Theoretische Physik I Mathematische Methoden

Theoretische Physik I
Mathematische Methoden
Prof. Dr. Stefan Scheel
Aufgaben Wintersemester 2012/13
Abgabe: 28.11.2012
Kontrollfragen
K12 Welche Aussage trifft der Fundamentalsatz der Vektoranalysis?
K13 Drücken Sie Gradient, Divergenz und Rotation durch den Nablaoperator aus.
K14 Was versteht man unter einer allgemeinen Koordinatentransformation?
K15 Was sind krummlinige Koordinaten und wie bestimmt man deren Einheitsvektoren?
K16 Wie transformiert man den Gradienten in krummlinige Koordinaten?
Übungsaufgaben
A11 Gradientenfeld (4 Punkte)
Das Gravitationspotential ist gegeben durch
φ(r) = φ(r) = − γm 1m 2
r
Berechnen Sie die Gravitationskraft F(r) = −grad φ(r) (in kartesischen Koordinaten).
Zeigen Sie, dass das Feld F wirbelfrei ist.
A12 Rotation (3 Punkte)
Gegeben sei das Vektorprodukt F × G. Berechnen Sie ∇ × (F × G) mit Hilfe der
Rechenregeln des Nablaoperators.
A13 Kugelkoordinaten (5 Punkte)
Stellen Sie die Geschwindigkeit ṙ in Kugelkoordinaten dar. Gehen Sie dabei von der
Definition der Kugelkoordinaten und der Darstellung des Ortsvektors r = ϱe ϱ aus.
A14 Hertzscher Dipol (4 Punkte)
Ein Hertzscher Dipol, bestehend aus zwei entgegengesetzten Ladungen ±q, die sich
in einem infinitesimal kleinen Abstand l voneinander befinden (siehe Skizze), kann
durch die Potentialfunktion
Π = ql cos(kr − ωt)
4πr
beschrieben werden. Berechnen Sie das Magnetfeld
H = 1 µ 0
rot A ,
.

wobei das Vektorpotential A durch
gegeben ist.
A = µ 0
∂Π
∂t
z
+
+q
l
y
x
-
-q
A15 Laplace–Gleichung (4 Punkte)
Transformieren Sie die Laplace–Gleichung △Φ = 0 von kartesischen in Kugelkoordinaten.