Cauchy-Kriterium, Euler'sche Zahl - auf Matthias-Draeger.info

11.Vorlesung MafI II, SoSe 2008, 23.05.2008Thema: Cauchy-Kriterium, Euler’sche ZahlEine Folge a ist genau dann konvergent, wenn:ε 0 n n,m n |a a | Beweis:Notwendigkeit: hinreichend: Betrachte die Folge b supa ,a ,…b b : monoton fallend und nach unten beschränkt durch infa ,a ,…Nebenbemerkung: Aus Cauchy-Kriterium folgt Beschränktheit.ε 1 n m,nn |a a | 1n n a a 1Kmax|a |, |a |,…,a , a 1 ist Schranke für alle |a |Es existiert b lim b Wir zeigen b lim a ε0 vorgegeben:ε 0.Cauchy-Kriterium:(1) n m,nn |a a | ε Konvergenz von b (2) n n nn |b b| ε b supa ,a ,…n n a b εDreiecksungleichungn n |a b| a a Anwendung:harmonische Reihea b b b3ε ε 1 i1 1 2 1 3 lim H H 1 n-te harmonische ZahlAllgemein:H H 1 2nDas Cauchy-Kriterium ist nicht erfüllt, also divergiert die harmonische Reihe.1

Alternierende ReiheBeispiel:alternierende harmonische Reihe1 Eine Reihe ∑ a heißt alternierend, wenn die Vorzeichen der Folgenglieder a abwechselndpositiv und negativ sind.Satz: (Leibnitz-Kriterium)Eine alternierende Reihe, bei der die Absolutbeträge der Folgenglieder eine monotoneNullfolge bilden, konvergiert.Beweis:1 ·a a a a a Absolutbeträge a a a 0 lim a 0s 1 ·a s s s s s s s s für n gerades s für n ungerade(*) nm|s s | a Beweis:Annahme n ist ungerade. (anderer Fall ist analog)s s s s Alle s m n sind im Idealfall s ,s enthalten s s a Aus (*) folgt das Cauchy-Kriterium.Die Euler’sche Zahl eDefinition:Berechnung:c 1 2,71828k!e1 1 1 1 2 1 6 1 24 1 5! Die Folges 1 2,71828k!konvergiert.2

Begründung:1) s s monoton wachsend2) ! s 1 1 2 → beschränkt1 1 2 123Satz:Beweis:e lim1 1 n 1) Monotonie von a 1 a a 1 1 n 1 1n1 * folgt aus der Bernoulli-Ungleichungn1 n n n1 · n1 n n 1 n1· n n 1 · n 1 n n1·n n 1n 1n n1· n 1 1 *≥ nn n1· 1 1 n 11 h 1h·nfür 0 h12) a e ( beschränkt)a 1 1 n n k ·1 n 1 k!n·n 1 · n 2 ·… ·n k1k!1·n·n·… ·n→ Folge ist durch e beschränkt.3) lim a existiert und lim a e4) Behauptung:nicht zu Ende geführtN lim a 1 k!3