Numerische Simulation der Bildung fluider Strukturen auf ...

KAPITEL 2.
MATHEMATISCHE BESCHREIBUNG DÜNNER FILME
wobei p i den reduzierten Druck −ς∆ ‖ u + w ′ i (u) bezeichnet. Dies bedeutet, dass ∆ ‖u nicht
stetig in x = 0 ist, da p stetig ist und w nicht. Dies zeigt auch, welche Regularität wir für
eine Lösung von (2.27) maximal erwarten können.
2.4 Zusammenfassung
Unter der Annahme einer konstanten Oberflächenspannung ς gilt die folgende Differentialgleichung
für die Filmhöhe u:
Der reduzierte Druck p ist dabei gegeben durch
η∂ t u − div ‖
(
(
1
3 u3 + βu 2 )∇ ‖ p ) = q(u). (2.42)
p = −ς∆ ‖ u + φ| z=u . (2.43)
Unter der Annahme von Massenerhaltung gilt q(u) = 0, und bei Kondensation oder Evaporation
gilt:
q(u) = η k th (θ 0 − θ ∞ )
. (2.44)
ρ Lu + Kk th
Mit Hilfe des effektiven Grenzflächenpotentials w lässt sich der reduzierte Druck auch schreiben
als
p = −ς∆ ‖ u + ∂ z w(x, y, u). (2.45)
Das effektive Grenzflächenpotential selbst ist auf inhomogenen Substraten der Form Ω =
Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Γ, durch
{
w 1 (u) falls (x, y) ∈ Ω 1 ∪ Γ,
w(x, y, u) =
(2.46)
w 2 (u) falls (x, y) ∈ Ω 2
näherungsweise bestimmt. Dabei sind w 1 (u) und w 2 (u) die aus dem homogenen Fall bekannten
Grenzflächenpotentiale.
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