω T
In jeder der Situationen i) - iv) gilt: C e < ∞.
Sei zunächst 1 ≤ n. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass A > σ gilt. Nun definieren wir für s > 0
Stammfunktionen R 1 (s) und R 2 (s) von m −1 (s) durch:
R 2(s) ′ = R 1 (s), R 2 (A) = 0,
R 1(s) ′ = 1
s n , R 1(A) = 0.
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