Spezifische Ladung des Elektrons - auf Matthias-Draeger.info

1 PHYSIKALISCHE GRUNDLAGENSpezifische Ladung des Elektronsdurchgeführt am 07.07.2010von Matthias Dräger1 Physikalische Grundlagen1.1 Lorentz-Kraft und Bewegung von Ladungsträgern in einem MagnetfeldAuf ein bewegtes geladenes Teilchen wirkt in einem Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht zum Magnetfeld−→ B und zur Geschwindigkteit −→ v des bewegten Teilchen gerichtet ist, die sogenannte Lorentz-Kraft:−→ F = Q · −→ v ×−→ B (1)F = Q · v · B · sin (v, B) (2)Hierbei ist Q die Ladung des Teilchens, −→ v die Geschwindigkeit und −→ B die Flussdichte des Magnetfeldes.Aus der Gleichung geht hervor, dass die Lorentz-Kraft nur eine Richtungsänderung des Teilchensbewirkt und keine Beschleunigung.Abbildung 1: Lorentz-Kraft auf eine negative LadungWenn −→ v und −→ B senkrecht aufeinander stehen (sin (v, B) = 1), dann bleibt das Magnetfeld homogen,d.h. es ist zeitlich und räumlich gleichbleibend. Die Lorentz-Kraft wirkt nun senkrecht zur Bewegungsrichtungals Radialkraft und bringt das geladene Teilchen auf eine Kreisbahn. Mit der Zentripetalbeschleunigungv 2 /r und dem zweiten Newtonschen Axiom gilt:Q · v · B = m · v2r(3)1.2 MessmethodeDer Versuch findet in einem Fadenstrahlrohr statt, indem Elektronen erzeugt, beschleunigt, abgelenktund sichtbar gemacht werden.1

2 AUFGABENAbbildung 2: FadenstrahlrohrDie Erzeugung eines freien Elektrons erfolgt durch thermische Auslösung aus einem Festkörper miteiner Glühkathode, die Beschleunigung mithilfe eines elektrischen Feldes und die Ablenkung mithilfeeines magnetischen Feldes. Dabei werden die Elektronen auf eine Kreisbahn gebracht und durch Kollisionmit Wasserstoffmolekülen sichtbar gemacht (Wasserstoffmoleküle emittieren dann Licht). NachDurchlaufen“ der Spannung U (Anodenspannung) besitzt ein Elektron die kinetische Energie:”12 · m · v2 = e · U (4)Dabei ist e die Ladung des Elektrons (Elementarladung). Aus (3) und (4) folgt:em = 2 · Ur 2 · B 2 (5)Hierbei ist U die Beschleunigungsspannung. Das Magnetfeld wird durch zwei große Helmholtzspulenerzeugt. Für das Magnetfeld gilt als Näherung:√64B = µ 0 ·125 · NR · I (6)wobei µ 0 die magnetische Feldkonstante, N die Windungszahl der Einzelspulen, R denren Radius undI die Stromstärke in den Spulen ist. Die magnetische Feldkonstante hat einen Wert von:µ 0 = 4π · 10 −7 V · sA · m(7)2 Aufgaben1. Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons e m .2

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG5 VersuchsdurchführungIn dem Versuch habe ich die spezifische Ladung des Elektrons bestimmt, indem ich die Anodenspannung(am Fadenstrahlrohr) in 10-Volt-Schritten veränderte und die Stromstärke an den Spulen derartangepasst habe, dass der Elektronenbahnradius immer gleich war. Innerhalb der Röhre waren Stiftemit bekanntem Abstand angeordnet, anhand dieser man den Durchmesser vorgeben konnte, indemman die Spannung und die Stromstärke so wählte, dass die Elektronen auf den Stift stießen. Den Versuchhabe ich für die Durchmesser d 4 = 100mm und d 3 = 80mm im Spannungsintervall von 160-360Vdurchgeführt. Durch Benutzen der Formeln (5) und (6) kann man mithilfe einer graphischen Auswertungdie spezifische Ladung des Elektrons bestimmen (siehe Auswertung). Es gilt hierbei: U ∼ I 2 . DieFehler der Messgeräte wurden bereits mit eingerechnet. Bei der Spannung ist der Fehler 1% + 3 undbei der Stromstärke 1,5% + 0,05.U in V I 2 in AU in V I 2 in ATabelle 2: U und I bei d 4360 ± 7 1, 85 ± 0, 08360 ± 7 2, 30 ± 0, 09351 ± 7 1, 80 ± 0, 08350 ± 7 2, 24 ± 0, 09341 ± 7 1, 78 ± 0, 08340 ± 7 2, 21 ± 0, 09331 ± 7 1, 75 ± 0, 08330 ± 7 2, 18 ± 0, 09321 ± 7 1, 73 ± 0, 08320 ± 7 2, 14 ± 0, 09310 ± 7 1, 69 ± 0, 08310 ± 7 2, 10 ± 0, 09300 ± 6 1, 66 ± 0, 08300 ± 6 2, 08 ± 0, 09290 ± 6 1, 63 ± 0, 08290 ± 6 2, 04 ± 0, 09280 ± 6 1, 60 ± 0, 08280 ± 6 2, 00 ± 0, 08270 ± 6 1, 56 ± 0, 08270 ± 6 1, 96 ± 0, 08260 ± 6 1, 53 ± 0, 08260 ± 6 1, 92 ± 0, 08250 ± 6 1, 50 ± 0, 08250 ± 6 1, 89 ± 0, 08240 ± 6 1, 47 ± 0, 08239 ± 6 1, 85 ± 0, 08230 ± 6 1, 45 ± 0, 08231 ± 6 1, 81 ± 0, 08219 ± 6 1, 41 ± 0, 08220 ± 6 1, 77 ± 0, 08210 ± 6 1, 37 ± 0, 08210 ± 6 1, 72 ± 0, 08200 ± 5 1, 34 ± 0, 08200 ± 5 1, 67 ± 0, 08190 ± 5 1, 31 ± 0, 07190 ± 5 1, 61 ± 0, 08180 ± 5 1, 27 ± 0, 07180 ± 5 1, 58 ± 0, 08170 ± 5 1, 22 ± 0, 07170 ± 5 1, 53 ± 0, 08160 ± 5 1, 19 ± 0, 07160 ± 5 1, 47 ± 0, 08Tabelle 3: U und I bei d 34

6 AUSWERTUNG6 AuswertungDie Daten aus Tabelle 2 und 3 wurden nun in Diagrammen eingetragen (siehe Anhang) und jeweilseine Ausgleichs- und Grenzgerade gezogen. Die folgende Tabelle enthält einen überblick über dieabgelesenen Punkte der Geraden:Diagramm für d 4 = 100mmDiagramm für d 3 = 80mmAusgleichsgerade P 1 (160; 1, 2) P 5 (203; 1, 67)P 2 (341; 1, 79) P 6 (360; 2, 31)Grenzgerade P 3 (232; 1, 4) P 7 (160; 1, 38)P 4 (351; 1, 9) P 8 (320; 2, 2)Tabelle 4: Abgelesene Punkte aus den Diagrammen (Anhang I-II); X-Koord. in V, Y-Koord. in A 2Nun wird die Steigung der jeweiligen Geraden wir folgt berechnet:m = y 2 − y 1x 2 − x 1m d4Ausg = y 2 − y 1x 2 − x 1=m d4Grenz = y 4 − y 3x 4 − x 3=m d3Ausg = y 6 − y 5x 6 − x 5=m d3Grenz = y 8 − y 7x 8 − x 7=1, 79 − 1, 2= 0, 0033341 − 1601, 9 − 1, 4= 0, 0042351 − 2322, 31 − 1, 67= 0, 0041360 − 2032, 2 − 1, 38= 0, 0051320 − 160Der Fehler der Steigung ist hierbei die Differenz zwischen Ausgleichs- und Grenzgerade. Wir erhaltenalso folgende Steigungen:m d4 = 0, 00330 ± 0, 00090m d3 = 0, 0041 ± 0, 0010Wir wissen aus den physikalischen Grundlagen, dass die spezifische Ladung von der Spannung, demElektronenbahnradius und der Flussdichte abhängt:em = 2 · Ur 2 · B 2Wir setzen nun (6) ein und stellen nach I 2 um, damit wir aus der Steigung die spezifischen Ladungdes Elektrons berechnen können:em =(r 2 · µ 0 ·2 · U√) 264125 · NR · II 2 = m e · 2 · R 2 · 125r 2 i · · Uµ2 0 · 64 · N2m i = m e · 2 · R 2 · 125r 2 i · µ2 0 · 64 · N2em = 1 2 · R 2 · 125·m i r 2 i · µ2 0 · 64 · N2Hinweis: m i ist die Steigung von d3 oder d4 und r i der Radius (r 3 = d 32, r 4 = d 42).5

6 AUSWERTUNGWir setzen nun folgende Werte in die Gleichung ein:R = (200 ± 1)mmN = (154 ± 0, 1)−7 Vsµ 0 = 4π · 10Amr 3 = d 32r 4 = d 42= (40 ± 0, 5)mm= (50 ± 0, 5)mmFür d 3 :em = 1 ·m d3=10, 0041 ·2 · R 2 · 125r 2 3 · µ2 0 · 64 · N22 · 0, 2 2 m 2 · 1250, 04 2 m 2 · (4π · 10 −7 ) 2 · 64 · 154 2 ≈ 6, 4 · C 1011 kgFehlerrechnung:( eδ = δm d3 + 2 · δR + 2 · δr 3 + 2 · δNm)2( e∆ =m)=(∆md3+ 2 · ∆N )·N+ 2 · ∆R + 2 · ∆r 3m d3 R r 3( ∆0, 00100, 0041 + 2 · ∆1200 + 2 · ∆0, 5 + 2 · ∆0, 140 154≈ 1, 8 · 10 11 C kg1·m d3)·2 · R 2 · 125r 2 3 · µ2 0 · 64 · N10, 0041 ·2 · 0, 2 2 m 2 · 1250, 04 2 m 2 · (4π · 10 −7 ) 2 · 64 · 154 2Für d 4 :em = 1 ·m d3=10, 0033 ·2 · R 2 · 125r 2 3 · µ2 0 · 64 · N22 · 0, 2 2 m 2 · 1250, 05 2 m 2 · (4π · 10 −7 ) 2 · 64 · 154 2 ≈ 5, 1 · C 1011 kgFehlerrechnung:( eδ = δm d4 + 2 · δR + 2 · δr 4 + 2 · δNm)2( e∆ =m)=(∆md3+ 2 · ∆N )·N+ 2 · ∆R + 2 · ∆r 4m d3 R r 4( ∆0, 00090, 0033 + 2 · ∆1200 + 2 · ∆0, 5 + 2 · ∆0, 150 154≈ 1, 6 · 10 11 C kg1·m d4)·2 · R 2 · 125r 2 4 · µ2 0 · 64 · N10, 0033 ·2 · 0, 2 2 m 2 · 1250, 05 2 m 2 · (4π · 10 −7 ) 2 · 64 · 154 2Wir erhalten für d 3 als Ergebnis e m = (6 ± 2) · 1011 C kg und für d 4 e m = (5 ± 2) · 1011 C kg .6

7 Zusammenfassung und Diskussion7 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSIONIn diesem Versuch sollte die spezifische Ladung des Elektrons graphisch bestimmt werden. Hierzuwurden zwei Messreihen mit den Elektronenbahndurchmessern 100mm und 80mm angelegt, wobei dieAnodenspannung in 10-V-Schritten verändert und die Stromstärke des Magnetfeldes derart angepasstwurde, dass der Radius der Umlaufbahn des Elektrons bei allen Spannungswerten gleich war. AlsErgebnis erhielt ich für den Durchmesser von 80mm die spezifische Ladung e m = (6 ± 2) · 1011 C kg undbei 100m Durchmesser e m = (5 ± 2) · 1011 C kg . Der angegebene Literaturwert von e m ≈ 1, 76 · 1011 C kg istdeutlich kleiner als die graphisch ermittelten Werte, diese befinden sich jedoch im zwei- bis dreifachenFehlerintervall. Der Unterschied könnte sich dadurch erklären lassen, dass der Elektronenradius niegenau 40mm bzw. 50mm groß war, da man dies nach eigenem Ermessen eingestellt hat. Die Fehler derMessgeräte wirken sich zwar nur systematisch auf das Gesamtergebnis aus, jedoch war es schwierigGrenz- und Ausgleichsgerade zu bestimmen, wodurch eine weitere hohe Ungenauigkeit hinzukommt.Zusammenfassend lässt sich die Messmethode und Bestimmung als plausibel betrachten, wobei dasAblesen in der Elektronenstrahlröhre sehr zeitaufwendig war. Dafür das die Geräte nicht kalibriertwurden und einige relativ fehlerträchtige Ereignisse (Einstellung der Elektronenradien, graphischeAuswertung) mit in die Rechnung einflossen, verifizieren die ermittelten spezifischen Ladungen desElektrons den Literaturwert.7