Kapitel 4 Lagrangesche Mechanik - Quantenoptik makroskopischer ...

In dieser Gleichung stecken 3N −r frei wählbare Verrückungen δx i , also eine
pro Freiheitsgrad. Die anderen r Verrückungen sind durch die Nebenbedingungen
gebunden. Die Lagrangeschen Multiplikatoren sind bisher noch frei
wählbar, wir wählen sie nun genau so, dass für die r nicht frei wählbaren
Verrückungen gerade die Ausdrücke in den Klammern verschwinden. Die
übrigen 3N − r Verrückungen sind aber frei wählbar, also müssen die dazugehörigen
Klammerausdrücke ohnehin verschwinden. Damit werden alle 3N
Klammerausdrücke in (4.40) Null, und wir bekommen die Bewegungsgleichungen
in Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art als
m i ẍ i = F i +
r∑
λ k f ki , i = 1, 2,...,3N . (4.41)
k=1
Zusätzlich zu den 3N Lagrangeschen Gleichungen 1. Art sind noch die r
Nebenbedingungen
3N∑
i=1
f ki ẋ i + f k0 = 0, k = 1, 2,...,r (4.42)
zu erfüllen, was insgesamt 3N + r Gleichungen zur Bestimmung der 3N
Koordinaten x i und der r Lagrangeschen Multiplikatoren ergibt. Das Gleichungssystem
ist somit eindeutig lösbar.
Die Lagrangeschen Gleichungen (4.41) liefern zusätzlich die allgemeine
Darstellung der Zwangskräfte mithilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren als
˜F i =
r∑
λ k f ki . (4.43)
k=1
Für holonome Nebenbedingungen gilt
˜F i =
r∑
k=1
λ k
∂f k
∂x i
, (4.44)
und speziell für einen Massenpunkt ˜F ∑
= ∇ r λ k f k , was zum Ausdruck
bringt, dass die Zwangskräfte senkrecht zu den Nebenbedingungen stehen.
k=1
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