Theoretische Physik I Mathematische Methoden
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<strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong> I<br />
<strong>Mathematische</strong> <strong>Methoden</strong><br />
Prof. Dr. Stefan Scheel<br />
Aufgaben Wintersemester 2012/13<br />
Abgabe: 28.11.2012<br />
Kontrollfragen<br />
K12 Welche Aussage trifft der Fundamentalsatz der Vektoranalysis?<br />
K13 Drücken Sie Gradient, Divergenz und Rotation durch den Nablaoperator aus.<br />
K14 Was versteht man unter einer allgemeinen Koordinatentransformation?<br />
K15 Was sind krummlinige Koordinaten und wie bestimmt man deren Einheitsvektoren?<br />
K16 Wie transformiert man den Gradienten in krummlinige Koordinaten?<br />
Übungsaufgaben<br />
A11 Gradientenfeld (4 Punkte)<br />
Das Gravitationspotential ist gegeben durch<br />
φ(r) = φ(r) = − γm 1m 2<br />
r<br />
Berechnen Sie die Gravitationskraft F(r) = −grad φ(r) (in kartesischen Koordinaten).<br />
Zeigen Sie, dass das Feld F wirbelfrei ist.<br />
A12 Rotation (3 Punkte)<br />
Gegeben sei das Vektorprodukt F × G. Berechnen Sie ∇ × (F × G) mit Hilfe der<br />
Rechenregeln des Nablaoperators.<br />
A13 Kugelkoordinaten (5 Punkte)<br />
Stellen Sie die Geschwindigkeit ṙ in Kugelkoordinaten dar. Gehen Sie dabei von der<br />
Definition der Kugelkoordinaten und der Darstellung des Ortsvektors r = ϱe ϱ aus.<br />
A14 Hertzscher Dipol (4 Punkte)<br />
Ein Hertzscher Dipol, bestehend aus zwei entgegengesetzten Ladungen ±q, die sich<br />
in einem infinitesimal kleinen Abstand l voneinander befinden (siehe Skizze), kann<br />
durch die Potentialfunktion<br />
Π = ql cos(kr − ωt)<br />
4πr<br />
beschrieben werden. Berechnen Sie das Magnetfeld<br />
H = 1 µ 0<br />
rot A ,<br />
.
wobei das Vektorpotential A durch<br />
gegeben ist.<br />
A = µ 0<br />
∂Π<br />
∂t<br />
z<br />
+<br />
+q<br />
l<br />
y<br />
x<br />
-<br />
-q<br />
A15 Laplace–Gleichung (4 Punkte)<br />
Transformieren Sie die Laplace–Gleichung △Φ = 0 von kartesischen in Kugelkoordinaten.