Grenzwerte von Funktionen - auf Matthias-Draeger.info

12.Vorlesung MafI II, SoSe 2008, 29.05.2008
Thema: Grenzwerte von Funktionen
e lim1 1
n 1 k!
exp x lim 1 1
n x
k!
Satz: Für jedes x aus konvergiert die Folge 1 und die Reihe ∑
gegen den
!
gleichen Wert. (Beweis analog zum Fall x = 1)
Definition:
Die Funktion, die jedem x diesen Wert zuordnet heißt die Exponentialfunktion exp.
Rechenregeln
Satz: expx y expx·expy
exp ist streng monoton wachsend.
exp : (bijektiv)
Aus der Formel expx y ergibt sich exp k e
für k . Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
heißt natürlicher Logarithmus
ln
Satz: ln x · y ln x ln y
für x, y
Gesetze
explnx x
lnexpx x
Definition:
Potenz mit beliebiger Basis a > 0, Logarithmus zur Basis a > 0, a 1
x a expx ·lna
x 0 log x ln x
ln a
log und a sind inverse Funktionen.
Spezialfall: log xlnx
In der Informatik spielt die Basis 2 eine große Rolle: log nx2 n
Umrechnung zwischen Logarithmen verschiedener Basen:
log x log x
log b log x·log a
Beweis:
ln x
log x
log b ln a
ln x
ln b ln b log x
ln a
1

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit
f I \ a I sei ein Intervall aI
(An der Stelle a muss f nicht definiert sein.)
• Die Funktion hat an der Stelle a den Grenzwert c, wenn
für jede Folge x mit x I \ a, die gegen a
konvergiert, gilt:
lim fx c
Schreibweise:
lim fx c bzw. lim fx c
• f hat einen linksseitigen Grenzwert c, wenn die Aussage für alle Folgen x mit x gilt.
• rechtsseitiger Grenzwert analog
Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen übertragen sich:
lim
fx gx
limfx limgx
W G ,
G .
limfx ·gx limfx ·limgx
fx lim fx
lim
gx
sofern lim gx 0
lim gx
Bemerkung: Die Definition des Grenzwertes einer Funktion lässt sich auch auf uneigentliche
Grenzwerte c ∞ oder auf a ∞ anwenden.
Beispiele:
lim
0
lim
?
lim
∞
lim
∞
Satz:
(Vergleichskriterium)
Wenn fx gx hx x I \ a und lim fx lim hx c,
dann gilt lim gx c.
Anwendung: gx
x0
Vergleich der Flächen:
inneres Dreieck Kreissektor äußeres Dreieck
1
2 sin x · cos x 1 2 ·x1 2 ·tanx1 2 · sin x
cos x
cos x
x
sin x 1
cos x
1
cos x sin x cos x gilt auch für x 0
x
1
lim
cos x 1
lim
sin x
cos x 1 lim 1
x
2

Definition:
Eine Funktion f I heißt stetig in einem Punkt a I, wenn lim fx fx
Unstetige Funktion:
Satz:
Eine Funktion f I ist stetig an der Stelle a I genau dann, wenn:
ε 0 0 |x a| δ|fx fa| ε
Beweis: „“
zu zeigen:
Für jede Folge x mit x a gilt lim f x fa, also:
ε 0 n n n |fx fa| ε
Voraussetzung:
(1) ε 0 δ |x a| δ|fx fa| ε wegen x a gilt für δ:
n n n |x a| δ
|fx fa| ε
…
Annahme: sei nicht erfüllt
Konstruiere x a mit fx fa
¬ : ε 0: δ 0: x I: |x a|
δ|fx fa| ε
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